MATEMATIKA BERBASIS KONTEKS ISLAM MTS KELAS VIII Materi Sistem Koordinat Kartesius MODUL PEMBELAJARAN Annisa Azizatul Jannah
KATA PENGANTAR i Puji Syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat, kasih sayang, dan petunjuk-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar digital ini dengan baik Sholawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan Nabi Muhammad SAW berserta keluarganya, para sahabat dan pengikutnya, semoga kita termasuk dalam golongan yang mendapat syafa'atnya di hari akhir kelak. Bahan ajar digital ini merupakan bahan ajar matematika berbasis konteks islam untuk peserta didik pada jenjang Sekolah Menengah Pertama/ Madrasah Tsanawiyah yang mengacu pada kurikulum 2013 guna membantu peserta didik untuk proses belajar matematika dan diharapkan peserta didik mendapatkan pengalaman menyelesaiakan masalah matematika yang mencakup konteks islam. Bahan ajar digital ini dibuat dengan bahasa yang sederhana, konsep yang disampaikan secara logis, sistematis sehingga penulis mengharapkan peserta didik dapat memahami materi yang disajikan. Akhir kata penulis ucapkan, semoga bahan ajar e-modul berbasis konteks islam ini bermanfaat dan dapat digunakan untuk referensi belajar. saran dan kritik yang membangun dapat disampaikan kepada penulis untuk perbaikan penulisan bahan ajar emodul lebih lanjut. Purwokerto, 20 Juli 2022 Annisa Azizatul Jannah
PENDAHULUAN ii Pendidik membimbing peserta didik mengenai penggunaan bahan ajar digital. Pendidik membagikan link bahan ajar digital untuk dibuka melalui android masingmasing. Pendidik membimbing peserta didik untuk melakukan penyelesaian masalah yang ada di dalam bahan ajar digital tersebut. Pendidik menjelaskan kepada peserta didik bagian yang perlu dibenahi. Bahan ajar digital dapat digunakan untuk referensi belajar yang berkaitan dengan materi sistem koordinat kartesius. Bahan ajar digital dibuka dengan android atau komputer melalui link secara online dan pdf secara offline. Peserta didik membawa petunjuk dan perintah yang ada pada bahan ajar digital. Peserta didik menyelesaikan masalah yang diberikan untuk menambah dan mengasah kemampuan pemecahan masalah. Peserta didik dapat berdiskusi dengan teman kelompok dan bertanya kepada pendidik jika kesulitan dalam mengerjakan masalah yang ada di dalam bahan ajar digital. Peserta didik menjawab soal evaluasi untuk mengukur kemampuan pemecahan masalah dalam materi sistem koordinat kartesius. Bahan ajar digital matematika berbasis konteks islam disusun untuk memenuhi kebutuhan peserta didik Madrasah Tsanawiyah dengan memenuhi standar isi yang telah ditetapkan pemerintah. Bahan ajar digital matematika ini juga dapat dibuka dengan aplikasi flipbook secara online dengan materi koordinat kartesius berbasis konteks islam. Pada bahan ajar ini menjelaskan tentang posisi titik terhadap sumbu X dan sumbu Y, posisi bangun datar pada bidang koordinat, posisi titik terhadap titik asal (0,0) dan titik tertentu, posisi garis terhadap sumbu X dan sumbu Y serta memahami sketsa grafik fungsi aljabar dengan berbagai ilustrasi yang berkaitan dengan konteks islam sehingga dapat lebih memahami materi koordinat kartesius secara nyata. Petunjuk pendidik dalam melakukan pembelajaran dengan bahan ajar digital ini : 1. 2. 3. 4. Petunjuk Peserta didik dalam menggunakan bahan ajar digital ini: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
DAFTAR ISI iii KATA PENGANTAR....................................................................................................... i PENDAHULUAN............................................................................................................. ii DAFTAR ISI..................................................................................................................... iii BAB II SISTEM KOORDINAT KARTESIUS............................................................... 1 Kompetensi Dasar dan Indikator..................................................................................... 2 Sejarah Sistem Koordinat Kartesius................................................................................ 3 Peta Konsep........................................................................................................................ 4 Sistem Koordinat Kartesius dengan konteks islam........................................................ 5 2.1 Memahami Posisi Titik Terhadap Sumbu X dan Sumbu Y................................ 6 2.2 Memahami Posisi Bangun Datar Pada Bidang Koordinat................................ 14 2.3 Memahami Posisi Titik Pada Titik Asal (0,0) dan Titik Tertentu (A,B).......... 19 2.4 Memahami Posisi Garis Terhadap Sumbu x dan Sumbu y.............................. 27 2.5 Membuat Sketsa Grafik Fungsi Aljabar............................................................. 33 Rangkuman ..................................................................................................................... 36 Latihan ............................................................................................................................. 37 DAFTAR PUSTAKA....................................................................................................... 38
BAB II SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
