การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์

การเคล่อื นท่ีแบบโปรเจคไทลเ์ ป็นการเคล่อื นท่ี 2 มติ ิ ลกั ษณะท่ีเป็นแนวโคง้ แบบพาราโบลา
ทาํ ใหม้ ีการกระจดั เกิดขนึ้ 2 แนวพรอ้ มกนั คือ แนวราบและแนวด่งิ

ลักษณะการเคลอ่ื นทแี่ บบโปรเจคไทล์

1. ลกั ษณะการเคล่อื นท่ีเป็นรูปโคง้ พาราโบลา
2. ความเรว็ ขณะใด ๆ สมั ผสั กบั เสน้ โคง้ การเคล่อื น ประกอบดว้ ยความเรว็ 2 แนว คือ
ความเรว็ แนวราบ (Vx) และความเรว็ แนวด่งิ (Vy) ซง่ึ มีขนาดและทิศทาง

ขนาด =

ทิศทาง tan  =

เม่ือ  ทาํ มมุ กบั แนวแกน x ความเรว็ ในแนวราบ (ux) จะมีคา่ คงท่ีเสมอ จะได้
(ความเรว็ คงท่ี)

และ = = u sin + gt (ความเรว็ เน่ืองจากแรงดงึ ดดู ของโลก)

3. การกระจดั ของการเคล่อื นท่ี โปรเจคไทลจ์ ะประกอบดว้ ยการกระจดั ในแนวราบและการกระ
จดั ในแนวด่ิง จากรูป การกระจดั จาก A ไป C คือ SAC ซ่งึ มีการกระจดั ในแนวราบ SX = SAC และมีการก
ระจดั ในแนวด่งิ เทา่ กบั ศนู ยแ์ ละมีการกระจดั ในแนวด่งิ SY = H

การเคล่ือนท่ีของวัตถุวิถีโคง้ ประกอบดว้ ยการเคล่ือนท่ี 2 แนว พรอ้ มกัน คือ แนวราบและ
แนวด่งิ ซง่ึ แตล่ ะแนวมีเง่ือนไขการเคล่อื นท่ีดงั นี้

1. การเคล่อื นท่ีของวตั ถใุ นแนวราบ

ในขณะท่ีวตั ถอุ ย่ใู นอากาศจะมีเฉพาะแรงดงึ ดดู ของโลก (mg) ในแนวด่ิงเท่านนั้ ท่ีกระทาํ ตอ่
วตั ถุ ดงั นนั้ แรงในแนวราบท่ีกระทาํ กบั วตั ถจุ งึ มีคา่ เป็นศนู ย์

จากรูปขวา้ งวตั ถดุ ว้ ยความเรว็ ตน้ u ทาํ มมุ  กบั แนวระดบั ไดว้ ตั ถเุ คล่ือนท่ีแบบโปรเจคไทล์
วตั ถเุ คล่อื นท่ีดว้ ยอตั ราเรว็ ในแนวราบคงท่ี (ax = 0) ดงั นนั้ สมการการเคล่อื นท่ีในแนวราบ คือ

เม่ือ sx คือ การกระจดั ในแนวราบ
ut x คือ ความเรว็ ในแนวราบ = ucos
คือ เวลาของการเคล่ือนท่ี

2. การเคล่ือนท่ีของวตั ถใุ นแนวด่งิ จากรูปจะเห็นวา่ ขณะท่ีวตั ถอุ ยใู่ นอากาศจะมีเฉพาะแรง
mg ในแนวด่งิ เทา่ นนั้ ท่ีกระทาํ ตอ่ วตั ถุ ดงั นนั้

