อินทิกรัลและการประยุกต์

อนิ ทิกรลั และการประยกุ ต์

อนิ ทิกรลั เบ้อื งตน้

F(x) derivative หรอื f(x)

d
 dx 

การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน

antiderivative หรือ F(x)
 f(x)
dx

การหาปฏยิ านุพันธข์ องฟังก์ชัน

บทนิยาม
ถ้า F(x) = f(x) สาหรบั ทุกๆ คา่ x ในโดเมนของฟังก์ชัน
f(x) แลว้ จะได้วา่ ปฏยิ านพุ ันธ์ทั่วไปหรือ ฟังก์ชันดง้ั เดมิ
ท่ัวไป ของ f(x) คือ F(x) + c
และจะเขียนแทน F(x) + c ดว้ ย

 f (x)dx

ซงึ่ เรียกวา่ อินทกิ รัลไมจ่ ากัดเขต (indefinite integrals)
ของ f(x) เทยี บกบั x

ตวั อย่าง

จงหาอนิ ทกิ รลั ไม่จากัดเขตของ f(x) เมือ่ กาหนดให้
1) f (x)  4x
2) f (x)  4x3

วิธีทา
1) เนอ่ื งจากอนุพนั ธข์ อง d (2x2)  4x

dx

จะได้วา่ F(x)  2x2 คือ ปฏิยานุพนั ธ์ของ 4x

ดงั นนั้  f (x)dx   4x dx

 2x2  c
 F(x)  c

คอื อินทิกรลั ไมจ่ ากัดเขตของ f (x)  4x

ดงั นน้ั  4xdx  2x2  c

2) เนื่องจากอนุพนั ธข์ อง dx4  4x3
dx

จะได้ว่า F(x)  x4 คอื ปฏิยานุพนั ธข์ อง 4x3

ดังนั้น  f (x)dx   4x3 dx

 x4  c
 F(x)  c

คอื อินทกิ รัลไม่จากดั เขตของ f (x)  4x3

ดงั นั้น  4x3 x4  c

ตัวอย่าง จงอินทิเกรต

1)  x2dx

2) 1  3x2  4)dx
( x5

3) (ex  4x )dx

วิธที า 1)  x2dx  xndx  xn1  c, n  1

โดยการประยุกตส์ ูตร n 1

จากโจทย์จะไดว้ า่ n=2 เม่อื แทนค่าในสูตรจะได้

 x2dx  x21  c

2 1

 x3 c เมอื่ c คอื ค่าคงตวั ใดๆ
3

1  3x2 (x5  3x2  4) dx เมือ่ 1  x5
( x5 2)   x5
4)dx

        (x5  3x2  4) dx  x5 dx  3x2 dx  4dx

  x5 dx  3 x2 dx   4dx

จากสตู ร  และdx  x  c  xndx  xn1  c, n  1
n 1

จะได้ว่า  x5dx  3 x2 dx  4dx   x51   c1    x21   c2   4x  c3 
  3   
 5  1   2  1 

 x 4   x3   4x  c1  3c2  4c3
4 3 3 
 

  1  x3  4x c
4x4

เม่ือ c  c1  3c2  4c3

3) (ex  4x )dx  axdx  ax  c
ln a
จากสตู ร exdx  ex  c และ

จะได้วา่  (ex  4x )   exdx   4xdx

 ex  4x  c
ln 4

อนิ ทกิ รลั จากัดเขต
ให้ f(x) เป็นฟังกช์ ันทีห่ าค่าได้บน [a,b] อินทิกรลั จากดั เขต
(definite integral) ของ f บน [a,b] เขียนแทนดว้ ย

b

 f (x)dx

a

เรียก a และ b ว่า ลมิ ติ ลา่ ง (lower limit) และ ลิมิตบน
(upper limit) ของการอนิ ทเิ กรตตาม ลาดับ

ตวั อยา่ ง

จงหาอินทกิ รัลจากดั เขตของ f(x) เมอื่ กาหนดให้

2

1)  (x  x3)dx
0

2) 9 2 dx
x


1

วธิ ีทา 1) 2  x3 )dx   x2  x4  2
 2 4  0
(x  

0

  22  24    02  04 
 2 4   2 4 
  

 4  16  8   2
24 4

 92dx9 2 dx
x 1
2) 1

1 x2

 9 x  1 
2
2 dx

1

9   9
 
 x  1 1  1
 2 
  x 2 
 2  1  2 
 1 1  1 
 2
 2 1

  1  9

 4 x 2   4 9  1  4(3 1)  8
 1

เทคนิคการอนิ ทเิ กรต

1. การอนิ ทิเกรตโดยการเปลยี่ นตวั แปร
2. การอนิ ทิเกรตโดยการแยกสว่ น
3. การอินทิเกรตโดยการแยกเป็นเศษส่วนยอ่ ย
4. การอนิ ทิเกรตฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ

การอินทิเกรตโดยการเปลย่ี นตัวแปร

การอินทิเกรตโดยการเปล่ยี นตัวแปรเปน็ เทคนิคการ
เปลย่ี นตัวแปรในโจทย์ทเี่ ราไม่ค้นุ เคยให้อยู่ในรูปที่เรา
รู้จกั หรือสามารถใช้สูตรช่วยในการคานวณได้

