หัวข้อเรื่อง (Topics) 4.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง 4.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 4.3 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต 4.4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย
หัวข้อเรื่อง (Topics) 4.5 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขยกก าลังและฟังก์ชันลอการิทึม 4.6 การหาอนุพันธ์ของฟังชันตรีโกณมิติ 4.7 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 4.8 อนุพันธ์อันดับสูง
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นส่วนหนึ่งของวิชาแคลคูลัส ซึ่งต้องใช้ลิมิตของฟังก์ชันเป็นพื้นฐาน เรา สามารถน าอนุพันธ์ไปใช้ในการศึกษาวิชาต่าง ๆได้หลายสาขา ส าหรับหน่วยนี้จะเป็นเนื้อหาเบื้องต้นของ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ โดยเริ่มจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน นิยามอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหา อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย การหาอนุพันธ์ฟังก์ชันเลขยกก าลัง และลอการิทึม การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ และอนุพันธ์อันดับสูง ดังนี้ 4.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง พิจารณาฟังก์ชัน y = x3 ถ้าให้ x = 3 จะได้y = 3 3 = 27 ถ้าให้x = 5 จะได้ y = 5 3 = 125 จะเห็นว่าถ้าค่า x เปลี่ยนแปลงจาก 3 ไปเป็น 5 ซึ่งเปลี่ยนแปลงไปเท่ากับ 5 –3 = 2 แล้วค่าของ y ก็ จะเปลี่ยนแปลงไปจาก 27 เป็น 125 ซึ่งเปลี่ยนแปลงไปเท่ากับ 125 –27 = 98
และจะเรียกเศษส่วนจ านวน = 98 2 ส่วนที่เปลี่ยนแปลงของตัวแปร y ส่วนที่เปลี่ยนแปลงของตัวแปร x ว่า “อัตราการเปล ี่ยนแปลงเฉล ี่ย” ของฟังก์ชันในช่วง x = 3 ถึง x = 5 ในที่นี้ส่วนที่เปลี่ยนแปลงไป ของ x เรียกว่า ส่วนเพิ่มของ x (Increment) ซึ่ง เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x และส่วนที่เปลี่ยนแปลงไป ของ y เราจะเรียกว่า ส่วนเพิ่มของ yซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ y จากตัวอย่างข้างต้นนี้จะได้ว่า x = 5 – 3 = 2 y = 125 –27 = 98 พิจารณาฟังก์ชัน y = f(x) (1) ถ้าให้ x เปลี่ยนแปลงจาก x ไปเป็น x + x และ y เปลี่ยนแปลงจาก y เป็น y + y จากสมการ (1) จะได้ y + y = (2) สมการ (2) – (1) จะได้ = y = (3) เอา x หารสมการ (3) ตลอดจะได้ = (4) f(x x) + y y y + − f(x x) f(x) + − f(x x) f(x) + − y x f(x x) f(x) x + −
จะเรียกสมการ (4) นี้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของฟังก์ชันในช่วง x ถึง x + x จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้ เราสามารถให้นิยามของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้ ดังนี้ นิยาม ก าหนด y = f(x) เป็นฟังก์ชัน เมื่อค่า x เปลี่ยนไปเป็น x + x โดยที่ x 0 ค่าของฟังก์ชัน y ก็จะเปลี่ยนแปลงจาก f(x) ไปเป็น f(x + x) แล้วจะได้ว่า a. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + x คือ = b. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ xขณะ x มีค่าใด ๆ คือ y x f(x x) f(x) x + − x 0 f(x x) f(x) lim → x + − ค่าของอัตราส่วน = เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 y x f(x x) f(x) x + − เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ = x 0 y lim → x x 0 f(x x) f(x) lim → x + −
