Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk f(x) = ax2 + bx + c, dimana a, b, c, anggota himpunan bilangan real dan a≠0. Keterangan: a merupakan koefisien dari x2 b merupakan koefisien dari x c merupakan konstanta/ suku tetap x merupakan variabel Grafiknya akan berbentuk kurva parabola Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Kemudian, memiliki ciri khusus parabola, diantaranya: Kurva mulus Memiliki sumbu simetri Memiliki titik balik yakni titik balik minimum atau maksimum Hal-hal yang diperlukan untuk menggambar grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah sebagai berikut. 1. Tentukan titik potong kurva dengan sumbu X dan sumbu Y 2. Tentukan sumbu simetri 3. Tentukan titik puncak atau titik balik 4. Letakkan titik-titik tersebut pada bidang koordinat Cartesius dan dapat menggunakan beberapa titik uji 5. Hubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuik kurva parabola Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c dapat digambarkan sketsanya dengan langkah berikut. a. Memperhatikan secara umum mengenai nilai a dan nilai Diskriminanya Nilai a itu menentukan grafik akan terbuka ke atas atau ke bawah Grafik terbuka ke atas Nilai a selalu positif Grafik terbuka ke bawah Nilai a selalu negatif PENGERTIAN FUNGSI KUADRAT HAL PENTING UNTUK MENGGAMBAR FUNGSI KUADRAT RINCIAN HAL PENTING DALAM MENGGAMBAR F.KUADRAT
Nilai diskriminan. Rumus untuk mencari diskriminan yakni D = b2-4ac. Jenis akarakarnya dapat dilihat pada tabel berikut. D > 0 D = 0 D < 0 Memiliki akar-akar yang berbeda/ berlainan Memiliki akar-akar yang sama Tidak memiliki akar-akar Memotong sumbu X di 2 titik yang berbeda/ berlainan Menyinggung sumbu X di 1 titik yang sama Tidak memotong/ tidak menyinggung sumbu X atau Grafik akan berada di atas / di bawah sumbu X b. Tentukan perpotongan dengan sumbu koordinat (pada sumbu X dan sumbu Y) Syarat wajib Titik potong terhadap sumbu X maka syaratnya y = 0 atau 0 = ax2 + bx + c Titik potong terhadap sumbu Y maka syaratnya x = 0 atau y = a(0)2 + b(0) + c c. Tentukan sumbu simetrinya (cerminan) d. Tentukan titik puncak atau titik balik (xp, yp) dan pasangannya atau y = a(yp) 2 + b(yp) + c Sehingga titik puncak atau titik baliknya ( , ) atau (xp, yp) atau (xp, f(xp)) e. Tentukan titik bantu, beberapa nilai koordinat untuk memperhalus grafik Jika x = titik bebas maka y = a(titik bebas)2 + b(titik bebas) + c (seperti pertemuan kedua pada saat membuat tabel) Misalkan terdapat soal : Lukislah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2-4x+3 pada sistem koordinat kartesius, kemudian apakah bentuk gambarnya sama dengan di link desmos.com/calculator? Jawaban: f(x) = x2-4x+3, nilai a = 1, b = -4, dan c = 3 a. Memperhatikan secara umum mengenai nilai a dan nilai Diskriminanya Nilai a = 1 berarti a > 0, maka gambar fungsi kuadratnya akan terbuka ke atas Nilai D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4 berarti D > 0, maka grafik akan memotong pada sumbu X di dua titik b. Tentukan titik perpotongan dengan sumbu koordinat (pada sumbu X dan sumbu Y) Titik potong terhadap sumbu X maka syaratnya y = 0 y = x2-4x+3 AYO GUNAKAN RUMUS DI ATAS
y = 0 0 = x2 – 4x + 3 x 2 – 4x + 3 = 0 (x - 1)(x - 3) = 0 x-1 = 0 atau x–3 = 0 x=1 atau x=3 Jadi, titik potong terhadap sumbu X yakni (1,0) dan (3,0) Titik potong terhadap sumbu Y maka syaratnya x = 0 y = x2-4x+3 x = 0 y = (0)2 – 4(0) + 3 y = 0 – 0 + 3 y = 3 Jadi, titik potong terhadap sumbu Y yakni (0,3) c. Tentukan sumbu simetrinya (cerminan) y = x2-4x+3, dimana a = 1, b = -4, dan c = 3 ( ) ( ) Jadi, sumbu simetrinya yakni x = 2 d. Tentukan titik puncak atau titik balik (xp, yp) Karena nilai xp nya sudah diketahui yakni xp = 2 maka dapat dicari pasangan y nya Penggunaan rumus ( ) atau Cara cepat: jika xp = 2 yp = (2)2-4(2)+3 yp = 4-8+3 yp = -1 Jadi, titik puncak (xp, yp) nya yakni (2, -1) e. Tentukan titik bantu, beberapa nilai koordinat untuk memperhalus grafik Ambil titik yang mudah, seperti x = -1 dan 4 Jika x = -1 maka y = (-1)2 – 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8, berarti titiknya (-1,8) Jika x = 4 maka y = 42 - 4(4) + 3 = 16 – 16 + 3 = 3, berarti titiknya (4,3) Hasil gambarnya yakni Penggunaan pemfaktoran (jika dapat digunakan) atau rumus abc (secara umum) Titik puncak minimum di titik (2,-1) Terbuka ke atas karena a<0 Puncak di kanan sumbu Ykarena a>0 dan b<0 jadi ab<0 Memotong sumbu Y di atas sumbu X karena c>0 Memotong sumbu X di 2 titik (1,0) dan (3,0) a = 1, b = -4, c = 3 Memotong sumbu Y di titik (0,3) Sumsu simetri x = 2
