ตรีโกณ

ชือ่ .........................................................................ชั้น ม.5/.........เลขที่............

ใบงานที่ 1

1. จงหาจดุ ปลายสว่ นโค้งที่ยาว , , 3 , , 5 , 7 , 11 , 2
2 244 6 6 3
YY Y Y

O XO X O X O X

Y Y Y Y
OX OX OX OX

2. จงหา P( 5 ),P (− 7 ) ,P( 21 ),P( − 19 ),P( 34 ),P(− 25 ),P(16 ),P(− 13 )
2 24 46 63 3

YY Y Y

O XO X O X OX

Y Y Y Y
OX OX OX OX

ชื่อ.........................................................................ช้ัน ม.5/.........เลขที.่ ...........
ใบงานที่ 2

1. จงหาค่าของ sin  และ cos  เมือ่  เป็นจานวนจริงต่อไปนี้

ข้อ  sin  cos  ข้อ  sin  cos 

1 3 9 8

2 5 10 2

3  11 3
 
2 2
4 7 7
12 

2 2
9
5 9 13 

2 2

6 57  14 57 

7 53  15 53 

8 27  16 27 

2 2

2. จงบอกจานวนจริง  มา 5 จานวนที่ทาให้
1. sin   0
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………
2. sin   1
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………
3. cos   0
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………
4. cos   1
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………
5. sin   1
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………
6. cos   1
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

ชือ่ ...................................................................ช้ัน ม.5/.........เลขที่..........
ใบงานที่ 3

1. จงหาค่าของ sin  และ cos  เมื่อ  เป็นจานวนจริงต่อไปนี้

ข้อ  sin  cos  ข้อ  sin  cos 

1 3π 9 15 π
44
3π 15 π
2 - 10 -
44
3 5π 11 85 π
44
5π 12 173 π
4 -
44
5 7π 13 259 π
44
7π 14 1123 π
6 -
44
7 9π 1123 π
15 -
44
9π 16 355 π
8 -
44

2. จงบอกจานวนจริง  มา 5 จานวนทีท่ าให้

1. sin   2
2
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

2. sin    2
2
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

3. cos   2
2
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

4. cos    2
2
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

ช่ือ...................................................................ชนั้ ม.5/.........เลขท.่ี .........
ใบงานที่ 4

1. จงหาคา่ ของ sin  และ cos  เม่ือ  เป็นจานวนจริงตอ่ ไปนี ้

ข้อ  sin  cos  ข้อ  sin  cos 
1 5π
6 9 31 π

2 5π 10 6
- 31 π
6 -
3 7π
6 11 6
107 π
4 7π 12
- 6
6 107 π
5 11 π -
6 13
6
6 11 π 14 259 π
- -
6
7 13 π 6
6 15 259 π

8 13 π 16 6
- 841 π
6 -

6
841 π

6

2. จงบอกจานวนจริง  มา 5 จานวนทีท่ าให้

1. sin θ = 1

2

 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

2. sin θ = 1
-
2
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

3. cos θ = 3

2

 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

4. cos θ = - 3

2

 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

ชื่อ...................................................................ช้ัน ม.5/.........เลขที่..........
ใบงานที่ 5

1. จงหาค่าของ sin  และ cos  เมือ่  เป็นจานวนจริงต่อไปนี้

ข้อ  sin  cos  ข้อ  sin  cos 

1 2 9 52 
3 3
2 52 
2  10 
3 3
3 4 11 107 
3 3
4 107 
4  12 
3 3
5 7 259 
3 13 
3
7
6  14 259 
3 3
7 35  700 
15 
3 3
16 700 
8 35 

3 3

2. จงบอกจานวนจริง  มา 5 จานวนที่ทาให้

1. sin   3
2
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

2. sin    3
2
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

3. cos   1
2
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

4. cos    1
2
 =…………..,…………..,…………..,………….,……………

ชื่อ...........................................................ชั้น ม.5/..........เลขที.่ ...........

