Modul Pembelajaran Kendiri Nota yang menarik Anon MODUL FunGraf GRAF FUNGSI Sekolah Menengah Contoh yang pelbagai Latihan tambahan
Graf Fungsi Graf Fungsi Linear Graf Fungsi Bukan Linear Isi Kandungan 03 02 01 • Graf Fungsi Kubik • Graf Fungsi Salingan • Graf Fungsi Kuadratik
Graf Fungsi 01 You can enter a subtitle here if you need it
Apakah Fungsi? Fungsi ialah hubungan yang mana setiap objek dalam domain (input) hanya mempunyai satu imej dalam kodomain (output) SET X SET Y Domain dan Kodomain 1 9 16 3 4 1 10 Gambar rajah menunjukkan perwakilan fungsi, yang memetakan kepada yang ditulis sebagai Domain adalah SET X = Kodomain adalah SET Y = Julat adalah HASIL SET Y = 1, 2, 3 ialah objek 4, 6, 8, 10 ialah imej Dalam hubungan di atas: 4, 6 dan 8 masing-masing imej bagi 1, 2 dan 3 1,2 dan 3 masing-masing objek bagi 4, 6 dan 8 ▪ Dalam hubungan antara satu set dengan set yang lain, set pertama dikenali sebagai domain dan set kedua dikenali sebagai kodomain. ▪ Unsur-unsur dalam domain dinamakan objek, manakala unsur-unsur dalam kodomain dipadankan dengan objek dinamakan imej. ▪ Unsur-unsur dalam kodomain tidak dipadankan dengan objek adalah bukan imejnya. ▪ Semua imej dalam kodomain boleh ditulis sebagai satu set dinamakan julat. Rujukan:
Jenis Hubungan Satu kepada satu Banyak kepada satu Satu kepada banyak Banyak kepada banyak #KATA KUNCI: Output hanya ada SATU untuk tentukan fungsi 1 2 3 6 SET P SET Q ❑ Hubungan yang mana satu input dalam domain menghasilkan SATU output. Tikus Ayam Kucing Omnivor Tabiat makanan haiwan ❑ Hubungan yang mana lebih dari satu input dihubungkan dengan SATU output. #KATA KUNCI: Output yang BANYAK, maka bukan fungsi June Warna kegemaran Rose Biru Putih Ungu ❑ Hubungan yang mana satu input mempunyai BANYAK output. June Rose Matematik Sains Akaun Subjek kegemaran May ❑ Hubungan yang mana sekurangkurang satu input mempunyai BANYAK output. f: darab 3 Jenis hubungan yang menghasilkan fungsi ialah: Jenis hubungan yang bukan fungsi ialah: ➢ Hubungan Fungsi ➢ Hubungan Bukan Fungsi
Contoh 1: Berdasarkan gambar rajah dibawah, nyatakan jenis hubungan dan adakah ianya fungsi? Raju Ameng Aiman Bas Jenis kenderaan ke sekolah Kereta Basikal Jenis hubungan: Banyak kepada satu Adakah hubungan tersebut adalah fungsi? Berikan alasan anda. Ya, hubungan di atas adalah fungsi kerana satu input menghasilkan satu output iaitu murid menggunakan satu jenis kenderaan ke sekolah iaitu kereta. DOMAIN KODOMAIN OBJEK IMEJ JULAT Contoh 2: Kumar Shah Siti Nasi Lemak Makanan kegemaran Roti Canai Sup DOMAIN KODOMAIN OBJEK IMEJ JULAT Soto Jenis hubungan: Satu kepada banyak Adakah hubungan tersebut adalah fungsi? Berikan alasan anda. Tidak. Hubungan tersebut bukan fungsi kerana satu input menghasilkan banyak output. Berdasarkan gambar rajah dibawah, nyatakan jenis hubungan dan adakah ianya fungsi?