แสดงวา่ การเคล่ือนท่ีวิถีโคง้ วตั ถเุ คล่ือนท่ีในแนวด่งิ ดว้ ยความเรง่ เทา่ กบั g (เกิดขนึ้ เน่ืองจาก
แรงดงึ ดดู ของโลก) สมการการเคล่อื นท่ีในแนวด่งิ คือ

v = u + gt จะได้ Vy = uy + gt
หรอื Vy = usin + gt
=
v2 = u2 + 2gs จะได้ =

หรอื

S = ut + gt2 จะได้ Sy =
หรอื Sy =

ข้อสังเกตในการเคลอ่ื นทแ่ี บบโปรเจคไทล์
1. ท่ีระดบั ความสงู ดียวกนั อตั ราเรว็ และมมุ ท่ีกระทาํ กบั แนวราบจะเทา่ กนั
2. เวลาท่ีใชใ้ นการเคล่อื นท่ีในแนวราบ แนวด่งิ และเวลารว่ มจะเทา่ กนั เสมอ
3. การเคล่อื นท่ีแนวราบและแนวด่งิ มีเวลา (t) เป็นความสมั พนั ธร์ ว่ มกนั

หลักการคาํ นวณการเคลอื่ นทโี่ ปรเจคไทล์
1. ท่ีจดุ เรม่ิ ตน้ แยกเป็นความเรว็ 2 แนว เม่ือ  ทาํ มมุ กบั แนวแกน x คือ
แนวราบ ux = ucos

แนวด่งิ uy = usin

2. แนวไหนมีขอ้ มลู การคาํ นวณครบใหเ้ รม่ิ คาํ นวณจากแนวนนั้ ก่อน
3. ถา้ ทงั้ 2 แนวมีขอ้ มลู ไมค่ รบ ใหส้ รา้ งสมการเคล่ือนท่ีทงั้ 2 แนว โดยมีเวลา (t)
เป็นตวั รว่ ม แลว้ แกส้ มการหาคา่ ท่ีตอ้ งการ

ตวั อยา่ งที่ 5.1 ปืนใหญ่ถกู ยิงจากพืน้ ดนิ ดว้ ยความเรว็ 60 m/s ในทิศทาํ มมุ 30 องศา กบั
แนวระดบั จงหา

ก) ลกู กระสนุ จะลอยอยใู่ นอากาศเป็นเวลานานเทา่ ไรจงึ จะตกถงึ พืน้ ดนิ
ข) ลกู กระสนุ ตกไกลจากจดุ ยิงเทา่ ไร
ค) ลกู กระสนุ ขนึ้ ไปสงู สดุ เทา่ ไร
ง) ขณะกระสนุ ตกถงึ พืน้ จะมีความเรว็ เทา่ ไร

วธิ ีทาํ

กาํ หนดให้ ทิศทางขนึ้ เป็น + ทิศทางลงเป็น –
จากโจทย์ จะได้ u = 60 m/s ทาํ มมุ 30o กบั แนวแกน x
พิจารณาท่ี u แยกเป็น ux = ucos30o
= (60)(0.86)
uy = 51.6 m/s
= usin300
= (60)(0.5)
= 30 m/s

ก) ลกู กระสนุ จะลอยอยใู่ นอากาศเป็นเวลานานเทา่ ไรจงึ จะตกถงึ พืน้ ดนิ เน่ืองจากลกู กระสนุ ตก
ถงึ พืน้ ระดบั เดมิ Sy = 0
Sy =
จากสูตร

0=

=

t= = 6 วินาที

ลกู กระสนุ จะลอยอยใู่ นอากาศเป็นเวลานาน 6 วนิ าทีจงึ จะตกถงึ พืน้ ดนิ ตอบ

ข) ลกู กระสนุ ตกไกลจากจดุ ยิงเทา่ ไร

จากสตู ร sx = ux t
(51.6)(6)
= 309.6 m

=

ลกู กระสนุ ตกไกลจากจดุ ยิง 309.6 เมตร ตอบ

ค) ลกู กระสนุ ขนึ้ ไปสงู สดุ เทา่ ไร

เน่ืองจากลกู กระสนุ ขนึ้ ไปไดส้ งู สดุ Vy = 0

จากสตู ร =

0=

20Sy = 302
45m
Sy =

Sy =
ลกู กระสนุ ขนึ้ ไปสงู สดุ 45 เมตร
ตอบ

ง) ขณะกระสนุ ตกถงึ พืน้ จะมีความเรว็ เทา่ ไร ขนาดความเรว็ 84.85 m/s
ความเรว็ ในแนวแกน x จากสตู ร V=
V=
Vx = u cos (คา่ ตงตวั ) V=