ใบงานที่ 6

กาหนดวงกลมหนึ่งหน่วย ให้นักเรยี นเติมพิกัดของจดุ ปลายของส่วนโค้งบนวงกลม

Y

2  (......,.....)
(.....,.....) 3 2

3 3 (......,.....)
(.....,.....) 4 
4 (......,.....)
5 
(.....,.....) 6 6 (......,.....)

(.....,.....) 0(.....,.....) X
2

(.....,.....) 7 11 (......,.....)
6 6

(.....,.....) 5 7
4 5 4 (......,.....)
3 (.....,.....)
(.....,.....) 4 3
3 2 (......,.....)

ให้นักเรยี นบอกจานวนจริงบวก 2 จานวน จานวนจริงลบ 2 จานวนทีท่ าให้

1. sin θ = 1 5. cos θ = 2
 =……………………………………………….. 2

 =………………………………………………..

2. sin θ = - 1 6. sin θ = 3
 =……………………………………………….. 2

 =………………………………………………..

3. cos θ = 1 7. cos θ = 1
 =………………………………………………..
2

 =………………………………………………..

4. sin θ = - 1 8. cos θ = - 3
2
2
 =………………………………………………..
 =………………………………………………..

ชื่อ...........................................................ชนั้ ม.5/..........เลขที.่ ...........

ใบงานที่ 7

จงหาผลลพั ธ์ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้

1. cos 0. cos π. cos 2 π. cos 5π 7. sin π  cos( - π )  sin π

………………………………………………….. 6 34

………………………………………………….. …………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

2. cos 2 π cos 0  3 sin 2 3π cos(  π )  sin π sin(  3π ) …………………………………………………..

2 22 8. 3 cos 2 π  3 sin 2 π - sin π cos(  π )
4 44 4
………………………………………………….. …………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

3. sin π cos 3π  sin 2 π - sin 3π 9. sin π cos(  π ) cos 2 π  3 sin 2 π cos π
2 64 4
22 …………………………………………………..

…………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

4. cos π sin π  cos π sin π 10. cos 2 π  sin 2 5π - cos 2 2 π - sin 2 5π
36 63
………………………………………………….. 66 33

………………………………………………….. …………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

5. cos π cos π  sin π sin π …………………………………………………..

6 3 36 11. sin π cos(  5π )  cos 2 π sin(  4 π )
36 33
………………………………………………….. …………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

6. cos 2 3π sin π  2 cos π  sin(  π ) 12. sin 5π cos 5π - sin(  5π ). cos 11 π
64 36
2 44 …………………………………………………..

…………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

………………………………………………….. …………………………………………………..

13. sin(  5 )cos(  7 )  cos(  4 )sin(  7 )
64 34
…………………………………………………..

…………………………………………………..

…………………………………………………..

14. sin 2 ( 11 )  cos 2 ( 5 )  sin(  5 )cos(  5 )
6 3 44

…………………………………………………..

…………………………………………………..

…………………………………………………..

15. cos 2 ( 71 )  sin(  29  )  cos(  29  )  sin(  11 )
63 44
…………………………………………………..

…………………………………………………..

…………………………………………………..

ช่อื ...................................................................ชัน้ ม.5/.........เลขที่.......... cot
ใบงานท่ี 8

1. จงหาว่าจดุ ปลายส่วนโคง้ ท่ียาว  หนว่ ย จะอยใู่ นควอดรันต์ใด เมอ่ื กาหนดให้
1) sin  และ cos  เป็นจานวนบวกทง้ั ค.ู่ ...........................................
2) tan  เปน็ จานวนบวก และ cos  เป็นจานวนลบ.........................
3) sin  เปน็ จานวนบวก และ tan  เปน็ จานวนลบ..........................
4) cos  และ tan  เปน็ จานวนลบทั้งคู่............................................

