แผนการจัดการเรียนรู้ 30000-1404 แคลคูลัส 1

แผนการจัดการเรยี นรู้มุ่งเนน้ สมรรถนะอาชพี
บูรณาการหลกั ปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง
และคา่ นยิ มหลกั ของคนไทย 12 ประการ

ชื่อวิชา แคลคลู สั 1 รหัสวิชา 30000 – 1404

หลกั สูตรประกาศนยี บตั รวชิ าชพี ช้ันสงู (ปวส.) พุทธศักราช 2563
ประเภทวชิ าอตุ สาหกรรม ทกุ สาขางาน

จัดทำโดย
นางสุริษา เกษรศิริ
แผนกวชิ าสามญั – สัมพันธ์

วทิ ยาลยั สารพดั ช่างระยอง
สำนกั งานคณะกรรมการการอาชวี ศกึ ษา กระทรวงศึกษาธิการ

คำนำ

ตามนโยบายสำนักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษากำหนดให้สถานศึกษาบูรณาการหลัก
ปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียงในการจัดการศึกษา โดยบูรณาการหลักปรัชญาของเศรษฐกิจในการจัดการ
เรียนรู้ตามหลักสูตรฐานสมรรถนะอาชีพ วิทยาลยั สารพัดช่างระยองไดต้ ระหนักถึงนโยบายสำนักงาน
คณะกรรมการการอาชีวศึกษาจึงมกี ารจดั อบรม สง่ เสริมและสนบั สนนุ ให้ครผู ู้สอนจัดทำแผนการสอน /
แผนการจัดการเรยี นรเู้ นน้ สมรรถนะอาชพี และบรู ณาการปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง

ครูผู้สอนจงึ ไดจ้ ัดทำแผนการสอน/แผนการจดั การเรยี นรู้เน้นสมรรถนะอาชีพและบูรณาการ
ปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง หลักสูตรประกาศนียบัตรวชิ าช้ันสงู (ปวส.) หมวดวชิ าสามัญ วิชาสามัญท่ัวไป
ช่อื วิชาแคลคลู ัส 1 รหสั วิชา 3000 - 1525 จำนวน 3 หน่วยกติ 3 ช่ัวโมงข้ึนมา เพื่อใช้ในการประกอบ
การเรียนการสอนของครแู ละนกั เรยี น วทิ ยาลยั สารพดั ชา่ งระยอง

สุริษา เกษรศริ ิ

สารบญั หน้า

คำนำ 1
สารบญั 2
คำอธิบายรายวชิ า 5
ตารางวเิ คราะห์หน่วยสมรรถนะ 8
หนว่ ยการเรียนรู้และสมรรถนะประจำหน่วย 9
ตารางวเิ คราะหห์ ลักสตู ร 12
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 1 เรือ่ ง ปฐมนเิ ทศ 15
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 2 เรอ่ื ง ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชัน 18
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 3 เร่ือง ลมิ ิตและความต่อเนื่องของฟงั ก์ชนั (ตอ่ ) 21
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 4 เร่ือง อนุพันธ์ของฟังกช์ นั 23
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 5 เร่ือง อนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั พีชคณติ 25
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 6 เรื่อง อนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั พีชคณติ (ตอ่ ) 27
แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 7 เรื่อง อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั อดศิ ัย 30
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 8 เรือ่ ง อนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั อดศิ ยั (ตอ่ ) 33
แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 9 เรอ่ื ง อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั อดศิ ัย (ตอ่ ) 37
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 10 เรื่อง การประยุกต์อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชัน 39
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 11 เรอ่ื ง การประยุกต์อนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน (ต่อ) 43
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 12 เร่ือง การประยกุ ต์อนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ัน (ต่อ) 47
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 13 เร่ือง การอนิ ทิกรัลไมจ่ ำกัดเขต 50
แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 14 เรื่อง การอินทิกรัลไม่จำกัดเขต 53
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 15 เรือ่ ง การอินทกิ รัลไมจ่ ำกัดเขต (ตอ่ ) 56
แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 16 เร่อื ง การอนิ ทกิ รัลไมต่ รงแบบ 62
แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 17 เรื่อง อินทิกรลั จำกดั เขตและการประยกุ ต์อินทิกรัล
รายการตรวจสอบและอนญุ าตให้ใช้

รายการตรวจสอบและอนุญาตให้ใช้

ควรอนญุ าตให้ใช้ในการสอนได้
ควรปรับปรงุ เก่ียวกับ..............................................................................................................
............................................................................................... ................................................

.............................................................
(นายธนากร วิจิตรานนท์)

หวั หน้าแผนกวชิ าสามญั – สัมพนั ธ์
............./.........................../...............

ควรอนุญาตให้ใชใ้ นการสอนได้
ควรปรบั ปรุงเกีย่ วกับ..............................................................................................................
......................................................................................... ......................................................

.............................................................
(นายชนนิ ทร ต่อพงศกร)

หวั หนา้ งานพัฒนาหลักสูตรการเรยี นการสอน
............./.........................../...............

เห็นควรอนุญาตให้ใช้ในการสอนได้
ควรปรบั ปรงุ ดังเสนอ
อน่ื ๆ........................................................................................................................ ..............
...............................................................................................................................................

.............................................................
(นายไชย์ปญั ญา ทองอนิ ทร์)
รองผ้อู ำนวยการฝา่ ยวิชาการ

............./.........................../...............

อนญุ าตให้ใชใ้ นการสอนได้
อน่ื ๆ........................................................................................................................ ..............
............................................................................................................................................. ..

