1 1 Himpunan Apa itu himpunan ? Coba kamu pahami makna himpunan dari dua contoh berikut! Contoh 1 Contoh 2 Berdasarkan dari dua contoh di atas, mari kita pahami bahwa contoh 1 merupakan himpunan sedangkan contoh 2 bukan himpunan. Pada contoh 1, kelompok mahasiswa yang diminta adalah yang menggunakan kacamata. Jadi definisi kacamata dapat didefinisikan bahwa digunakan sebagai alat bantu melihat dan digunakan pada mata dengan disangga pada hidung dan kudua telinga. Oleh karena itu, makna kacamata dapat didefinisikan dengan jelas, objektif dan semua orang memiliki pemahaman yang sama. Selanjutnya pada contoh 2, kelompok mahasiswa yang diminta adalah mahasiswa yang pintar. Definisi pintar itu tidak dapat didefinisikan dengan jelas karena setiap orang memiliki definisi yang berbeda tentang indikator orang pintar. Indikator seseorang dikatakan pintar itu bersifat subjektif (pribadi). Berdasarkan dua contoh tersebut dapat kita simpulkan bahwa semua kata sifat seperti baik, pintar, cantik, ramah, sopan, cerewet termasuk penilaian subjektif (pribadi) karena setiap orang memiliki indikator penilaian yang berbeda. Apa kamu sudah bisa paham yang dimaksud dengan himpunan ? Mari kita lihat contoh berikutnya agar kamu dapat lebih yakin dalam memahami konsep himpunan. Kelompok mahasiswa yang menggunakan kacamata di kelas Kelompok mahasiswa yang pintar di kelas
2 2 Contoh 3 Contoh 4 Berdasarkan dari dua contoh di atas dapat kita bandingkan bahwa pada contoh 3 yang diminta adalah kumpulan mahasiswa yang tinggi di kelas. Kata tinggi yang diminta tidak jelas karena tidak ada keterangan berapa tinggi yang dimaksud. Oleh karena itu, tinggi yang dimaksud tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Hal tersebut tentu berbeda pada contoh 4 yang mencantumkan berapa tinggi yang dimaksud soal. Pada contoh 4, tinggi yang dimaksud adalah yang lebih dari 160 cm sehingga mahasiswa yang tingginya 160 cm dan di bawahnya tidak masuk dalam kumpulan yang dimaksud. Oleh karena itu, tinggi pada contoh 4 dapat didefinisikan dengan jelas karena ada keterangan angkanya sehingga penilaiannya dapat dilakukan secara objektif bukan subjektif. Kita coba lihat contoh lainnya. Contoh 5 Contoh 6 Berdasarkan dua contoh tersebut dapat kita pahami bahwa pada contoh 5 yang diminta adalah buah yang ukurannya besar. Definisi besar tidak diikuti oleh keterangan berapa berat buahnya sehingga definisi besar tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Pada contoh 6 yang diminta adalah buah besar yang beratnya lebih dari 0,5 kg sehingga buah yang beratnya 0,5 kg dan dibawahnya tidak memenuhi Kumpulan buah yang besar dengan berat lebih dari 0,5 kg. Kumpulan buah yang besar. Kumpulan mahasiswa yang tingginya lebih dari 160 cm di kelas Kumpulan mahasiswa yang tinggi di kelas
3 3 syarat yang diminta oleh soal. Oleh karena itu, definisi buah besar dapat didefinisikan dengan jelas karena ada keterangan berat buah yang dimaksud. Beberapa contoh di atas dapat kamu pahami bahwa untuk contoh himpunan tidak harus manusia. Akan tetapi, benda atau jenis lainnyapun bisa. Oleh karena itu, coba kamu sebutkan 3 contoh yang merupakan himpunan dan yang bukan himpunan. Contoh himpunan Contoh bukan himpunan Setelah itu, coba kamu tuliskan di bawah ini, apa definisi himpunan yang kamu pahami ? Himpunan dinotasinya dengan huruf kapital seperti A (dibaca himpunan A). Himpunan memiliki 4 cara penyajian, yaitu 1. 2. 3. 1. 2. 3.