2. จงหาค่าของฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ทิ กุ ฟังก์ชนั ของจานวนต่อไปนี้
 sin cos tan csc sec
0



2



4

3

4
2

3


7

4
4

3
7

2
5

2

2
3

4
5

4


3



2

3. จงหาว่ามมุ ทว่ี ัดเปน็ เรเดยี นต่อไปนี้แต่ละมมุ มขี นาดก่อี งศา

1) 2  =…………………………………………………………………………………………………….
3 =…………………………………………………………………………………………………….
5 =…………………………………………………………………………………………………….
2)  =…………………………………………………………………………………………………….
6
3) 11 

5
4) 4 

5) 3 =…………………………………………………………………………………………………….

4. จงหาขนาดของมุมตอ่ ไปน้ใี นหน่วยเรเดียน

1) 300  =………………………………………………………………………………………………

2) -315  =………………………………………………………………………………………………

3) 880  =……………………………………………………………………………………………….

4) -500 =……………………………………………………………………………………………….

5) 120 =……………………………………………………………………………………………….

5. จงหาคา่ ของ
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

6. จงหาค่าของ
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….



ชื่อ.........................................................................ชั้น ม.5/..........เลขที่.......

ใบงานที่ 9

1. จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนีโ้ ดยใช้ตารางตรีโกณมิติ

1. sin 30 o10 ' =………………………… 2. cos 78 o50 '=………………………..

3. tan( 406 o 20 ' ) =…………………… 4. cot 128 o40 ' =……………………….

5. sin 1.6406 =…………………………. 6. cos 5.6985 =…………………………

2. จงหาค่า  เมือ่ 0     หรือ 0 o    180 o เมือ่ กาหนดค่าฟังก์ชันต่อไปนี้

(ตอบท้ัง 2 หน่วย)

1. cos θ = 0.9194 5. sin θ = 0.2051

................................................................. .................................................................

................................................................. .................................................................

................................................................. .................................................................

................................................................. .................................................................

2. sin θ = 0.9387 .................................................................

................................................................. 6. sin θ = 0.4500

................................................................. .................................................................

................................................................. .................................................................

................................................................. .................................................................

3. tan θ = 0.5243 .................................................................

................................................................. .................................................................

................................................................. .................................................................

................................................................. .................................................................

................................................................. .................................................................

4. cos θ = 0.3746 .................................................................
................................................................. .................................................................
................................................................. .................................................................
................................................................. .................................................................
................................................................. .................................................................
................................................................. .................................................................

ช่ือ…...................................................................ชนั้ ม.5/........เลขท่ี................

ใบงานท่ี 10

สูตร ผลบวก หรือผลต่างของจานวนจริง (6) cos( 360 o  A )  cos A
หรือของมมุ …………………………………………
…………………………………………
ถ้า ,  เป็นจานวนจริงสองจานวนใด ๆ แล้ว

1. cos(    )  cos  cos   sin  sin  …………………………………………

2. cos(    )  cos  cos   sin  sin  (7) sin( 2  A )  sin A

3. sin(    )  sin  cos   cos  sin  …………………………………………

4. sin(    )  sin  cos   cos  sin  …………………………………………
…………………………………………
1. จงแสดงวา่ (8) cos( 2  A )  cos A
(1) sin(   A )  sin A …………………………………………
…………………………………………
sin(   A )  sin  cos A  cos  sin A …………………………………………
(9) sin( 90 o  A )  cos A
 0. cos A  (1) sin A …………………………………………
…………………………………………
 sin(   A )  sin A  …………………………………………
(10) cos( 90 o  A )  sin A
(2) cos(   A )   cos A …………………………………………
…………………………………………
………………………………………… …………………………………………
(11) sin( 90 o  A )  cos A
………………………………………… …………………………………………
…………………………………………
………………………………………… …………………………………………
(12) cos( 90 o  A )   sin A
(3) sin( 180 o  A )   sin A …………………………………………
…………………………………………
………………………………………… …………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

(4) cos( 180 o  A )   cos A

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

(5) sin( 360 o  A )   sin A

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

(13) sin( 270 o  A )   cos A (14) cos( 270 o  A )   sin A
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
2. จงหาคา่ ของ

(1) sin 15 o (2) sin 75 o

…………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

(3) cos 15 o (4) cos 75 o

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

(5)    ) cos(    )  cos(    ) sin(  )
sin(
44 44

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

(6)   
cos(   ) cos(   )  sin(   ) sin(   )