y = x + 4 f(x) = x + 4 Perwakilan Fungsi Graf Jadual Pasangan Tertib Persamaan Imej X 1 2 3 Y 4 5 6 Contoh 3: a) Graf b) Jadual c) Pasangan tertib d) Persamaan
Graf Fungsi Graf fungsi ialah perwakilan fungsi pada satah Cartes. Melalui graf, kita dapat menjelaskan hubungan antara pemboleh ubah dalam fungsi tersebut. Satah Cartes: ❑ Sistem Cartes digunakan untuk menentukan kedudukan suatu titik pada satah Cartes. ❑ Suatu satah Cartes terdiri daripada dua garis nombor yang bersilang pada sudut tegak. ❑ Titik persilangan antara paksix dan paksiy dinamakan asalan (0,0). Rujukan: ❑ Paksi-x juga dikenali sebagai paksi mengufuk. ❑ Paksi-y juga dikenali sebagai paksi mencancang. ➢ Melukis Graf Fungsi Membina jadual nilai Lukis setiap paksi dengan skala yang diberikan atau dengan skala yang sesuai Plotkin titik (x,y) daripada jadual nilai Sambungkan titik-titik itu dengan garis lurus atau lengkung yang licin X 1 2 3 Y 4 5 6
Contoh 4: ➢ Membina jadual nilai Bina satu jadual nilai bagi fungsi y = x + 3, bagi nilai x = 0, 1, 4, 6. Penyelesaian: Apabila x = 0 y = x + 0 y = 0 + 3 y = 3 Apabila x = 1 y = x + 0 y = 1 + 3 y = 4 Apabila x = 4 y = x + 3 y = 4 + 3 y = 7 Apabila x = 6 y = x + 3 y = 6 + 3 y = 9 Maka, jadual nilai bagi fungsi y = x + 3 ialah X 0 1 4 6 Y 3 4 7 9 Contoh 5: Bina satu jadual nilai bagi fungsi = − , bagi nilai = −, , Cara menggunakan kalkulator: Untuk = − Tekan 2 ALPHA ) ^ 2 - 4 Bagi nilai x = -2, tekan CALC -2 = Bagi nilai x = 0, tekan CALC 0 = Bagi nilai x = 6, tekan CALC 6 = Penyelesaian: Apabila = −2 = 2 2 − 4 = 2(−2) 2−4 = 4 Apabila = 0 = 2 2 − 4 = 2(0) 2−4 = −4 Apabila = 6 = 2 2 − 4 = 2(6) 2−4 = 68 Maka, jadual nilai bagi fungsi = 2 2 − 4 ialah X -2 0 6 Y 4 -4 68
Contoh 6: Bina satu jadual nilai bagi fungsi = − , bagi nilai = −2, −1, 0, 2 Lihat Contoh 5 untuk cara menggunakan kalkulator. Tukar kepada Kerana x berkuasa 3. ^ 2 ^ 3 Apabila = −2 = 3 − 1 = (−2) 3−1 = −9 Apabila = −1 = 3 − 1 = (−1) 3−1 = −2 Apabila = 0 = 3 − 1 = (0) 3−1 = −1 Apabila = 2 = 3 − 1 = (2) 3−1 = 7 Maka, jadual nilai bagi fungsi = 3 − 1 ialah X -2 -1 0 Y 9 -2 -1 2 7 Penyelesaian: Contoh 7: Bina satu jadual nilai bagi fungsi = , bagi nilai = −1, 1, 3 Untuk = Tekan 1 ALPHA ) Bagi nilai x = -1, tekan CALC -1 = Bagi nilai x = 1, tekan CALC 1 = Bagi nilai x = 3, tekan CALC 6 = Cara menggunakan kalkulator: Penyelesaian: Apabila = 3 = = Apabila = 1 = = = 1 Apabila = −1 = − = − = −1 Maka, jadual nilai bagi fungsi = ialah X -1 1 3 Y -1 1
➢ Melukis graf fungsi Contoh 8:
Jenis Graf Fungsi Linear Bukan Linear Graf Fungsi Linear Graf Fungsi Kuadratik Graf Fungsi Kubik Graf Fungsi Salingan = + = 2 + + = 3 + + = −1 = Contoh Graf Fungsi Linear atau
Contoh Graf Fungsi Kuadratik Contoh Graf Fungsi Kubik Contoh Graf Fungsi Kubik
Graf Fungsi Linear 02
Fungsi Linear ➢ Apakah fungsi linear? Fungsi linear ialah fungsi yang mempunyai kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah, x adalah 1. = + Persamaan umum bagi fungsi linear
Graf Fungsi Bukan Linear 03 = 2 + + = 3 + + = −1 = atau Graf Fungsi Kuadratik Graf Fungsi Kubik Graf Fungsi Salingan
Fungsi Kubik ➢ Apakah fungsi kubik? Fungsi linear ialah fungsi yang mempunyai kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah, x adalah 1. = + Persamaan umum bagi fungsi linear
Fungsi Salingan ➢ Apakah fungsi salingan? Fungsi linear ialah fungsi yang mempunyai kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah, x adalah 1. = + Persamaan umum bagi fungsi linear
