หัวข้อเรื่อง (Topics) 9.1 อินทิกรัลจ ำกัดเขต 9.2 กำรประยุกต์อินทิกรัลจ ำกัดเขต
9.1 อินทิกรัลจ ำกัดเขต 9.1.1 นิยามอินทิกรัลจ ากัดเขต น ิ ยามท ี่ก ำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b]แบ่งช่วง [a, b] ออกเป็น n ช่วง มีจุดแบ่งช่วงเป็น a = 0 1 2 3 4 n x x x x x ... x b = โดยมีควำมกว้ำงแต่ละช่วงเท่ำกับ เมื่อ i = 1, 2, 3, …, n i i i 1 x x x − = − และ เป็นค่ำใด ๆ บนช่วง [xi–1 , xi ] เมื่อ i = 1, 2, 3, …, n * i x ถ้ำ มีค่ำเดียวกันส ำหรับทุกค่ำ ที่เลือก n * * n i i n n i 1 lim S lim f(x ) x → → = = * i x จะกล่ำวว่ำ f เป็นฟังก์ชันที่หำอินทิกรัลได้และเรียกลิมิตดังกล่ำวว่ำ อินทิกรัลจ ำกัดเขตของ f จำก a ถึง b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ b a f(x)dx ดังนั้น = b a f(x)dx * n n lim S → หรือ = b a f(x)dx n * i i n i 1 lim f(x ) x → = สัญลักษณ์ จะเรียก a ว่ำ ลิมิตล่ำง (Lower Limit) และเรียก b ว่ำ ลิมิตบน (Upper Limit) b a f(x)dx
9.1.2 สมบัติของอินทิกรัลจ ากัดเขต (Properties of Definite Integrals) ถ้ำ f(x) และ g(x) มีควำมต่อเนื่องบน [a, b]แล้วจะได้ว่ำ 1. = 0 a a f(x)dx 2. = b a f(x)dx a b −f (x)dx 3. = ; เมื่อcเป็นค่ำคงที่ b a cf(x)dx b a c f(x)dx 4. = b a f(x) g(x) b b a a f(x)dx g(x)dx 5. = ; เมื่อ a < c < b c b a c f(x)dx f(x)dx + b a f(x)dx
9.1.3 ทฤษฎบ ี นหลักม ู ลของแคลค ู ลัส (Fundamental Theorem of Calculus) ทฤษฎบ ี ทท ี่1 ทฤษฎีบทหลักมูลบทที่หนึ่งของแคลคูลัส (The First Fundamental Theorem of Calculus) ถ้ำ f เป็นฟังก์ชันที่มีควำมต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และฟังก์ชัน G เป็นอีก ฟังก์ชันหนึ่ง ซึ่งก ำหนดโดย G(x) = แล้วจะได้ว่ำ G(x) เป็ นฟังก์ชัน ที่ต่อเนื่องบนช่วง [a, b]และสำมำรถหำอนุพันธ์ได้บนช่วง (a, b) โดยอนุพันธ์ของฟังก์ชัน G จะมีค่ำเท่ำกับฟังก์ชัน f ที่ x นั่นคือ G(x) = f(x) ทุก x (a, b) หรือ = f(x) ทุก x (a, b) i x a f(x)dx i x a d f(x)dx dx ทฤษฎบ ี ทท ี่2 ทฤษฎีบทหลักมูลบทที่สองของแคลคูลัส (The Second Fundamental Theorem of Calculus) ถ้ำ f เป็นฟังก์ชันที่มีควำมต่อเนื่อง บนช่วง [a, b]และฟังก์ชัน Fเป็นฟังก์ชัน ซึ่ง F(x) = f(x) ทุก x (a, b) แล้วจะได้ว่ำ = b a f(x)dx F(b) F(a) − นิยมใช้สัญลักษณ์ แทน b a F(x) F(b) F(a) −
ดังนั้น = = b a f(x)dx b a F(x) F(b) F(a) − สัญลักษณ์ หรือ หรือ b a F(x) x b x a F(x) = = b a F(x) ทฤษฎีบทหลักมูลบทที่สองของแคลคูลัส แสดงถึง ควำมสัมพันธ์ระหว่ำงอินทิกรัลจ ำกัดเขตกับ อินทิกรัลไม่จ ำกัดเขต กล่ำวคือ อินทิกรัลจ ำกัดเขตของฟังก์ชัน f ที่มีควำมต่อเนื่องบนช่วง [a, b] มีค่ำ เท่ำกับผลต่ำงของปฏิยำนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ระหว่ำงลิมิตบนกับลิมิตล่ำง ควำมสัมพันธ์นี้จะช่วยให้กำรหำ ค่ำอินทิกรัลจ ำกัดเขตท ำได้ง่ำยขึ้น โดยกำรหำอินทิกรัลไม่จ ำกัดเขตก่อน หลังจำกนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทหลัก มูลบทที่สอง