44 44

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

(7) cos 75 o cos 15 o  sin 75 o sin 15 o

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

(8) sin 50 o cos 20 o  cos 50 o sin 20 o

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. ถ้า sin   3 และ cos  12 เมื่อ 0 o    90 o ,0 o    90 o จงหาคา่ ของ


5 13

(1) sin(    ) (2) sin(    )

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

(3) cos(    ) (4) cos(    )

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. ถ้า tan   3 และ cos  12 เม่ือ 180 o    270 o ,180 o    270 o จงหาคา่ ของ


4 13

(1) sin(    ) (2) sin(    )

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

(3) cos(    ) (4) cos(    )

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

5. ถ้า cos    5 และ sin   5 เม่ือ 180 o    270 o ,90 o    180 o จงหาคา่ ของ
13 13

(1) sin(    ) (2) sin(    )

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

(3) cos(    ) (4) cos(    )

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

ชื่อ…...................................................................ชนั้ ม.5/........เลขที่................

ใบงานท่ี 11

สูตร ผลบวก หรือผลต่างของจานวนจริง 4) cot( A  B)
หรือของมุม …………………………………………………
…………………………………………………
ถ้า  ,  เป็นจานวนจริงสองจานวนใด ๆ แล้ว

1. tan(    )  tan   tan  …………………………………………………
1  tan  tan  …………………………………………………

2. tan(    )  tan   tan  2. กาหนด และsin 3
1  tan  tan  A  : A 

3. cot(    )  cot  cot   1 52
cot   cot 
12   B  จงหา
4. cot(    )  cot  cot   1 cos B   :
cot   cot 
13 2

1) tan( A  B)

…………………………………………………

1. กาหนดให้ 3 และ 5 …………………………………………………
tan A  tan B  …………………………………………………
…………………………………………………
4 12 2) tan( A  B)
…………………………………………………
และ  จงหา …………………………………………………
0  A  ,0  B  …………………………………………………
…………………………………………………
22 3) cot( A  B)
…………………………………………………
1) tan( A  B) …………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
4) cot( A  B)
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
……………………………………………………

2) tan( A  B)

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

3) cot( A  B)

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

3. กาหนด 5 และ tan B  1 ถ้า 5) tan 40 o  tan 20 o
tan A  1  tan 40 o tan 20 o

6 11 …………………………………………………
…………………………………………………
A  B อยใู่ นควอดรันต์ท่ี 1 แล้ว จงหา A  B
6) tan 60 o  tan 15 o
…………………………………………………… 1  tan 60 o tan 15 o

…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
……………………………………………………
7) cot 70 o cot 40 o  1
…………………………………………………… cot 40 o  cot 70 o

…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
……………………………………………………
8) cot 30 o cot 15 o  1
…………………………………………………… cot 15 o  cot 30 o

4. จงหาคา่ ของ …………………………………………………
…………………………………………………
1) tan 15 o 9) tan 75 o  tan 30 o  tan 75 o tan 30 o
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
10) tan 30 o  tan 15 o  tan 30 o tan 15 o
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
2) tan 75 o …………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………… 11) tan 20 o  tan 40 o  3 tan 20 o tan 40 o
…………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………

……………………………………………………

3) cot 15 o
……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

4) cot 75 o
……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

ช่ือ…...................................................................ชนั้ ม.5/........เลขท่ี................
ใบงานท่ี 12

สูตร เปล่ียนผลคณู เป็ นผลบวกและผลต่าง 11. sin 4 cos 7 = ………………………….
1. 2 sin  cos   sin( sum )  sin( diff .) = ..………………………..
2. 2 cos  sin   sin( sum )  sin( diff .) = ………………………….
3. 2 cos  cos   cos( sum )  cos( diff .) =…………………………..
4. 2 sin  sin   cos( diff .)  cos( sum )
12. sin 3 sin  = ………………………….
จงทาให้เป็นผลบวกและผลตา่ ง = ..………………………..
1. 2 sin 3 cos  = …………………………. = …………………………...