Fungsi Kuadratik ➢ Mengenal ungkapan kuadratik satu pemboleh ubah Ungkapan kuadratik ialah ungkapan yang kuasa tertinggi pemboleh ubahnya ialah dua 2 + + Bentuk am suatu ungkapan kuadratik a, b, dan c ialah pemalar ( ≠ 0) ialah pemboleh ubah Huruf boleh diganti dengan abjad lain sebagai pemboleh ubah. 2 2 + 3 + 1 2 + 10 − 2 − 3 + 6 1 2 2 − + 4 • Setiap ungkapan, kuasa tertinggi ialah dua. • Terdiri daripada satu pemboleh ubah sahaja. Ungkapan Kuadratik Bukan Ungkapan Kuadratik • Mempunyai kuasa tertinggi pemboleh ubah tiga atau lebih. • Terdapat dua pemboleh ubah dalam ungkapan kuadratik. • Mempunyai kuasa yang bukan nombor bulat. 3 + 10 −4 2 − + 1 22 + 1 2 2 − 1 2 1 2 = −2 1 2 = ialah pekali 2 ialah pekali ialah pemalar
Contoh xx: Tentukan sama ada setiap ungkapan ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dan nyatakan nilai , dan . Ungkapan Kuadratik Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah atau tidak? Nilai , dan 2 + 2 + 1 Ya. = 1, = 2, = 1 1 2 2 − + 10 Ya. = 1 2 , = −1, = 10 2 − 4 Ya. = 1, = 0, = 4 ( + 3) Ya. + 3 = 2 + 3 = 1, = 3, = 0 33 − Bukan. Kuasa tertinggi ialah 3. - 3 2 − 2 3 + 4 Bukan. Terdapat dua pemboleh ubah dalam ungkapan kuadratik - 2 + 2 −2 Bukan. Kuasanya bukan nombor bulat. - − 1 2 + 2 + 1 Bukan. Kuasanya bukan nombor bulat. -
➢ Fungsi kuadratik dan hubungan banyak kepada satu 2 + + = Fungsi kuadratik 2 + + Ungkapan kuadratik Contoh hubungan banyak kepada satu Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik = 2 + − 2 Imej Objek Berdasarkan graf fungsi kuadratik di atas, bagi nilai = 0 dan = −1 mempunyai satu imej sahaja iaitu = −2 -1 0 Objek Imej Bagi nilai = 1 dan = −2 mempunyai satu imej sahaja iaitu = 0 -2 Semua fungsi kuadratik mempunyai imej yang sama daripada dua objek berbeza MAKA, fungsi kuadratik mempunyai jenis hubungan banyak kepada satu 0 1 -1 -2 0 Pada Satah Cartes, fungsi () = 2 + − 2 () -2
➢ Ciri-ciri fungsi kuadratik BENTUK GRAF FUNGSI KUADRATIK (Bentuk Parabola) • Terdapat dua bentuk graf sahaja, • Nilai a menentukan bentuk graf TITIK MAKSIMUM, TITIK MINIMUM, dan PAKSI SIMETRI • Titik maksimum diperolehi apabila a < 0 • Titik minimum diperolehi apabila a > 0 • Paksi simetri ialah garis lurus selari dengan paksi-y dan melalui titik maksimum/titik minimum ( h , k ) Paksi simetri x = h Titik minimum (h, k) Paksi simetri x = m ( m , n ) Titik maksimum (m, n)
Contoh xx: Tentukan bentuk graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut.
Contoh xx: Bagi setiap bentuk graf fungsi dibawah, nyatakan julat nilai a dan nyatakan sama ada graf mempunyai titik maksimum atau titik minumm.
Contoh xx: Tentukan titik maksimum atau titik minimum dan paksi simetri bagi setiap graf fungsi kuadratik dibawah.
➢ Kesan perubahan nilai a, b dan c terhadap graf fungsi kuadratik, = 2 + + KESAN PERUBAHAN NILAI a • Lebar bentuk parabola berubah menigkut nilai a. • Semakin kecil nilai a, semakin lebar lengkok graf fungsi kuadratik dan sebaliknya. Kes 1: Nilai a > 0 Kes 2: Nilai a < 0 KESAN PERUBAHAN NILAI b Kes 1: Nilai a > 0 Jika a > 0: • b > 0, paksi simetri di sebelah kiri paksi-y • b < 0, paksi simetri sebelah kanan paksi-y • b = 0, paksi simetri ialah paksi-y • Perubahan kedudukan paksi simetri adalah mengikut nilai b
Kes 2: Nilai a < 0 Jika a < 0: • b > 0, paksi simetri di sebelah kanan paksi-y • b < 0, paksi simetri sebelah kiri paksi-y • b = 0, paksi simetri ialah paksi-y KESAN PERUBAHAN NILAI c • Perubahan kedudukan pintasan-y mengikut nilai c Kes 1: Nilai a > 0 Kes 2: Nilai a < 0 Nilai c ialah pintasan-y bagi graf fungsi kuadratik = 2 + +
Contoh xx: Tentukan titik maksimum atau titik minimum dan paksi simetri bagi setiap graf fungsi kuadratik dibawah.
