เซตและเลขยกกำลัง 605_22

คณิตศาสตร์

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่6

เซตและเลขยกกำลัง

จัดทำโดย
นางสาวณัฐชุ
ตา สูนเสียง

ชั้ม.6/5 เลขที่22

เสนอ

อาจารย์รสชกร บุบผาคำ

1.เซต

1.1 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซต

เซต เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใด
แล้วสามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม

การเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้ อย 3 ตัว

แล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย
ตัวอย่าง เซตของจำนวนนับที่น้ อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย
{1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
(Set builder form)

หลักการเขียน

1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย l
( l อ่านว่า โดยที ) เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { x l
เงื่อนไขของ x } เช่น {x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x
โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต

1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็นสมาชิกของ "

เรื่อง เซต

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี
2. เซตของจำนวนเต็มลบ
3. เซตของพยัญชนะในภาษาไทย
วิธีทำ 1) ให้ A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

A = {สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี, ลพบุรี}
2) ให้ B เป็นเซตของจ านวนเต็มลบ

B = {-1, -2, -3, . . .}
3) ให้ C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย

C = {ก, ข, ค, . . ., ฮ}
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก
1. A = {2, 4, 6, 8, 10}
2. B = {1, 3, 5, 7}
วิธีท า 1) A = {x | x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12}
2) B = {x | x เป็นจ านวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9}

ตัวอย่างที่3 จงหาจำนวนสมาชิกของเซตในแต่ละข้อต่อไปนี้
วิธีทำ 1) A = { 0, 1, 2, 3, . . . , 10}

เซต A มีสมาชิก 11 ตัว
2) B = {1, {2, 3} , {4, 5} }

∅เซต B มีสมาชิก 3 ตัว

3) C = { }
เซต C มีสมาชิก 1ตัว

แบบฝึ กหัดที่ 1.1 การเขียนเซตและจำนวนสมาชิกของเซต

1. จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1) เซตของสระในภาษาอังกฤษ
2) เซตของจำนวนคู่บวกที่น้ อยกว่า 10
3) เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีสองหลัก

เรื่อง เซต

2. จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแบกเงื่อนไขของสมาชิก
1) { 1, 3, 5, 7, 9}
2) {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .}

3. จงบอกจำนวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้
1) A = {1234}
2) B = {0, 1, 2, 3, 4}
4. ให้ A = {a, b, c, d} จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็น
จริงหรือเท็จ

∈1) {a} A
∉2) {b, c} A
∅∈3) A

แบบฝึ กหัดที่ 1.1 การเขียนเซตและจำนวนสมาชิกของเซต

คำชี้แจง ให้นักเรียนเขียนคำตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อ
ไปนี้

1. จงเขียนเซตแต่ละข้อต่อไปนี้ แบบแจกแจงสมาชิก
1) เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่มีชื่อขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ “ร”
2) เซตของจ านวนเต็มคี่บวก

2. จงเขียนเซตในแต่ละข้อต่อไปนี้ แบบบอกเงื่อนไข
1)A ={1, 2, 3, . . .}
2)
B ={. . . ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}

3. จงเขียนจำนวนสมาชิกของเซตในแต่ละข้อต่อไปนี้
1)A ={0, 1, 2, 3, 1, 0}
2)B ={1234}

เรื่อง เซต

1.2 ประเภทของเซต

∅เซตว่าง (Empty Set หรือ Null Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย

เขียนแทนด้วย { } หรือ (phi)
เช่น เซตของจำานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กัน 2
A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวน
เต็มบวก หรือ ศูนย์
เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0 ,{1, 2, 3, ...,100} มีจำนวนสมาชิกเป็น 100
A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11
B = {x| x เป็นพยัญชนะในค าว่า “เซตว่าง” }, n( A ) = 4
C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถ
บอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}, เซตของจุดบนระนาบ
A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }
B = {x| x 3,7,11,15,…}
C = {1,2,3,…}

เซตที่เท่ากัน (Equal Sets หรือ Identical sets) คือ
เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสอง
มีสมาชิกเหมือนกัน สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทน
ด้วย A = B เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย
A ไม่เท่ากับ B
ตัวอย่างที่ 1 A = {0,1,2 } และ B = {2,0,1}
ดังนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

เรื่อง เซต

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C =
{1,2,4,5,5,6,7,8}
จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน
วิธีทำ A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}

≠ ≠จะได้ A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

แต่ A C , B C เพราะว่า 7 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A และ 7
ไม่เป็นสมาชิกของเซต B