= ..……………………….. 13. A 3A = ……………………….
2. 2 cos 6 sin 3 = …………………………. cos sin

= ..……………………….. 22
3. 2 cos 7 cos 5 = ………………………….
= ..………………………
= ..………………………..
4. 2 sin 3A sin 2A = …………………………. = ………………………….

= ..……………………….. = ………………………….
5. 2 cos 5 sin 4 = ………………………….
14. sin 105 o cos 40 o =……………………….
= ..………………………..
6. 2 sin 4 cos 8 = …………………………. = .………………………..

= ..……………………….. =……………………….
7. 2 sin 9 sin 3 = ………………………….
=……………………….
= ..………………………..
8. 2 cos 9 sin 7 = …………………………. 15. 2 cos 2 cos 5 = ……………………….
33
= ..……………………….. = ……………..………..
9. 2 cos 2 cos 11 = ………………………….
= ……………………….
= ..………………………..
10. 2 sin 5 sin 10 = …………………………. 16. 2 sin 5 sin  =……………………….
44
= ..……………………….. =………….……………..
= ………………………… = …..………………….

17. 2 cos 2 cos(    ) =………………..….
=.…………………..
= ..………………….

18. 2 sin 3 sin(    ) =………………….
= …………………. ..
=……………………

19. 2 sin( 2   ) cos(   2 ) 20. cos( 60 o   ) sin( 60 o   )
=………………………………………… =………………………………………
= …………………………..………..
. = ……………………………..……….. =………………………………………
=…………………………………………

จงหาคา่ ของ 3) 2 cos 55 o cos 5 o  cos 50 o
…………………………………………………
1) 2 sin 35 o cos 10 o  sin 25 o …………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………………
………………………………..………………… 4) cos 40 o  2 sin 50 o sin 10 o
…………………………………………………
2) 2 cos 20 o sin 10 o  sin 10 o …………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………… ………………………………………………
……………………………………………………

5) 2 cos 30 o sin 20 o  2 cos 40 o sin 10 o  2 cos 20 o sin 10 o
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
6) sin 30 o sin 60 o  sin 10 o sin 20 o  sin 40 o sin 50 o
…………………………………………………………………………………………………………………
……………….…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

7) cos 40 o cos 80 o cos 160 o
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………...

8) sin 20 o sin 40 o sin 80 o
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………...

ช่ือ…...................................................................ชนั้ ม.5/........เลขที.่ ...............

ใบงาน 13

สูตร เปล่ียนผลบวกและผลต่างเป็ นผลคูณ จงหาคา่ ของ

1.       1) sin 50 o  sin 10 o  cos 20 o
sin   sin   2 sin cos ……………………………………………………
……………………………………………………
22 ……………………………………………………
2. cos 80 o  cos 40 o  cos 20 o
2. sin   sin   2 cos    sin    ……………………………………………………
22

3.      
cos   cos   2 cos cos

22

4.      
cos   cos   2 sin sin

22

sum of two sin = 2 sin (half-sum) cos(half-diff.) ……………………………………………………
diff. of two sin = 2 cos (half-sum) sin(half-diff.) ……………………………………………………

sum of two cos = 2 cos (half-sum) cos(half-diff.) 3. sin 40 o  sin 20 o  3 sin 10 o
diff. of two cos = -2 sin (half-sum) sin(half-diff.) ……………………………………………………

จงเปลย่ี นให้อยใู่ นรูปผลคณู ……………………………………………………
1) sin 80 o  sin 20 o =………………………… ……………………………………………………
4. cos 50 o  cos 40 o  2 cos 5 o
= …………………………. ……………………………………………………
2) sin 50 o  sin 20 o =………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
= ………………………

3) 3  =………………………… 5. sin 10 o  cos 40 o  cos 20 o
cos  cos ……………………………………………………
88

= ………………………

4) cos 7  cos 5 =………………………… ……………………………………………………
12 12 ……………………………………………………
= ……………………….. 6. cos 20 o  cos 100 o  cos 140 o
……………………………………………………
5) sin 4  sin 2 =………………………… ……………………………………………………
= ……………………….. ……………………………………………………
……………………………………………………
6) sin 4x  sin 6x =…………………………
= ……………………… 7. cos   cos( 2   )  cos( 2   )
33
7) cos 2  cos 4 =…………………………
=……………………….. ……………………………………………………
……………………………………………………
8) cos 3  cos 8 =…………………………
= ………………………

ชื่อ…...................................................................ชนั้ ม.5/........เลขท่ี................

