หัวข้อเรื่อง (Topics) 5.1 ความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์ 5.2 ความเร็วลความเร่ง 5.3 อัตราสัมพัทธ์ 5.4 การวิเคราะห์ลักษณะของฟังก์ชัน
5.1 ความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์ ความรู้เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีประโยชน์มาก สามารถใช้เป็นเครื่องมือแก้ปัญหาต่าง ๆ ได้เป็น อย่างดี ในหน่วยนี้จะศึกษาเกี่ยวกับการน าอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้ในเรื่องต่อไปนี้ สมการเส ้ นสัมผัสและเส ้ นตัง้ฉาก เมื่อกล่าวถึงความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์ จะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือความชันของ เส้นโค้ง พิจารณาจากรูปต่อไปนี้
ก าหนดฟังก์ชัน y = f(x) มีกราฟ ดังรูป ให้ P(x, y) และ Q(x + h, f(x + h) เป็นจุด 2 จุด อยู่บนเส้นโค้ง เมื่อเคลื่อนจุด Q ไปตามเส้นโค้ง ให้เข้าใกล้จุด P จะได้ว่าเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q จะเคลื่อนเข้าสู่ต าแหน่งของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดP หรือ กล่าวได้ว่า เมื่อ h มีค่าเข้าใกล้ 0 จะได้ว่าเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q จะเคลื่อนเข้าสู่ต าแหน่ง ของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P นั่นคือ เมื่อ h → 0 ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q จะเข้าใกล้ความชันของเส้นสัมผัสเส้น โค้ง ณ จุด P เนื่องจาก ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q มีค่าเท่ากับ = y x f(x h) f(x) h + − ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P คือ เมื่อลิมิตหาค่าได้ เรียก ความชัน ของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P ว่า ความชันของเส้นโค้งที่จุด P h 0 f(x h) f(x) lim → h + −
ดังนั้น ความชันของเส ้ นโค ้ งทจ ีุ่ ด P เท่ากับ อน ุ พันธข ์ องฟังกช ์ันทจ ีุ่ ด P หรือ ความหมายในเชิง เรขาคณิตกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือความชันของเส้นโค้ง ตัวอย่าง จงหาความชันของเส้นโค้ง y = ณ จุดต่อไปนี้ 2 x 4x 3 − + 1. (5, 8) 2.จุดที่x = –1 3.จุดที่x = 2 4.จุดที่ตัดแกน x แนวคิด เนื่องจากความชันของเส้นโค้ง คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน หรือ dy dx = dy dx d 2 (x 4x 3) dx − + = 2x –4 ดังนั้น จะได้ 1. ความชันที่จุด (5, 8) = 2(5) –4 = 6 ตอบ 2. ความชันที่จุด x = –1 คือ 2(–1) –4 = –6 ตอบ 3. ความชันที่จุด x = 2 คือ 2(2) –4 = 0 ตอบ
4.จุดที่ตัดแกน x หาได้โดยให้ y = 0 ตอบ จะได้ = 0 2 x 4x 3 − + (x 3)(x 1) − − = 0 x = 3 และ 1 ตอบ ดังนั้น ที่จุด x = 1 เส้นโค้งมีความชันเท่ากับ y 2(1) 4 2 = − = − และ ที่จุด x = 3 เส้นโค้งมีความชันเท่ากับ y 2(3) 4 2 = − = จากความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์ คือความชันของเส้นโค้ง และจะเท่ากับความชันของ เส้นสัมผัส ณ จุดนั้น ๆ ด้วย ดังนั้น เราสามารถหาสมการของเส้นสัมผัส และเส้นตั้งฉากได้ ดังนี้ ถ้าให้ y = f(x) เป็นเส้นโค้งใด ๆ สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P(x1 , y1 ) ที่มีความชันเท่ากับ f (x ) 1 หรือ คือ dy dx หรือ