= 60cos 0o V=

= 60 m/s ขณะกระสนุ ตกถงึ พืน้ จะมีความเรว็ 84.85 m/s ตอบ
ความเรว็ ในแนวแกน y จากสตู ร

Vy = u sin + gt
= 60sin0o + 10(6)
= 60 m/s

ตวั อยา่ งท่ี 5.2 ลซี อเดาะลกู บอลดว้ ยความเรว็ 20 m/s ทาํ มมุ 30 องศา กบั แนวด่งิ จงหา
ก) เขาจะตอ้ งว่งิ ดว้ ยความเรว็ อยา่ งนอ้ ยท่ีสดุ เทา่ ไร จงึ จะว่ิงถงึ ลกู ฟตุ บอลท่ีเขาเตะ
ออกไปได้ พอดีก่อนจะตกถงึ พืน้
ข) ลกู บอลลอยอยใู่ นอากาศนานเทา่ ไร
ค) ระยะทางจากจดุ เตะและจดุ รบั บอลหา่ งกนั เทา่ ไร

วธิ ีทาํ กาํ หนดให้ ทิศทางขนึ้ เป็น + ทิศทางลงเป็น –
จากโจทย์ ทาํ มมุ 30o กบั แกน y จะได้ u = 20 m/s ทาํ มมุ 60o กบั แนวแกน x
(90o – 30o = 60o)
แยกuออกเป็น 2 แนว จะได้ ux = ucos60o
= (20)(0.5)
= 10 m/s
uy = usin60o
= (20)(0.86)
= 17.2 m/s

ก) เขาจะตอ้ งว่ิงดว้ ยความเรว็ อยา่ งนอ้ ยท่ีสดุ เทา่ ไร จงึ จะว่งิ ถงึ ลกู ฟตุ บอลท่ีเขาเตะ
ออกไปไดพ้ อดีก่อนจะตกถงึ พืน้
กาํ หนดให้ ระยะทางจดุ เตะถงึ จดุ รบั = S1
ระยะทางในแนวแกน x = S2

วธิ ีทาํ ความเรว็ จากจดุ เตะถงึ จดุ รบั = (1)

ระยะทางในแนวแกน x S2 = ux t (S 1= S2)

แทนคา่ S1 ดว้ ย ux t ใน (1) =

= ux = 20 cos 60o = 10m/s

ลีซอจะตอ้ งว่ิงดว้ ยความเรว็ อยา่ งนอ้ ยท่ีสดุ 10 m/s จงึ จะว่ิงถงึ ลกู ฟตุ บอลท่ีเขาเตะออกไปได้
พอดีก่อนจะตกถงึ พืน้ ตอบ

ข) ลกู บอลลอยอยใู่ นอากาศนานเทา่ ไร

เน่ืองจากลกู บอลตกถงึ ระดบั เดมิ Sy = 0

จากสตู ร Sy =

0=
=

t= = 3.44 วินาที
ลกู บอลลอยอยนู่ าน 3.44 วินาที
ตอบ

ค) ระยะทางจากจดุ เตะและจดุ รบั บอลหา่ งกนั เทา่ ไร

จากสตู ร sx = ux t

= (10)(3.44)

= 34.4 m

ระยะทางจากจดุ เตะและจดุ รบั บอลหา่ งกนั 34.4 เมตร ตอบ

ตัวอย่างที่ 5.3 ดีดเหรียญบาทออกจากขอบโต๊ะซ่ึงสูงจากพืน้ 1 m ด้วยความเร็วต้นใน
แนวราบ 3 m/s จงหา