2 Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII Menjelaskan kedudukan titik dalam bidang koordinat kartesius yang dihubungkan dengan masalah kontekstual Menyelesaiakan masalah yang berkaitan dengan kedudukan titik dalam bidang koordinat kartesius Menggunakan bidang koordinat kartesius untuk menentukan posisi titik terhadap sumbu x dan sumbu y. Menggunakan bidang koordinat kartesius untuk menentukan posisi titik terhadap titik asal O (0,0) dan titik tertentu (a,b). Menggunakan koordinat kartesius untuk menentukan posisi garis yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y. Menggunakan koordinat kartesius untuk menentukan posisi garis yang berpotongan sumbu x dan sumbu y. Menggunakan koordinat kartesius untuk menentukan posisi garis yang tegak lurus sumbu x dan sumbu y. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kedudukan titik dalam bidang koordinat kartesius. Indikator Kompetensi Dasar BAB II SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 3 Descartes adalah salah satu pemikir paling penting dan berpengaruh dalam sejarah barat modern, Metodenya ialah dengan meragukan semua pengetahuan yang ada, yang kemudian mengantarkannya pada simpulan bahwa pengetahuan yang ia kategaorikan ke dalam tiga bagian dapat diragukan, yaitu pengetahuan yang berasal dari pengalaman inderawi dapat diragukan, fakta umum tentang dunia semisal api itu panas dan benda yang berat akan jatuh juga dapat diragukan, serta prinsip-prinsip logika dan matematika juga ia ragukan. Dari keraguan tersebut, Descrates hendak mencari pengetahuan yang tidak dapat diragukan yang akhirnya mengantarkan pada premisnya Cogito Ergo Sum yang artinya “Aku Berpikir, maka aku ada”. Keyakinan yang sempurna dan mutlak terhadap keberadaan adanya Tuhan, dan semua objek di dunia ini adalah ciptaan Tuhan. Tidak mudah puas terhadap sesuatu yang sudah didapatkan, sehingga terus berpikir melakukan inovasi untuk menemukan sesuatu yang baru. Manusia diciptakan oleh Tuhan dengan bentuk yang sempurna. Oleh karena itu, manusia harus menggunakan akal dan pikirannya untuk memanfaatkan lingkungan dengan sebaik-baiknya. Saling membantu dan kerja sama sesama manusia agar terjadi interaksi yang positif dalam melakukan aktifitas dan belajar. Hikmah yang dapat dipetik antara lain: SEJARAH SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Descartes dikenal sebagai Renatus Cartesius dalam literatur berbahasa Latin, merupakan seorang filsuf dan matematikawan Prancis. Beliau mempersembahkan sumbangan yang penting yaitu penemuannya tentang geometri analisis, yang akhirnya dikenal sebagai pencipta “Sistem Koordinat Kartesius”, yang mempengaruhi perkembangan kalkulus modern dan menyediakan jalan buat Newton menemukan Kalkulus. Beliau memberikan kontribusi yang besar dalam kemajuan di bidang matematika, sehingga dipanggil sebagai “Bapak Matematika Modern”.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 4 PETA KONSEP
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 5 Coba perhatikan gambar di atas, jalan mana yang digunakan untuk menuju sebuah Masjid Raya Bogor. Yaaa, betul sekali untuk menuju Masjid Raya Bogor kita harus melewati Jalan Raya Pajajaran. Pada gambar di atas disebut dengan denah. Denah yaitu suatu peta yang diperkecil dengan skala tertentu untuk menggambarkan permukaan bumi pada bidang datar. Dalam membaca denah harus memperhatikan arah mata angin dan titik acuan. Titik acuan adalah suatu titik untuk memulai pengukuran perubahan kedudukan benda. Pada denah tersebut letak Masjid Raya Bogor digambarkan dalam suatu bidang. Bidang ini disebut bidang kartesius dimana bidang ini dimanfaatkan untuk menentukan posisi dan letak suatu benda. Nah, agar kalian lebih mengerti tentang bidang kartesius, ayo kita pelajari lebih dalam tentang sistem koordinat kartesius dengan baik. Yuk Pelajari sistem koordinat kartesius dengan konteks islam
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 6 Sistem koordinat kartesius dibentuk oleh dua garis yang berpotongan tegak lurus yaitu garis mendatar (horizontal) dan garis tegak (vertikal). Biasanya garis horizontal bersumbu x disebut absis dan garis vertikal bersumbu y disebut ordinat. Sedangkan titik potongnya adalah titik asal yang dinyatakan sebagai titik nol. Titik koordinat dinyatakan dengan absis dan ordinal ditulis dengan (x,y). Perhatikan gambar 1, terdapat sebuah ka'bah, jika ditarik sebuh garis lurus dapat membentuk sumbu x dan sumbu y.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 7 Jarak titik dari garis horizontal (x) ditentukan terlebih dahulu (absis). Kemudian, tuliskan jarak titik dari garis vertikal (y) di belakang koma (ordinat). Titik koordinat dituliskan dalam tanda kurung (). Menulis Titik Koordinat Dalam menulis koordinat harus sesuai aturan. Berikut aturan yang digunakan yaitu: 1. 2. 