และสมการเส้นตั้งฉากซึ่งตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุด P(x1 , y1 ) และจะมีความชันเป็น (ผล คูณของความชันเส้นตรงที่ตั้งฉากกันมีค่าเท่ากับ –1) คือ 1 1 f (x ) − หรือ
5.2 ความเร็วลความเร่ง การศึกษาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ สามารถน าความรู้เรื่องอนุพันธ์มาประยุกต์ใช้ได้เช่นกัน ส าหรับหัวข้อนี้จะศึกษาเฉพาะการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวเส้นตรง ซึ่งมี 2 ลักษณะ คือ แนวเส้นตรงบนพื้น ราบและแนวเส้นตรงในแนวดิ่ง ดังนี้ ถ้าให้ s เป็นระยะทาง (Distance) ที่วัตถุอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นจุดหนึ่งในขณะเวลา t ใด ๆ แล้ว จะได้s เป็นฟังก์ชันของ t คือ s = f(t) นิยมเรียกสมการนี้ว่า สมการการเคล ื่อนท ี่หรือเรียก s = f(t) ว่า สมการการบอกต าแหน่งของวัตถุ เมื่อ s เป็นต าแหน่งที่วัตถุอยู่ในขณะเวลา t ใด ๆ ถ้าให้ t เปลี่ยนแปลงจาก t = t1 ถึง t = t2 จะได้ว่า s เปลี่ยนแปลงจาก f(t 1 ) ถึง f(t 2 ) จะได้ ส่วนเปลี่ยนแปลงของ t คือ 2 1 t t t = − ส่วนเปลี่ยนแปลงของ s คือ 2 1 = − s f (t ) f (t ) ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ s เทียบกับ t จาก t = t1 ถึง t = t2 คือ = s t 2 1 2 1 f(t ) f(t ) t t − − เรียก นี้ว่า ความเร็วเฉลี่ย (Average Velocity) s t 5.2.1 ความเร็ว (Velocity)
จะเห็นว่า ความเร็วเฉลี่ยของวัตถุจาก t = t1 ถึง t = t2 คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ ระยะทาง s เทียบกับเวลา t จาก t = t1 ถึง t = t2 แทนด้วยสัญลักษณ์ s t f(t f ) f(t) t + − = ถ้าสนใจการเคลื่อนที่จาก t ถึง ก็จะได้ ความเร็วเฉลี่ยของวัตถุจาก t ถึง t t + คือ ถ้า t เข้าใกล้ 0 จะเรียก เมื่อ เข้าใกล้ 0 ว่าความเร็วของวัตถุ ขณะเวลา t ใด ๆ แต่ เมื่อ t เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ = เมื่อลิมิตมีค่า s t t s t t 0 s lim → t t 0 f(t t) f(t) lim → t + −
เนื่องจากลิมิตนี้ คืออนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของฟังก์ชัน s = f(t) ด้วย จึงได้ข้อสรุป ดังนี้ ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลาขณะ เวลา t ใด ๆ หรือความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออนุพันธ์อันดับหนึ่งของสมการ s = f(t) ดังนั้น ถ้าให้ v(t) แทนความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ จะได้ว่า 5.2.2 ความเร่ง (Acceleration) ให้ s = f(t) เป็นสมการเคลื่อนที่ของวัตถุ และ v(t) แทนความเร็วของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ จะได้ว่า v(t) = = f(t) ds dt ถ้าให้ t เปลี่ยนแปลงจาก t = t1 ถึง t = t2 จะได้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของความเร็ว เทียบกับเวลา tจาก t = t1 ถึง t = t2 คือ = v t 2 1 2 1 v(t ) v(t ) t t − − และเรียก นี้ว่า ความเร่งเฉลี่ย (Average Acceleration) v t