.............................................................
(นายกติ ติพงค์ อตุ ตมะเวทนิ )

ผู้อำนวยการวทิ ยาลยั สารพดั ช่างระยอง
............./.........................../...............

แผนการจัดการเรียนรู้ 1
3-0-3
รหสั 30000-1404 วิชา แคลคลู ัส 1

หลักสูตรประกาศนียบตั รวชิ าชีพชัน้ สงู พุทธศักราช 2563

ประเภทวชิ าอตุ สาหกรรม ระดับชนั้ ปวส.

คำอธิบายรายวชิ า

รหสั 30000-1404 วชิ า แคลคลู ัส 1 3 หน่วยกิต 3 ช่ัวโมง/สัปดาห์

คำอธบิ ายรายวชิ า
ศึกษาเก่ียวกบั ความหมายของลิมิต การหาคา่ ลิมิตของฟังกช์ ัน่ ความต่อเน่ืองของฟังก์ชน่ั กฎ

ส่ขี ั้นของอนุพันธ์ อนพุ นั ธ์ฟังกช์ ่นั พืชคณิต อนุพันธ์ฟังก์ช่นั ตรโี กณมิติ และอนิ เวอร์ฟงั กช์ ัน่ ตรโี กณมิติ
อนพุ ันธ์ฟังกช์ ่นั เอกซ์โปเนนเชียลและลอการิธึม อนุพันธ์อนั ดับสงู กฎของลูกโซ่ การหาอนุพนั ธ์โดยปริยาย
(Implicit differentiation) การประยกุ ต์ของอนุพนั ธ์ ความเร็วและความเรง่ ค่าสงู สดุ และคา่ ต่ำสดุ
คา่ เชงิ อนุพนั ธ์ (Differential) อินทิกรัลฟังกช์ ัน่ พชื คณิต ฟังกช์ ัน่ ตรโี กณมติ ิ และอินเวอร์ฟงั ก์ชัน่ ตรีโกณมิติ
ฟงั กช์ ่นั เอกซโ์ ปเนนเชียลและลอการธิ ึม เทคนิคการ อนิ ทเิ กรต อนิ ทกิ รัลจำกดั เขต และการประยุกต์

จุดประสงคร์ ายวิชา
1. เพอ่ื ใหม้ ีความรู้ความเข้าใจเร่ือง ลิมติ อนุพนั ธ์ อินทิกรลั การประยกุ ต์อนุพันธ์และอินทกิ รัล
2. เพื่อใหส้ ามารถนำความรู้เรื่อง ลิมิต อนุพนั ธ์ อนิ ทกิ รลั การประยกุ ต์อนพุ นั ธ์และอินทิกรัลไป
ใชป้ ระกอบในวิชาชีพ
3. เพอ่ื ให้มีเจตคติทด่ี ี และเดกิ ความคิดรวบยอดเก่ยี วกับ ลิมิต อนุพันธ์ อนิ ทิกรัล การประยุกต์
อนุพันธ์และอนิ ทกิ รลั

มาตรฐานรายวิชา
1. มีความรู้ความเขา้ ใจเก่ยี วกับ ลมิ ติ อนพุ นั ธ์ อินทิกรลั และบทประยุกต์ และนำไปใชใ้ นการ
แก้ปัญหา
2. สามารถนำความรเู้ ร่ือง ลมิ ติ อนพุ ันธ์ อินทกิ รัล และบทประยุกต์ ไปใช้ในวชิ าชีพได้

2

ตารางวเิ คราะหห์ นว่ ยสมรรถนะ

รหัส 30000-1404 วชิ า แคลคลู สั 1 3 หน่วยกิต 3 ช่ัวโมง/สปั ดาห์

หน่วย ช่อื หน่วย/หัวข้อย่อย สปั ดาห์ เวลา ชอื่ หน่วยสมรรถนะ
ที่ ที่ (ช.ม.)

ปฐมนเิ ทศ 1. แสดงถึงความสำคญั จดุ ประสงค์

1 3 มาตรฐาน คำอธิบาย ตลอดจนมคี วาม
เขา้ ใจถงึ การเรียนการสอน การประพฤติ

ปฏบิ ตั ติ นในการเรียนรายวิชาแคลคลู สั 1

1 ลิมติ 1. แสดงความรูเ้ รือ่ งฟังก์ชนั
6 2. แสดงความรู้เกยี่ วกบั ลิมติ ฟงั ก์ชนั
- ความหมายของลมิ ติ 2-3
- ลมิ ติ และความต่อเนื่อง 3. หาคา่ ต่อเน่ืองของฟังก์ชัน

ของฟงั กช์ ัน

2 อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชัน 1. บอกการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและของ

- อนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน ฟังกช์ นั

- อนุพันธ์ของฟงั กช์ ัน 2. หาคา่ การเปลี่ยนแปลงของฟงั ก์ชัน
พชี คณิต 3. คำนวณหาค่าอตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ย

- อนพุ ันธข์ องฟังก์ชัน ของฟังก์ชันเทยี บกบั ตัวแปร
อดิศยั 4. บอกนิยามของการหาคา่ อนพุ ันธ์ของ

- การประยุกต์อนุพันธ์ ฟงั ก์ชันได้
ของฟงั กช์ นั 5. คำนวณหาคา่ อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันโดยการ

ใช้นยิ ามไดบ้ อกความหมายของฟังก์ชัน

พชี คณติ ได้

4-12 27 6. อธบิ ายทฤษฎีบทเกีย่ วกับการหาคา่

อนุพันธ์ของฟงั กช์ นั พีชคณิต

7. บอกสตู รการหาอนุพันธข์ องฟังก์ชนั

พีชคณติ ไดก้ ารหาอนุพันธข์ องฟังกช์ นั

พีชคณิตโดยใช้สูตร

8. การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชนั โดยปรยิ าย

9. การหาอนุพนั ธ์อันดับสงู

10. บอกความหมายของฟงั ก์ชนั อดศิ ัยชนิด

ตา่ งๆ ได้

11. คำนวณหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน

ตรโี กณมิติได้

3

หนว่ ย ชอ่ื หน่วย/หัวข้อย่อย สัปดาห์ เวลา ช่ือหน่วยสมรรถนะ
ที่ ท่ี (ช.ม.)

