หัวข้อเรื่อง (Topics) 2.1 ฟังก์ชันเศษส่วน 2.2 การแยกฟังก์ชันเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนย่อย
2.1 ฟังก์ชันเศษส่วน ฟังก์ชันเศษส่วน (Rational Function) หรือฟังก์ชันตรรกยะ เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = เมื่อ p(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม เช่น p(x) Q(x) f(x) = หรือ f(x) = เป็นต้น 2 4x 5 x x 2 − − − 4 3 3 2x 5x 2x 4 3x 5x 5 + + − − + พิจารณาเศษส่วน จะได้ว่า ฟังก์ชันพหุนามของตัวเศษ 4x – 5 มีระดับขั้นพหุนาม หรือ ดีกรี (Degree) เท่ากับ 1และฟังก์ชันพหุนามของตัวส่วน x 2 – x –2 มีระดับขั้นพหุนาม เท่ากับ 2 2 4x 5 x x 2 − − − พิจารณาฟังก์ชันเศษส่วน จะได้ว่า ฟังก์ชันพหุนามของตัวเศษ 2x 4 + 5x 3 +2x– 4 มีระดับขั้นพหุนาม เท่ากับ 4 และฟังก์ชันพหุนามของตัวส่วน 3x 3 –5x + 5 มีระดับขั้นพหุนาม เท่ากับ 3 4 3 3 2x 5x 2x 4 3x 5x 5 + + − − + ดังนั้นหากพิจารณาระดับพหุนามของตัวเศษและตัวส่วนแล้วจะเห็นว่า เราสามารถแบ่งเศษส่วน ได้เป็น 3 ลักษณะด้วยกัน คือ p(x) Q(x)
1. ระดับขั้นพหุนามของ p(x) มากกว่า ระดับขั้นพหุนามของ Q(x) เช่น 4 3 3 2x 5x 2x 4 3x 5x 5 + + − − + 2. ระดับขั้นพหุนามของ p(x) เท่ากับ ระดับขั้นพหุนามของ Q(x) เช่น 2 2 x 5 3x 5x 2 − + + 3. ระดับขั้นพหุนามของ p(x) น้อยกว่า ระดับขั้นพหุนามของ Q(x) เช่น 2 4x 5 x x 2 − − − เราจะเรียกเศษส่วนในลักษณะที่ 3 นี้ว่า เศษส่วนแท้ (Proper Fractions)และเศษส่วน สามารถเขียนได้ในรูป เราจะเรียก และ ว่า เศษส่วนย่อย (Partial Fractions) โดยทุกพจน์ของเศษส่วนย่อยที่ได้จากการแยกฟังก์ชันเศษส่วนแล้วนั้นจะมีฟังก์ชันพหุนามตัวส่วนเป็น ฟังก์ชันพหุนามเชิงเส้น หรือเป็นฟังก์ชันพหุนามที่มีระดับขั้นพหุนามเท่ากับ 2 2 4x 5 x x 2 − − − 1 3 x 2 x 1 + − + 1 x 2 − 3 x 1 + เราจะเรียกวิธีการท าให้ฟังก์ชันเศษส่วนกลายเป็นเศษส่วนย่อยว่า การแยกฟังก์ชันเศษส่วน ออกเป็ นเศษส่วนย่อย
แยกตัวประกอบของส่วน Q(x) ออกเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นหรือตัวประกอบ พหุนามที่มีระดับขั้นพหุนาม เท่ากับ 2 ซึ่งตัวประกอบที่ได้จะมี 4 แบบด้วยกัน คือ ท าฟังก์ชันเศษส่วนให้เป็นฟังก์ชันเศษส่วนแท้ นั่นคือ ระดับขั้นพหุนามของตัวเศษน้อยกว่าระดับขั้นพหุนามของตัวส่วน สมมติว่าฟังก์ชันเศษส่วนแท้อยู่ในรูป 2.2 การแยกฟังก์ชันเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนย่อย ขั้นตอนการแยกฟังก์ชันเศษส่วนออกเป็นเศษส่วนย่อย p(x) Q(x) 1. ตัวประกอบเชิงเส้น : ax + b 2. ตัวประกอบเชิงเส้นที่มีพจน์ซ ้ากัน : (ax + b) n 3. ตัวประกอบพหุนามที่มีระดับขั้นพหุนามเท่ากับ 2 : 2 ax bx c + + 4. ตัวประกอบพหุนามที่มีระดับขั้นพหุนามเท่ากับ 2 ที่มีพจน์ซ ้ากัน : 2 n (ax bx c) + +