ตัวอย่าง จงหา  (x x2 1)5 dx
3

วธิ ีทา กาหนดให้ u = x3-1

จะได้ du 3x2dx
ดงั นน้ั
x2dx  1 du
3

 x2dx  x2 x 2dx
3
(x3 
1)5 ( x 1)5

  1  1 du
u5 3

 1 u5du

3

  1 u4  c
12

 1  c
12(x3 1)4

การอนิ ทเิ กรตโดยการแยกสว่ น

การอินทิเกรตโดยการแยกส่วนจะถูกนามาใชใ้ นกรณที ี่
อินทิกรลั มีตัวถกู อินทิเกรตอยูใ่ นรปู ของ ฟังกช์ นั เช่น

 ln x dx, sin1 x dx, x ex dx และ ex tan xdx

จากสตู รการหาอนพุ ันธข์ องผลคูณ ให้ u และ v เปน็ ฟงั กช์ ันของ x

d(uv)  udv  vdu

จงึ ไดส้ ูตรสาหรบั การอนิ ทเิ กรตโดยการแบ่งส่วนดงั นี้

 u dv  uv   vdu

ตัวอยา่ ง จงหา  x3 ln xdx

วธิ ที า กาหนดให้ u = ln x, dv = x3 dx

จะได้ du  1 dx, v  x4
x4

จากสูตร udv  uv   vdu

เม่ือแทนคา่ จะได้  x3 ln x dx  ln x   x4     x4  1 dx 
4   4   x 
   

 x4 ln x  x3
dx
44

 x4 ln x  1 x3dx

44

 x4 ln x  x4  c
4 16

การอนิ ทิเกรตโดยการแยกเป็นเศษสว่ นยอ่ ย

การอนิ ทเิ กรตโดยการแยกเป็นเศษสว่ นยอ่ ยจะถูกนามาใชใ้ น

P(x)

กรณที ่อี นิ ทกิ รัลมีตวั ถกู อินทเิ กรต Q(x) อยู่ในรูปของฟังกช์ นั
ตรรกยะ โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชนั พหุนาม และ
กาลงั สูงสุดของ P(x) นอ้ ยกวา่ กาลงั สงู สุดของ Q(x)

ตวั อย่าง จงหา  x 2 5x  3 3 dx
 2x 

วิธีทา 5x  3  5x  3

x2  2x  3 (x 1)(x  3)

 2 3
x 1 x 3

แล้ว  5x  3 dx   2 dx   3 dx
 2x   
x 2 3 x 1 x 3

 2 ln x 1  3 ln x  3  c

การอินทิเกรตฟังก์ชันตรโี กณมิติ

การอินทเิ กรตฟงั กช์ ันตรโี กณมิตทิ ่ีซบั ซ้อน สามารถหาไดโ้ ดย
การใชก้ ารอินทเิ กรตโดยการเปลี่ยนตวั แปร
นอกจากน้ันบางครั้งยงั ตอ้ งอาศัยเอกลักษณ์ตรีโกณมติ ิช่วยใน
การเปล่ียนรูปอินทกิ รัลให้อย่ใู นรูปทสี่ ามารถใช้สตู รพ้นื ฐานได้

ตวั อย่าง จงหา  sin3xcos5x dx

วิธีทา ใช้เอกลักษณ์ตรโี กณมติ ิ

sin ax cos bx  1 [sin(a  b)x  sin a  b x]

2

จะได้  sin 3x cos 5x dx  1 [sin(3x  5x)  sin(3x  5x)] dx
2

 1 [sin(2x)  sin 8x] dx
2
จาก sin(-x)= -sin x จะได้ว่า

 1  ( sin 2x  sin 8x)dx
2

 1  cos 2x  cos 8x   c
2  2 8 

พ้นื ที่ของอาณาบรเิ วณในระนาบ

1) พื้นทีใ่ ตyเ้ ส้นโค้ง y = f(x)

o a dx b x

b

พื้นท่แี รเงา มีคา่ เทา่ กับ  f (x)dx

a

1) พืน้ ท่ใี ตy้เส้นโคง้ x
o a dx b

y = f(x)

b

พื้นที่แรเงา มีคา่ เทา่ กับ   f (x)dx

a

1) พืน้ ทใี่ ตy้เสyน้ =โfค(x้ง)

o a dx b cx

bc

พ้นื ทแ่ี รเงา มีค่าเท่ากับ f (x)dx+ (  f (x)dx)

ab

ตัวอย่าง จแงลหะาเหพนืน้ ือทแyใ่ี ตกนเ้ ส้นxโบคน้งชyว่ =ง x2
วธิ ีทา
[0,2]

y = x2

4 x

o dx 2

b

จะได้ A =  f (x)dx

a

แทนคา่ a=0, b=2 และ f(x) = x2

จะได้ A= 22
 x dx

0 2

= x3 

 3 0

=  3  (0)3 
(2)
 - 
3 3

= 8

ตารางหนว่ ย
3

วติธดัวที้วอยายเ่าสงน้ โค้งจงyห=าพxนื้3ทแี่ขyลอะงแอกานณxาบบรนyเิ ชว=่วณงxท3[ปี่-1ดิ ,ล2อ้ ]ม