ใบงาน 14

สูตร 1. sin 2  2 sin  cos  3. กาหนด sin A  3 และ 0  A  90 o จงหา
2. cos 2  cos 2   sin 2  5
3. cos 2  2 cos 2   1
4. cos 2  1  2 sin 2  (1) sin 2A

……………………………………………………

……………………………………………………

5. 2 tan  ……………………………………………………
tan 2  ……………………………………………………
1  tan 2 

1. กาหนด sin A  8 และ 0  A  90 o จงหา (2) cos 2A
17 ……………………………………………………
……………………………………………………
(1) sin 2A ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… (3) tan 2A
…………………………………………………… ……………………………………………………
(2) cos 2A ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
4. กาหนด tan A  5 และ 0  A  90 o จงหา
2. กาหนด cos A 12 และ 0  A  90 o จงหา 12

(1) sin 2A
13 ……………………………………………………
……………………………………………………
(1) sin 2A ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… (2) cos 2A
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

……………………………………………………

(2) cos 2A

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

อินเวอร์สของฟังก์ชันตรโี กณมิติ

บทนิยาม ฟงั ก์ชัน arcsine คอื เซตของคอู่ นั ดบั (x,y) โดยที่ x = sin y และ 
 y

22

ฟงั กช์ ัน arccosine คอื เซตของคอู่ ันดับ (x,y) โดยท่ี x = cos y และ 0  y  

ฟังก์ชนั arctangent คือเซตของคอู่ นั ดบั (x,y) โดยที่ x = tan y และ 
 y

22

โดเมน และเรนจข์ องฟังก์ชนั อนิ เวอรส์ ตรีโกณมิติ

ฟัก์ชันอินเวอรส์ โดเมน เรนจ์
Y = arcsin x ……………………… ………………………..
Y= arccos x ……………………… ………………………..
Y = arctan x ……………………… ……………………….

y = arcsin x กต็ ่อเมื่อ x = sin y ,  
 y

22

y = arccos x กต็ ่อเมื่อ x = cos y , 0  y  

y = arctan x กต็ ่อเม่อื x = tan y ,  
 y

22

y = arccot x ก็ตอ่ เม่ือ x = cot y , 0  y  π

y = arccosec x ก็ต่อเมือ่ x = cosec y ,     
y   ,0    0,
2  2 

y = arcsec x กต็ ่อเมอื่ x = sec y , y        , 
 0 , 2   2 
 

sin(arcsin x ) = x ,  1  x  1 cot(arccot x ) = x , x  R

arcsin(sin x ) =x ,  arccot(cot x ) = x , 0  x  
 x
22

cos(arccos x ) = x ,  1  x  1 csc(arccsc x ) = x , x   ,1  1,  

arccos(cos x ) = x , 0  x   arccsc(csc x ) = x, x        0,  
tan(arctan x ) = x , x  R  2 ,0   2 



sec(arcsec x) = x, x   ,1  1,  

arctan(tan x ) =x ,  arcsec(sec x) = x, x        , 
 x  0 , 2   2 
22  

ชือ่ …………………………………………เลขท่ี………ชน้ั ม.5/…..

ใบงาน 15

(1) จงเติมคำตอบลงในช่องว่ำง ………………………………………………………..

1. arcsin 1  ………………. ………………………………………………………..
2
4. 12 12
2. arctan 1  ………………. arccos  arc cot
3 13 5

3. arccos 1  ………………. ………………………………………………………..
2 ………………………………………………………..
………………………………………………………..
4. arcsin( 1)  ……………….