3. Contoh penulisan koordinat: (5,9) artinya angka 5 menunjukkan 5 langkah ke kanan pada garis x dan 9 langkah ke atas pada garis y. Keduanya sama-sama melangkah dari 0 (titik pusat/titik nol) Agar lebih mudah mengingat, untuk sumbu x atau garis horizontal digunakan untuk mencari berapa jauh ke kanan atau ke kiri jarak titik dari titik pusat sedangkan sumbu y atau garis vertikal digunakan untuk mencari tinggi atau rendahnya jarak titik dari titik pusat. Perhatikan gambar di bawah ini! Titik A berada pada koordinat (-2,-3), diperoleh dengan cara bergerak horizontal ke kiri sejauh 2 satuan, kemudian tegak ke bawah sejauh 3 satuan. Dimana x dan y bernilai negatif. Titik B berada pada koordinat (-4,1), diperoleh dengan cara bergerak horizontal ke kiri sejauh 4 satuan dan tegak ke atas sejauh 1 satuan. Dimana x bernilai negatif dan y bernilai positif. Titik C berada pada koordinat (2,3), diperoleh dengan cara bergerak horizontal ke kanan sejauh 2 satuan dan tegak ke atas sejauh 3 satuan. Dimana x dan y bernilai positif. Dari gambar di atas, terlihat terdapat tiga titik A, B, dan C. Masing-masing titik akan dicari titik koordinatnya yaitu: 1. 2. 3.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 8 Untuk menggunakan sistem koordinat kartesius, perhatikan langkah-langkah berikut ini: Langkah pertama dalam menentukan koordinat pada titik dalam bidang datar yaitu membuat sepasang garis yang saling berpotongan tegak lurus. Titik nol adalah titik potong kedua garis tegak lurus yang dinamakan titik pusat dari koordinat. Kedua garis lurus tersebut adalah sumbu x (horizontal) dan sumbu y (vertikal). Langkah kedua adalah menetapkan pasangan koordinat titik nol yaitu (0,0). bilangan sebelah kanan dan di atas titik nol adalah bilangan positif. sedangkan bagian bilangan sebelah kiri dan di bawah titik nol adalah bilangan negatif. Untuk menentukan pasangan koordinat perhatikan gambar di bawah ini. Pada gambar di atas terlihat bahwa titik a pada sumbu y dan titik b pada sumbu x sehingga garis potong membentuk titik koordinat yang merupakan pasangan berurutan dua bilangan pada sumbu x dan sumbu y, yaitu bilangan yang menyatakan jarak dari titik O ke b dan bilangan yang menyatakan jarak dari titik O ke a. Dengan demikian koordinat titik yang dihasilkan yaitu (-b,-a). Dimana sumbu x tersebut dinamakan absis dan pada sumbu y dinamakan ordinat. Garis tegak lurus yang memotong bidang kartesius dan membagi menjadi empat dinamakan kuadran. Menurut konvensi yang berlaku, empat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas melingkar berlawanan dengan arah jarum jam. Empat kuadran ini terdiri dari kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 9 Kuadran I : Daerah sumbu x dan y bernilai positif. Kuadran II : Daerah sumbu x bernilai negatif dan y bernilai positif. Kuadran III : Daerah sumbu x dan y bernilai negatif. Kuadran IV : Daerah sumbu x bernilai positif dan y bernilai negatif. Aturan tanda dari berbagai kuadran antara lain: 1. 2. 3. 4. Jika dimasukkan kedalam bentuk tabel sebagai berikut: 1. Amatilah posisi ornamen pada dinding tersebut yang diilustrasikan pada bidang koordinat, kemudian tentukan titik koordinat dan carilah kuadran yang sesuai.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 10 Jawab : Diketahui : Titik Koordinat titik A = (3,-3) Titik C = (-3,3) Titik B = (-3,-3) Titik D = (3,3) Ditanya : Tentukan titik koordinat dan kuadran? Penyelesaian: Letak ornamen A pada ilustrasi diagram kartesius yaitu berjarak 3 satuan terhadap sumbu-y dan berjarak 3 satuan terhadap sumbu-x. Letak ornamen B pada ilustrasi diagram kartesius yaitu berjarak 3 satuan terhadap sumbu-y dan berjarak 3 satuan terhadap sumbu-x. Letak ornamen C pada ilustrasi diagram kartesius yaitu berjarak 3 satuan terhadap sumbu-y dan berjarak 3 satuan terhadap sumbu-x. Kita dapat menentukan posisi ornamen dengan mengikuti arah panah yang berwarna sama dan dapat ditulis sebagai berikut: 1. 2. 3. Setelah mencari posisi ornamen pada dinding masjid tersebut, kemudian menentukan titik koordinat dan kuadran pada masing masing ornamen. Berikut tabel yang menjelaskan titik koordinat dan kuadran ornamen. Jadi, titik koordinat ornamen A (3,-3) di kuadran 4, ornamen B (-3,-3) di kuadran 3, ornamen C (-3,3) di kuadran 2 dan ornamen D (3,3) di kuadran 1.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 11 2. Sebidang tanah kosong dihibahkan oleh Bapak Udin untuk membantu memperluas pondok pesantren. Tanah tersebut jika di ilustrasikan pada bidang koordinat berada pada titik A (-2,-4), B (4,-3), C (6,2), D (0,4), E (-3,1), dan F (-5,0). Gambarlah titik-titik tersebut dan amatilah posisi titiknya kemudian isi tabelnya. Jawab: Diketahui : titik A (-2,-4), B (4,-3), C (6,2), D (0,4), E (-3,1), dan F (-5,0) Ditanya : Gambar dan tentukan posisi titiknya? Penyelesaian: Jadi, posisi titik A (-2,-4) yaitu 4 satuan terhadap sumbu x dan 2 satuan terhadap sumbu y, titik B (4,-3) yaitu 3 satuan terhadap sumbu x dan 4 satuan terhadap sumbu y, titik C (6,2) yaitu 2 satuan terhadap sumbu x dan 6 satuan terhadap sumbu y, titik D (0,4) yaitu 4 satuan terhadap sumbu x dan 0 satuan terhadap sumbu y, titik E (-3,1) yaitu 1 satuan terhadap sumbu x dan 3 satuan terhadap sumbu y, dan titik F (-5,0) yaitu 0 satuan terhadap sumbu x dan 5 satuan terhadap sumbu y.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 12 Nisa memiliki gaya belajar kinestetik dimana dia belajar sambil berjalan. Kegiatan Nisa sekarang sedang menghapalkan Al-quran. Jika pola jalan Nisa di ilustrasikan pada bidang koordinat yaitu dia semula berdiri di titik A (1,2). Kemudian, berjalan 4 satuan ke barat, lalu belok ke selatan sejauh 6 satuan, dan belok lagi ke arah timur sejauh 3 satuan. Bisakah kalian membantu Nisa untuk mencari posisi keberadaannya? Pembagian zakat fitrah menurut QS. At-Taubah ayat 60, yang berhak menerima zakat fitra yaitu fakir, miskin, hamba sahaya, mualaf, orang yang terlilit hutang, amil, fiisabilillah, ibnu sabil. Panitia zakat fitrah ingin membagikan zakat fitrah di Desa Suka Makmur. Terpilih enam orang diantaranya A, B, C, D, E, F. Jika diilustrasikan pada bidang koordinat, letak rumah A (2,4), B (4,-4), C (2,-1), D (-5,-2), E (-2,1), F (-3,4). Gambarkan dan kelompokkan letak rumah orang yang diberi zakat fitrah berdasarkan kuadrannya. 