➢ Membentuk persamaan kuadratik berdasarkan suatu situasi. Sarah membeli 3 air tembikai untuk rakanrakannya. Kemudian dia membeli roti canai bernilai RM 6.00. Jumlah keseluruhan perbelanjaan Sarah ialah RM 32.00. Berapakah harga satu air tembikai tersebut? Situasi ini boleh diwakilkan pada satu fungsi kuadratik untuk mendapatkan jawapan. Harga air tembikai = RM x Harga roti canai = RM 6.00 Jumlah perbelanjaan = RM32.00 Berdasarkan maklumat tersebut, persamaan kuadratik dibentuk ialah 3 + 6 = 32 Contoh xx: Harga bagi satu kilogram durian ialah RM 30. Ali ingin membeli 5 kilogram durian dengan membayar RM 200 kepada penjual. Bentuk satu persamaan kuadratik bagi baki wang Ali? Penyelesaian: Ali ingin membeli 5kilogram durian = 5 x RM 30 Jumlah bayaran Ali = RM200 Baki wang Ali = RM y Berdasarkan maklumat tersebut, persamaan kuadratik dibentuk ialah 200 − 5(30) =
Contoh xx: Rajah menunjukkan satu bentuk kuboid dengan panjang (2x cm), lebar (15 cm) dan tinggi (x cm) a) Bentuk satu fungsi kuadratik, bagi isipadu, 3 , kuboid tersebut. b) Diberi bahawa isipadu kuboid tersebut ialah 80 3 , tulis satu persamaan kuadratik dalam sebutan x. 2 ( + 2) 15 Penyelesaian: a) Isipadu kuboid, = Panjang × Lebar × Tinggi = 2 × 15 × ( + 2 ) 3 = 2 + 2 15 = 2 2 + 4 15 = 30 2 + 60 b) 30 2 + 60 = 80 3 30 2 + 60 − 80 = 0 Contoh xx: Aik Cheong ingin memagar sebidang tanah dengan panjang + 10 dan lebar + 5 . Bentuk satu fungsi kuadratik, bagi luas, 2 , tanah tersebut. Kemudian tulis satu persamaan kuadratik dalam sebutan sekiranya luas tanah ialah 300 2 . Penyelesaian: Fungsi kuadratik bagi luas tanah, Persamaan kuadratik bagi luas tanah,
Contoh xx: Jun berumur 6 tahun lebih muda daripada abangnya. Hasil darab umur Jun dengan abangnya adalah sama dengan umur bapanya. Diberi umur bapanya ialah 56 tahun dan umur abangnya ialah x tahun. Tulis satu persamaan kuadratik dalam sebutan x. Penyelesaian: Umur abangnya, x tahun Umur Jun, 6 tahun lebih muda daripada abangnya = − 6 Umur bapanya, 56 tahun Persamaan kuadarik dalam sebutan x, − 6 = 56 2 − 6 = 56 2 − 6 − 56 = 0 Contoh xx: Jarak rumah Sarah dari sekolah ialah
➢ Punca suatu persamaan kuadratik Punca bagi persamaan kuadratik ialah nilai pemboleh ubah yang memuaskan persamaan tersebut. ● Terdapat satu atau dua nilai pemboleh ubah yang memuaskan suatu persamaan kuadratik Memuaskan persamaan bermaksud penyelesaian bagi persamaan tersebut. Perkaitan antara punca suatu persamaan kuadratik dengan kedudukan punca-punca tersebut. Punca bagi suatu persamaan kuadratik 2 + + = 0 merupakan titik persilangan antara graf fungsi kuadratik = 2 + + berkenaan dengan paksi- dan juga dikenali sebagai pintasan-. > 0 < 0 1 dan 2 adalah punca
Contoh xx: Bagi graf fungsi kuadratik di bawah, tandakan dan nyatakan punca bagi persamaan kuadratik yang diberikan a) − 2 − 18 + 175 = 0 b) 2 − 3 − 180 = 0 c) 2 − 4 + 2 = 0 d) −2 2 + + 8 = 0
Penyelesaian: Punca ialah -25 dan 6 Punca ialah -11 dan 15 a) − 2 − 18 + 175 = 0 b) 2 − 3 − 180 = 0 c) 2 − 4 + 2 = 0 d) −2 2 + + 8 = 0 Punca ialah 0.6 dan 3.4 Punca ialah −1.7 dan 2.2
