Deret Tak Hingga

VIII

AZDeret Tak Hingga

DERET TAK HINGGA

Contoh deret tak hingga : 1 + 2 + 3 + ⋯ = ∞ atau .
=1 =1
Barisan jumlah parsial , dengan = 1 + 2 + 3 + ⋯ + =

Definisi ∞
=1
Deret tak hingga, , konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah-jumlah

parsial konvergen menuju S. Apabila divergen, maka deret divergen. Suatu deret yang

divergen tidak memiliki jumlah.

Deret Geometri
Suatu deret yang berbentuk:

∞

−1 = + + 2 + 3 + ⋯

=1

Dengan ≠ 0 dinamakan deret geometri.

Kekonvergenan: ∞
−
−1 konvergen ke 1 , jika <1

=1 divergen jika ≥ 1

Bukti:
Misal = + + 2 + ⋯ + −1
Jika r = 1 maka = divergen karena jika n bertambah tanpa terbatas, jadi divergen
jika ≠ 1.

− = + + 2 + ⋯ + −1 − + 2 + ⋯ +
1 − = −
−
= 1 − 1 −

Jika < 1, maka lim →∞ = 0
−
= lim = 1

→∞
Jika > 1 atau r = 1, barisan divergen, sehingga juga divergen.

Contoh: 4
4 4 27 4
a. 3 + 9 + + 81 + ⋯

b. 0,51515151 … = 51 + 51 + 51 + ⋯
100 10000 1000000

Jawab: 43 4
1−1 3 2
a. = = = 3 = 2
1− 3

b. = 51 = 51 = 51 = 17
100 100 99 33
99
1−1010 100

KED

Teorema ∞
=1
(Uji kedivergenan dengan suku ke-n). Apabila konvergen, maka lim →∞ = 0.

berdasarkan pernyataan ini dapat dikatakan apabila lim →∞ ≠ 0 (atau apabila lim →∞

tidak ada) maka deret divergen

Deret Harmonik ∞

1 = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + ⋯
2 3
=1
1
lim = lim =0

→∞ →∞

Padahal 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 3 4 5 6 7 8 9
= 1 + + + ⋯ + = 1 + + + + + + + + … +

> 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 1 = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1
2 4 8 16 2 2
1
Dengan membuat n cukup besar, kita dapat mengambil 2 sebanyak kita kehendaki pada

persamaan yang terakhir. Jika divergen sehingga deret harmonik adalah divergen.

Sifat-sifat deret konvergen

Teorema B ∞ ∞
=1 =1
(Kelinearan). Jika dan keduanya konvergen dan c sebuah konstanta, maka
∞ ∞ ∞ == 11 d a n+= ∞ = 1
=1 + juga konvergen, selain itu

1. ∞ ∞
=1 ∞ + =1
2. =1
=

Contoh: Tentukan jumlah deret berikut:
∞
1 1
3 6
2 +3

=0

Jawab: 33

5

Uji Kekonvergenan Deret Suku-suku positif.
Pengujian dengan Integral tak Wajar

Teorema (uji Integral)

Andaikan f suatu fungsi yang kontinu, positif dan tidak naik pada selang 1, ∞ . Andaikan

= untuk semua k positif bulat. Maka deret tak hingga

∞



=1

Konvergen, jika dan hanya jika integral tak wajar

KED

∞



1

Konvergen.

Contoh: 1
ln
Periksa apakah deret ∞ konvergen atau divergen.
=2

Jawab: l →i m∞= lln1n1

Hipotesis dalam Uji integral dipenuhi untuk pada [2, ∞). Maka
= (ln ) = lim ln
∞ 1 1
ln ln →∞ 2
= lim = ∞

12 →∞ 2 2
ln
Jadi ∞ divergen.
=2

Contoh: (uji deret-p). Deret ∞

1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
2 3 4
=1

Dengan p sebuah konstanta dinamakan deret-p. Buktikan

a. Deret-p konvergen untuk > 1

b. Deret-p divergen untuk ≤ 1

Jawab: 1

Apabila ≥ 0, fungsi = kontinu, positif dan tidak naik pada selang [1, ∞), sedangkan

= 1 , maka menurut uji integral, 1 konvergen jika dan hanya jika lim →∞ −
1

ada (sebagai bilangan terhingga)

Jika ≠ 1

− = 1− = 1− − 1
1 − 1 1 −
1
Apabila = 1


−1 = ln 1 = ln

Oleh karena lim →∞ 1− =0 1 > 1 dan lim →∞ 1− =∞ apabila < 1 dan oleh

apabila

karena lim →∞ ln = ∞, kita dapat menarik kesimpulan bahwa deret-p konvergen apabila
> 1 dan divergen apabila 0 ≤ ≤ 1.