ดังนั้น ความเร่งเฉลี่ยของวัตถุจาก t = t1 ถึง t = t2 คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ ความเร็วเทียบกับเวลา จาก t = t1 ถึง t = t2 แทนด้วยสัญลักษณ์ ถ้าสนใจการเคลื่อนที่จาก t ถึง t = t ก็จะได้ ความเร่งเฉลี่ยของวัตถุจาก t ถึง t = t คือ v(t vt) v(t) t + − = v t ถ้า t เข้าใกล้ 0 จะเรียก เมื่อ t เข้าใกล้ 0 ว่า ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ แต่ เมื่อ t เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ = v t v t t 0 v lim → t t 0 v(t t) v(t) lim → t + − จึงได้ข้อสรุป ดังนี้ ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเทียบกับเวลาขณะ เวลา t ใด ๆ หรือความเร่งของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออนุพันธ์อันดับหนึ่งของ v(t) หรือ อนุพันธ์อันดับที่ สองของ s = f(t) ดังนั้น ถ้าให้ a(t) คือ ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ จะได้ว่า
5.2.3 ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง ความเร็ว และความเร่ง ปริมาณที่กล่าวข้างต้น คือ เวลา ระยะทาง ความเร็ว และความเร่ง ทั้งหมดเป็นปริมาณ เวกเตอร์ คือ มีทั้งขนาดและทิศทาง ส าหรับทิศทางนั้นให้ดูว่าเป็นปริมาณที่มากกว่า 0 (เครื่องหมายเป็น บวก) หรือน้อยกว่า 0(เครื่องหมายเป็นลบ) ซึ่งจะมีความหมายที่แตกต่างกันไปส าหรับแต่ละปริมาณ ดังนี้ ส าหรับระยะทาง ก าหนดให้t แทน เวลา มีหน่วยเป็นวินาที (s) s(t) แทน ระยะทางของวัตถุขณะเวลา t มีหน่วยเป็นเมตร (m) v(t) แทน ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t มีหน่วยเป็นเมตร/วินาที (m/s) a(t) แทน ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t มีหน่วยเป็นเมตร/วินาที2 (m/s2 ) s(t) > 0 หมายความว่า วัตถุอยู่ ณ ต าแหน่งทางด้านบวกของจุดเริ่มต้นขณะเวลาวินาทีที่ t s(t) = 0 หมายความว่า วัตถุอยู่ ณ ต าแหน่งเริ่มต้น ขณะเวลาวินาทีที่ t s(t) < 0 หมายความว่า วัตถุอยู่ ณ ต าแหน่งทางด้านลบของจุดเริ่มต้นขณะเวลาวินาทีที่ t
ส าหรับความเร็ว ส าหรับความเร่ง v(t) > 0 หมายความว่า วัตถุก าลังเคลื่อนที่โดยท าให้ s มีค่าเพิ่มขึ้น หรือ s เป็นฟังก์ชัน เพิ่มขึ้นที่ t หรือวัตถุก าลังเคลื่อนที่ไปในทิศทางบวก v(t) = 0 หมายความว่า วัตถุหยุดนิ่งขณะเวลาวินาทีที่ t (อาจหยุดนิ่งชั่วขณะเพื่อเปลี่ยน ทิศทางการเคลื่อนที่ หรือไม่เปลี่ยนก็ได้ ) v(t) < 0 หมายความว่า วัตถุก าลังเคลื่อนที่โดยท าให้ s มีค่าลดลง หรือ s เป็นฟังก์ชันลด ที่ t หรือวัตถุก าลังเคลื่อนที่ไปในทิศทางลบ a(t) > 0 หมายความว่า วัตถุก าลังเคลื่อนที่โดยท าให้ v มีค่าเพิ่มขึ้น หรือ v เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นที่ t a(t) = 0 หมายความว่า วัตถุก าลังเคลื่อนที่โดย v คงที่ (ความเร็วคงที่) a(t) < 0 หมายความว่า วัตถุก าลังเคลื่อนที่โดยท าให้ v มีค่าลดลง หรือ v เป็นฟังก์ชันลดลงที่ t
5.2.4 อัตราเร็วและอัตราเร่ง ความเร็วและความเร่งถ้าพิจารณาโดยไม่สนใจเครื่องหมายจะเรียกว่า อัตรา มีนิยาม ดังนี้ 1. อัตราเร็วเฉลี่ย คือ ค่าสัมบูรณ์ของความเร็วเฉลี่ย 2. อัตราเร่งเฉลี่ย คือ ค่าสัมบูรณ์ของความเร่งเฉลี่ย 3. อัตราเร็วขณะเวลาใด ๆ คือ ค่าสัมบูรณ์ของความเร็ว
4. อัตราเร่งขณะเวลาใด ๆ คือ ค่าสัมบูรณ์ของความเร่ง ลักษณะความสัมพันธ์ของค่าความเร็วและความเร่งที่มากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์ จะบอก ให้รู้ว่าวัตถุเคลื่อนที่โดยมีอัตราเร็วเพิ่มขึ้น (เร็วขึ้น) หรือมีอัตราเร็วลดลง (ช้าลง) ให้สังเกต ดังนี้ 1. ถ้า v(t) และ a(t) มีเครื่องหมายเหมือนกัน วัตถุจะเคลื่อนที่โดยที่มีอัตราเร็วเพิ่มขึ้น (เร็วขึ้น) 2. ถ้า v(t) และ a(t) มีเครื่องหมายต่างกัน วัตถุจะเคลื่อนที่โดยที่มีอัตราเร็วลดลง (ช้าลง)