4 4 1. Enumerasi Contoh : A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c,d,e} Contoh : A = {1,2,3} B = {k,a,l,i,s} 2. Simbol Baku Contoh : A = himpunan bilangan asli B = himpunan bilangan cacah 3. Notasi Himpunan Contoh : A = {x l x < 8, x Є bil ganjil} B = {x l 2 ≤ x < 5, x Є bil cacah} 4. Diagram Vann Mendaftarkan anggotanyasatu persatu dengan menggunakan { } (kurung kurawal). Penyajian himpunan dengan menggunakan simbol tertentu. Penyajian himpunan dengan menggunakan notasi. Penyajian himpunan secara grafis.
5 5 Contoh : Pada Gambar 1, kita dapat membaca diagram vann sebagai berikut. S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} P = {1,2,3,7} dan Q = {4,5,6,7} Pada himpunan A dan B terdapat anggota himpunan yang sama yaitu 7 sehingga diagram A dan B beririsan ditengah. Selanjutnya 8,9 dan 10 ditulis di luar dari kedua diagram A dan B karena 8,9 dan 10 bukan anggota dari kedua himpunan tersebut. Oleh karena itu, bentuk diagram vann yang beririsan di tengah dapat digunakan ketika ada atau beberapa dari anggota himpunan A dan B yang sama. Pada Gambar 2, kita dapat membaca diagram vann sebagai berikut. S = {a,b,c,d,e,f,g,h,i} A = {a,b,c,d} dan B = {e,f,g} Pada himpunan P dan Q tidak terdapat anggota himpunan yang sama sehingga diagram P dan Q digambar terpisah antara satu dengan yang lain. Selanjutnya h dan i ditulis di luar dari kedua diagram P dan Q karena h dan i bukan anggota dari kedua himpunan tersebut. Oleh karena itu, bentuk diagram vann yang digambar terpisah dapat digunakan ketika anggota himpunan P dan Q berbeda. 7 S 1 2 3 4 5 6 A B 8 9 10 S P Q b a c d e f g h i Gambar 1 Gambar 2
6 6 Pada Gambar 3, kita dapat membaca diagram vann sebagai berikut. S = {1,2,3,4,5,6,7} M = {1,2,3,4,6} dan N = {1,3} Pada himpunan M dan N terdapat anggota himpunan yang sama yaitu semua anggota himpunan N yakni 1 dan 3 ada pada himpunan M sehingga diagram N digambar di dalam diagram M. selanjutnya 5 dan 7 ditulis di luar dari kedua himpunan M dan N karena 5 dan 7 bukan anggota dari kedua himpunan tersebut. Oleh karena itu, bentuk diagram vann yang digambar seperti gambar 3 dapat digunakan ketika semua anggota himpunan N sama dengan M tetapi tidak berlaku sebaliknya artinya tidak semua anggota himpunan M sama dengan anggota himpunan N. Kita bisa sebut N subset (himpunan bagian) dari M karena semua anggota himpunan N ada di M. Kita bisa tulis dengan N с M. Pada Gambar 4, kita dapat membaca diagram vann sebagai berikut. S = {1,2,3,4,5,6,7} M = {2,4,6} dan N = {1,2,3,4,6} Pada himpunan M dan N terdapat anggota himpunan yang sama yaitu semua anggota himpunan M yakni 2,4 dan 6 ada pada himpunan N sehingga M digambar di dalam diagram N. Selanjutnya 5 dan 7 ditulis di luar dari kedua S N N 1 3 2 2 1 4 7 6 5 S 5 4 6 3 M 7 Gambar 3 Gambar 4 M
7 7 himpunan M dan N karena 5 dan 7 bukan anggota dari kedua himpunan tersebut. Oleh karena itu, bentuk diagram vann yang digambar seperti gambar 4 dapat digunakan ketika semua anggota himpunan M sama dengan N tetapi tidak berlaku sebaliknya artinya tidak semua anggota himpunan N sama dengan anggota himpunan M. Kita bisa sebut M subset (himpunan bagian) dari N karena semua anggota himpunan M ada di N. Kita bisa tulis dengan M с N. Pada Gambar 5, kita dapat membaca diagram vann sebagai berikut. S = {1,2,3,4,5,6} R = {1,3,4,6} dan S = {1,3,4,6} Pada himpunan R dan S terdapat anggota himpunan yang sama yaitu semua anggota himpunan R sama dengan S dan begitupun sebaliknya sehingga diagram R dan S dibuat sama dan diberi simbol R=S pada diagram vann. Selanjutnya 2 dan 5 ditulis di luar dari diagram R dan S karena 2 dan 5 bukan anggota dari kedua himpunan tersebut. Kardinalitas Kardinalitas dinotasikan dengan n(A) atau lAl. Apa itu kardinalitas ? Kardinalitas banyaknya anggota yang berbeda pada sebuah himpunan. S R = S 6 5 4 3 2 1 Gambar 5
8 8 Contoh : A = {1,2,2,3,4,5} maka lAl = 5 Kenapa lAl = 5 ? Hal tersebut karena angka 2 pada himpunan A terdapat sebanyak dua buah sehingga yang dihitung cukup satu saja. B = {1,1,2,3,3,3} maka lBl = 3 Apakah kamu sudah paham konsep kardinalitas ? Jika masih bingung, pahami contoh berikut! Berapa kardinalitas dari P = {M,A,T,E,M,A,T,I,K,A} ? lPl = 6 yaitu huruf M,A,T,E,I,K. Selanjutnya, tentukan kardinalitas dari Z = {x l x adalah nama panjangmu} ! Jenis-Jenis Himpunan 1. Himpunan kosong (Notasinya { } atau Ø) Contoh : P = {x l x adalah kumpulan mahasiswa yang menggunakan rok di kelas} Q = {x l x < 1, x Є bilangan cacah} R = {x l 2 < x < 7, x Є bilangan asli negatif} S = {x l x adalah kumpulan mahasiswa memiliki rambut warna ungu di kelas} Himpunan yang tidak mempunyai anggota (kardinalitasnya adalah nol)
9 9 Selanjutnya, berikan 3 contoh himpunan kosong dan jelaskan jawabanmu ! 2. Himpunan bagian atau subset (Notasinya A с B) Contoh : A = {a,b,u} B = {a,b,e,m,u} C = {b,e,u} A subset B (A с B) karena semua anggota himpunan A ada pada B akan tetapi tidak berlaku sebaliknya. Kita juga bisa sebut B superset A yang artinya di dalam himpunan B ada A. C subset B (C с B) karena semua anggota himpunan C ada pada B akan tetapi tidak berlaku sebaliknya. Kita juga bisa sebut C superset B yang artinya di dalam himpunan B ada C. Selanjutnya, berikan 3 contoh himpunan bagian dan jelaskan jawabanmu ! 3. Himpunan sama (Notasinya A = B) Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari B jika dan hanya jika semua anggota A ada di B tetapi tidak sebaliknya. Himpunan A dikatakan sama dengan B jika dan hanya jika semua anggota himpunan A ada di B dan begitupun sebaliknya.
10 10 Contoh : M = {1,3,5,7} N = {1,3,5,7} Himpunan M dan N dikatakan himpunan sama karena semua anggota A ada di B yaitu 1,3,5,7 dan begitupun sebaliknya semua anggota B juga ada di A. Apa kamu sudah paham konsep himpunan sama ? coba kamu pahami contoh berikut! P = {1,2,3} Q = {1,1,2,3,3} Himpunan P dan Q dikatakan sama karena semua anggota P ada di Q dan begitupun sebaliknya. Walaupun anggota himpunan Q lebih banyak dari P akan tetapi angka tersebut tetap sama dengan angka yang ada di himpunan P. jadi konsep dua himpunan dikatakan sama adalah apabila kedua himpunan memiliki anggota yang sama, bukan jumlah anggotanya yang sama. Selanjutnya tentukan apakah R = S jika R = {s,h,e,l,l} dan S = {e,r,r,o,r} dan jelaskan jawabanmu ! 4. Himpunan ekivalen (Notasinya A ~ B) Contoh : K = {a,l,n,s,u} L = {a,l,l,n,e,w} Himpunan K dan L dikatakan himpunan ekivalen (K ~ L) karena lAl = 5 dan lBl = 5 sehingga lAl = lBl. Himpunan A dikatakan ekivalen dengan B jika dan hanya jika kardinalitas dari A sama dengan kardinalitas dari B ( lAl = lBl ).