Berikut ini ada beberapa hal yang perlu diingat pada grafik fungsi : ( ) dimana . 1. Titik stasioner Dapat menggunakan bantuan nilai Diskriminan terlebih dahulu, yakni D = b2-4ac { tercapai apabila Jadi, titik stasioner yakni ( ) 2. Definit positif atau negative. { 1. Tentukan nilai minimum dari fungsi ( ) Jawab : ( ) . ( ) ( ) Jika kita peroleh bahwa Oleh karena itu, koordinat titik balik ( ) dan parabola terbuka ke atas. Jadi, nilai minimum fungsi tersebut adalah APLIKASI F.KUADRAT PADA PERMASALAHAN KONTEKSTUAL CONTOH PERSOALAN FUNGSI KUADRAT
2. Sebuah peluru ditembakkan dengan vertical keatas. Ketinggiannya bisa dirumuskan dengan rumus ( ) Berdasarkan rumus tersebut a. Hitunglah tinggi peluru pada detik ke 20 b. Kapan peluru sampai ke tanah c. Tinggi maksimum yang bisa dicapai oleh peluru Jawab : a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, tinggi peluru pada detik ke 20 yakni 800 meter b. ( ) ( ) atau Jadi, waktu peluru sampai ke tanah c. ( ) ( )( ) ( ) Jadi, tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh peluru yakni 900 meter
Aplikasi Desmos sebagai Media Online Jika terdapat suatu fungsi kuadrat, dapat digambarkan melalui aplikasi selain geogebra yang sering digunakan oleh mata pelajaran eksak, salah satunya penggunaan aplikasi desmos. Aplikasi ini dapat di download menggunakan playstore (handphone) ataupun penggunaan online melalui laman desmos.com/calculator (handphone dan laptop). Gambar hijau di samping merupakan icon dari aplikasi desmos pada handphone. Berbeda dengan laptop, pada laptop hanya dapat menggunakan laman desmos.com/calculator. Tampilan pada laptop akan seperti ini. Pada penggunaannya sangatlah mudah, cukup menuliskan fungsi kuadrat yang diminta dan tepat, maka akan menampilkan bentuk parabolanya, sehingga dapat ditafsikan gambarnya secara langsung. Tata cara penulisan Silahkan kalian buka Desmos terlebih dahulu (lebih okenya pakai aplikasi di playstore) Ketikkan pada kolom di sebelah kiri 1. f(x) = ax2 + bx + c (kemudian enter) 2. lalu muncul garis pada a, b, dan c (dibiarkan saja) 3. Ketikkan rumus diskriminan D = b2 – 4ac (kemudian enter dan amati hasilnya) 4. Ketikkan rumus sumbu simetri yakni x1 = - b/2a (kemudian enter dan amati hasilnya) 5. Ketikkan rumus nilai optimum yakni y1 = - (b2 - 4ac) / 4a (kemudian enter dan amati hasilnya) 6. Untuk mengetahui titik puncak, maka cukup tuliskan (x1 , y1) yang langsung otomatis dapat hasilnya. Nah, bisa kalian tambahkan tulisan label : puncak 7. Penggunaan tikpong hanya dapat digunakan pada tikpong sumbu Y (syarat x=0) maka dapat dituliskan m = a(0)2 + b(0) + c (kemudian enter) 8. Untuk mengetahui tikpong terhadap sumbu Y, maka dapat dituliskan (0 , m), lalu amati hasilnya. Bisa ditambahi label : tikpong Y 9. Hanya garis tikpong X, caranya ditulis 0 = ax2 + bx + c, nanti dapat terlihat perpotongan terhadap sumbu X 10. Jika ingin mengetahui simetrinya, maka cukup tuliskan x = x1 PENJELASAN APLIKASI DESMOS
Misalkan kita akan membuat grafik fungsi kuadrat ( ) maka kita langsung dapat memasukkan/ mensubstitusikan fungsi kuadrat di atas ke dalam kotak putih (sebelah kotak biru). Maka hasilnya dapat dilihat seperti ini. Dari gambar di atas, dapat ditafsirkan bahwa kurva menghadap ke atas, kurva mulus, memiliki titik potong terhadap sumbu (sumbu X dan sumbu Y), sumbu simetri, nilai optimum, dan memiliki titik puncak/balik. CARA MENGGAMBAR FUNGSI KUADRAT DENGAN DESMOS KELENGKAPAN APLIKASI DESMOS UNTUK PEMBELAJARAN DI KELAS
Tampilan yang lebih rinci Barcode Aplikasi Desmos