9.2 กำรประยุกต์อินทิกรัลจ ำกัดเขต กำรประยุกต์อินทิกรัลที่จะกล่ำวต่อไปนี้ เป็นกำรกล่ำวถึงประโยชน์ของอินทิกรัลเกี่ยวกับกำรน ำ ควำมรู้อินทิกรัลไปใช้ในกำรหำพื้นที่ระหว่ำงกรำฟบนระบบพิกัดฉำก และกำรหำปริมำตรรูปทรงตันที่เกิด จำกกำรหมุน ซึ่งจะกล่ำวตำมล ำดับ ดังนี้ 9.2.1 การหาพน ื้ทร ี่ะหว่างกราฟ 1. กำรหำพื้นที่ระหว่ำงกรำฟกับแกน x เป็นกำรประยุกต์อินทิกรัลจ ำกัดเขตเพื่อหำพื้นที่ระหว่ำง กรำฟใด ๆ บนระนำบ xy โดยสรุปแยกเป็น 3 กรณี ดังนี้ กรณ ี ท ี่1 เส้นโค้งอยู่เหนือแกน x โดยตลอด
กรณ ี ท ี่2 เส้นโค้งอยู่ใต้แกน x โดยตลอด กรณ ี ท ี่3 เส้นโค้งอยู่เหนือแกนบ้ำง ใต้แกนบ้ำง
2. กำรหำพื้นที่ระหว่ำงกรำฟกับแกน y โดยกำรพิจำรณำ เช่นเดียวกับกำรหำพื้นที่ระหว่ำง กรำฟกับแกน x ท ำให้ได้ข้อสรุปส ำหรับกำรหำพื้นที่ระหว่ำงกรำฟกับแกน y แยกได้ 3 กรณีดังนี้ กรณ ี ท ี่1 เส้นโค้งอยู่ทำงด้ำนขวำของแกน y โดยตลอด
กรณ ี ท ี่2 เส้นโค้งอยู่ทำงด้ำนซ้ำยของแกน y โดยตลอด กรณ ี ท ี่3 เส้นโค้งอยู่ด้ำนขวำของแกน y บ้ำง ด้ำนซ้ำยของแกน y บ้ำง
3. กำรหำพื้นที่ระหว่ำงกรำฟตำมแนวแกน x ก ำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีควำมต่อเนื่องบนช่วง [a, b] โดยที่ f(x) g(x) ทุก x [a, b]และให้ A เป็นพื้นที่ของอำณำบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = f(x), y = g(x) และ เส้นตรง x = a, x = b ดังรูปเรียก A ว่ำ พื้นที่ระหว่ำงกรำฟ y = f(x) และ y = g(x) จำก x = a ถึง x = b
พิจำรณำกำรใช้สูตรนี้ จะเห็นว่ำ คือพื้นที่ของรูปแท่งสี่เหลี่ยมผืนผ้ำเล็ก ๆ (สทริป) ที่มีควำมกว้ำงเท่ำกับ dx ซึ่งมีค่ำน้อยใกล้ศูนย์ และมีควำมสูงเท่ำกับ f(x) – g(x) ส่วนพื้นที่ A ก็คือ กำร รวมกันของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำเล็ก ๆ ตลอดช่วง x = a ถึง x = b ซึ่งก็คืออินทิกรัลจ ำกัดเขต และเรียกกำรอินทิเกรตในลักษณะนี้ว่ำ กำรอินทิเกรตตำมแนวแกน x [f(x) g(x)]dx − b a [f(x) g(x)]dx − กรณี A เป็นพื้นที่ระหว่ำงกรำฟ y = f(x) และ y = g(x) จำก x = a ถึง x = b ที่มีบำงช่วง f(x) g(x) บำงช่วง f(x) g(x) ดังรูป
4. กำรหำพื้นที่ระหว่ำงเส้นกรำฟ ตำมแนวแกน y พิจำรณำในท ำนองเดียวกัน ถ้ำ g และ h เป็นฟังก์ชันที่มีควำมต่อเนื่องบนช่วง [a, b]และ A เป็น พื้นที่ระหว่ำงกรำฟ x = g(y) และ x = h(y) จำก y = a ถึง y = b ดังรูป แล้วจะได้ว่ำ