12. คำนวณหาอนุพันธ์ของฟังกช์ ัน

ตรีโกณมติ ผิ กผนั ไดก้ ารหาอนุพนั ธข์ อง

ฟงั กช์ นั ลอการิทึมโดยการใช้สูตร

13. การหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ันเลขชก้ี ำลัง

โดยการใช้สตู ร

14. เขยี นกราฟของเส้นโค้งของฟังกช์ ันและ

หาความชนั ของเส้นโคง้

15. หาค่าและคำนวณค่าสงู สุดและค่า

ต่ำสุดสัมพัทธข์ องฟงั กช์ นั ได้

16. แก้ปญั หาโจทย์เก่ียวกบั ค่าสงู สุดและค่า

ต่ำสุดสมั พัทธ์

17. ก้ปัญหาโจทย์ ความเรว็ และความเรง่

ของวัตถุท่ีเคล่ือนท่ใี นแนวเส้นตรง

18. แก้ปัญหาโจทยท์ ่เี กี่ยวกบั อตั ราสมั พทั ธ์

19. หาคา่ โดยประมาณของฟังกช์ ันโดยใช้

ผลตา่ งอนพุ ันธ์

3 การอินทิกรัล

- การอินทิกรัลไม่จำกัด 1. บอกความหมายของปฏยิ านุพันธข์ อง

เขต ฟังกช์ นั ได้

- การอนิ ทิกรัลไม่ตรง 2. หาคา่ ของปฏยิ านุพนั ธ์

แบบ 3. คำนวณหาคา่ ของอนิ ทิกรลั ของฟงั กช์ ัน

- อนิ ทกิ รัลจำกัดเขตและ พชี คณิต

การประยุกตอ์ นิ ทิกรลั 4. คำนวณหาค่าอินทิกรัลไม่จำกัดขอบเขต

- การประยุกต์อนิ ทกิ รลั 13-17 15 ของฟังกช์ ันอดศิ ัยโดยใช้สตร
5. คำนวณหาคา่ อนิ ทิกรลั ของฟังกช์ นั ช้ี

กำลังได้

6. คำนวณหาคา่ ของอินทิกรลั โดยใช้

หลักการไบโนเมยี ลได้

7. คำนวณหาคา่ ของอนิ ทิกรลั ฟงั ก์ชนั ท่ีอยู่

ภายใตเ้ คร่ืองหมายรากได้

8. คำนวณค่าด้วยการอนิ ทิเกรตโดยการ

แทนคา่ ดว้ ยตวั แปรใหมไ่ ด้

4

หนว่ ย ชือ่ หน่วย/หัวข้อย่อย สปั ดาห์ เวลา ช่ือหน่วยสมรรถนะ
ท่ี ที่ (ช.ม.)

9. คำนวณหาคา่ ดว้ ยการอนิ ทิเกรตโดยการ

แยกทลี ะส่วนได้

10. คำนวณหาคา่ ดว้ ยการอินทเิ กรตโดยการ

แทนค่าดว้ ยฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิได้

11. คำนวณหาคา่ ด้วยการอนิ ทเิ กรตโดยการ

แยกเปน็ เศษส่วนยอ่ ยได้

12. อธิบายความหมายของการอินทกิ รลั

จำกัดเขตได้

13. คำนวณหาคา่ อินทิกรัลจำกดั เขตของ

ฟงั ก์ชนั ในช่วงปดิ ท่ีกำหนดให้ได้

14. คำนวณหาค่าพ้ืนที่ระหวา่ งเส้นโคง้ กับ

แกนได้

15. คำนวณหาค่าพื้นที่ระหวา่ งเส้นโค้ง 2

เส้นได้

4 สอบปลายภาค 18 3 -
รวม 54

5

หนว่ ยการเรยี นรแู้ ละสมรรถนะประจำหนว่ ย

รหสั 30000-1404 วิชา แคลคลู สั 1 3 หน่วยกิต 3 ชั่วโมง/สปั ดาห์

หนว่ ยที่ ชอื่ หน่วยการเรียนรู้ สมรรถนะและจุดประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
1 ลิมติ ของฟังก์ชัน สมรรถนะ

2 อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั แสดงความร้เู ก่ยี วกับ ลิมติ

จดุ ประสงคเ์ ชงิ พฤติกรรม
ด้านความรู้
1. บอกความหมายของฟงั ก์ชันได้
2. บอกความหมายของลิมิต
3. บอกความหมายของความต่อเนอื่ งของฟงั กช์ ัน
ด้านทกั ษะ
4. หาคา่ ลมิ ิตฟังก์ชนั
5. หาคา่ ต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ดา้ นคณุ ธรรม จรยิ ธรรม/บูรณาการ
1. ความรับผิดชอบ
2. ความเชอื่ มัน่ ในตวั เอง
3. ความสนใจใฝร่ ู้
4. ความมมี นุษยสัมพันธ์
สมรรถนะ