11 11 Apa kamu sudah bisa memahami konsep himpunan ekivalen ? Coba kamu pahami contoh berikut ! C = {1,3,5} D = {a,b,u} Himpunan C dan D dikatakan himpunan ekivalen (C ~ D) karena lCl = 3 dan lDl = 3 sehingga lCl = lDl. Jadi, konsep dua himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika kardinalitas dari kedua himpunan tersebut sama walaupun anggota himpunannya berbeda, bukan dilihat dari kesamaan anggota dari kedua himpunan tersebut. Selanjutnya tentukan apakah M ~ N jika M = {j,a,g,u,n,g} dan N = {m,i,s,s,s,e,l} dan jelaskan jawabanmu ! 5. Himpunan saling lepas (Notasi A//B) Contoh : P = {1,2,3} Q = {4,5} Himpunan P dan Q dikatakan himpunan saling lepas (P//Q) karena semua anggota P yaitu 1,2,3 berbeda dengan anggota Q yaitu 4 dan 5. Selanjutnya tentukan M//N jika diketahui M = {s,a,t,e} dan N = {u,b,i} dan jelaskan jawabanmu ! Himpunan A dikatakan saling lepas dengan B jika dan hanya jika semua anggota A dan B tidak ada yang sama.
12 12 6. Himpunan kuasa (Notasinya P(A)) Jumlah elemen dari himpunan kuasa dapat diketahui dengan rumus : lP(A)l = n adalah lAl (kardinalitas dari A). Contoh : Tentukanlah P(A) dan lP(A)l dari A = {c,o,l} ! lAl = 3 sehingga lP(A)l = = 8 P(A) = {Ø,{c},{o},{l},{c,o},{c,l},{o,l},{c,o,l}} Perhatikan bahwa himpunan kosong ditandai dengan warna kuning, himpunan bagian dari A ditandai dengan warna hijau dan himpunan A itu sendiri ditandai dengan warna biru. Hal tersebut sesuai dengan definisi dari himpunan kuasa. Selanjutnya bagaimana jika yang diminta soal adalah P(M) dan lP(M)l dari M = {s,a,t,e} ? Operasi pada Himpunan 1. Irisan (Notasinya n) Himpunan kuasa A adalah himpunan yang elemennya yaitu himpunan kosong ( { } atau Ø), semua himpunan bagian dari A dan himpunan A itu sendiri. Irisan dari dua buah himpunan adalah jika dan hanya jika anggota dari kedua himpunan ada satu atau beberapa yang sama.
13 13 Konsep irisan secara grafis dapat kita pahami sebagai berikut. Contoh : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,3,5,7} B = {7,8,9} (A n B) = {7} Jadi konsep irisan bisa dipahami dari angka yang diberi warna kuning yaitu 7 dimana 7 merupakan anggota dari A sekaligus B sehingga 7 merupakan irisan dari A dan B. 2. Gabungan (Notasinya u) Konsep gabungan secara grafis dapat kita pahami sebagai berikut. Gabungan dari dua buah himpunan adalah dengan menggabungkan semua anggota dari kedua himpunan, dimana anggota yang sama hanya ditulis sekali saja. (A n B) S A B S A B (A u B)
14 14 Contoh masih menggunakan soal 1 sehingga : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,3,5,7} B = {7,8,9} (A u B) = {1,3,5,7,8,9} Jadi konsep gabungan bisa dipahami dengan menggabungkan angka yang diberi warna kuning dengan cara mengurutkannya dari angka yang kecil ke angka besar dan angka yang sama cukup ditulis satu kali seperti angka 7. 3. Komplemen (Notasinya / ) Konsep komplemen secara grafis dapat kita pahami sebagai berikut. Contoh masih menggunakan soal no 1 sehingga : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,3,5,7} B = {7,8,9} = {2,4,6,8,9,10} = {1,2,3,4,5,6,10} Perhatikan kenapa bisa diperoleh = {2,4,6,8,9,10} ? Coba kamu pahami proses berikut ! Komplemen dari himpunan A ( / ) artinya selain dari anggota himpunan A yang ada pada S (himpunan semesta). A S
15 15 Kita tahu bahwa S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} dan A = {1,3,5,7} sehingga : = artinya selain dari angka 1,3,5,7 yang ada pada S atau selain angka yang diberi warna kuning pada S maka diperolehlah hasilnya = {2,4,6,8,9,10}. Selanjutnya, kenapa bisa diperoleh = {1,2,3,4,5,6,10} ? Hal yang sama juga seperti langkah pada . Kita tahu bahwa S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} dan B = {7,8,9} sehingga : = artinya selain dari angka 7,8,9 yang ada pada S atau selain angka yang diberi warna kuning pada S maka diperolehlah hasilnya = {1,2,3,4,5,6,10}. Kemudian bagaimana jika yang diminta soal adalah dan ? jelaskan jawabanmu ! = = 4. Selisih atau komplemen relatif (Notasinya -) Contoh masih menggunakan soal no 1 sehingga : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Selisih dari himpunan A dan B (A – B) artinya semua anggota himpunan A kecuali anggota yang sama dengan B tidak masuk.