ก) เหรยี ญบาทจะตกถงึ พืน้ ใชเ้ วลาเทา่ ไร
ข) เหรยี ญบาทจะตกหา่ งจากขอบโต๊ะเทา่ ไร
ง) ขณะเหรยี ญบาทตกถงึ พืน้ จะมีความเรว็ เทา่ ไร

ก) เหรยี ญบาทจะตกถงึ พืน้ ใชเ้ วลาเทา่ ไร
หาเวลาในแนวด่งิ จากสตู ร Sy =

จากโจทย์ Sy = 1 m, uy= 0 m/s, g = 10 m/s2

แทนคา่ 1=
1=

=

t= = 0.45

เหรยี ญบาทจะตกถงึ พืน้ ใชเ้ วลา 0.45 วินาที ตอบ

ข) เหรยี ญบาทจะตกหา่ งจากขอบโต๊ะเทา่ ไร

หาขนาดการกระจดั ในแนวราบ Sx = uxt (uxเป็นความเรว็ คงท่ี = 3 m/s )

Sx = (3)(0.45)

หาขนาดการกระจดั ในแนวด่งิ Sy = 1 m Sx = 1.35 m

ขนาดการกระจดั d จากสตู ร d=

d=

d= = 1.68 m ตอบ
เหรยี ญบาทจะตกหา่ งจากขอบโต๊ะ 1.68 เมตร

ง) ขณะเหรยี ญบาทตกถงึ พืน้ จะมีความเรว็ เทา่ ไร
ความเรว็ ในแนวแกน x จากสตู ร
Vx = 3 m/s (คา่ ตงตวั = ความเรว็ ตน้ ดีดเหรยี ญ)
ความเรว็ ในแนวแกน y จากสตู ร

Vy = uy + gt (uy = 0)
= 10(0.45)

= 4.5 m/s

ขนาดความเรว็ V=
V=
V= 5.40 m/s
V=

ทิศทาง tan  =

tan  =
 = tan–1 1.5 = 56.30 องศา

ขณะเหรยี ญบาทตกถงึ พืน้ จะมีความเรว็ 5.40 เมตรตอ่ วนิ าทีทาํ มมุ 56.30 องศา กบั แนวราบ ตอบ

ตัวอยา่ งที่ 5.4
จากรูป ขวา้ งลกู บอลดว้ ยความเรว็ 20 m/s ทาํ มมุ 30o กบั แนวระดบั จากยอดตกึ สงู 45 m

จงหา ก) ลกู บอลตกถงึ พืน้ ใชเ้ วลาเทา่ ไร
ข) ลกู บอลจะตกไกลจากจดุ ขวา้ งเทา่ ไร
ค) ขณะลกู บอลตกกระทบพืน้ มีความเรว็ เทา่ ไร

วธิ ีทาํ กาํ หนดให้ ทิศทางขนึ้ เป็น + ทิศทางลงเป็น –
จากโจทย์ จะได้ u = 20 m/s ทาํ มมุ 30o กบั แนวราบ
แยกuออกเป็น 2 แนว จะได้ ux = ucos30o = 20cos30o = 17.32 m/s
uy = usin45o = 20sin30o = 10 m/s

ก) ลกู บอลตกถงึ พืน้ ใชเ้ วลาเทา่ ไร

จากสตู ร Sy =
=
–45

นาํ 5 หารตลอด –45 = = –6.32
=0 ตอบ
หาคา่ t จากสตู ร
เม่ือ a=1, b = 2,c = 9 t=

t= = 4.16, t =

t= 4.16 s (–6.32 ใชไ้ มไ่ ด)้
ลกู บอลตกถงึ พืน้ ใชเ้ วลา 4.16 วนิ าที

ข) ลกู บอลจะตกไกลจากจดุ ขวา้ งเทา่ ไร หาขนาดการกระจดั ในแนวด่งิ Sy = 45 m
หาขนาดการกระจดั ในแนวราบSx = uxt ขนาดการกระจดั d จากสตู ร
Sx = (17.32)(4.16)
Sx = 72 m d=
หาขนาดการกระจดั ในแนวด่งิ Sy = 45 m d=
d = = 85 m