1. แสดงความรเู้ ก่ยี วกบั อนุพันธ์
2. แกโ้ จทยป์ ญั หาเกยี่ วกบั อนุพนั ธ์

จุดประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม
ด้านความรู้
1. บอกการเปลย่ี นแปลงของตัวแปรและของฟังก์ชนั
2. บอกนยิ ามของการหาคา่ อนพุ ันธ์ของฟังกช์ ันได้
3. อธิบายทฤษฎีบทเกย่ี วกับการหาคา่ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

พชี คณิต
4. บอกสตู รการหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันพชี คณิตได้การหา

อนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั พชี คณติ โดยใช้สตู ร
5. บอกความหมายของฟงั กช์ ันอดศิ ยั ชนิดตา่ งๆ
6. การหาอนุพันธ์ของฟังกช์ ันเลขชกี้ ำลังโดยการใชส้ ตู ร

หน่วยท่ี ช่อื หน่วยการเรยี นรู้ 6
3 การอนิ ทิกรลั
สมรรถนะและจุดประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
ด้านทกั ษะ
7. เขยี นกราฟของเส้นโค้งของฟงั ก์ชนั และหาความชนั ของ

เสน้ โคง้ คำนวณหาค่าการเปล่ียนแปลงของฟังก์ชัน
8. คำนวณหาคา่ อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของฟังกช์ ัน

เทยี บกบั ตัวแปรได้
9. คำนวณหาคา่ อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันโดยการใชน้ ิยามได้บอก

ความหมายของฟังก์ชนั พีชคณติ ได้
10. การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชนั โดยปรยิ าย
11. การหาอนุพันธอ์ นั ดับสงู
12. คำนวณหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันตรีโกณมิติ
13. คำนวณหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ันตรโี กณมิติผกผนั ไดก้ ารหา

อนพุ ันธ์ของฟังกช์ ันลอการิทึมโดยการใชส้ ูตร
14. หาค่าและคำนวณค่าสงู สดุ และคา่ ตำ่ สดุ สัมพัทธ์ของ

ฟังกช์ ันได้
15. แกป้ ัญหาโจทยเ์ ก่ียวกบั ค่าสูงสุดและคา่ ตำ่ สุดสัมพัทธ์
16. แก้ปัญหาโจทย์ ความเร็วและความเรง่ ของวตั ถุทเี่ คลือ่ นที่

ในแนวเสน้ ตรง
17. แกป้ ัญหาโจทย์ทีเ่ กีย่ วกบั อตั ราสมั พัทธ์
18. หาคา่ โดยประมาณของฟงั กช์ ันโดยใช้ผลต่างอนุพนั ธไ์ ด้
ด้านคุณธรรม จรยิ ธรรม/บรู ณาการ
1. ความรบั ผิดชอบ
2. ความเช่อื มน่ั ในตวั เอง
3. ความสนใจใฝร่ ู้
4. ความคดิ ริเริ่มสร้างสรรค์
5. ความมีมนุษยสัมพันธ์
6. ความรกั สามัคคี
สมรรถนะ
1. แสดงความรู้เกย่ี วกบั อนิ ทกิ รลั
2. แก้โจทย์ปัญหาเกย่ี วกับอนิ ทิกรลั
จดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรม

หน่วยที่ ชอื่ หน่วยการเรียนรู้ 7

สมรรถนะและจุดประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม
ด้านความรู้
1. บอกความหมายของปฏยิ านุพันธข์ องฟังก์ชัน
2. อธิบายความหมายของการอินทิกรัลจำกดั เขต
ด้านทักษะ
3. หาคา่ ของปฏยิ านพุ ันธ์
4. คำนวณหาคา่ ของอนิ ทิกรลั ของฟังก์ชนั พีชคณิต
คำนวณหาคา่ อนิ ทิกรลั ไมจ่ ำกัดขอบเขตของฟังก์ชนั อดศิ ัย
5. โดยใช้สตู ร
6. คำนวณหาคา่ อนิ ทิกรลั ของฟงั ก์ชนั ช้ีกำลงั
7. คำนวณหาค่าของอินทิกรัล โดยใช้หลกั การไบโนเมียล
คำนวณหาคา่ ของอนิ ทิกรลั ฟงั กช์ นั ท่อี ยู่ภายใต้เครอื่ งหมายราก
8. คำนวณคา่ ด้วยการอินทิเกรตโดยการแทนค่าด้วยตัวแปร

ใหม่
9. คำนวณหาค่าด้วยการอนิ ทเิ กรตโดยการแยกทลี ะส่วน
10. คำนวณหาค่าด้วยการอินทเิ กรตโดยการแทนค่าดว้ ย

ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ
11. คำนวณหาค่าดว้ ยการอนิ ทเิ กรตโดยการแยกเปน็ เศษสว่ น

ย่อยคำนวณหาคา่ อินทิกรัลจำกดั เขตของฟังกช์ นั ในช่วง
ปิดทีก่ ำหนดให้
12. คำนวณหาค่าพืน้ ทีร่ ะหว่างเส้นโค้งกับแกน
13. คำนวณหาค่าพื้นทร่ี ะหว่างเส้นโคง้ 2 เส้น
ดา้ นคณุ ธรรม จรยิ ธรรม/บูรณาการ
1. ความรบั ผิดชอบ
2. ความเชื่อม่นั ในตัวเอง
3. ความสนใจใฝร่ ู้
4. ความคดิ รเิ ริ่มสรา้ งสรรค์
5. ความมีมนุษยสัมพนั ธ์
6. ความรกั สามัคคี

8

ตารางวเิ คราะห์หลักสูตร

รหสั 3000-1525 วชิ า แคลคลู ัส 1 3 หน่วยกิต 3 ชั่วโมง/สัปดาห์

ระดับชนั้ ประกาศนยี บัตรวชิ าชพี ชน้ั สงู (ปวส.)