ถ้าลิมิตนี้มีค่า เรียกค่านี้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน y = f(x) เทียบกับค่า ตัวแปร x ขณะ x มีค่าใด ๆ ค่าลิมิตที่ได้ในลักษณะนี้มีความส าคัญมาก ในหัวข้อต่อไปจะเรียกว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ตัวอย่าง ก าหนดให้ y = x2 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะที่ x มีค่าใด ๆ แนวคิด จากนิยาม อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ xขณะที่ x มีค่าใด ๆ เท่ากับ = 2 2 x 0 f(x x) f(x) lim → x + − = x 0 f(x x) f(x) lim → x + − 2 2 2 x 0 x 2x( x) ( x) x lim → x + + − = x 0 x(2x x) lim → x + = x 0 lim (2x x) → +
4.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน จากนิยาม มีข้อสรุปเพิ่มเติม ดังนี้ อนุพันธ์ของ f เทียบกับ x เขียนแทนด้วย f(x) = (1) x 0 f(x x) f(x) lim → x + − จากสมการ (1) ถ้าให้ h = x จะได้ f(x) = (2) h 0 f(x h) f(x) lim → h + −
ดังนั้น อนุพันธ์ของ f ที่จุด x = a เขียนแทนด้วย f(a) = (3) h 0 f(a h) f(a) lim → h + − จากสมการ (3) ถ้าให้ x = a + h จะได้ h = x – a และจะได้ว่า h → 0 ก็ต่อเมื่อ x → a ดังนั้น อนุพันธ์ของ f ที่จุด x = a อีกแบบหนึ่งคือ f(a) = (4) x a f(x) f(a) lim → x a − − เมื่อพิจารณานิยาม 4.1 และนิยามที่ 4.2 ประกอบกัน จะได้ว่า อัตราการเปล ี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะท ี่x มีค่าใด ๆ ก็คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับ x หมายเหตุ 1. y อ่านว่า วายไพร์ม 3. f(x) อ่านว่า เอฟไพร์มออฟเอกซ์ 2. อ่านว่า ดีวายบายดีเอกซ์ dy dx
ตัวอย่าง ก าหนด y = จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้นิยาม x แนวคิด ดังนั้น = dy dx h 0 f(x h) f(x) lim → h + − = h 0 x h x lim → h + − = h 0 x h x x h x lim . h → x h x + − + + + + = h 0 x h x lim → h( x h x + − + + = h 0 h lim → h( x h x + + = = ตอบ dy dx h 0 1 lim → ( x h x + + 1 2 x
4.3 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เราสามารถหาได้หลายวิธี ดังนี้ 4.3.1 การหาอนุพันธ์โดยใช้นิยาม = ซึ่งได้กล่าวไว้แล้วในหัวข้อ 4.2 dy dx x 0 f(x x) f(x) lim → x + − 4.3.2 การหาอน ุ พนัธข ์ องฟังกช ์ันโดยกฎส ี่ขั้น การหาอนุพันธ์โดยกฎสี่ขั้น มีขั้นตอนในการหา ดังนี้ ก าหนดให้ y = f(x) (1) ขั้นท ี่1 ให้ x เปลี่ยนเป็น x + xและ y เปลี่ยนเป็น y = y จากสมการ (1) จะได้ y y + = f(x x) + (2) ขั้นท ี่2 หา y โดยน า (2) – (1) จะได้ y y y + − = f(x x) f(x) + − y = f(x x) f(x) + − (3)
ขั้นท ี่3 น า x หารสมการ (3) ตลอด จะได้ = y x f(x x) f(x) x + − ขั้นท ี่4 หาลิมิตของ เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จะได้ y x = x 0 y lim → x x 0 f(x x) f(x) lim → x + − = (4) dy dx x 0 f(x x) f(x) lim → x + − เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เมื่อเทียบกับตัวแปรอิสระ x โดยที่ลิมิตนั้นหาค่าได้
ตัวอย่าง ก าหนด จงหาอนุพันธ์โดยใช้กฎสี่ขั้น 2 y 3x x 5 = + + แนวคิด ให้ y = (1) 2 3x x 5 + + ขั้นท ี่1 แทน x ด้วย x + x และแทน y ด้วย y = y ในสมการลง (1) จะได้y + y = = y + y = (2) 2 3(x x) (x x) 5 + + + + 2 2 3[x 2x x ( x) ] x x 5 + + + + + 2 2 3x 6x x 3( x ) x x 5 + + + + + ขั้นท ี่2 หา y โดยน าเอา (2) – (1) จะได้ จะได้y + y – y = y = (3) 2 2 2 3x 6x x 3( x ) x x 5 3x x 5 + + + + + − − − + + 2 6x x 3( x ) x ขั้นท ี่3 น า x หารสมการ (3) ตลอด จะได้ = y x 2 6x x 3( x ) x x + + = 6x + 3x + 1 (4) y x