1. 2. Diskusikan dengan kelompok belajarmu untuk menemukan solusi dari masalah di atas. Sejarah masuknya islam ke Indonesia memiliki dua jalur yaitu jalur utara dan jalur selatan. Menurut jalur selatan islam masuk berawal dari Arab, Yaman, Gujurat, Sri lanka dan Indonesia. Mari kita jelajahi menggunakan bidang koordinat yaitu bermula di Arab dengan titik koordinat (-5,5) kemudian berjalan menuju Timur sejauh 2 satuan dan ke selatan sejauh 5 satuan kita baru sampai di Yaman. Kemudian jalan lagi 3 satuan ke timur dan 4 satuan ke utara dimana kita telah sampai di Gujarat. Lanjut perjalanan menuju Sri Lanka dengan melewati 6 satuan ke selatan dan 2 satuan ke timur. Tujuan akhir indonesia dengan berjalan sejauh 3 satuan ke timur dan 3 satuan ke selatan. Berdasarkan rute perjalanan di atas, tentukan titik koordinat dari Yaman, Gujarat, Sri Lanka dan Indonesia. Jawab : Diketahui : Bermula di Arab dengan titik koordinat (-5,5) kemudian berjalan menuju Timur sejauh 2 satuan dan ke selatan sejauh 5 satuan kita baru sampai di Yaman. Kemudian jalan lagi 3 satuan ke timur dan 4 satuan ke utara dimana kita telah sampai di Gujarat. Lanjut perjalanan menuju Sri Lanka dengan melewati 6 satuan ke selatan dan 2 satuan ke timur. Tujuan akhir indonesia dengan berjalan sejauh 3 satuan ke timur dan 3 satuan ke selatan.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 13 Berdasarkan gambar di atas, diperoleh hasil sebagai berikut : Jadi, titik koordinat pada Yaman (-3,0), Gujarat (0,4), Sri Lanka (2,-2) dan Indonesia (5,-5). Keluarga Pak Nurwa sedang melakukan ibadah umrah di tahun ini. Dalam ibadah umrah adapun rukun umrah menurut mazhab Syafi'i yaitu ihram, tawaf umrah, sa'iy dan tahallul. Salah satu kegiatannya yaitu tawaf dengan mengelilingi ka'bah. Rute keluarga Pak Nurwa jika diilustrasikan pada bidang koordinat yaitu keluarga Pak Nurwa bergerak dari titik (2,-1) dengan mengikuti pola yaitu 4 satuan ke kiri dan 7 satuan ke bawah, 4 satuan ke kanan dan 7 satuan ke atas, dst. Gambarkan pola tersebut pada bidang kartesius dan tentukan koordinat keluarga Pak Nurwa setelah tawaf 7 kali. Ditanya : Titik koordinat dari Yaman, Gujarat, Sri Lanka dan Indonesia? Penyelesaian :
Tentukan titik pada bidang koordinat. Hubungkan titik-titik tersebut menjadi sebuah garis sehingga diperoleh suatu bangun datar. Melanjutkan materi selanjutnya, kalian akan mempelajari tentang posisi bangun datar pada bidang koordinat kartesius. Berikut cara menentukan posisi bangun datar pada bidang koordinat yaitu : 1. 2. Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 14 Kotak amal adalah sebuah wadah amal yang dikelola oleh lembaga amal. Di atas terdapat sebuah kotak amal bagian permukaannya diilustrasikan pada sebuah bidang koordinat dengan titik koordinat A (-2,1), B (4,1) dan C (4,-4). Agar membentuk permukaan kotak amal ABCD tentukan titik koordinat D! Jawab : Diketahui : Titik koordinat kotak amal A (-2,1), B (4,1) dan C (4,-4). Ditanya : Titik koordinat D? Penyelesaian : Agar permukaan kotak amal berbentuk persegi panjang, maka mencari titik D.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 15 Jadi, titik koordinat permukaan pada kotak amal tersebut adalah A (-2,1), B (4,1), C (4,-4), D (-2,-4) Ketupat merupakan makanan tradisional berbahan beras direbus di dalam anyaman janur yang menjadi menu istimewa saat lebaran. Tradisi ketupat disebarkan oleh Sunan Kalijaga yang mana menjadikan ketupat sebagai budaya dan fiosofi jawa berbaur dengan nilai keislaman. Bentuk ketupat seperti belah ketupat. Tugasmu ilustrasikan ketupat di samping pada bidang koordinat. Gambarlah belah ketupat dengan panjang diagonalnya 8 satuan dan 6 satuan. Koordinat titik perpotongan diagonal-diagonalnya (2,-2). Keraton Kesultanan Yogyakarta adalah istana dari Kesultanan Ngayogyakarta Hadiningrat yang didirikan oleh Sri Sultan Hamengkubuwono I di tahun 1755, setelah Kerajaan Mataram Islam terpecah menjadi dua. Dilihat dari atap Keraton Kesultanan Yogyakarta tersebut berbentuk trapesium PQRS. Gambarlah titik koordinat Keraton Kesultanan Yogyakarta PQRS pada bidang koordinat dan tentukan luas satuannya. 1.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 16 2. Analisislah gambar di atas kemudian carilah 3 makam bila ditarik garis akan membentuk bangun segitiga? Gambarlah pada bidang koordinat dengan titik sudut yang berbeda kemudian cari luas segitiga tersebut? Diskusikan dengan kelompok belajarmu untuk menemukan solusi dari masalah di atas. Dalam rangka menyambut hari santri, Kota Banyumas menyelenggarakan acara bersholawat yang diiringi oleh Tari Sufi. Tari Sufi berasal dari Negara Turki. Terdapat empat penari sufi, untuk mengatur posisi masing-masing penari, panitia acara membuat ilustrasi posisi jika A(-1,1), B(-3,3), C(-1,5), D(1,3). Dari keempat titik koordinat yang diketahui, seperti apa bentuk pola lantai dari empat penari sufi? Gambarkan dan tentukan luas satuan dari pola lantai tersebut! 1. Jawab : Diketahui : Titik Koordinat penari sufi : A(-1,1), B(-3,3), C(-1,5), D(1,3) Ditanya : Bentuk pola lantai dari empat penari sufi dan luas satuannya? Penyelesaian:
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 17 2. Sebuah piramida berdiri di atas tanah yang berbentuk persegi panjang. Piramida bangunan berbentu limas dan sisinya berbentuk segitiga merupakan bangunan Mesir Kuno yang dijadikan tempat makam raja-raja di masa lalu. Diketahui salah satu sisinya dengan koordinat titik sudut A(2,2), B(1,-2), dan C(-1,1). Hitunglah luas sisi piramida ABC? Jawab: Diketahui : titik koordinat A (2,2), B (1,-2) dan C (-1,1) Ditanya : Luas piramida ABC? Penyelesaian : Menentukan luas beberapa bangun yaitu luas persegi panjang, luas ΔCDB, luas ΔABE, luas ΔCAF, kemudian mencari luas ΔABC.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 18 Pak Budi akan mendirikan sebuah masjid, dia meminta arsitek untuk membuat rancangan masjid berbentuk belah ketupat tersebut menggunakan bidang koordinat kartesius, diketahui bahwa titik koordinat terletak di A(0,4), B(8,7), C(0,x), D(-8,7). a. Gambarlah dan tentukan nilai x jika diketahui luas satuan bangun tersebut adalah 48 satuan. b. Carilah bangun datar yang lain yang dapat dibentuk dari titik-titik tersebut dan tentukan luas satuannya. Sinta memiliki tiga bingkai untuk meletakkan kaligrafi. Tiga bingkai tersebut memiliki bentuk yang berbeda yaitu trapesium, persegi dan persegi panjang. Ketiga bingkai kaligrafi tersebut digambarkan dalam bidang koordinat kartesius dengan titik sudut pada bingkai trapesium yaitu titik A(-1,3), B(3,3), C(2,5) dan D(-1,5). Sedangkan bingkai kaligrafi yang berbentuk persegi salah satu titik sudutnya hilang hanya terlihat tiga titik sudut yaitu P(1,-1), Q(3,-1), dan R(3,1). Kemudian, bingkai yang berbentuk persegi panjang hanya dapat terlihat tiga titik sudut yaitu K(5,1), L(9,1) dan M(5,3). Berdasarkan informasi di atas, gambarlah titik sudut yang terlihat pada masing-masing bingkai kaligrafi ke dalam koordinat kartesius kemudian carilah titik sudut masing-masing bingkai dan tentukan luas daerah pada bingkai kaligrafi yang berbentuk trapesium. 1. 2.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 19 Positif, maka arahnya ke kanan (pada sumbu x) dan ke atas (pada sumbu y). Negatif, maka arahnya ke kiri (pada sumbu x) dan ke bawah (pada sumbu y). Setelah kalian mempelajari posisi titik dan posisi bangun datar pada bidang koordinat, sekarang akan mempelajari posisi titik pada titik asal (0,0) dan titik tertentu (a,b). Untuk menentukannya letak posisi titik tertentu, harus tentukan terlebih dahulu titik asalnya kemudian bergerak horizontal di sumbu x lalu bergerak vertikal di sumbu y dan hitunglah setiap satuan. Dapat dicari dengan cara lain yaitu ketika titik acuan sebuah titik A(a,b) terhadap B(p,q), maka untuk menentukan titik koordinat yang baru diperoleh dari (a-p, b-q) dengan ketentuan bahwa jika hasilnya: 1. 2. Contoh : Titik acuan pondok pesantren (2,4) terhadap masjid (4,2) maka untuk menentukan titik koordinat baru yaitu (a-p, b-q) = (2-4, 4-2) = (-2,2). Mari kita buktikan pada bidang koordinat, perhatikan gambar di bawah ini! Dari gambar di atas terlihat bahwa posisi pondok pesantren terhadap masjid yaitu (-2,2) dimana 2 ke kiri terhadap sumbu x dan 2 ke atas terhadap sumbu y.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 20 1.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 21 Gambar di atas merupakan letak masjid-masjid yang ada di sekitar Kantor Dewan Masjid Indonesia di Jakarta Timur yang diilustrasikan pada bidang koordinat. Carilah posisi Masjid Babussalam, Masjid Al-Mubarok, Masjid Darul Hakim, Masjid At-Taqwa terhadap Kantor Dewan Masjid Indonesia! Jawab : Diketahui : Kantor Dewan Masjid Indonesia (3,-2) Masjid Babussalam Masjid Al-Mubarok (-2,5) Masjid Darul Hakim (-5,2) Masjid At-Taqwa (-1,-4) Ditanya : Posisi Masjid Babussalam, Masjid Al-Mubarok, Masjid Darul Hakim, Masjid AtTaqwa terhadap Kantor Dewan Masjid Indonesia? Penyelesaian : Untuk menentukan dimana posisi Masjid Babussalam, Masjid Al-Mubarok, Masjid Darul Hakim, Masjid At-Taqwa terhadap Kantor Dewan Masjid Indonesia, kalian dapat melakukan prosedur berikut : Langkah 1 : Langkah 2 Langkah 3 Menentukan posisi Kantor Dewan Masjid Indonesia pada bidang koordinat yaitu (3, -2). Menjadikan Kantor Dewan Masjid Indonesia (3, -2) sebagai pusat untuk menentukan posisi Masjid Babussalam, Masjid Al-Mubarok, Masjid Darul Hakim, Masjid At-Taqwa. Menentukan koordinat (x,y) dari posisi Masjid Babussalam, Masjid Al-Mubarok, Masjid Darul Hakim, Masjid At-Taqwa terhadap koordinat Kantor Dewan Masjid Indonesia (3, -2). Kalian dapat membuat tanda panah berwarna, kemudian amati dengan mengurutkan warna dari tanda panah yang sama untuk menentukan satuan dari jarak Masjid Babussalam, Masjid Al-Mubarok, Masjid Darul Hakim, Masjid At-Taqwa.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 22 Berikut disajikan tabel dari posisi Masjid Babussalam, Masjid Al-Mubarok, Masjid Darul Hakim, Masjid At-Taqwa terhadap koordinat Kantor Dewan Masjid Indonesia. Jadi, Posisi Masjid Babussalam (2,5), Masjid Al-Mubarok (-5,7), Masjid Darul Hakim (-8,4), Masjid At-Taqwa (-4,-2) terhadap Kantor Dewan Masjid Indonesia (3,-2)