จำกรูป จะได้ว่ำ 9.2.2 การหาปร ิ มาตรร ู ปทรงตันทเ ี่กด ิ จากการหม ุ นพน ื้ทร ี่อบแกน รูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุน คือรูปทรงตันที่ได้จำกกำรหมุนอำณำบริเวณในระนำบรอบ เส้นตรงเส้นหนึ่งที่อยู่ในระนำบเดียวกัน และเรียกเส้นตรงดังกล่ำวว่ำแกนหมุน เช่น 1. หมุนรูปสำมเหลี่ยมมุมฉำกรอบด้ำนประกอบมุมฉำกด้ำนใดด้ำนหนึ่ง ซึ่งจะได้กรวย กลมตรง 2. หมุนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำรอบด้ำนใดด้ำนหนึ่งซึ่งจะได้ทรงกระบอกกลมตรง ในหัวข้อนี้จะกล่ำวถึงกำรหำปริมำตรของรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนอำณำบริเวณใน ระนำบ xy รอบแกน x หรือแกน y หรือรอบเส้นตรงที่ขนำดกับแกนใดแกนหนึ่ง กำรหำปริมำตรดังกล่ำวจะ ท ำกำรศึกษำ 2 วิธี คือ วิธีแบบจำน (Dishs Method) และวิธีแบบเปลือก (Shells Method)
1. การหาปร ิ มาตรร ู ปทรงตันท ี่เก ิ ดจากการหม ุ นโดยว ิ ธ ี แบบจาน (Dishs Method) เป็น กำรหำปริมำตรของรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนพื้นที่ โดยสร้ำงสี่เหลี่ยมผืนผ้ำเล็ก ๆ ให้ตั้งฉำกกับแกน หมุน กรณ ี ท ี่1 กำรหำปริมำตรรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนโดยมีภำคตัดเป็นวงกลม ก. กรณ ี ทร ีู่ ปทรงตันเกด ิ จากการหม ุ นอาณาบร ิ เวณ R รอบแกน x ให้f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b]และ R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงกรำฟ y = f(x) กับ y = 0 (แกน x) จำก x = a ถึง x = b ดังรูปที่ 1 ให้ v เป็นปริมำตรรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนอำณำบริเวณ R รอบแกน x ดังรูปที่ 2 ถ้ำตัดรูปทรงตันนี้ด้วยระนำบที่ตั้งฉำกกับแกน x ที่ x ใด ๆ ในช่วง [a, b]จะได้พื้นที่ ภำคตัดเป็นวงกลมรัศมีเท่ำกับ f (x) รูปที่ 1 รูปที่2
ให้ A(x) เป็นพื้นที่ของภำคตัด จะให้ A(x) = [f(x)] 2 โดยสูตรกำรหำปริมำตรของ รูปทรงตันซึ่งหำพื้นที่ภำคตัดได้ จะได้ปริมำตรรูปทรงตัน เท่ำกับ v = b b 2 a a A(x)dx [f(x)] dx = หรือ ข. กรณ ี ทร ีู่ ปทรงตันเก ิ ดจากการหม ุ นอาณาบร ิ เวณ R รอบเส้นตรง y = k ดังรูป
จำกรูปจะเห็นว่ำ รัศมีของพื้นที่ภำคตัดคือ และโ ดยกำรพิ จำรณ ำใ น ลักษณะเดียวกับกำรหมุนรอบแกน x จะได้ปริมำตรรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนอำณำบริเวณ R รอบ เส้นตรง y = R คือ f (x) k − ค. กรณ ี ทร ีู่ ปทรงตันเกด ิ จากการหม ุ นอาณาบร ิ เวณ R รอบแกน y ให้ R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงกรำฟ x = g(y) กับแกน yจำก y = a ถึง y = b ดังรูปที่ 3 ให้ v เป็นปริมำตรรูปทรงตันที่เกิดจำกแกนหมุนอำณำบริเวณ R รอบแกน y ดังรูปที่ 4 รูปที่3 รูปที่4
ถ้ำตัดรูปทรงตันนี้ ด้วยระนำบที่ตั้งฉำกกับแกน y ที่ y ใด ๆ ในช่วง [a, b] จะได้ พื้นที่ภำคตัดเป็นวงกลมรัศมีเท่ำกับ g(y) ให้ A(y) เป็นพื้นที่ของภำคตัดจะได้ A(y) = 2 g(y) ดังนั้น จะได้ปริมำตรรูปทรงตัน เท่ำกับ v = = b a A(y)dy b 2 a [g(y)] dy หรือ และโดยกำรพิจำรณำในลักษณะเดียวกับกำรหมุนรอบแกน yจะได้ปริมำตรที่เกิด จำกกำรหมุนอำณำบริเวณ R รอบเส้นตรง x = h คือ