ขั้นท ี่4 หาค่าลิมิต เมื่อ x → 0 ในสมการ (4) ได้ ดังนี้ y x = 6x +1 = x 0 y lim → x x 0 lim (6x 3 x 1) → + + นั่นคือ = 6x + 1 ตอบ dy dx 4.3.3 การหาอน ุ พนัธข ์ องฟังกช ์ันโดยใช ้ ส ู ตร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กล่าวมาแล้วข้างต้น เป็นการหาอนุพันธ์โดยให้นิยามซึ่งมีความ ยุ่งยาก ซับซ้อน และเสียเวลามาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในขั้นตอนการหาลิมิต ดังนั้น เพื่อให้การหาอนุพันธ์ ของฟังก์ชันท าได้สะดวกรวดเร็ว ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงสูตร ส าหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน ซึ่งจะเป็นสูตรพื้นฐานส าหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยทั่วไป ยกตัวอย่าง 2 สูตร ดังนี้
ตัวอย่าง 1. ก าหนดให้ f(x) = 9จะได้ว่า f(x) = = 0 d9 dx 2. ก าหนดให้ f(x) = –12จะได้ว่า f(x) = = 0 d( 12) dx − 3. ก าหนดให้ จะได้ว่า 2 f(x) 3 = f(x) = = 0 d 2 dx 3 4. ก าหนดให้y = 3 จะได้ว่า = = 0 dy dx d 3 dx
ตัวอย่าง 1. ก าหนดให้ f ( y ) = y จะได้ว่า f ( y ) = = 1 dy dy 2. ก าหนดให้ f ( t ) = t จะได้ว่า f ( t ) = = 1 dt dt
4.3.4 กฎล ู กโซ่ (Chain Rule) ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันซึ่งก าหนดโดย y = f(u) และ u = g(x) จะได้ว่า y = f(g(x)) = (f g)(x) เรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันประกอบ การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ สามารถหาได้โดยการหาสูตรของ โดยตรง แล้วหาอนุพันธ์จากฟังก์ชัน y ให้อยู่ในรูปของตัวแปร x f g กฎล ู กโซ่ ก าหนดให้ y = f(u) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ uและu = g(x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x จะได้ว่า y = f g(x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x และ (f g) (x) = f (g(x))g (x) จากกฎลูกโซ่ สามารถสร้างสูตรส าหรับหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ได้
4.4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย ถ้า xและ y มีความสัมพันธ์ในรูป F(x, y) = c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวและนิยาม y เป็นฟังก์ชันของ x จะกล่าวว่า y เป็นฟังก์ชันโดยปริยาย (Implicit Function) ที่นิยามโดยปริยายด้วยสมการ F(x, y) = c และถ้าเขียนสมการให้อยู่ในรูปแบบ y = f(x) จะเรียก y ว่าฟังก์ชันชัดแจ้ง (Explicit Function) พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ถ้าสมการ xy + y – x + 1 = 0 สามารถจัดสมการใหม่ให้อยู่ ในรูป y = f(x) ได้เป็น y = จะเห็นว่า y เป็นฟังก์ชันของ x นั่นคือ y = f(x) = x 1 x 1 − + x 1 x 1 − + จากตัวอย่างนี้ กล่าวได้ว่า y เป็นฟังก์ชันของ x ที่นิยามโดยปริยายด้วยสมการ xy + y – x + 1 = 0 หรือเรียก y ว่าฟังก์ชันโดยปริยาย ความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y บางสมการสามารถก าหนดฟังก์ชันได้หลายฟังก์ชัน เช่น ความสัมพันธ์ x 2 + y 2 = 4 สามารถจัดใหม่ได้เป็ น y = ซึ่งแยกได้เป็ น 2 ฟั งก์ชัน คือ f(x) = และ f(x) = เรียกฟังก์ชันทั้งสองนี้ว่า ฟังก์ชันโดยปริยายที่นิยามด้วยสมการ x 2 + y2 = 4 2 4 x − 2 − −4 x การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย ถ้าสามารถเขียนสูตรของฟังก์ชันให้อยู่ในรูปฟังก์ชันชัดแจ้งได้ ก็หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้โดยตรง แต่บางครั้งก็เสียเวลาหรือยุ่งยากมาก ยังมีวิธีการหาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันโดยปริยายได้อีกวิธีหนึ่ง โดยสามารถหาจากสมการ F(x, y) = c ดังนี้
จากสมการ F(x, y) = c ให้หาอนุพันธ์ของทุกพจน์ในสมการเทียบกับตัวแปร x โดยถือว่า y เป็น ฟังก์ชันของ x นั่นคือ = d F(x,y) dx dc dx ผลที่ได้จะเป็นสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง x, y และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y สามารถจัดรูป สมการใหม่เพื่อหา ได้ dy dx เรียกการหาอนุพันธ์โดยวิธีนี้ว่า การหาอนุพันธ์โดยปริยาย ตัวอย่าง ก าหนดให้ y เป็นฟังก์ชันโดยปริยาย นิยามด้วยสมการ = 5จงหา 3 3 2 x y 3x y + − dy dx แนวคิด จากโจทย์จะได้ = d 3 3 2 (x y 3x y) dx + − d 5 dx = 0 d d d 3 3 2 (x ) (y ) (3x y) dx dx dx + − 3 2 2 dy dy 3x 3y 3 x y(2x) dx dx + − + = 0 = 0 2 2 2 dy dy 3x 3y 3x 6xy dx dx + − −