16 16 Arsirlah daerah (A-B) dan (B-A) pada gambar diagram vann berikut! Contoh masih menggunakan soal no 1 sehingga : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,3,5,7} B = {7,8,9} (A – B) = {1,3,5} Kenapa hasil (A – B) = {1,3,5} ? Kita tahu bahwa (A – B) artinya semua anggota himpunan A kecuali anggota yang sama dengan B tidak masuk sehingga kita cukup perhatikan himpunan A yaitu A = {1,3,5,7} dan kita cek apakah ada anggota A yang sama dengan B ? jika ada maka angka tersebut tidak masuk ke dalam hasil penyelesaian. Oleh karena 7 merupakan anggota yang ada di A dan B maka 7 tidak masuk dalam hasil penyelesaian atau kita buang. Kamu juga bisa lihat anggota dari A dan B yang diberi warna kuning hanya angka 7 karena 7 merupakan anggota dari A sekaligus B. Selanjutnya (B – A) = {8,9} Kenapa hasil (A – B) = {8,9}? Kita tahu bahwa (B – A) artinya semua anggota himpunan B kecuali anggota yang sama dengan A tidak masuk sehingga kita cukup perhatikan himpunan B yaitu B = {7,8,9} dan kita cek apakah ada anggota B yang sama dengan A ? jika ada maka angka tersebut tidak masuk ke dalam hasil penyelesaian. Oleh karena 7 merupakan anggota yang ada di A dan B maka 7 tidak masuk dalam S A B S A B
17 17 hasil penyelesaian atau kita buang. Kamu juga bisa lihat anggota dari A dan B yang diberi warna kuning hanya angka 7 karena 7 merupakan anggota dari A sekaligus B. Berdasarkan 2 contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa (A – B) ‡ (B – A) sehingga tidak berlaku komutatif untuk keduanya. Pada konsep (A – B) yang kita ambil adalah semua anggota himpunan A kecuali yang beririsan dengan B sedangkan pada konsep (B – A) yang kita ambil adalah semua anggota himpunan B kecuali yang beririsan dengan A. Selanjutnya bagaimana jika yang diminta soal adalah [(A n B) – (A u B)] dan [ - ] ? [(A n B) – (A u B)] = [ - ] [ - ] 5. Beda simetris (Notasinya +) Beda simetris dari himpunan A dan B (A + B) artinya semua anggota himpunan A kecuali anggota yang sama dengan B tidak masuk.