กรณ ี ท ี่2 กำรหำปริมำตรรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนโดยมีภำคตัดเป็นวงแหวน ให้ y = f(x) และ y = (x) เป็นฟังก์ชันบนช่วง [a, b] และ 0 g(x) f(x) ทุก x [a, b] ก. กรณ ี ทร ีู่ ปทรงตันเกด ิ จากการหม ุ น อาณาบร ิ เวณ R รอบแกน x R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงกรำฟ y = f(x) และ y = g(x) บนช่วง x = a ถึง x = b ดังรูปที่ 5 v เป็นปริมำตรรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนอำณำบริเวณ R รอบแกน x ดังรูปที่ 6ซึ่งเป็นทรงตันที่มีช่วงกลวงตรงกลำง เรียกว่ำทรงตันรูปวงแหวน ถ้ำตัดรูปทรงตันนี้ด้วยระนำบ รูปที่5 รูปที่6
ที่ตั้งฉำกกับแกน x ที่ x ใด ๆ บนช่วง [a, b]จะได้พื้นที่ภำคตัดเป็นรูปวงแหวน จะเห็นว่ำพื้นที่ภำคตัดเป็นรูปวงแหวนรัศมีวงนอกเท่ำกับ f(x) รัศมีวงในเท่ำกับ g(x) ให้ A(x) เป็นพื้นที่ภำคตัดรูปวงแหวน จะได้พื้นที่ A(x) = 2 2 [f(x)] [g(x)] − = 2 2 [f(x)] [g(x)] − ดังนั้น จะได้ปริมำตรทรงตันรูปวงแหวน เท่ำกับ v = = b a A(x)dx b 2 2 a [f(x)] [g(x)] dx − หรือ และ กรณีหมุนรอบเส้นตรง y = kจะได้
ข. กรณ ี ทร ีู่ ปทรงตันทเ ี่กด ิ จากการหม ุ นอาณาบร ิ เวณ R รอบแกน y ให้ x = u(y) และ x = v(y) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b]และ0 v(y) u(y) ทุก y [a, b] R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงกรำฟ x = u(y) และ x = v(y) บนช่วง y = a ถึง y = b ดังรูปที่ 7 v เป็นปริมำตรรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนอำณำบริเวณ R รอบแกน y จะได้ ทรงตันที่มีช่วงกลวงตรงกลำง เรียกว่ำทรงตันรูปวงแหวน และถ้ำตัดรูปทรงตันนี้ด้วยระนำบที่ตั้งฉำกกับ แกน y ที่ y ใด ๆ บนช่วง [a, b]จะได้พื้นที่ภำคตัดเป็นรูปวงแหวน ดังรูปที่ 8 รูปที่ 7 รูปที่ 8
จะได้ปริมำตรทรงตันรูปวงแหวน คือ และกรณีหมุนรอบเส้นตรง x = hจะได้ 2. การหาปร ิ มาตรร ู ปทรงตันท ี่เก ิ ดจากการหม ุ นโดยว ิ ธ ี แบบเปล ื อก (Shells Method) เป็นกำรหำปริมำตรของรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนพื้นที่ โดยกำรสร้ำงสี่เหลี่ยมผืนผ้ำให้ขนำน กับแกนหมุน แล้วให้พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้ำนี้หมุนรอบแกนหมุนจะเกิดเป็นท่อ ซึ่งมีควำมหนำของผนังท่อ เท่ำกับ dx กรณ ี ท ี่1 ปริมำตรที่เกิดจำกกำรหมุนรอบแกน y ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b]และ R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงเส้นโค้ง y = f(x) กับแกน xจำก x = a ถึง x = b ดังรูปที่9
ให้ w เป็นรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนอำณำบริเวณ R รอบ y ดังรูปที่10จะเห็น ว่ำ w เป็นรูปทรงตันวงแหวน รูปที่ 9 รูปที่ 10 ให้ v เป็นปริมำตรของ w สำมำรถหำ v ได้ด้วยวิธีกำรดังนี้ แบ่งช่วง [a, b]ออกเป็น nช่วง แต่ละช่วงมีควำมกว้ำงเท่ำกับ xi โดย xi = xi – xi–1 เมื่อ i = 1, 2, 3, …,nแต่ละช่วงย่อย [xi–1 , xi ] สร้ำงสี่เหลี่ยมผืนผ้ำให้มีควำมสูงเท่ำกับ เมื่อ เป็นค่ำใด ๆ ในช่วง [xi–1 , xi ] แล้วหมุนสี่เหลี่ยมนี้รอบแกน y จะเกิดรูปทรงตันมีลักษณะเป็นเปลือก ทรงกระบอกn รูป แต่ละรูปมีปริมำตรโดยประมำณเท่ำกับ * i f (x ) * i x