= 2 2 dy (3y 3x )dx − 2 6xy 3x − = dy dx 2 2 2 6xy 3x 3y 3x − − = 2 2 2 3(2xy x ) 3(y x ) − − dy dx = ตอบ 2 2 2 2xy x y x − −
4.5 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขยกก าลังและฟังก์ชันลอการิทึม ก่อนจะศึกษาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขยกก าลังและฟังก์ชันลอการิทึมจะขอทบทวนนิยามและสมบัติ ต่าง ๆ ของฟังก์ชันทั้งสองดังนี้ 4.5.1 ฟังก์ชันเลขยกก าลัง (Exponential Function) ฟังก์ชันเลขยกก าลัง มีสมบัติดังนี้ 1. โดเมนของฟังก์ชันเลขยกก าลัง คือ เซตของจ านวนจริง และเรนจ์ของฟังก์ชันเลขยกก าลัง คือเซต ของจ านวนจริงบวก 2. ฟังก์ชันเลขยกก าลังที่มี a >1จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มตลอดช่วงโดเมน และฟังก์ชันเลขยกก าลัง ที่มี0 < a < 1จะเป็นฟังก์ชันลดตลอดช่วงโดเมน 3. เมื่อ x = 0จะได้ y = 1 ทุกจ านวนจริงบวก a ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันเลขยกก าลังจะผ่านจุด (0, 1) เสมอ
สมบัติเลขยกก าลัง
4.5.2 ฟังก์ชันลอการิทึม พิจารณาจากกราฟของฟังก์ชันเลขยกก าลัง y = ax ถ้าลากเส้นตรงขนานกับแกน x ให้ตัด กราฟของฟังก์ชัน จะเห็นว่าเส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดกราฟเพียงจุดเดียว แสดงว่าฟังก์ชันเลขยกก าลังเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงมีฟังก์ชันผกผันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย ฟังก์ชันผกผันของ ฟังก์ชันเลขยกก าลัง เรียกว่า ฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันลอการิทึม มีสมบัติดังนี้ 1. โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึม คือ เซตของจ านวนจริงบวก เรนจ์ของฟังก์ชันลอการิทึม คือ เซตของ จ านวนจริง 2. ฟังก์ชันลอการิทึมที่มี a > 1จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มตลอดช่วงโดเมน และฟังก์ชันลอการิทึมที่มี0 < a < 1จะเป็นฟังก์ชันลดตลอดช่วงโดเมน 3. เมื่อ x = 1จะได้ y = 0 ทุกจ านวนจริงบวก a ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมจะผ่านจุด (1, 0) เสมอ
โดยที่ ลอการ ิ ทม ึ ทส ี่า คัญ ลอการิทึมสามัญ (Common Logarithms) คือ ลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 นิยมเขียนโดยไม่ระบุฐาน คือเขียนในรูป log x log10 x = log x
loge x = ln x ลอการิทึมฐานธรรมชาติ (Natural Logarithms) คือ ลอการิทึมที่มีฐานเป็นจ านวน e นิยมเขียนโดย ใช้สัญลักษณ์ln x โดยที่ ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่มีความส าคัญมาก เพื่อความสะดวกในการศึกษาต่อไป จะน าสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมมารวบรวมไว้ ดังนี้
4.5.3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) = ln x หาได้ ดังนี้ จาก = d (f (x)) dx h 0 f(x h) f(x) lim → h + − จะได้ = d ln x dx h 0 ln(x h) ln x lim → h + − = h 0 1 x h lim ln → h x + = h 0 x h lim ln 1 → xh x + = h 0 1 x h lim ln 1 x h x → + = x h h 0 1 1 lim ln 1 x x h → +
ให้ w = เมื่อ จะได้ x h h 0 → w → d ln x dx ดังนั้น = w w 1 1 lim ln 1 x w → + = w w 1 1 ln lim 1 x w → + = (เพราะว่า = e) 1 lne x w w 1 lim 1 → w + = 1 x นั่นคือ = (1) d ln x dx 1 x เนื่องจาก a = log x ln x lna ดังนั้น a = = d log x dx 1 d ln x lna dx 1 1 lna x