Contoh xx: Tentukan sama ada setiap nilai berikut merupakan punca bagi persamaan kuadratik yang diberikan atau bukan. a) − 2 − 18 + 175 = 0; = −2, = 7 b) 2 − 3 + 2 = 0; = 1, = 1 2 c) 2 + 5 + 3 = −3; = −2, = −1 d) 6 2 − 17 + 14 = 2; = = 3 2 , = − 1 2 e) 2 − 8 + 10 = −5; = 4, = 5 f) −32 + 6 = 0; = 2, = 5 Penyelesaian: a) − 2 − 18 + 175 = 0; = −2, = 7 Apabila = −2 Kiri: = −4 + 36 + 175 − 2 − 18 + 175 = − −2 2 − 18 −2 + 175 = 207 Kanan: 0 Nilai kiri dan kanan persamaan tidak sama. Maka, nilai pemboleh ubah tidak memuaskan persamaan kuadratik tersebut Maka, = −2 bukan punca bagi persamaan − 2 − 18 + 175 = 0 Apabila = 7 Kiri: − 2 − 18 + 175 = − 7 2 − 18 7 + 175 = −49 − 126 + 175 = 0 Kanan: 0 Nilai kiri dan kanan persamaan sama. Maka, nilai pemboleh ubah memuaskan persamaan kuadratik tersebut Maka, = 7 ialah punca bagi persamaan − 2 − 18 + 175 = 0
Penyelesaian: b) 2 − 3 + 2 = 0; = 1, = 1 2 Apabila = 1 Kiri: 2 − 3 + 2 = 1 2 − 3 1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0 Kanan: 0 Maka, = 1 ialah punca bagi persamaan 2 − 3 + 2 = 0 SEMAK JAWAPAN 2 − 3 + 2 = 1 2 2 − 3 1 2 + 2 = 1 4 − 3 2 + 2 Kanan: 0 Maka, = 1 2 bukan punca bagi persamaan 2 − 3 + 2 = 0 = 3 4 Apabila = 1 2 Kiri: c) 2 + 5 + 3 = −3; = −2, = −1 Apabila = −2 Kiri: 2 + 5 + 3 = (−2) 2+5 −2 + 3 = 4 − 10 + 3 = −3 Kanan: −3 Maka, = −2 ialah punca bagi persamaan 2 + 5 + 3 = −3 Apabila = −1 Kiri: 2 + 5 + 3 = (−1) 2+5 −1 + 3 = −1 Kanan: −3 Maka, = −1 bukan punca bagi persamaan 2 + 5 + 3 = −3
Penyelesaian: d) 6 2 − 17 + 14 = 2; = = 3 2 , = − 1 2 e) 2 − 8 + 10 = −5; = 4, = 5 f) −32 + 6 = 0; = 2, = 5
➢ Menentukan punca suatu persamaan kuadratik menggunakan kaedah pemfaktoran dan kaedah graf
➢ Melakar graf fungsi kuadratik
➢ Menyelesaikan masalah melibatkan persamaan kuadratik
Percentages overview Mercury is the closest planet to the Sun and the smallest one. This planet's name has nothing to do with the liquid metal, since Mercury was named after the Roman messenger god. Mercury 25% Venus has a nice name, and is the second planet from the Sun. It’s even hotter than Mercury. Its atmosphere is extremely poisonous, and it’s the second-brightest natural object. Venus 75% Mercury is the closest planet to the Sun Point 1 Venus is the second planet from the Sun Point 2 Mars is the fourth planet from the Sun Point 3 Neptune is the farthest planet from the Sun Point 4 2018 2019 2020 2021
Exercises Topic 1 Topic 2 30% 20% Despite being red, Mars is actually a cold place. It's full of iron oxide dust, which gives the planet its reddish cast Exercise 01 Follow the link in the graph to modify its data and then paste the new one here. For more info, click here Exercise 02 Paint Sculpture Sketch Concept 1 Description of this concept Description of this concept Description of this concept Concept 2 Description of this concept Description of this concept Description of this concept Concept 3 Description of this concept Description of this concept Description of this concept Topic 3 Topic 4 15% 35%