ควำมยำวเส้นรอบวง ควำมสูง ควำมหนำเท่ำกับ * * i i i 2 x f(x ) x ให้ S n เป็นผลรวมปริมำตรของเปลือกทรงกระบอก n รูป จะได้ S n = เป็นปริมำตรโดยประมำณของรูปทรงตัน w n * * i i i 1 1 2 x f(x ) x = ถ้ำแบ่งช่วง [a, b] ให้แต่ละช่วงมีควำมกว้ำงใกล้ศูนย์ หรือ n → ก็จะได้ ผลบวกของปริมำตรของเปลือกทรงกระบอก มีค่ำเท่ำกับปริมำตรรูปทรงตัน w นั่นคือ v = n = n lim S → n * * i i i n i 1 lim 2 x f(x ) x → = เนื่องจำก คือ อินทิกรัลจ ำกัดเขต n * * i i i n i 1 lim 2 x f(x ) x → = b a 2 xf(x)dx ดังนั้น ปริมำตรรูปทรงตัน w คือ ถ้ำพิจำรณำจำกเปลือกทรงกระบอกก็จะได้สูตรกำรหำปริมำตรโดยวิธีแบบ เปลือกที่ง่ำยต่อกำรจ ำ คือ
ดังรูปที่ 11 ถ้ำมีเงื่อนไขอื่นเปลี่ยนแปลงไป สำมำรถปรับปรุงสูตรในสมกำร (1) ได้ เช่น กรณี หมุนอำณำบริเวณ R รอบเส้นตรง x = h ท ำให้รัศมีของเปลือกทรงกระบอก มีค่ำเท่ำกับ x – h (ค่ำอื่นคง เดิม) ดังนั้นสูตรปริมำตรรูปทรงตัน คือ
กรณี R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงกรำฟ y = f(x) กับเส้นโค้ง y = g(x) โดยที่ f(x) g(x) และหมุนอำณำบริเวณ R รอบแกน yจะได้สูตรปริมำตรรูปทรงตัน ดังนี้ กรณี R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงกรำฟ y = f(x) กับเส้นโค้ง y = g(x) โดยที่ f(x) g(x) และหมุนอำณำบริเวณ R รอบเส้นตรง x=hจะได้สูตรปริมำตรรูปทรงตัน ดังนี้ หมายเหตุกำรใช้สูตรหำปริมำตรโดยวิธีเปลือก ค่ำรัศมีค่ำควำมสูงที่แทนใน สูตร จะต้องเป็นบวกเสมอ
ให้ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงกรำฟ x = g(y) กับแกน yจำก y = a ถึง y = a ถึง y = b ดังรูปที่ 12 ให้ w เป็นรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนอำณำบริเวณ R รอบแกน x ดังรูปที่13 จะเห็นว่ำ w เป็นรูปทรงตันวงแหวน กรณ ี ท ี่2 ปริมำตรที่เกิดจำกกำรหมุนรอบแกน x รูปที่ 12 รูปที่ 13
ถ้ำ v เป็นปริมำตรของรูปทรงตัน w ด้วยวิธีกำรเช่นเดียวกัน กำรหำปริมำตรที่เกิด จำกกำรหมุนรอบแกน y โดยวิธีแบบเปลือก จะได้สูตรปริมำตรของรูปทรงตันที่เกิดจำกกำรหมุนอำณำ บริเวณ R รอบแกน x คือ กรณีหมุนอำณำบริเวณ R รอบเส้นตรง y = k ท ำให้รัศมีของเปลือก ทรงกระบอกมีค่ำเท่ำกับ y – k (ค่ำอื่นคงเดิม) สูตรปริมำตรรูปทรงตัน คือ กรณี R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงกรำฟ x = g(y) กับเส้นโค้ง y = h(y) โดยที่ g(y) h(y) และหมุนอำณำบริเวณ R รอบแกน xจะได้สูตรปริมำตรรูปทรงตัน คือ
กรณี R เป็นอำณำบริเวณระหว่ำงกรำฟ x = g(y) กับเส้นโค้ง y = h(y) โดยที่ g(y) h(y) และหมุนอำณำบริเวณ R รอบเส้นตรง y = kจะได้สูตรปริมำตรรูปทรงตัน คือ