= (3) d ln u dx 1 du u dx a d log u dx = (4) 1 du u lna dx นั่นคือ = (2) a d log x dx 1 x lna ถ้าให้ u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x ซึ่ง u(x) > 0 โดยกฎลูกโซ่ จะได้สูตรการหาอนุพันธ์ โดยทั่วไป ถ้าให้ u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x ซึ่ง u(x) > 0 โดยกฎลูกโซ่ จะได้สูตรการหาอนุพันธ์ โดยทั่วไป
ตัวอย่าง ก าหนดให้ y = ln x จงหา dy dx แนวคิด ฟังก์ชัน y = ln x หาค่าได้เมื่อ x R ยกเว้น x = 0 และ x ; x 0 x x ; x 0 = − แยกพิจารณาเป็น 2 กรณี ดังนี้ กรณีx > 0 จะได้y = ln x ดังนั้น = dy dx d ln x dx = dy dx 1 x กรณีx < 0 จะได้y = ln(–x) ดังนั้น = dy dx d ln( x) dx − = 1 d ( x) x dx − − dy dx = 1 x ทั้ง 2 กรณี ได้ค่าเท่ากัน ดังนั้น = ตอบ dy dx 1 x
จากตัวอย่าง ท าให้ได้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มเติม = เมื่อx 0 (5) d ln x dx 1 x ถ้าให้ u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x ซึ่ง u(x) > 0 โดยกฎลูกโซ่ จะได้สูตรการหาอนุพันธ์โดยทั่วไป ดังนี้ = เมื่อu 0 (6) d ln u dx 1 du u dx ตัวอย่าง ก าหนดให้ f(x) = จงหา f(x) 2 log x แนวคิด เนื่องจาก f(x) = 2 log x ดังนั้น f(x) = 2 d log x dx f(x) = ตอบ 1 x ln 2
4.5.4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขยกก าลัง หัวข้อนี้จะใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมหาสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขยกก าลัง ดังนี้ ก าหนดฟังก์ชันเลขยกก าลัง y = ax หาอนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้าง a = d log y dx dx dx = 1 1 dy y lna dx = ylna dy dx = x a lna นั่นคือ (7)
ถ้าให้ a = eจากสูตร 7 จะได้ (8) ถ้าให้ u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x จากสูตร (7) และ (8) โดยกฎลูกโซ่จะได้สูตรการหาอนุพันธ์ ของฟังก์ชันเลขยกก าลังโดยทั่วไป ดังนี้ (9) (10) สรุปสูตรส าหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม และฟังก์ชันเลขยกก าลัง
ก าหนดให้ u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ xอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมและฟังก์ชันเลขยก ก าลังหาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้
4.5.5 การหาอนุพันธ์โดยใช้ลอการิทึม การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตที่อยู่ในรูปผลคูณ ผลหาร หรือยกก าลัง สามารถเปลี่ยน ฟังก์ชันเหล่านี้ให้อยู่ในรูปลอการิทึม แล้วหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้วยวิธีการหาอนุพันธ์โดยปริยาย โดยมี หลักการหาอนุพันธ์ ดังนี้ 1. เปลี่ยนฟังก์ชันให้อยู่ในรูปลอการิทึม 2.จัดให้อยู่ในรูปอย่างง่ายโดยใช้สมบัติของลอการิทึม 3. หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ x ศึกษาการหาอนุพันธ์โดยใช้ลอการิทึมจากตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง ก าหนดให้ x 2 y x + = แนวคิด จาก y = x 2 x + จะได้ ln y = = x 2 lnx + (x 2)lnx + = d ln y dx d (x 2)ln x dx + 4.แก้สมการหาค่า dy dx
= 1 dy y dx d d (x 2) ln x ln x (x 2) dx dx + + + = dy dx x 2 ln x y x x 2 + + + x 2 x 2 ln x x x x 2 + + + + = ตอบ dy dx
4.6 การหาอนุพันธ์ของฟังชันตรีโกณมิติ ก่อนที่จะศึกษาการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขอทบทวนสูตรตรีโกณมิติที่ควรทราบซึ่งมีดังนี้
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในหน่วยนี้จะแสดงการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตรเพื่อ สะดวกในการน าสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปใช้ จะสรุปสูตรต่าง ๆ ไว้เป็น 2 ส่วน ดังนี้