18 18 Konsep beda simetris secara grafis dapat kita pahami sebagai berikut. Contoh masih menggunakan soal no 1 sehingga : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,3,5,7} B = {7,8,9} (A + B) = {1,3,5,8,9} Kenapa hasil (A + B) = {1,3,5,8,9} ? Kita tahu bahwa (A + B) artinya semua anggota himpunan A dan B kecuali anggota yang sama atau beririsan (A n B) tidak masuk sehingga angka 7 tidak masuk karena angka 7 ada di A dan B. Kamu juga bisa lihat anggota dari A dan B yang diberi warna kuning hanya angka 7 karena 7 merupakan anggota dari A sekaligus B sehingga (A + B) = {1,3,5,8,9}. Selanjutnya bagaimana jika yang diminta soal adalah [(A n B) + (A u B)] dan [ + ] ? [(A n B) + (A u B)] = S A B
19 19 [ + ] 6. Perkalian kartesian (Notasinya x) Contoh : Contoh : P = {1,2,3} Q = {p,o} (A x B) = {(1,p),(1,o),(2,p),(2,o),(3,p),(3,o)} (B x A) = {(p,1),(p,2),(p,3),(o,1),(o,2),(o,3)} Konsep dari perkalian kartesian dari himpunan A dan B (A x B) adalah kita memasangkan anggota dari himpunan A dengan anggota himpunan B secara berurutan. Hal yang sama juga untuk konsep perkalian kartesian dari himpunan B dan A (B x A) adalah kita memasangkan anggota dari himpunan B dengan anggota himpunan A secara berurutan. Oleh karena itu, (A x B) tidak sama dengan (B x A) karena tidak berlaku komutatif terhadap keduanya. Selanjutnya tentuka M x N jika M = {x l x adalah nama ayahmu} dan N = {x l x adalah nama ibumu} dan jelaskan jawanmu ! Perkalian kartesian dari himpunan A dan B (A x B) artinya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
20 20 Contoh Soal Aplikasi Himpunan 1. Pada sebuah kursus memasak yang terdiri dari 40 peserta, terdapat 25 orang gemar memasak masakan asia, 18 orang gemar memasak masakan korea dan 7 orang tidak gemar keduanya. Berapa jumlah orang yang gemar keduanya ? Penyelesaian : S = (25-x) + x + (18-x) + 7 40 = 36 – x x = 40 – 36 x = 4 Jadi ada 4 orang yang gemar memasak kedua masakan tersebut. 2. Pada sebuah arisan RT yang berjumlah 30 ibu-ibu, terdapat 17 orang yang menyukai risol, 7 orang yang menyukai bakwan dan 2 orang yang menyukai keduanya. Berapa jumlah orang yang tidak menyukai keduanya ? Penyelesaian : A = 25 K = 18 S = 40 25-x x 18-x 7 Daerah (25-X) adalah daerah yang hanya gemar memasak masakan asia yaitu ada 21 orang. Daerah (18-X) adalah daerah yang hanya gemar memasak masakan korea yaitu ada 14 orang.
21 21 S = 15 + 2 + 5 + x 30= 22 + x x = 8 Jadi ada 8 orang ibu-ibu yang tidak menyukai keduanya (risol sekaligus bakwan). 3. Penderita covid 19 maupun autoimun yang dirawat di rumah sakit sebanyak 86 pasien, 35 pasien menderita covid 19 dan 15 pasien yang menderita covid 19 dan autoimun. Berapa banyak pasien yang hanya menderita autoimun ? Penyelesaian : S = 30 R = 17 B = 7 17-2=15 2 7-2=5 x Daerah yang hanya menyukai risol ada 15 orang. Daerah yang hanya menyukai bakwan ada 5 orang. S = 86 C = 35 A = x 35-15 =20 15 x-15 Daerah pasien yang hanya menderita covid 19 ada 20 orang. Daerah pasien yang hanya menderita autoimun ada (66-15)= 51 orang.
22 22 S = 20 + 15 + (x-15) 86 = x + 20 x = 86-20 x = 66 (jumlah pasien yang menderita autoimun) Jadi jumlah pasien yang hanya terkena autoimun adalah (66-15)=51 orang. 4. Pada sebuah komunitas terdapat 20 orang gemar minum teh, 15 orang gemar minum kopi dan 8 orang gemar keduanya. Berapa jumlah orang yang ada pada komunitas tersebut ? Penyelesaian : S = 12 + 8 + 7 = 27 Jadi jumlah orang yang ada pada komunitas tersebut adalah 27 orang. 5. Diketahui terdapat 64 mahasiswa suka memakai kemeja putih, 94 mahasiswa suka memakai kemeja hitam, 58 mahasiswa suka memakai kemeja coklat, 26 mahasiswa suka memakai kemeja putih dan hitam, 28 mahasiswa yang suka memakai kemeja putih dan coklat, 22 mahasiswa yang suka memakai kemeja hitam dan coklat dan 14 mahasiswa suka ketiganya. Berapa jumlah mahasiswa yang tidak suka ketiganya jika jumlah seluruh mahasiswa ada 270 orang ? S = x T = 20 K = 15 20-8 8 =12 15-8 =7 Daerah orang yang hanya gemar minum kopi ada 7 orang. Daerah orang yang hanya gemar minum teh ada 12 orang.