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 23 2. Dalam kegiatan ibadah haji dan umrah salah satu rukun wajibnya yaitu sa'iy. Sa'iy yaitu kegiatan berlari-lari kecil dari Bukit Shafa sampai Bukit Marwa sebanyak 7 kali. Dua bukit ini terletak di Masjidil Haram di Mekah, Arab Saudi. Berdasarkan gambar di samping gambarkan dua bukit tersebut pada bidang koordinat jika titik koordinat pada Bukit Shafa (-5,4) dan titik koordinat pada Bukit Marwa (2,-4) dan tentukan jarak Bukit Shafa terhadap Bukit Marwa. Jawab: Diketahui : Titik koordinat Bukit Shafa (-5,4) dan titik koordinat Bukit Marwa (2,-4) Ditanya : Gambarkan dan tentukan jarak Bukit Shafa terhadap Bukit Marwa? Penyelesaian: Gambarkan bidang koordinat dan tandai sesuai titik koordinat yang telah ditentukan kemudian carilah jaraknya. Setelah di gambar dan di analisis diperoleh titik koordinat yang baru mengenai Bukit Shafa terhadap Bukit Marwa yaitu (-7,8) dimana 7 ke kiri terhadap sumbu x dan 8 ke atas terhadap sumbu y.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 24 Banyak negara yang penduduknya menganut agama islam. Adapun lima diantaranya termasuk ke dalam kategori Negara Muslim terbesar yaitu Indonesia, Pakistan, India, Bangladesh, Nigeria. Ziza ingin menggambar lima negara islam terbesar pada bidang koordinat. Jika diketahui titik koordinat Indonesia (0,0), Pakistan Pakistan (-4,6), India (-3,2), Bangladesh (-2,3), dan Nigeria (-6,2). Tentukan koordinat Indonesia, Pakistan, India, Bangladesh terhadap Nigeria. Sebuah masjid akan dibangun dengan banyak pilar. Jika pada bidang koordinat digambarkan setiap pilar berjarak 4 satuan dari sumbu x dan 5 satuan dari sumbu y dan pilar yang menjadi acuannya adalah (2,2). Berapa banyak pilar yang ada dan sebutkan titik koordinat pada pilarpilar tersebut. Amad akan pergi ke masjid untuk melaksanakan ibadah solat jumat. Jika diilustrasikan menggunakan bidang koordinat, bermula amad berada di rumahnya (3,2) kemudian berjalan ke arah barat sejauh 6 satuan dan belok ke utara sejauh 3 satuan. Telah sampailah Amad di masjid. Dari ilustrasi tersebut tentukan titik koordinat masjid, dan tentukan jarak dari Rumah Amad sampai Masjid. 1. 2. Diskusikan dengan kelompok belajarmu untuk menemukan solusi dari masalah di atas.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 25 Setelah lulus SD, Rayhan diwajibkan untuk masuk pondok pesantren yang dekat rumahnya. Pondok pesantren itu adalah Pondok Pesantren Al-Kahfi Somalangu. Terlihat pada gambar 19, Tentukan posisi pondok pesantren terhadap rumah Rayhan dan jaraknya. Jawab : Diketahui : Titik koordinat rumah Rayhan (1,1) Titik koordinat Pondok Pesantren (7,7) Ditanya : Posisi pondok pesantren terhadap rumah Rayhan dan jaraknya? Penyelesaian:
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 26
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 27 a.Tentukan posisi masing-masing masjid terhadap rumah Tio! b. Jika Tio ingin melakukan solat jumat di masjid terdekat, tentukan jarak masjid-masjid tersebut terhadap rumah Tio dan masjid mana yang paling dekat dengan rumah Tio? Pada subbab kali ini, kita akan mempelajari posisi garis terhadap sumbu X dan sumbu Y pada bidang koordinat kartesius. Posisi garis merupakan letak garis pada bidang koordinat kartesius. Posisi garis pada bidang koordinat kartesius dapat dilihat berdasarkan posisi garis terhadap sumbu x dan sumbu y. Dalam bidang kartesius ditinjau dari sumbu X dan sumbu Y posisi garis ada beberapa macam yaitu : a. Garis berpotongan antara sumbu x dan sumbu y b. Garis tegak lurus dengan sumbu x dan sumbu y c. Garis yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y Perhatikan gambar 22 berikut ini
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 28 Amatilah gambar di atas, menurut kalian gambar sejadah di atas mana yang memiliki pola garis sejajar, garis tegak lurus dan garis yang berpotongan. Yaa, betul sekali pada sajadah (a) memiliki pola garis yang berpotongan, sajadah (b) memiliki pola garis yang sejajar, dan sajadah (c) memiliki pola garis yang tegak lurus. Mari kita jabarkan. Berikut, kalian dapat mengamati sajadah tersebut di ilustrasikan pada bidang koordinat. Dari ilustrasi di samping terlihat bahwa sajadah (a) memiliki pola garis yang saling berpotongan. Dikatakan garis berpotongan yaitu ketika dua garis tersebut terlatk pada satu bidang datar dan berpotongan di salah satu titiknya. Hal ini dapat dibuktikan dengan garis n1 dan garis n2 saling berpotongan. Dari ilustrasi di samping terlihat bahwa sajadah (b) memiliki pola garis yang saling sejajar. Dikatakan garis sejajar yaitu ketika dua garis atau lebih berada pada bidangyang sama dan tidak berpotongan satu sama lain. Biasanya garis yang saling sejajar dinotasikan dengan simbol “//”. Hal ini dapat dibuktikan dengan garis p1 dan garis p2 saling sejajar dan tidak membentuk potongan. Dari ilustrasi di samping terlihat bahwa sajadah (c) memiliki pola garis yang tegak lurus. Dikatakan garis tegak lurus yaitu kedudukan garis yang berpotongan dan pada titik potongnya terbentuk sudut siku-siku (90°). Biasanya garis yang saling sejajar dinotasikan dengan simbol "⊥". Hal ini dapat dibuktikan dengan garis t1 dan garis t2 adalah tegak lurus.