5. arctan 1  ………………. ………………………………………………………..

6. arccos 1  ………………. ………………………………………………………..

7. arcsin 3  ………………. 5. 4 1
2 arctan  arctan 1  arctan
37
8. arctan(  3 )  ……………….
………………………………………………………..
9. arccos 1  ………………. ………………………………………………………..
2 ………………………………………………………..
………………………………………………………..
10. arcsin 0  ………………. ………………………………………………………..
(2) จงแสดงว่ำ
6. 2 24 1
1. 3 4 arctan  arc cot  arctan
arcsin  arccos 11 7 2
55
………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
………………………………………………………..
2. arccos x  arcsin 1  x 2 ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
……………………………………………………….. ………………………………………………………..
………………………………………………………..

3. 8 15
arccos  arctan
17 8

………………………………………………………..
………………………………………………………..

7. 3 1
arctan  arctan  arctan 1
47

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. 
arcsin x  arccos x 
2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. arcsin x  arccos y  arccos( y 1  x 2  x 1  y 2 )
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. y  z  arctan zx  arctan xy 0
arctan
1  yz 1  zx 1  xy

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



ช่อื …………………………………………เลขท่ี………ช้ัน ม.5/…….

ใบงาน 16

การพิสจู นเ์ อกลกั ษณ์ 2. cos (tan   cot  )  csc 
เอกลักษณ์ท่ีควรจา
….…………………………………………………

sin   1 ….…………………………………………………
csc  ….…………………………………………………
….…………………………………………………
cos   1 ….…………………………………………………
sec  …………………………………………………….
……………………………………………………
tan   1 ….…………………………………………………
cot  …………………………………………………….
……………………………………………………
tan   sin  ….…………………………………………………
cos  …………………………………………………….
……………………………………………………
cot   cos 
sin  3. (sec   1)(sec   1)  tan 2 

sin 2   cos 2   1 ….…………………………………………………..
1  tan 2   sec 2  ….…………………………………………………..
1  cot 2   csc 2  ….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
จงพิสจู น์เอกลักษณ์ตอ่ ไปนี้ ………………………………………………………

1. (sin   cos )2  (sin   cos )2  2 4. 3 sin 2   4 cos 2   3  cos 2 

….………………………………………………… ….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
….………………………………………………… ….…………………………………………………..
………………………………………………………
….………………………………………………… ….…………………………………………………..
………………………………………………………
….………………………………………………… ….………………………………………………….

….…………………………………………………

…………………………………………………….

……………………………………………………

….…………………………………………………

…………………………………………………….

……………………………………………………

….…………………………………………………

…………………………………………………….

……………………………………………………

5. 1  cos 2   sin  7. 1  sin  cos   2 sec 
1  sin  
cos  1  sin 
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

6. 1  sin  csc   1 ….…………………………………………………..

1  sin  csc   1 ….…………………………………………………..

….………………………………………………….. 8. sin  1
….………………………………………………….. 
….………………………………………………….. sin   cos  1  cot 
………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ………………………………………………………
….………………………………………………… ….…………………………………………………..
……………………………………………………. ….…………………………………………………..
……………………………………………………. ….…………………………………………………..
……………………………………………………. ….…………………………………………………..
……………………………………………………. ………………………………………………………
……………………………………………………. ….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
….…………………………………………………..

9. cos   sin   sin   cos  10. cot   tan   1  tan   cot 
1  tan  1  cot  1  tan  1  cot 

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

11. sin 2  tan  13. cos 3  4 cos 3   3 cos 
1  cos 2
….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ………………………………………………………
……………………………………………………… ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ………………………………………………………
……………………………………………………… ….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
….………………………………………………….. 14. cos 4   8 cos 4   8 cos 2   1
….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ………………………………………………………
….…………………………………………………..
12. sin 2  sin   tan  ….…………………………………………………..
cos 2  cos   1 ….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

15. sin 8  sin 2  tan 5 3) sin A  sin B  sin C  4 cos A cos B cos C
cos 8  cos 2
222
….…………………………………………………..
….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

16. sin   sin 3  sin 5  sin 7  4 cos sin 4 cos 2 ………………………………………………………

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
……………………………………………………… ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ………………………………………………………
………………………………………………………
….………………………………………………….. 4) cos A  cos B  cos C  1  4 sin A sin B sin C

17. ถ้า A  B  C  180 o จงพิสจู น์วา่ 222
1) sin A  sin( B  C)
….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ………………………………………………………

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

……………………………………………………… ….…………………………………………………..