พุทธิพสิ ยั

พฤตกิ รรม ความรู้
ความเ ้ขาใจ
ช่อื หน่วย/หัวขอ้ ยอ่ ย นำไปใช้
วิเคราะห์
สังเคราะห์
ประเ ิมนค่า
ทักษะ ิพ ัสย
ิจต ิพ ัสย
รวม
ลำดับความสำคัญ
จำนวนคาบ

ลิมติ ของฟงั กช์ ัน

- การหาลิมิต ✓✓ 2
✓✓ 4 3 6
- ความตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั ✓ ✓
✓✓ 6
อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ัน ✓✓ 4

- อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ัน ✓ ✓✓ ✓ ✓ ✓ 5 1 27

- อนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั ✓ ✓✓ ✓✓ 6

พีชคณิต ✓3
✓3
- อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั อดิศัย ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ 5 2 15
✓5
- การประยุกตอ์ นุพนั ธข์ อง ✓ ✓✓ ✓
ฟงั กช์ ัน 23

การอนิ ทิกรัล

- การอินทิกรลั ไม่จำกัดเขต ✓ ✓

- การอนิ ทิกรลั ไมต่ รงแบบ ✓ ✓

- อนิ ทิกรัลจำกดั เขต ✓ ✓✓
- การประยุกตอ์ ินทิกรลั ✓ ✓✓ ✓

ลำดบั ความสำคัญ 1 14 5

แผนการจดั การเรียนรู้รายวชิ าแคลคลู ัส 1 9

แผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1

รหสั วชิ า 30000-1404 วชิ า แคลคูลสั 1

หนว่ ยที่ - ชวั่ โมงที่ 1-3 ชื่อหนว่ ย ปฐมนิเทศ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคดิ

การที่นักศึกษาได้ทราบความสำคัญของวิชาแคลคูลัส 1 มีความรู้ความเข้าใจสาระ / มาตรฐาน

การเรยี นรู้ และคำอธิบายรายวิชา การวดั ผลและการประเมินผล รายละเอียดต่างๆ เก่ียวกับการเรียนการ

สอน เพ่ือทำให้นักศึกษาทราบแนวทางการเรียนและเตรียมประพฤติปฏิบัติตนได้ถูกต้อง รวมทั้งวางแผน

การเรียนได้ อันจะส่งผลให้การเรียนการสอนประสบความสำเร็จ ตลอดจนมีคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม

และคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงคท์ ่บี ูรณาการลงในการเรียนการสอน

สาระการเรยี นรู้
1. ความสำคัญของวิชาแคลคูลสั 1
2. จดุ ประสงค์รายวชิ า มาตรฐานรายวิชา และคำอธบิ ายรายวชิ า แคลคูลสั 1
3. การวัดผลและประเมินผล
4. การทดสอบก่อนเรยี น

ผลการเรยี นรูท้ ีค่ าดหวงั
1 บอกความสำคัญ จุดประสงค์ มาตรฐาน คำอธิบาย ตลอดจนมีความเข้าใจถึงการเรียนการ
สอน การประพฤตปิ ฏบิ ตั ิตนในการเรียนรายวชิ าแคลคลู สั 1 ได้
2. สามารถทำแบบประเมนิ ผลการเรียนรกู้ อ่ นเรียนได้
3. เพื่อทราบพ้นื ฐานความรู้
4. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ที่อาจารย์สามารถ
สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสัมพันธ์ ความมีวินัย ความรบั ผิดชอบ ความเช่ือม่ันในตนเอง
ความสนใจใฝร่ ู้ ความรกั สามคั คี ความกตัญญกู ตเวที

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ขนั้ นำเขา้ ส่บู ทเรียน
1. อาจารยท์ ักทายนกั ศกึ ษาและแนะนำตนเองให้นกั ศกึ ษาทราบ และนกั ศึกษาแนะนำตนเอง

ขน้ั สอน

จดั ทำโดย นางสรุ ิษา เกษรศิริ

แผนการจัดการเรยี นรู้รายวชิ าแคลคูลัส 1 10

2. นักศึกษาร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับความสำคัญของวิชาแคลคูลัส 1 ว่าเก่ียวข้องใน
ชีวิตประจำวัน อย่างไร ปัญหาการเรียนวิชาแคลคูลัส 1 อย่างกว้างๆ และการศึกษาวิชานี้
ประสบผลสำเรจ็ ได้อยา่ งไร

3. อาจารย์แจกสังเขปวชิ าแคลคลู สั 1 แลว้ ให้นกั ศกึ ษาศึกษาและทำความเข้าใจร่วมกัน
4. นักศึกษารับฟังคำช้ีแจงเน้ือหาวิชาที่จะเรียน จุดประสงค์รายวิชาและการปฏิบัติตนในขณะที่

เรยี น การวัดผลและประเมินผล คุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์
ที่บูรณาการลงในการเรียนการสอน
5. นักศึกษาซักถามปัญหาข้อสงสัยและร่วมกันอภิปราย เสนอแนะเพื่อหาแนวทางในการเรียนรู้
รว่ มกันในวิชาแคลคลู สั 1
6. นักศกึ ษาทำแบบประเมินผลการเรียนรู้ก่อนเรยี น 40 ขอ้
7. นักศึกษาตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ด้วยตนเองตามที่อาจารย์เฉลยเสร็จแล้วส่งให้
อาจารย์