5.3 อัตราสัมพัทธ์ เคยทราบมาแล้วว่าอนุพันธ์ของฟั งก์ชัน y = f(x) ซึ่งเขียนแทนด้วย หมายถึงอัตราการ เปลี่ยนแปลงของปริมาณ y เทียบกับปริมาณ x ส าหรับหัวข้อนี้จะศึกษาเกี่ยวกับอัตรา การเปลี่ยนแปลง ของปริมาณใด ๆ เทียบกับเวลา กล่าวคือ ถ้าปริมาณ y เป็นฟังก์ชันของเวลา (t) ก็จะได้ว่าอัตราการ เปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับเวลาคือ และถ้ามีปริมาณ 2 ปริมาณหรือมากกว่า ซึ่งต่างก็เป็นฟังก์ชัน ของเวลา มีความสัมพันธ์กันเป็นสมการ จากสมการนี้จะมีประโยชน์ที่จะท าให้สามารถตอบปัญหาใน ลักษณะที่ว่า เมื่อปริมาณหนึ่งมีการเปลี่ยนแปลงด้วยอัตราหนึ่ง จะส่งผลให้ปริมาณที่เหลือมีการ เปลี่ยนแปลงด้วยอัตราเท่าไร เรียกปัญหาในลักษณะนี้ว่า ปัญหาอัตราสัมพัทธ์ dy dx dy dt
5.4 การวิเคราะห์ลักษณะของฟังก์ชัน การประยุกต์ที่ส าคัญของอนุพันธ์ คือ การน าอนุพันธ์ไปช่วยวิเคราะห์ลักษณะของฟังก์ชัน ซึ่งจะ ศึกษาตามล าดับ ดังนี้ 5.4.1 ฟังกช ์ันเพม ิ่ข ึ น้และลดลง
จากนิยามและทฤษฎีบท อาจกล่าวได้ว่า กรณ ี ท ี่1 ถ้าค่าของ x เพิ่มขึ้นแล้ว ค่าของ f(x) เพิ่มตามหรือค่าของ x ลดลงแล้วค่าของ f(x) ลดตาม หรือกล่าวโดยทั่วไปว่าค่าของ x และค่าของ f(x) เปลี่ยนแปลงไปในทิศทางเดียวกัน ลักษณะ เช่นนี้ จะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่มและกราฟของ f จะมีลักษณะเฉียงขึ้น (จากด้านซ้ายล่างไปทาง ด้านขวาบน) และความชันเป็นบวกหรือ f (x) 0 กรณ ี ท ี่2 ถ้าค่าของ x เพิ่มขึ้นแล้ว ค่าของ f(x) ลดลงหรือค่าของ x ลดลงแล้วค่าของ f(x) เพิ่มขึ้น หรือกล่าวโดยทั่วไปว่าค่าของ x และค่าของ f(x) เปลี่ยนแปลงไปในทิศทางที่ตรงข้ามกันลักษณะ เช่นนี้ จะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันลดลงและกราฟของ f จะมีลักษณะเฉียงลง (จากด้านซ้ายบนไป ทางด้านขวาล่าง) และความชันเป็นลบหรือ f (x) 0 กรณ ี ท ี่3 ถ้าค่าของ x เปลี่ยนแปลงไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง f(x) คงที่โดยตลอด ลักษณะ เช่นนี้ จะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันคงตัว กราฟของ f ขนานกับแกน x ความชันเป็นศูนย์
การหาช่วงของฟังกช ์ันทเ ี่ป็ นฟังกช ์ันเพม ิ่ข ึ น้หร ื อฟังกช ์ันลดลง สามารถท าได้ โดยพิจารณาค่าของ f(x) ว่า มากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์ในช่วงใด ก็จะได้ ช่วงของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้น หรือฟังก์ชันลดลงตามต้องการ การวิเคราะห์ค่าของ f(x) หรือ เรียกว่าการวิเคราะห์เครื่องหมายหาความชัน สามารถท าได้โดยวิธีใดวิธีหนึ่งหรือหลายวิธีประกอบกัน ดังนี้ ว ิ ธ ี ท ี่1 ใช้ความรู้เรื่องอสมการโดยตรง วิธีนี้ควรใช้เมื่อ f(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่ซับซ้อนมากนัก ว ิ ธ ี ท ี่ 2 วิเคราะห์เครื่องหมายของตัวประกอบของ f(x) วิธีนี้ต้องหาค่า x ที่ท าให้ f(x) = 0 และค่า x ที่ท าให้f(x) ไม่ต่อเนื่องให้ครบทุกค่า แล้วแบ่งโดเมนของ f เป็นช่วงเปิด โดยใช้ค่า x ที่ได้ทั้งหมด เป็นจุดแบ่งช่วง แล้ววิเคราะห์เครื่องหมายของตัวประกอบแต่ละตัวว่าเป็นบวกหรือเป็นลบในช่วงใด