….………………………………………………….. ….…………………………………………………..

2) cos A   cos( B  C) ….…………………………………………………..
………………………………………………………
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
….………………………………………………….. ….…………………………………………………..
………………………………………………………

………………………………………………………
….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
………………………………………………………
….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
………………………………………………………
….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
………………………………………………………
….…………………………………………………..
….…………………………………………………..
………………………………………………………

ช่ือ.......................................................................ชั้น ม.5/............เลขท่ี............

ใบงานที่ 17

สมการตรโี กณมติ ิ

1. ถ้า 0  x  2 จงแก้สมการตอ่ ไปนี้ ? 2. ถา้ 0o    360 o จงแกส้ มการต่อไปน้ี ?

1) 4 sin 2 x  3  0 1) 4 tan 2   3 sec 2   0

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

2) tan x (sin x  1)  0 ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… 2) 2 sin   1  0
………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

3) sin x (4 sin 2 x  1)  0 3) 2 cos 2   2 cos 2  1
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………

3. จงแก้สมการต่อไปนี้ ? 3) tan  sin   tan   0
1) 4 sin 2   1 ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
2) tan 2   3  0 ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… 4) sec 2   2 tan   0
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

ชอ่ื ...........................................................ชัน้ ม.5/..........เลขท.่ี ...........

ใบงานที่ 18

โจทยป์ ญั หาเก่ียวกับ การใชก้ ฎ cosine,sine

กำหนดให้รปู สำมเหลีย่ ABC มี a,b และ c เปน็ ควำมยำวดำ้ นตรงขำ้ มมุม A,B และ C ตำมลำดับ

1. กำหนด a = 5 , c = 8 และ B = 60 o จงหำ b 3. กำหนด มี a = 13 , b = 15 , c = 7 จงหำ A

........................................................................................ ..............................................................................

........................................................................................ ..............................................................................

........................................................................................ ..............................................................................

........................................................................................ ..............................................................................

........................................................................................ ..............................................................................

........................................................................................ ..............................................................................

2.กำหนด มี b = 4 , c = 6 และ A = 120 o จงหำ a ..............................................................................

........................................................................................ ...................

........................................................................................ 4. กำหนด มี a = 3  1 , b = 2 , c = 6
........................................................................................ จงหำ A
........................................................................................ ..............................................................................
........................................................................................
........................................................................................ ..............................................................................
........................................................................................
........................................................................................ ..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

..............................................................................

5. กำหนด A = 60 o , B = 45 o , a = 6 จงหำ b 7. กำหนด มี a = 2 , b = 2 , c = 3  1
.............................................................................. จงหำมุมทเ่ี ลก็ ทส่ี ดุ
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
........................................................................................ ..............................................................................
.................................................................... ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. ..............................................................................
.............................................................................. 8. จงหำพนื้ ทีข่ องรปู สำมเหลย่ี ม ABC จำกสง่ิ ท่ี
6. กำหนด B = 30 o , C = 120 o , a = 3 3 จงหำ c กำหนดให้
...................................................................................... 1) B  60 o , a  12 และ c = 8
........................................................................................ ..............................................................................
...................................................................................... ..............................................................................
........................................................................................ ..............................................................................
........................................................................................ ..............................................................................
........................................................................................ ..............................................................................
........................................................................................ ..............................................................................
........................................................................................ ..............................................................................
........................................................................................ ..............................................................................
..............................................................................

2) A = 30 o , b = 12 และ c = 21
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................

วงกลม หน่ึง หน่วย
Y

OX