ขัน้ สรุปและการประยกุ ต์
8. อาจารย์และนักศึกษาช่วยกันสรุปสาระมาตรฐานการเรียนรู้ การวัดผลและการประเมินผล

ตลอดจนคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ท่ีบูรณาการในการเรียน
การสอนของวิชาแคลคลู สั 1

ส่อื การเรียนการสอน

1. หนังสอื เรียนวิชา แคลคูลสั 1 (30000-1404)
2. สงั เขปวชิ า แคลคลู ัส 1
3. แบบประเมินผลการเรยี นร้กู ่อนเรียน
4. แบบประเมนิ คุณธรรม จริยธรรม คา่ นิยม และคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์

การวัดผลและการประเมนิ ผล
วิธวี ดั ผล
1. ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรกู้ ่อนเรียน
2. การสงั เกตและประเมินคณุ ธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์
เครือ่ งมือวัดผล
1. แบบประเมินผลการเรยี นรูก้ อ่ นเรยี น
2. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ
นักศึกษารว่ มกนั ประเมิน

จัดทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรยี นรู้รายวิชาแคลคลู สั 1 11

เกณฑ์การประเมินผล
1. แบบประเมินผลการเรียนรู้ก่อนเรียนไม่มีเกณฑ์ผ่าน เก็บคะแนนไว้เปรียบเทียบกับคะแนน

แบบประเมนิ ผลการเรียนรู้หลงั เรียน
2. แบบประเมินคุณธรรม จรยิ ธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์คะแนนขึน้ อยู่กับการ

ประเมินตามสภาพจริง

บันทึกผลหลังการจดั การเรียนรู้

จัดทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรยี นรู้รายวิชาแคลคูลสั 1 12

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 2

รหสั วิชา 30000-1404 วิชา แคลคูลัส 1

หนว่ ยท่ี 1 ช่ัวโมงที่ 5 - 8 ชอ่ื หน่วย ลมิ ติ และความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ นั

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคิด

ลมิ ิต (limit) มีความหมายวา่ ขีดจำกัด ใชส้ ญั ลักษณ์ lim แทนค่าว่า ลิมติ เชน่

Lim f(x) = L อ่านว่า ลมิ ติ ของ f (x) เมือ่ x เข้าใกล้ a เทา่ กบั L ลิมติ ของฟงั ก์ชนั

x→a

จะหาค่าไดเ้ ม่ือ Lim f(x) = L = Lim f(x) = L และหาค่าลมิ ิตได้

x → a+ x → a-

ถา้ y = f(x) เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนื่องท่ี x = c จะต้องมีคณุ สมบตั ิดงั น้ี

1. f(c) หาคา่ ได้

2. Lim f(x) หาคา่ ได้

x → c-

3. f(c) = Lxim→f(x)c

สาระการเรียนรู้

1. ตวั แปรและฟังกช์ นั
2. ความหมายของลมิ ติ
3. การหาค่าของฟงั กช์ ัน
4. ทฤษฎบี ทของลมิ ติ

ผลการเรียนร้ทู ีค่ าดหวงั

1. บอกความหมายของฟังก์ชนั ได้
2. บอกความหมายและหาค่าลมิ ติ ฟังก์ชันได้
3. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ท่ีอาจารย์สามารถ

สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสัมพันธ์ ความมีวินัย ความรบั ผิดชอบ ความเชื่อมั่นในตนเอง
ความสนใจใฝ่รู้ ความรักสามัคคี ความกตัญญูกตเวที

จัดทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวิชาแคลคลู ัส 1 13

กิจกรรมการเรยี นการสอน
ข้ันนำเขา้ สูบ่ ทเรยี น
1. อาจารยส์ นทนาซกั ถามความหมายเก่ียวกบั วิชาแคลคลู ัส สอบถาม และทบทวนเร่ืองการแทน
ค่าในสมการ

ข้ันสอน

2. อาจารย์ให้นักศึกษาทำเอกสารแนะแนวทาง นิยามและทฤษฎีบทของลิมิต จากน้ันสุ่ม

นกั ศึกษาออกมาเขียนบนกระดาน เพ่ือทดสอบความจำ ความเข้าใจ และจะได้นำไปใชไ้ ด้

3. อาจารย์ยกตัวอย่างในหนงั สือเรยี น แคลคลู ัส 1 โดยวิธกี ารถาม – ตอบ แลว้ ใหน้ ักศึกษาทำใบ

งาน การหาค่าของฟังกช์ ัน เมอื่ เสรจ็ แลว้ อาจารย์และนักศกึ ษาช่วยกันเฉลยพรอ้ มทง้ั สอบถาม

ข้อสงสัย

ตวั อยา่ ง กำหนดให้ f(x) = x3 −1 จงหา f(5) - f(2)
x
x3 −1
วิธีทำ f(x) = x

f(5) = 53 −1 = 124
5
23 −1 5
2
f(2) = =7

2
124 - 7 = 248− 35 = 213
 f(5) - f(2) = 52 10 10 ตอบ

ขน้ั สรุปและการประยกุ ต์
4. อาจารยใ์ ห้นกั ศกึ ษาชว่ ยกนั สรุป นยิ ามและทฤษฎบี ทของลมิ ติ
5. นกั ศกึ ษาทำแบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้
6. อาจารย์ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ และชี้แจงสิ่งที่บกพร่องหรือผิดพลาดให้นักศึกษา

ทราบ

สอ่ื การเรยี นการสอน

1. หนงั สือเรียนวิชา แคลคลู สั 1 (30000-1404)
2. เอกสารแนะแนวทาง
3. ใบงาน การหาคา่ ของฟังก์ชนั