ลกู บอลจะตกไกลจากจดุ ขวา้ ง 85 เมตร ตอบ

ค) ขณะลกู บอลตกกระทบพืน้ มีความเรว็ เทา่ ไร
ความเรว็ ในแนวแกน x จากสตู ร Vx = ucos (ความเรว็ ในแนวระดบั คงท่ี)
= 20 cos 30o
= 17.32 m/s

ความเรว็ ในแนวแกน y จากสตู ร Vy = usin + gt (ภายใตแ้ รงดงึ ดดู ของโลก)

= 20 sin 30o + (–10)(4.16)
= –31.6 m/s

ขนาดความเรว็ V=

V= ตอบ

V=
V = 36 m/s
ขณะลกู บอลตกกระทบพืน้ มีความเรว็ 36 m/s

ตวั อยา่ งท่ี 5.5 เครอ่ื งบนิ บนิ ดว้ ยความเรว็ 300 m/s ในแนวระดบั อยสู่ งู จากพืน้ ดนิ 1,000 m
ทิง้ ระเบดิ ลงสเู่ ปา้ หมายภาคพืน้ ดนิ จงหา

ก) ลกู ระเบดิ จะตกสเู่ ปา้ หมายใชเ้ วลาเทา่ ไร
ข) เครอ่ื งบนิ อยหู่ า่ งจากเปา้ หมายก่ีเมตร

ก) ลกู ระเบดิ จะตกสเู่ ปา้ หมายใชเ้ วลาเทา่ ไร

หาเวลาในแนวด่งิ จากสตู ร Sy =

จากโจทย์ Sy = 1,000 m, uy = 0 m/s, g = 10 m/s2

แทนค่า 1,000 =

1,000 = 5t2

t2 =

t = 14.14s ตอบ
ลกู ระเบดิ จะตกสเู่ ปา้ หมายใชเ้ วลา 14.14 วินาที

ข) เครอ่ื งบนิ อยหู่ า่ งจากเปา้ หมายก่ีเมตร
หาขนาดการกระจดั ในแนวราบ Sx = uxt (uxเป็นความเรว็ คงท่ี = 300m/s)
Sx = (300)(14.14)

Sx = 4,242 m
หาขนาดการกระจดั ในแนวด่งิ Sy = 1,000 m
ขนาดการกระจดั d จากสตู ร d =

d=

d= = 4,358.27 m ตอบ
เครอ่ื งบนิ อยหู่ า่ งจากเปา้ หมาย 4,358.27 เมตร

ตัวอยา่ งที่ 5.6 ยิงปืนใหญ่จากภาคพืน้ ดนิ ดว้ ยความเรว็ 100 m/s ทาํ มมุ 53o กบั แนวระดบั
หลงั จากนนั้ 10 วินาที ลกู กระสนุ ปืนใหญ่กระทบเปา้ หมายบนหนา้ ผา

ก) เปา้ หมายอยสู่ งู จากพืน้ ระดบั ท่ียิงเทา่ ไร
ข) ปืนใหญ่อยหู่ า่ งจากเปา้ หมายก่ีเมตร

หาระยะทางในแนวด่งิ จากสตู ร Sy =

จากโจทย์ uy = 100sin53o m/s, g = –10 m/s2, t =10 s
Sy =
แทนคา่

Sy = 798.63 – 500

Sy = 298.63 m

เปา้ หมายอยสู่ งู จากพืน้ ระดบั ท่ียิง 298.63 เมตร ตอบ

หาขนาดการกระจดั ในแนวราบ Sx = uxt (ux เป็นความเรว็ คงท่ี = 300m/s)
Sx = (100)(10)
Sx = 1,000 m

ขนาดการกระจดั d จากสตู ร d=

d=

d = 1,044 m

ปืนใหญ่อยหู่ า่ งจากเปา้ หมาย 1,044 เมตร ตอบ