หลังจากนั้นก็สรุปเครื่องหมาย f(x) ในแต่ละช่วง ว ิ ธ ี ท ี่3 ใช้การแทนค่า แนวคิดเช่นเดียวกับวิธีที่ 2 คือต้องหาค่า x ที่ท าให้ f(x) = 0 และค่า x ที่ท าให้ f(x) ไม่ต่อเนื่องให้ครบทุกค่า แล้วแบ่งโดเมนของ f เป็นช่วงเปิด โดยใช้ค่า x ที่ได้ทั้งหมดเป็นจุด แบ่งช่วง แล้วเลือก x0 ที่อยู่ในแต่ละช่วง เพื่อเป็นตัวแทนของช่วงนั้น ๆ น าไปแทนค่าใน f(x) พิจารณาว่า ได้ค่ามากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์ (มากหรือลบ) ก็จะได้ช่วงของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือ ฟังก์ชันลดลงตามต้องการ
ตัวอย่าง ก าหนดให้ f(x) = จงหาช่วงของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและช่วงที่ เป็นฟังก์ชันลดลง 2 x 6x 5 − + แนวคิด ตัวอย่างนี้แสดงโดยวิธีที่ 1 จะได้ f(x) = 2x –6 = 2(x –3) จาก f(x) = 2 x 6x 5 − + วิเคราะห์ค่าของ f(x) จะได้ว่า f(x) < 0 เมื่อ 2x –6 < 0 x < 3 และ f(x) > 0 เมื่อ 2x –6 > 0 x > 3 เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 3 ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันลดลงบนช่วง (–, 3] ตอบ และ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นบนช่วง [3, ) ตอบ
5.4.2 ความเว้า (Concavity) ความเว้าเป็นลักษณะของฟังก์ชันอีกอย่างหนึ่ง มีนิยามดังนี้ นิยาม 5.4.2 (1) ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่กราฟของ f มีเส้นสัมผัสที่ x = c 1. จะกล่าวว่า f มค ี วามเว ้ าอย ู่บน (Concave Upward) ที่จุด P(c, f(c)) ก็ต่อเมื่อ มี ช่ ว ง เปิด (a, b)ซึ่ง c (a, b) และท าให้กราฟของ f อยู่เหนือเส้นสัมผัสที่จุดP 2. จะกล่าวว่า f มค ี วามเว ้ าอย ู่ล่าง (Concave Downward) ที่จุด P(c, f(c)) ก็ ต่อเมื่อมีช่วงเปิด (a, b)ซึ่ง c (a, b) และท าให้กราฟของ f อยู่ใต้เส้นสัมผัสที่ จุด P 3. จะกล่าวว่า f มจ ี ุ ดเปล ี่ยนความเว ้ า (Point of Inflexion) ที่จุด P(c, f(c)) ก็ต่อเมื่อ มี ช่วงเปิด (a, b)ซึ่ง c (a, b) และท าให้กราฟของ fอยู่เหนือเส้นสัมผัสที่จุด P
กราฟของ f อยู่ใต้เส้นสัมผัสที่จุด P เมื่อ a < x < c และกราฟของ f อยู่เหนือ เส้นสัมผัสที่จุด P เมื่อ c < x < b กรณีใดกรณีหนึ่ง ทฤษฎีบท 5.4.3 (1) ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้ในช่วง (a, b) และ c (a,b) 1. ถ้า f(c) > 0 แล้ว f จะมีความเว้าอยู่บนที่จุด P(c, f(c)) 2. ถ้า f(c) < 0 แล้ว f จะมีความเว้าอยู่ล่างที่จุด P(c, f(c)) ทฤษฎีบท 5.4.2 (2) ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้ในช่วง (a, b)จะได้ว่า 1. ถ้า f(x) > 0 ทุก x ในช่วง (a, b) แล้ว f มีความเว้าอยู่บนในช่วง (a, b) 2. ถ้า f(x) < 0 ทุก x ในช่วง (a, b) แล้ว f มีความเว้าอยู่ล่างในช่วง (a, b)
นิยาม 5.4.3 (2)จุด (c, f(c)) บนกราฟของฟังก์ชัน จะเป็นจุดเปลี่ยนความเว้า ก็ต่อเมื่อมีช่วงเปิด ซึ่ง (a, b) c (a, b) และข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง 1. f(x) > 0 เมื่อ a < x < cและ f(x) < 0 เมื่อ c < x < b (เปลี่ยนเว้าอยู่บนเป็นเว้าอยู่ล่าง) 2. f(x) < 0 เมื่อ a < x < cและ f(x) > 0 เมื่อ c < x < b (เปลี่ยนเว้าอยู่ล่างเป็นเว้าอยู่บน)