จดั ทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรียนรู้รายวชิ าแคลคูลสั 1 14

การวดั ผลและการประเมนิ ผล
วิธวี ัดผล
1. ตรวจใบงาน การหาคา่ ของฟังก์ชนั
2. ตรวจแบบประเมินผลการเรยี นรู้

เครอ่ื งมอื วัดผล
1. ใบงาน การหาคา่ ของฟังก์ชนั
2. แบบประเมนิ ผลการเรียนรู้
เกณฑก์ ารประเมินผล
1. ใบงาน การหาคา่ ของฟงั กช์ นั เกณฑ์ผา่ น 70 %
2. แบบประเมินผลการเรยี นรู้ เกณฑผ์ ่าน 70 %

บนั ทกึ ผลหลังการจัดการเรยี นรู้

จดั ทำโดย นางสรุ ิษา เกษรศิริ

แผนการจดั การเรียนรู้รายวชิ าแคลคลู สั 1 15

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 3

รหสั วชิ า 30000-1404 วิชา แคลคลู ัส 1

หนว่ ยท่ี 1 ช่ัวโมงที่ 9 – 12 ชือ่ หน่วย ลมิ ติ และความต่อเนื่องของฟงั ก์ชัน(ตอ่ )

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคดิ

เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ค่าอนันต์ () น่ันคือ x เข้าใกล้ + หรือ - ซึ่งจะพบว่าลิมิตของฟังก์ชัน

บางฟงั กช์ ันกห็ าคา่ ได้ บางฟงั กช์ ันกห็ าค่าไมไ่ ด้ ขอใหพ้ จิ ารณาฟังกช์ นั ต่อไปนีป้ ระกอบ

ถ้า f(x) = 1 เราจะได้ว่า lim 1 = 0 หรือ lim 1 = 0 แต่ถ้า f(x) = x เราจะ
x x x
x→+ x→−

ได้วา่ lim x = +  lim xn = + ไมว่ า่ n จะเป็นจำนวนคูห่ รอื ค่กี ต็ าม แตถ่ ้าหาคา่ ของ
x→+ x→+

lim xn = − ; n เป็นจำนวนค ูู่่ในกรณีทเ่ี ราหาค่าของลิมิตฟงั ก์ชันที่ค่าอนันต์ได้ คำตอบเป็น +
 เป็นจำนวนค
x→− +  ; n

หรือ - เราจะถอื วา่ ลมิ ติ หาคา่ ไม่ได้

หลักสำคัญอีกอย่างหนึ่ง คือ สำหรับลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม ขณะที่ค่าของ x → + หรือ x → -

จะมีคา่ เทา่ กบั ลิมติ ของเทอมท่ีมดี ีกรสี งู สดุ ของฟังก์ชนั พหุนาม นัน่ คอื

lim (cnxn + cn-1xn-1 + cn-2xn-2 + … + c1x + c0) = lim cnxn

x→+ x→+

หรอื lim (cnxn + cn-1xn-1 + cn-2xn-2 + … + c1x + c0) = lim cnxn

x→− x→−

สาระการเรียนรู้
1. ลมิ ิตของฟังก์ชนั ท่ีค่าอนันต์
2. การหามติ ของฟงั กช์ ันที่อยู่ในรูปแบบของ 0

0

3. ลมิ ิตของฟังกช์ ันตรรกยะ

4. ความต่อเนือ่ งของฟังกช์ ัน

ผลการเรียนรูท้ ี่คาดหวัง
5. หาคา่ ลิมิตฟงั ก์ชนั ได้
6. บอกความหมายและหาคา่ ต่อเนื่องของฟังกช์ นั ได้

จัดทำโดย นางสรุ ิษา เกษรศิริ

แผนการจดั การเรียนรู้รายวชิ าแคลคลู ัส 1 16

7. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ท่ีอาจารย์สามารถ
สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสมั พันธ์ ความมีวนิ ัย ความรบั ผิดชอบ ความเช่ือม่ันในตนเอง
ความสนใจใฝร่ ู้ ความรกั สามคั คี ความกตญั ญูกตเวที

กจิ กรรมการเรยี นการสอน
ขน้ั นำเขา้ ส่บู ทเรยี น
1. อาจารยส์ นทนาโดยการ ถาม – ตอบ เรื่องการแทนค่าในฟังกช์ ัน

ขน้ั สอน
2. อาจารยอ์ ธิบายตัวอย่างท่ีหลากหลายในหนังสอื โดยการถาม – ตอบ

ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim 3x −1
x2 −4
x→2

3x −1 lim (3x −1)
วิธที ำ lim x2 −4 = x→2
lim x2 − 4
x→2 3(2) −1 x→2
22 − 4
= = 5
= 0
3x −1
 lim x2 −4  (ไม่มีลิมิต)

x→2

3. อาจารย์ให้นักศึกษาทำเอกสารแนะแนวทาง เสร็จแล้วเปลี่ยนกันตรวจพร้อมท้ังเฉลยบน
กระดานเพื่อซักถามข้อสงสัย

4. อาจารย์ให้นักศกึ ษาทำแบบประเมินผลการเรียนรู้

ขั้นสรุปและการประยุกต์
1. อาจารย์และนักศึกษาชว่ ยเฉลยเอกสารแนะแนวทาง และแบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้
2. อาจารย์ตรวจดูแบบประเมินผลการเรียนรู้ และช้ีแจงสิ่งท่ีบกพร่องหรือผิดพลาดให้นักศึกษา