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 29 Perhatikan garis k, garis l, dan garis m pada koordinat kartesius di bawah ini terhadap sumbu x dan sumbu y Setelah kalian mengetahui bentuk-bentuk garis seperti garis saling sejajar, tegak lurus, dan berpotongan pada sumbu x dan sumbu y. Selanjutnya sesuai gambar di atas, tentukan posisi koordinat yang dilalui titik titik tersebut, lihat pada ilustrasi berikut.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 30 Sesuai ilustrasi gambar untuk menentukan titik-titik yang dilewati oleh garis k, l, dan m, mari kita amati dan menentukan titik koordinat yang dilalui oleh garis k, l, dan m. Sebuah atap Masjid Agung berbentuk segitiga, jika diilustrasikan pada bidang koordinat diketahui bahwa titik A (3,2), B(3,-6), dan C (-5,2). Bagaimana kedudukan garis terhadap sumbu x dan sumbu y jika melalui titik A dan B, titik A dan C, titik B dan C. Sebuah piramida salah satu sisinya di gambarkan pada bidang koordinat. Diketahui titik A (3,-3), B (-4,6) dan C (5,6). Tentukan : a. Jika dibuat garis yang melalui titik A dan B, bagaimana kedudukan garis tersebut terhadap sumbu x dan sumbu y. b. Jika dibuat garis yang melalui titik A dan C, bagaimana kedudukan garis tersebut terhadap sumbu x dan sumbu y. c. Jika dibuat garis yang melalui titik B dan C, bagaimana kedudukan garis tersebut terhadap sumbu x dan sumbu y. Diskusikan dengan kelompok belajarmu untuk menemukan solusi dari masalah di atas.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 31 Pada sebuah desa terdapat pembangunan jalan. Setelah jalan selesai dibuat kemudian diresmikan menjadi jalan Suci. Jika diilustrasikan pada bidang koordinat kartesius, jalan tersebut dibangun pada titik koordinat A (3,5) dan B (3,-4). Bagaimana kedudukan jalan tersebut pada sumbu x dan sumbu y? 1. Dari gambar di samping, terlihat bahwa jalan yang melalui titik A(3,5) dan B (3,-4) memiliki kedudukan yang tegak lurus terhadap sumbu x dan sejajar terhadap sumbu y. Jadi, jalan suci adalah jalan yang tegak lurus terhadap sumbu x dan sejajar terhadap sumbu y. Jawab: Diketahui : Jalan Suci dengan titik koordinat : A(3,5) dan B (3,-4) Ditanya: Kedudukan jalan tersebut pada sumbu x dan sumbu y? Penyelesaian: Anton seorang arsitek. Dia mendapat tugas untuk membuat desain TPQ. Rencananya TPQ tersebut ingin dibangun dengan tiga jalan yang dapat dilalui. Jika diilustrasikan pada bidang koordinat, dimana TPQ tersebut berada di titik A(-1,3) dan tiga jalan yang akan dibangun tidak boleh sejajar dengan sumbu y dan tidak boleh sejajar dengan sumbu x. Gambarkan dan buatkan tiga jalan (garis k) yang melalui titik A(-1,3) yang tidak sejajar dengan sumbu y dan tidak sejajar dengan sumbu x. Jawab: Diketahui: TPQ (titik A) = (-1,3) dengan tiga jalan yang melalui tidak boleh sejajar dengan sumbu y dan tidak boleh sejajar dengan sumbu x. Ditanya: Gambar dan buatkan tiga jalan (garis k) yang melalui titik A(-1,3) yang tidak sejajar dengan sumbu y dan tidak sejajar dengan sumbu x? Penyelesaian: Gambarkan titik A (-1,3) kemudian buatlah garis k yang melalui titik tersebut yang tidak sejajar dengan sumbu y dan sumbu x. 2.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 32 Adapun syarat garis k yang tidak sejajar dengan sumbu y dan sumbu x yaitu garis tidak tegak lurus baik terhadap sumbu x dan sumbu y. Jadi, dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa garis k1, k2, k3 adalah garis yang melalui titik A(-1,3) yang tidak sejajar dengan sumbu y dan tidak sejajar dengan sumbu x. Pada suatu kampung islam memiliki beberapa gang diantaranya gang syahadat, gang salat, gang puasa, gang zakat, dan gang haji. Diketahui bahwa garis KL adalah gang syahadat, garis MN adalah gang salat, garis OP adalah gang puasa, garis QR adalah gang zakat dan ST adalah gang haji dan masing-masing titik saling berhubungan. a. Gambarkanlah kampung islam tersebut pada bidang kartesius dan tentukan posisi garis yang sejajar dan garis yang tegak lurus terhadap sumbu x serta posisi garis yang memotong sumbu x dan sumbu y. b. Tentukan kuadran masing-masing titik koordinatnya. 1. 2. Sebuah masjid sedang direnovasi. Budi sedang memilih keramik yang akan digunakan untuk lantai masjid tersebut. Keramik yang ingin dipilih budi jika digambarkan pada bidang koordinat yaitu terdapat 4 titik yang berjarak sama terhadap titik A(-4,3). Menurut kalian keramik tersebut berbentuk apa? Carilah posisi garis jika masing-masing titik dihubungkan.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 33 Membuat tabel nilai fungsi Menentukan himpunan pasangan berurutan Menggambar himpunan pasangan berurutan pada bidang koordinat kartesius dengan y = f(x) Setelah kalian mempelajari banyak sub bab mengenai berbagai posisi pada bidang koordinat kartesius. Sekarang, kita akan mempelajari cara membuat grafik fungsi. Grafik fungsi adalah suatu fungsi dari satu himpunan ke himpunan lain yang dinyatakan dalam bentuk grafik. Untuk menyatakan suatu fungsi dalam bentuk grafik, ada beberapa langkah yaitu : 1. 2. 3. Berdasarkan grafik di samping tentukan rumus fungsinya! Anna tinggal di Tuban. Dia ingin mengunjungi Makam Sunan Bonang. Sunan Bonang atau Raden Maulana Makdum Ibrahim merupakan putra Sunan Ampel. Sunan Bonang wafat pada tahun 1525 M dan di makamkan di Tuban. Jika Anna naik grab sejauh 20 km, berapa tarif yang harus dia bayar? 1.