แบบฝึ กหัดที่ 1.2 ประเภทของเซต

∈1. เซตต่อไปนี้เซตใดเป็ นเซตว่าง

1) {x N |3 < x < 4}
2) {x|x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 3 แต่น้ อยกว่า 10
2. เซตต่อไปนี้ เซตใดเป็ นเซตจำกัด เซตใดเป็ นเซตอนันต์
1) {x|x เป็นจำนวนคู่}
2) { 1, 2, 3,. . . , 100}

3. จงพิจารณาว่าเซตในข้อใดบ้างเท่ากันและเซตในข้อบ้าง
ไม่เท่ากัน

∈1) A = {0, 1, 3, 7}

B = {x z | x<10 }
2) A = {x|x เป็นจำนวนคู่ที่น้ อยกว่า 10}
B = {2, 4, 6, 8}

1.3 สับเซตและเพาเวอร์เซต

สับเซต

สับเซต (subset) หรือ “เซตย่อย” คือ เซตที่เล็กกว่าหรือเท่ากัน
กับเซตที่กำหนด โดยต้องใช้สมาชิกร่วมกับเซตที่กำหนดเท่านั้น

เรื่อง เซต

สับเซต (Subset)

ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็น

สับเซตของเซต B

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A B

สมบัติของสับเซต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^n

( 2 ยกกำลัง n ) สับเซต

สับเซตแท้

⊂ ≠นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ A B

∅ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c},

{b, c}

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้ง

สิ้น 2^n-1 (2 ยกกำลัง n-1) สับเซต เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับ

เซตออกมาในรูปแผนภาพได้ดังนี้

⊂A B

เรื่อง เซต

เพาเวอร์เซต (Power Set)

ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิก

ประกอบไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซต

ทั้งหมดของ A}

ตัวอย่าง A = {1, 2}

∅วิธีทำ สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, A
∅ดังนั้น P(A) = { , {1}, {2}, A }

สมบัติของเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ
∅ ∈ ∅ ⊂1.
P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A)

ก็เป็ นเซตเช่นกัน

∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A)

จะมีสมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ

A) P(B)
B)
⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A

เรื่อง เซต

การดำเนิ นการบนเซต

การดำเนิ นการบนเซต

การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ มากระทำกันเพื่อให้เกิด
เป็นเซตใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ
1. ยูเนียน (Union)

ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A
หรือ เซต B

∪เขียนแทนด้วย A B
∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยฃ

สมาชิกของเซต Aเเละเซต B

∩เขียนแทนด้วย A B
∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A B = { 3 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

เรื่อง เซต

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น

สมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

เรื่อง เซต

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น

สมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

แบบฝึ กหัดที่ 1.3 สับเซตและเพาเวอร์เซต

1. ให้ A = {2, 4, 6, 8} จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด

∈1) 6 A
∈2) {8} A
⊂3) {2, 4}
∈2. ให้ A = {x|x เป็ นจำานวนคู่บวก และ x-5<3} ,

B = {x N | x<8} และ C = {2, 4} จงพิจารณาว่าเซตคู่ใดบ้างที่
มีความสัมพันธ์เป็ นสับเซต

เรื่อง เซต

∈3. กำหนดให้ X = {1, 3, 5, 7, 9, 11 } และ Y = {x|x =2n+1

เมื่อ n {0, 1, 2, 3, 4, 5} จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็น
จริงหรือเท็จ

⊂1) X Y
⊂2) Y X

3) X=Y
4. จงหาสับเซตทั้งหมดของเซตต่อไปนี้
1) {1}
2) {1, 2}
3) {-1, 0, 1}

2.เลขยกกำลัง

2.1 ความหมายของเลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง

การยกกำลัง มีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน
คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว จะเขียนได้เป็น

2.2 สมบัติของเลขยกกำลัง

เรื่อง เลขยกกำลัง

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนเต็มบวก
เมื่อ a เป็ นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็ นจำนวนเต็มบวก

เช่น 23x 27x 29 = 2 (3 + 7 + 9) = 219
2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนเต็มบวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m > n

เช่น 412÷ 43=412-3 = 49
กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m = n

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a0 = 1



เช่น 67÷ 67 = 67-7 = 60 = 1 หรือถ้า (-7)o = 1

เรื่อง เลขยกกำลัง

กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m < n

เช่น = 1/ 54-9
นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็ม
บวก แล้ว

หรือ

เช่น หรือ

เรื่อง เลขยกกำลัง

3.สมบัติอื่ นๆของเลขยกกำลัง
1. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง

≥เมื่อ a 0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

2. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย ๆ
จำนวน

และ

≠ ≠เมื่อ a 0 , b 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

เรื่อง เลขยกกำลัง

3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

เมื่อ a > 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1

≠ ≥เมื่อ a 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ; n 2

4.จำนวนยกกำลัง ศูนย์ ได้เท่ากับ 1

เรื่อง เลขยกกำลัง

2.3 แบบฝึ กหัดเลขยกกำลัง