23 23 Penyelesaian : S = 24 + 12 + 14 + 14 + 60 + 8 + 22 + x 270 = 152 + x X = 270 – 152 X = 118 ( jadi ada 118 orang yang tidak menyukai ketiganya). 6. Pada sebuah angkatan terdapat 115 mahasiswa yang mengambil matakuliah matematika diskrit, 71 mahasiswa yang mengambil matakuliah logika matematika dan 56 mahasiswa yang mengambil matakuliah aljabar. Diantaranya 25 mahasiswa mengambil matakuliah matematika diskrit dan logika matematika, 14 mahasiswa yang mengambil matakuliah matematika diskrit dan aljabar dan 9 mahasiswa yang mengambil matakuliah logika matematika dan aljabar. Jika terdapat 196 mahasiswa yang mengambil paling S = 270 P= 64 C= 58 H= 94 Jumlah orang yang hanya suka memakai kemeja putih dan hitam adalah 26-14 = 12 orang. Jumlah orang yang hanya suka memakai kemeja putih dan coklat adalah 28-14 = 14 orang. 14 Jumlah orang yang hanya suka memakai kemeja hitam dan coklat adalah 22-14 = 8 orang. X Jumlah orang yang hanya suka memakai kemeja putih adalah 64-(12+14+14) = 24 orang. 12 14 8 24 Jumlah orang yang hanya suka memakai kemeja hitam adalah 94-(12+14+8) = 60 orang. 60 Jumlah orang yang hanya suka memakai kemeja coklat adalah 58- (14+14+8) = 22 orang. 22
24 24 sedikit satu dari tiga mata kuliah tersebut, berapa jumlah mahasiswa yang mengambil ketiga matakuliah tersebut ? Penyelesaian : Lengkapi keterangan pada diagram vann berikut! Penyelesaian : X = 196 – (115 + 71 + 56) + (25 + 14 + 9) = 196 – 242 + 48 = 244 – 242 = 2 Jadi jumlah mahasiswa yang mengambil ketiga matakuliah tersebut ada 2 orang. S = 196
25 25 7. Perkumpulan kelompok pecinta tanaman mengadakan pertemuan dengan jumlah peserta sebanyak 48 orang. Diantaranya terdapat 25 orang yang menyukai tanaman Kaktus, 27 orang menyukai tanaman Tanduk Rusa dan 22 orang yang menyukai tanaman Aglaonema. Apabila terdapat 13 orang yang menyukai kaktus dan tanduk rusa, 10 orang masing-masing menyukai kaktus dan aglaonema, begitupun tanduk rusa dan aglaonema. Jika 5 orang yang hadir hanya menemani bukan pecinta tanaman maka berapa jumlah orang yang menyukai ketiga tanaman tersebut? Gambarkan diagram vann nya! 8. Mahasiswa semester akhir yang berjumlah 50 orang diminta untuk publikasi artikel skripsi di jurnal nasional terakreditasi sinta. Apabila terdapat 28 mahasiswa yang artikelnya terbit di jurnal sinta 4, 30 mahasiswa yang artikelnya terbit di jurnal sinta 5 dan 33 mahasiswa yang artikelnya terbit di jurnal sinta 6. Apabila terdapat 17 mahasiswa yang diterima di jurnal sinta 4 dan 5. Ada 20 mahasiswa yang diterima di jurnal sinta 5 dan 6. Ada 16 mahasiswa yang diterima di jurnal sinta 4 dan 6. Jika 9 mahasiswa yang artikelnya dapat diterima di 3 jurnal sinta 4, 5 dan 6 sekaligus karna ketidaktahuan dalam aturan publikasi maka berapakah jumlah mahasiswa yang artikel tidak diterima publikasi pada jurnal sinta 4, 5 dan 6? Gambarkan diagram vann nya!