สมมติเศษส่วนย่อยโดยพิจารณาจากตัวประกอบที่แยกได้ในขั้นที่ 2 ซึ่งแบ่งได้เป็น 4 กรณี ดังนี้ 1. ตัวประกอบเชิงเส้น : ax + b ให้สมมติเศษส่วนย่อยเป็น A ax b + 2. ตัวประกอบเชิงเส้นที่มีพจน์ซ ้ากัน : (ax + b) n ให้สมมติเศษส่วนย่อยเป็น 1 2 n 3 2 3 n A A A A ax b (ax b) (ax b) (ax b) + + + + + + + + 3. ตัวประกอบพหุนามที่มีระดับขั้นพหุนามเท่ากับ 2 : 2 ax bx c + + ให้สมมติเศษส่วนย่อยเป็น 2 Ax B ax bx c + + + 4. ตัวประกอบพหุนามที่มีระดับขั้นพหุนามเท่ากับ 2 ที่มีพจน์ซ ้ากัน : ให้สมมติเศษส่วนย่อยเป็น 2 n (ax bx c) + + 1 1 2 2 n n 3 3 2 2 2 2 3 2 n A x B A x B A x B A x B ax bx c (ax bx c) (ax bx c) (ax bx c) + + + + + + + + + + + + + + + +
น าเศษส่วนย่อยที่สมมติในขั้นที่ 3 มารวมกัน และจากนั้นหาค่าคงตัว A, B, A1 , A2 …, An , B1 , B2 , …, Bn ที่สมมติไว้ในขั้นที่ 3 โดยด าเนินการดังนี้ 1. เท ี ยบสมั ประสิทธิ์ 2. การแทนค่า x บางค่า เพื่อให้ตัวประกอบบางพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ข้อสังเกต 1. เราจะไม่สมมติค่าคงตัว A, B, A1 , A2 …, A n , B1 , B2 , …, B n ในขั้นที่ 3 ให้เป็นตัวแปร ที่ซ ้ากัน 2. เราสามารถพิจารณาได้ว่า พหุนามที่มีระดับขั้นพหุนาม เท่ากับ 2 ที่อยู่ในรูป ว่าสามารถแยกตัวประกอบได้หรือไม่ โดยการพิจารณาค่าของ ดังนี้ 2 ax bx c + + 2 b 4ac − (1) ถ้า แล้ว แยกตัวประกอบได้เป็น 2 b 4ac 0 − 2 ax bx c + + 2 2 b b 4ac b b 4ac x x 2a 2a − + − − − − − − (2) ถ้า แล้ว แยกตัวประกอบไม่ได้ 2 b 4ac 0 − 2 ax bx c + +
ตัวอย่าง จงแยกฟังก์ชันเศษส่วนต่อไปนี้ออกเป็นเศษส่วนย่อยโดยไม่ต้องค านวณค่าคงตัว A, B, C, … 2 3 2 2x x 5 x 3x 2x − + + + แนวคิด 1. ขั้นท ี่1 พิจารณาเศษส่วนแท้ เนื่องจากดีกรีของพหุนามตัวเศษเท่ากับ 2และดีกรีของพหุนามตัวส่วน เท่ากับ 3 2 3 2 2x x 5 x 3x 2x − + + + ดังนั้น เป็นเศษส่วนแท้ ขั้นท ี่2 แยกตัวประกอบพหุนามตัวส่วน จะได้ว่า 3 2 x 3x 2x + + = = 3 2 x 3x 2x + + 2 x(x 3x 2) + + x(x 2)(x 1) + +
ขั้นท ี่3 สมมติเศษส่วนย่อย ตัวประกอบตัวแรก คือx ดังนั้น สมมติเศษส่วนย่อยเป็น A x ตัวประกอบตัวที่สอง คือ x + 2 ดังนั้น สมมติเศษส่วนย่อยเป็น B x 2 + ตัวประกอบตัวที่สาม คือ x + 1 ดังนั้น สมมติเศษส่วนย่อยเป็น C x 1 + ขั้นท ี่4 รวมเศษส่วนย่อย จะได้ว่า = ตอบ A B C x x 2 x 1 + + + + 2 3 2 2x x 5 x 3x 2x − + + +