Diketahui himpunan A = {x| -4 < x < 4, x merupakan anggota bilangan bulat} dan B = {bilangan bulat}. Relasi dari A dan B dinyatakan dengan x 4x+3. a. Nyatakan domain f dengan menyebutkan anggota-anggotanya. b. Buatlah tabel nilai fungsi tersebut. c. Gambarkan grafik fungsi f pada bidang koordinat kartesius. d. Gambarkan grafik fungsi f dengan domain bilangan rasional. Suatu fungsi f : x 2x – 1 memiliki daerah asal x adalah {jumlah huruf iqlab, jumlah huruf idgham bilaghunnah, jumlah huruf idham bighunah, jumlah huruf idzhar}. a. Buatlah tabel untuk fungsi f. b. Gambarlah grafik fungsinya pada bidang koordinat kartesius. Jawab : Diketahui : f : x 2x – 1 Himpunan x = {jumlah huruf iqlab, jumlah huruf idgham bilaghunnah, jumlah huruf idham bighunah, jumlah huruf huruf idzhar} yaitu x ={1, 2, 4, 6} Ditanya : a. Buatlah tabel untuk fungsi f b. Gambarlah grafik fungsinya pada bidang koordinat kartesius. Penyelesaian : Tentukan terlebih dahulu himpunan x kemudian buatlah tabel berdasarkan rumus fungsi dan gambar grafiknya. a. Rumus fungsi f : x 2x – 1 Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 34 2. Diskusikan dengan kelompok belajarmu untuk menemukan solusi dari masalah di atas.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 35 b. Gambar grafik Jadi, titik himpunan pada f : x x + 1 yaitu (1,1), (2,3), (4,7), (6,11) Fungsi f : x x + 3 memiliki domain yaitu { jumlah ayat surat An-Nashr, jumlah ayat surat Al-Ikhlas, jumlah ayat surat Al-Falaq, jumlah ayat surat An-Nas} a. Tulislah daerah asal (domain) dari f. b. Buatlah tabel untuk fungsi f. c. Gambarlah grafik fungsinya pada bidang koordinat kartesius.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 36 Sistem koordinat kartesius dibentuk oleh dua garis yang berpotongan tegak lurus yaitu garis mendatar (horizontal) dan garis tegak (vertikal). Biasanya garis horizontal bersumbu x disebut absis dan garis vertikal bersumbu y disebut ordinat ditulis dengan (x,y). Sedangkan titik potongnya adalah titik asal yang dinyatakan sebagai titik nol. Bidang Kartesius di bagi menjadi empat kuadran yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, kuadran IV. Cara menentukan posisi bangun datar yaitu tentukan titik pada bidang koordinat dan hubungkan hingga diperoleh suatu bangun datar. Cara menetukan letak posisi tertentu terhadap suatu titik maka tentukan dahulu titik asalnya kemudian bergerak secara horizontal di sumbu x lalu bergerak vertikal di sumbu y dan hitunglah setiap satuannya. Posisi garis terhadap sumbu x dan sumbu y terdapat tiga macam yaitu garis berpotongan, garis sejajar, dan garis tegak lurus. Cara menyatakan suatu fungsi dalam bentuk grafik terdapat beberapa langkah yaitu: membuat tabel nilai fungsi, menentukan himpunan pasangan berurutan dan menggambar himpunan pasangan pada bidang koordinat kartesius. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 37 1. Seorang musafir ingin mengunjungi makam Sunan Kalijaga. Dia berasal dari Kalimantan Timur. Jika diilustrasikan pada bidang koordinat maka diketahui dia bermula di titik A ( 5,5) menuju ke selatan 4 satuan dan ke barat 2 satuan tiba di Palangkaraya. Kemudian melanjutkan ke arah barat 4 satuan dan berhenti untuk transit di Kota Semarang. Dia melanjutkan perjalanan dan akan tiba ke Makam Sunan Kalijaga di Demak jika berjalan ke arah selatan 3 satuan. a. Gambarlah pada bidang koordinat dan cari titik koordinat Kalimatan Timur, Palangkaraya, Kota Semarang dan Makam Sunan Kalijaga. b. Bila masing-masing titik ditarik garis, apakah ada yang membentuk garis sejajar, garis tegak lurus, dan garis berpotongan? Jika ada sebutkan dan jelaskan. c. Jika titik koordinat dari Kalimantan Timur, Palangkaraya, dan Kota Semarang dihubungkan akan membentuk bangun apa? Dan tentukan luas satuannya. 2. Haji tinggal di desa Rukun Islam. Dia memiliki 4 tetangga. Jika diilustrasikan pada bidang koordinat diketahui bahwa Rumah Haji berada di titik (-3,3) sedangkan tetangganya yaitu Rumah Syahadat berada di titik (5,3), Rumah Shalat berada di titik (5,1), Rumah Puasa berada di titik (-1,-2), Rumah Zakat berada di titik (2,-1). a. Tentukan titik koordinat yang berada di kuadran 1. b. Tentutkan koordinat pada Rumah Haji, Rumah Syahadat, Rumah Shalat, Rumah Puasa terhadap Rumah Zakat. 3. Tentukan rumus fungsi yang sesuai dengan grafik di samping.
Sistem Koordinat Kartesius | kelas VIII 38 Daftar Pusataka Baroroh, U. 2020. Modul Koordinat Kartesius Pendekatan Ethnomathematics. Surakarta: Universitas Sebelas Maret. Ghani, I.M. 2021. Koordinat Kartesius-Materi Matematika Kelas 8. Diakses pada 26 Januari 2023 melalui https://www.zenius.net/blog/koordinat-kartesius-matematika-kelas-8 Hamidi, L. dkk. Modul Baca Tulis A-Quran (BTA) & Pengetahuan dan Pengalaman Ibadah (PPI). Purwokerto: Ma'had Al Jami'ah IAIN Purwokerto. Rahman, A. dkk. 2017. Matematika. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. Salamah, U. 2015. Berlogika Dengan Matematika 2. Solo: Platinum.