กรณ ี ท ี่1 รูป (ก) พิจารณาทางด้านซ้ายของจุด c หรือ เมื่อ a < x < c จะเห็นว่าเมื่อ x เพิ่มขึ้น ค่าความชันก็เพิ่มขึ้นด้วย นั่นคือ f(x) > 0 หรือ f มีความเว้าอยู่บน พิจารณาทางด้านขวาของ จุด c หรือ c < x < b จะได้ว่าเมื่อ x เพิ่มขึ้นค่าความชันลดลง นั่นคือ f(x) < 0 หรือ f มีความเว้าอยู่ล่าง ดังนั้นจุด (c, t(c)) จึงเป็นจุดเปลี่ยนเว้า กรณ ี ท ี่2 รูป (ข) พิจารณาทางด้านซ้ายของจุด c หรือ เมื่อ a < x < cจะได้ว่าเมื่อ x เพิ่มขึ้น ค่าความชันลดลงนั่นคือ f(x) < 0 หรือ f มีความเว้าอยู่ล่าง พิจารณาทางด้านขวาของจุด c หรือ c < x < b จะได้ว่าเมื่อ x เพิ่มขึ้นค่าความชันเพิ่มขึ้น นั่น คือ f(x) < 0 หรือ f มีความเว้าอยู่บน ดังนั้นจุด (c, f(c)) จึงเป็นจุดเปลี่ยนเว้า การพิจารณาจุดเปลี่ยน ความเว้าโดยใช้นิยาม 5.4.2 (2) ศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างท ี่5.11 ก าหนดฟังก์ชัน f(x) = x3 –3x 2 จงหาช่วงของกราฟของฟังก์ชันที่มีความเว้าอยู่บน ความเว้าอยู่ล่าง และจุดเปลี่ยน ความเว้า แนวคิด จาก f(x) = x 3 –3x 2 จะได้f(x) = 3x 2 –6x และ f(x) = 6x –6 = 6(x – 1) พิจารณาค่าของ f(x) พบว่า f(x) < 0 เมื่อ x < 1และ f(x) > 0เมื่อ x > 1 ดังนั้น f มีความเว้าอยู่ล่างในช่วง (–, 1) ตอบ f มีความเว้าอยู่บนในช่วง (1, ) ตอบ และ เมื่อ x = 1จะได้ f(1) = 6(1 –1) = 0 จะได้ว่า f มีจุดเปลี่ยนความเว้าที่ x = 1 หรือจุด (1, –2) ตอบ
5.4.3 ค่าส ู งส ุ ดสัมพทัธแ ์ ละค่าต่า ส ุ ดสัมพทัธ ์ นิยาม 5.4.3 (1)ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a, b) และ c (a, b) จะได้ว่า 1. f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมพันธ์ (Relative Maximum)ของ f ถ้ามีช่วงเปิด(a,b) ซึ่ง c (a,b) แ ล ะ ท า ใ ห้ f(c) f(x) ส า ห รับ ทุก c(a,b) ใ น ก ร ณี เ ช่ น นี้จ ะ ก ล่า ว ว่ า f มี ค่ า สูง สุด สัมพัทธ์ที่x = c และเรียกจุด (c, f(c)) ว่าจุดสูงสุดสัมพัทธ์ 2. f(c) เป็นค่าต ่าสุดสัมพันธ์ (Relative Minimum)ของ f ถ้ามีช่วงเปิด (a,b)ซึ่งc(a,b) และท าให้ f(c) f(x) ส าหรับทุก c (a, b) ในกรณีเช่นนี้จะกล่าวว่า f มีค่าต ่าสุด สัมพัทธ์ที่ x = cและเรียกจุด (c, f(c)) ว่าจุดต ่าสุดสัมพัทธ์ 3. f(c) เป็นค่าสุดขีดสัมพันธ์(Relative Extreme)ของ f ถ้ามีช่วงเปิด(a, b)ซึ่ง c (a, b) แ ล ะ ท า ใ ห้ f(c) เ ป็ น ค่ า สูง สุด สัม พัท ธ์ข อ ง fห รือ f(c) เ ป็ น ค่ า ต ่ า สุด สัม พัท ธ์ข อ ง f และเรียกจุด ส าหรับทุก c (a, b) ในกรณีเช่นนี้จะกล่าวว่า f มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ x = cและเรียกจุด (c, f(c)) ว่าจุดสุดขีดสัมพัทธ์
เพื่อความเข้าใจค่าต่าง ๆ การนิยาม พิจารณาฟังก์ชันมีกราฟ ดังรูป จากรูป ฟังก์ชัน y = f(x)จะได้ข้อสรุปจากนิยามดังนี้ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = c1 และ c3 ค่าสูงสุดสัมพัทธ์มี 2 ค่า คือ f(c1 ) และ f(c3 ) จุดสูงสุดสัมพัทธ์มี 2 จุด คือ (c1 , f(c)) และ (c3 , f(c3 )) มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = c2 และ c4 ค่าต ่าสุดสัมพัทธ์มี 2 ค่า คือ f(c2 ) และ f(c4 ) จุดต ่าสุดสัมพัทธ์มี 2 จุด คือ (c2 , f(c2 )) และ (c4 , f(c4 )) ค่าสุดขีดสัมพัทธ์มี 4 ค่า คือ f(c1 ), f(c2 ), f(c3 ) และ f(c4 )