การน าสูตรไปใช้ศึกษาได้จากตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง ก าหนดให้ f(x) = cos x sin xจงหา f(x) แนวคิด f(x) = d cosxsin x dx = d d cosx (sin x) sin x (cosx) dx dx + = cosx(cosx) sinx( sinx) + − f(x) = 2 2 cos x sin x − ตัวอย่าง ก าหนดให้f(x) = sec3 xจงหา f(x) แนวคิด f(x) = d 3 sec x dx = 2 d 3sec x sec x dx = 2 3sec xsecxtanx f(x) = 3 3sec xtanx
4.7 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เนื่องจากฟั งก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็ นฟั งก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนโดเมนปกติของฟั งก์ชัน ดังนั้น ความสัมพันธ์ผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติจึงไม่เป็ นฟังก์ชัน แต่สามารถจ ากัดโดเมน ของฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ เพื่อให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและท าความสัมพันธ์ผกผันให้เป็นฟังก์ชันได้ และเรียก ความสัมพันธ์ผกผันนี้ว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ศึกษาได้จากนิยามต่อไปนี้
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในหน่วยนี้จะศึกษาการหาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันโดยใช้สูตร ก าหนดให้ uเป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x สามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันโดยใช้สูตร ดังต่อไปนี้
การน าสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันไปใช้ ศึกษาได้จากตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง ก าหนดให้ y = จงหา 1 2 sin x − dy dx แนวคิด = dy dx d 1 2 sin x dx − = 2 2 2 1 d x dx 1 (x ) − dy dx = ตอบ 4 2x 1 x − ตัวอย่าง ก าหนดให้ y = จงหา 1 cos (3x 1) − − dy dx แนวคิด = dy dx d 1 cos (3x 1) dx − − = 2 1 d (3x 1) dx 1 (3x 1) − − − − dy dx = = ตอบ 2 3 1 (9x 6x 1) − − − + 2 3 6x 9x − −
4.8 อนุพันธ์อันดับสูง ถ้า y = f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ xจะได้อนุพันธ์ของ f(x) คือ = f(x) = เมื่อลิมิตหาค่าได้ dy dx h 0 f(x h) f(x) lim → h + − เรียก f(x) ว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ f(x) ถ้า f(x) มีอนุพันธ์ที่ x จะเรียกอนุพันธ์ของ f(x) ว่าอนุพันธ์อันดับที่สองของ f(x) และเขียนแทนด้วย f(x) หรือ 2 2 d y dx นั่นคือ = f(x) = เมื่อลิมิตหาค่าได้ 2 2 d y dx h 0 f (x h) f (x) lim → h + − ถ้า f(x) มีอนุพันธ์ที่ x จะเรียกอนุพันธ์ของ f(x) ว่าอนุพันธ์อันดับที่สามของ f(x) และเขียนแทน ด้วย f (x) หรือ 3 3 d y dx นั่นคือ = = เมื่อลิมิตหาค่าได้ 3 3 d y dx f (x) h 0 f (x h) f (x) lim → h + − กล่าวโดยทั่วไป คืออนุพันธ์ของ โดยที่ = y n = f n (x) = เมื่อลิมิตหาค่าได้ n n d y dx ( n 1) ( n 1) h 0 f (x h) f (x) lim h − − → + −
และ nเป็นจ านวนเต็มบวก ดังนั้น ถ้า y = f(x) แล้วจะได้ว่า อนุพันธ์อันดับหนึ่ง คือ = y = f(x) = dy dx h 0 f(x h) f(x) lim → h + − อนุพันธ์อันดับสอง คือ = y = f(x) = 2 2 d y dx h 0 f (x h) f (x) lim → h + − อนุพันธ์อันดับสาม คือ = = = 3 3 d y dx y f (x) h 0 f (x h) f (x) lim → h + − อนุพันธ์อันดับ n คือ = y n = f n (x) = n 1 n 1 h 0 f (x h) f (x) lim → h − − + − n n d y dx ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์อันดับ 2ของ f(x) = 3 x 2 4x x 9 3 − − + แนวคิด จาก f(x) = 3 x 2 4x x 9 3 − − + อนุพันธ์อันดับหนึ่ง คือ f(x) = = 3 d x 2 ( 4x x 9) dx 3 − − + 2 x 8x 1 − − อนุพันธ์อันดับสอง คือ f(x) = = 2x -8 ตอบ d 2 (x 8x 1) dx − −