-1A1 o A2 x

dx 2

พอยนื้ ูเ่ ทห่ี นAือ1เเสปน้ ็นโพคง้้นื ทyที่ =ี่อxย3ใู่ บตนแ้ ชก่วนงx[-แ1ล,ะ0]

b

จะได้ A1 = -  f (x)dx

a

แทนคา่ a = -1, b = 0 และ f(x) = x3

จะได้ A1 = - 0 3 )dx
 (x

1

x4  0
- 
= 4

1

= -   4   (1) 4  
  (0)    
   4  
4

= - 0  1 

 4

= 1

ตารางหนว่ ย
4

พ้ืนที่ A2เป็นพนื้ ทที่ ่ีอยู่เหนือแกน x และ
อยู่ใต้เสน้ โคง้ y = x3 บนช่วง [0,2]

b

จะได้ A2 =  f (x)dx

a

แทนค่า a = 0, b = 2 และ f(x) = x3

จะได้ A2 = 2 3 )dx
 (x

0

x4  2

=

4 0

=  4   (0)4  
(2)    4  
 
 
 
4

= 4  0

= 4 ตารางหนว่ ย

พน้ื ทข่ี องอาณาบริเวณที่ปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้

y = x3 และแกน x บนชว่ ง [-1,2]

มีค่าเทา่ กับ พ้นื ท่ี A1+ พน้ื ที่ A2

เพราะฉะนั้น พน้ื ทที่ ง้ั หมดมีค่าเทา่ กบั

1 = 17 ตารางหนว่ ย
4
+4

4

2) พน้ื ที่ระหว่างเสyน้ โคง้ y = f(x)

y = g(x)
a dx b x

b

 พื้นท่แี รเงา มีคา่ เทา่ กับ  f (x) g(x) dx

a

2) พนื้ ที่ระyหวา่ งเสน้ โคง้

y = f(x) y = g(x)

a dx b c x

พ้ืนทแี่ รเงาb f  c 
  g(x) dx
 มีคา่ เท่ากับ
(x)  g(x)dx + f (x) 

a  b 

ตวั อย่าง

จyง=หาxพ2 -ืน้ 4ทีท่แ่ปีละิดล้อเสมน้ ดตว้ รยงเสy้น=โค2้งx-1

ก) บนช่วง [-1,3]
ข) บนช่วง [-1,4]

วธิ ีทา y f(x) = 2x-1

g(x) = x2- 4 5 A2

-2 -1 o dx x

A1 34

-4

กาหนดให้ f(x) = 2x – 1 และ g(x) = x2 -4

หาจดุ ตัดของสมการทง้ั สองจะได้วา่
2xx2–-34 2x
x2 – = – 1
= 0
(x-3)(x+1x)
= 0 -1
= 3,

เจพะรเหาะน็ ฉวะ่านfนั้(xก)ร>าฟgxข(xอ)=งสบ3มน, ก-ชา1่วรงท[้งั-ส1อ,3งต] ัดแกลนัะท่ี
f(x) < g(x) บนช่วง (-∞,-1] และ [3,∞)

ก) จากภาพจะเหน็ วา่ f(x) > g(x) บนช่วง [-1,3]
ซง่ึ สมมตุ ิให้มีพ้นื ที่ A1

3
 f (x) g(x) dx
 พืน้ ท่ี A1 =

1

= 3 (2x 1) (x 2  4)dx


1

= 3 (2x  x 2  3)dx


1

3 3
x
= 2 
x  3x
 3
1

=  2 3    2 (1) 3 
(3) (3)  3(3) (1)   3(1)


 3  3 

  = 999
 1 1 3
3

 =9 5 32

3 = 3 ตารางหนว่ ย

ข) พนื้ ทบ่ี นชว่ ง [-1,4] คอื พนื้ ท่ี A1 + พนื้ ท่ี A2

จาก ก) จะได้พน้ื ท่ี A1 = 32 ตารางหนว่ ย
3

พ้นื ท่ี A2 เปน็ พ้ืนทบ่ี นช่วง [3,4] ซ่ึง
จะเหน็ วา่
g(x) > f(x)

 4

พนื้ ท่ี A 2=   f (x) g(x) dx

3

พืน้ ท่ี A 2=  4 (2x 1) (x 2  4)dx

3

=  4 (2x  x 2  3)dx

3
4
3
=  2 x 
x  3x


 3 3

=   3   (3) 3  
 (4) (4)  3(4) (3)  3(3) 
  2   2  
 
3 3

   = 64 
 16  3 12  999

=   20  9
3 

= 7 +

ตารางหน่วย
3

เพราะฉะน้ัน พืน้ ที่บนช่วง [-1,4]

32 7

มีค่าเทา่ กับ + = 13 ตารางหน่วย

33