ทฤษฎีบท 5.4.3 (1) ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีค่าบนช่วงเปิด (a, b) ถ้า f มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ c เมื่อ c (a, b)แล้วจะได้ว่า f(c) = 0 หรือf(c) หาไม่ได้ และจะได้ข้อความต่อไปนี้ เป็น จ ริ ง ด้วย กล่าวคือ ถ้า f(c) หาค่าได้ และ f(c) 0 แล้ว f(c) จะไม่เป็นค่าสุดขีดสัมพัทธ์ นิยาม 5.4.3 (2) เรียกจ านวนจริง c ในโดเมนของ f ว่า ค่าวิกฤต ของฟังก์ชัน f ถ้า f(c) = 0 หรือ f(c) หาค่าไม่ได้ และถ้า c เป็ นค่าวิกฤตของฟั งก์ชัน f แล้วจะเรียกจุด (c, f(c)) ว่า จุดวิกฤต ของฟังก์ชัน f จากทฤษฎีบทที่ 5.4.3 (1) และนิยาม 5.4.3 (2) สรุปได้ว่า ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ ก็จะต้องมีที่จุด x ที่เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชันนั้น ๆ ดังนั้น ในการหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์จึงต้องหาค่าวิกฤต ของฟังก์ชันให้ครบทุกค่า หลังจากนั้นก็ทดสอบว่าที่จุด x ที่เป็นค่าวิกฤตนั้นมีหรือไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ ถ้ามีจะเป็นค่าสุดขีดสัมพัทธ์ชนิดใด
การหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์มี 2 วิธี 1. การหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันโดยการทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับหนึ่ง มีขั้นตอนดังนี้ (1) หาค่าวิกฤตของฟังก์ชัน (2) ตรวจสอบค่าของ f(x) ทั้งทางด้านซ้ายและด้านขวาของค่าวิกฤตแต่ละค่า สมมติให้ c เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชันและ (a, b) เป็นช่วงเปิด ซึ่ง c (a, b) และ f เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่องบน [a, b]และ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บน (a, b) ยกเว้นที่จุด cซึ่งหาอนุพันธ์ไม่ได้ 1. ถ้า f(x) > 0 เมื่อ a < x < c และ f(x) < 0 เมื่อ c < x < b แล้วจะได้ว่า f(c) เป็นค่าสูงสุด สัมพัทธ์ของฟังก์ชัน 2. ถ้า f(x) < 0 เมื่อ a < x < c และ f(x) > 0 เมื่อ c < x < b แล้วจะได้ว่า f(c) เป็นค่าต ่าสุด สัมพัทธ์ของฟังก์ชัน นั่นคือ ถ้าพิจารณาเครื่องหมายของ f(x) จากด้านซ้ายของ c ไปด้านขวาของ c แล้วได้ว่า f(x) เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ ก็จะได้ว่า f(c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน ในทางกลับกันคือ f(x) เปลี่ยน จากลบเป็นบวก ก็จะได้ว่า f(c) เป็นค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน แต่ถ้าพิจารณาเครื่องหมายของ f(x) จากด้านซ้ายของ c ไปด้านขวาของ c แล้วพบว่าเครื่องหมายของ f(x) ไม่เปลี่ยนแปลง ก็แสดงว่า ฟังก์ชันไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ c
จากตาราง ที่ x = – 1 ได้ค่าต ่าสุดสัมพัทธ์คือ f ( – 1) = 0 ที่ x = 0 ได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ f ( 0) = 5 ที่ x = 2 ได้ค่าต ่าสุดสัมพัทธ์คือ f ( 2) = –27
2. การหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์โดยทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง ทฤษฎีบท 5.4.3 (2) ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง และอนุพันธ์อันดับสองได้ ในช่วง (a, b)และให้ c (a, b) ซึ่งท าให้ f(c) = 0 1. ถ้า f(c) < 0 จะได้ว่า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่x = c 2. ถ้า f(c) > 0 จะได้ว่า f มีค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = c 3. ถ้า f(c) = 0 แล้ว กา ร ทด ส อ บด้ว ยอ นุพันธ์อันดับ ส อง ส รุ ป ผ ล ไม่ ไ ด้ว่ า f มี ค่ าสุด ขี ด แบบใด ต้องกลับไปตรวจสอบด้วยอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หมายเหตุการหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์โดยทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับแรก จะใช้ตรวจสอบเฉพาะค่า วิกฤต c ซึ่งท าให้ f(c) = 0 เท่านั้น (กรณีค่าวิกฤต c ที่ท าให้ f(c) หาค่าไม่ได้ ใช้อนุพันธ์อันดับสอง ทดสอบไม่ได้)
5.4.4 ค่าสุดขีดของฟังก์ชัน ค่าสุดขีดของฟังก์ชัน หมายถึง ค่าสูงสุด (Maximum) หรือค่าต ่าสุด (Minimum)ของฟังก์ชันใน โดเมน หรือช่วงใดช่วงหนึ่งของโดเมน มีนิยามดังนี้ ทฤษฎีบท 5.4.4 (1) ก าหนด f เป็นฟังก์ชันที่มีค่าบนเซต sและ c s จะได้ว่า 1. f(c) เป็นค่าสูงสุดของ f บน s ก็ต่อเมื่อ ทุก x s กรณีเช่นนี้ จะกล่าวว่า f มีค่าสูงสุดใน s ที่ x = c f(c) f(x) 2. f(c) เป็นค่าต ่าสุดของ f บน s ก็ต่อเมื่อ ทุก x s กรณีเช่นนี้ จะกล่าวว่า f มีค่าต ่าสุดใน s ที่ x = c f(c) f(x) 3. ถ้า f(c) เป็นค่าสุดขีดของ f ใน s ก็ต่อเมื่อ f(c) เป็นค่าสูงสุดของ f บน s หรือ f(c)เป็นค่าต ่าสุดของ f บน s ทฤษฎีบท 5.4.4 (2) ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] แล้ว t จะต้องมีทั้ง ค่าสูงสุดและต ่าสุดบนช่วงปิด [a, b]
ขั้นตอนการหาค่าส ุ ดข ี ดของฟังกช ์ัน ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b]ขั้นตอนการหาค่าสุดขีดของฟังก์ชัน มีดังนี้ 1. หาค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f ทุกค่า 2. หาค่าฟังก์ชันที่จุดปลายช่วงปิด คือ f(a) และ f(b) 3. เปรียบเทียบค่า f(a), f(b) กับค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่าใดมากที่สุด ค่านั้นเป็นค่าสูงสุดของ ฟังก์ชัน f 4. เปรียบเทียบค่า f(a), f(b) กับค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ ค่าใดน้อยที่สุด ค่านั้นเป็นค่าต ่าสุดของ ฟังก์ชัน f 5.4.5 โจทย์ปัญหาค่าสุดขีด หัวข้อนี้จะน าความรู้เรื่องค่าสุดขีดมาประยุกต์แก้ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดของ ฟังก์ชัน โดยมีขั้นตอนในการแก้ปัญหาค่าสุดขีดดังนี้ 1. ก าหนดตัวแปรให้กับปริมาณต่าง ๆ 2. สร้างฟังก์ชันของปริมาณที่ต้องการหาค่าสุดขีดให้อยู่ในรูปทางปริมาณอื่น หรืออาจกล่าวว่า สร้างฟังก์ชันให้ปริมาณที่ต้องการหาค่าสุดขีดเป็นตัวแปรตาม และปริมาณอื่น เป็นตัวแปรอิสระ
3. ถ้าตัวแปรอิสระมีหลายตัว ให้ก าจัดตัวแปรเหล่านั้นให้เหลือตัวแปรอิสระเพียงตัวแปรเดียว (ถ้าท าได้) โดยอาศัยเงื่อนไขจากโจทย์หรือเงื่อนไขอื่น ๆ ทางคณิตศาสตร์ 4. หาค่าสุดขีดของฟังก์ชัน คือ หาค่าฟังก์ชันที่จุดสุดขีดสัมพัทธ์ทั้งหมดและค่าฟังก์ชันที่จุด ปลายของช่วงปิด แล้วมาเปรียบเทียบกัน ค่าใดน้อยที่สุดค่านั้นเป็นค่าต ่าสุด ค่าใดมากที่สุดค่านั้นจะเป็น ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน (ถ้าช่วงของโดเมนไม่เป็นช่วงปิด ก็จะไม่สามารถหาค่าฟังก์ชันที่จุดปลายของช่วงได้) การแก้ปัญหาค่าสุดขีดบางปัญหาถ้าเขียนรูปประกอบได้ก็ควรเขียน การมีรูปประกอบจะท าให้การ พิจารณาปัญหาท าได้ง่ายขึ้น