Membandingkan suatu deret dengan deret lain

Teorema (uji banding)

Andaikan untuk ≥ berlaku 0 ≤ ≤
∞ ∞
1. =1 konvergen, maka =1 juga konvergen

KED

2. ∞ divergen, maka ∞ juga divergen
=1 =1

Contoh 1 ∞1
2 +1 =2 ln
Selidiki kekonvergenan deret: (a) ∞ , (b)
=1

a. Kita bandingkan deret ) ∞ =1 1 dengan deret geometri ∞ =1 1 yang konvergen.
2 +1 2
2 2 , 1 1 ∞1
Karena +1> maka 0 < 2 +1 < 2 untuk ∈ ℕ, dengan =1 2 deret konvergen.

Berdasarkan uji banding dengan deret lain, diperoleh bahwa deret ∞1 juga
=1 2 +1

konvergen. 1 ∞ 1 =y2a 1 ndgivdeirvgeerng.eBne. rUdnatsuakrkainni
ln
b. Kita bandingkan deret ∞ =2 dengan deret harmonik ∞ =2
diperlukan ketaksamaan
ln < untuk setiap ∈ ℕ, dengan

uji banding dengan deret lain, diperoleh bahwa deret ∞ =2 1 juga divergen.
ln

Teorema (uji banding limit)
M213... isaJJJiiilkkkkaaaanllliiimmm ∞ =→→→1∞∞∞ dan ∞ =1 adalah deret dengan suku-suku positif
= , > 0, maka kedua deret bersama-sama konvergen atau divergen.

= 0 dan ∞ =1 konvergen, maka deret ∞ =1 juga konvergen.

= ∞ dan ∞ =1 divergen, maka deret ∞ =1 juga divergen.

Contoh: ∞1
=1 2 +1
Selidiki kekonvergenan deret:

Jawab: 2 1+1, ∞1
=1 2
Untuk menyelidiki kekonvergenan deret ∞ bandingkan dengan deret geometri
=1

yang konvergen. Karena untuk = 2 1 +1=d al i→nm∞ 2 = 2+ 21 1 b=er1lak>u
lim
0
→∞

Dan deret ∞ =1 1 konvergen, maka deret ∞ =1 1 juga konvergen.
2 2 +1

Membandingkan suatu deret dengan dirinya

Teorema (Uji Hasilbagi)

Andaikan sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan
+1
lim =

→∞

(i) Jika < 1 deret konvergen

(ii) Jika > 1 deret divergen

(iii) Jika = 1, pengujian ini tidak memberikan kepastian.

KED

Contoh Apakah deret ∞ 2

!

=1

Konvergen atau divergen?

Jawab: 2 +1 2. 2 !
+ 1 + 1 . ! 2
= lim +1 = lim ! = lim = lim 2 =0
! 2 + 1
→∞ →∞ →∞ →∞

Menurut Uji hasilbagi deret itu konvergen.

Ringkasan
Untuk menguji apakah deret dengan suku-suku positif itu konvergen atau divergen,
perhatikan dengan seksama.
1. Jika lim →∞ ≠ 0, menurut Uji Hasilbagi suku ke-n deret divergen
2. Jika mengandung !, atau cobalah Uji Hasilbagi
3. Jika mengandung hanya pangkat n yang konstan gunakan Uji Banding Limit. Khususnya,

apabila adalah bentuk rasional dalam n, gunakan pengujian ini dengan sebagai
hasilbagi suku-suku pangkat tertinggi n dalam pembilang dan penyebut .
4. Sebagai usaha terakhir, cobalah Uji Banding Biasa, Uji Intergral

5. Beberapa deret mensyaratkan “manipulasi bijak” atau “trik hebat” untuk menentukan

kekonvergenan dan kedivergenan.

TUGAS

Periksalah apakah deret itu konvergen atau divergen. Jika konvergen tentukan jumlahnya.

(Tulislah beberapa suku yang permulaan untuk mempermudah pekerjaan anda)
1
1. ∞ 3 1 5
=0 4 −2

2. ∞ 2 − 2
=3 −1

Tulislah bilangan desimal itu sebagai sebuah deret takhingga. Kemudian tentukan jumlahn
deret tersebut. Akhirnya gunakan hasil yang diperoleh untuk menyatakan bilangan desimal itu
sebagai hasil bagi dua bilangan bulat.

3. 0,125125125125…
4. 0,36717171…

Gunakan Uji Integral untuk menentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen.
∞1
5. =1 +1 2

6. ∞
=1
∞ 2 − 3
7. =1

KED

Gunakan Uji Banding Limit untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan
∞ 3 +1
8. =1 3−4

Gunakan Uji Hasilbagi untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret
∞ 5
9. =1 5

Tentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret dan sebutlah pengujian yang anda gunakan.
5+
10. ∞ =1 !

KED