ทราบ
3. อาจารย์และนกั ศกึ ษารว่ มกนั สรุปบทเรียนและเปดิ โอกาสซักถามตามหัวข้อที่กล่าวมา

จัดทำโดย นางสุริษา เกษรศิริ

แผนการจัดการเรยี นรู้รายวชิ าแคลคลู สั 1 17

สอื่ การเรยี นการสอน
1. หนงั สือเรียนวชิ า แคลคูลสั 1 (30000-1404)
2. เอกสารแนะแนวทาง และใบงาน
3. แบบประเมนิ ผลการเรียนรู้

การวดั ผลและการประเมนิ ผล
วธิ วี ดั ผล
1. ตรวจเอกสารแนะแนวทาง
2. ตรวจแบบประเมนิ ผลการเรียนรู้
3. การสงั เกตและประเมินคุณธรรม จริยธรรม คา่ นิยม และคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์

เคร่อื งมอื วัดผล
1. ใบงาน การหาคา่ ของฟงั กช์ นั
2. แบบประเมนิ ผลการเรียนรูท้ ่ี 1.1 และ 1.2
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นกั ศกึ ษาร่วมกนั ประเมนิ

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล
1. ใบงาน การหาคา่ ของฟงั กช์ นั เกณฑผ์ า่ น 70 %
2. แบบประเมนิ ผลการเรียนรู้ เกณฑ์ผ่าน 70 %
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนขึ้นอยู่กับการ

ประเมินตามสภาพจริง

บนั ทึกผลหลงั การจดั การเรียนรู้

จัดทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรยี นรู้รายวิชาแคลคลู ัส 1 18

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4

รหสั วชิ า 30000-1404 วิชา แคลคูลสั 1

หนว่ ยท่ี 2 ชว่ั โมงที่ 13 - 16 ชือ่ หนว่ ย อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคิด

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เป็นการศึกษาถึงการเปล่ียนแปลงของฟังก์ชันเม่ือตัวแปรในฟังก์ชันมีการ

เปลี่ยนแปลงทีละน้อย เรม่ิ จากศึกษาการเปล่ียนแปลงของตัวแปรก่อน ผลการเปล่ียนแปลงของตัวแปรทำ

ให้ฟงั ก์ชนั มีการเปล่ียนแปลง อัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงของฟงั กช์ นั เทียบกบั ตวั แปรเราเรียกว่าอัตราการ

เปลี่ยนแปลงเฉลี่ย คือ f = f (x + x) − f (x) และเมื่อเราพูดถึงกรณีที่ x มีค่าเข้าใกล้ 0 เราจะเรียก
x x
อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรน้ีว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของฟังก์ชัน หรือ

อนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั นน่ั คือ df = lim f (x + x) − f (x )
dx x
x → 0

สาระการเรียนรู้
1. การเปลย่ี นแปลงของตัวแปร
2. การเปลยี่ นแปลงของฟังกช์ ัน
3. อัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ยของฟงั ก์ชันเทียบกบั ตัวแปร
4. นยิ ามของอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
1. บอกการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและของฟงั กช์ นั ได้
2. คำนวณหาค่าการเปล่ยี นแปลงของฟงั กช์ ันได้
3. คำนวณหาคา่ อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ยี ของฟังกช์ นั เทียบกับตัวแปรได้
4. บอกนิยามของการหาคา่ อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั ได้
5. คำนวณหาค่าอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ันโดยการใชน้ ิยามได้
6. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ที่อาจารย์สามารถ
สงั เกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสมั พันธ์ ความมีวินัย ความรับผิดชอบ ความเช่ือมัน่ ในตนเอง
ความสนใจใฝ่รู้ ความรกั สามัคคี ความกตญั ญกู ตเวที

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ขั้นนำเข้าสบู่ ทเรียน

จดั ทำโดย นางสุริษา เกษรศิริ

แผนการจดั การเรียนรู้รายวิชาแคลคูลัส 1 19

1. อาจารย์และนักศึกษาชว่ ยกันทบทวนเร่ืองลมิ ิตของฟังก์ชนั และการแทนค่าของสมการ

ขั้นสอน
2. แจกใบความรู้ให้นักศึกษาศึกษาค้นคว้า นิยาม ตัวอย่าง และข้อสังเกต เร่ืองอนุพันธ์ของ

ฟังกช์ ัน
3. อาจารย์และนักศึกษาช่วยกันตีความหมายและตีความของนิยาม และข้อสังเกต พร้อมท้ัง

อธบิ ายซกั ถามในตวั อยา่ งที่มใี ห้ในใบความรู้
4. ยกตัวอย่างบนกระดานและส่งตัวแทนออกไปทำ ถา้ ผิดพลาดตรงจุดไหนให้นักศึกษาท่ีอยูข่ ้าง

ในออกไปช่วยเพ่ือนได้
5. ทำแบบประเมินผลการเรียนรู้

ขนั้ สรุปและการประยกุ ต์
6. ให้นกั ศกึ ษาไปศึกษาเพ่ิมเติมเน้อื หาในเร่อื ง อนุพันธข์ องฟังชนั
7. ให้นักศกึ ษาสรุปนยิ ามของอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั
8. นักศึกษาทำแบบประผลการเรยี นรู้

สอ่ื การเรยี นการสอน
1. หนงั สือเรียนวชิ า แคลคูลสั 1 (30000-1404)
2. ใบความรู้

การวดั ผลและการประเมินผล
วิธีวัดผล
1. สังเกตพฤติกรรมการปฏบิ ตั งิ านรายบุคคล
2. ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ หนว่ ยท่ี 2
3. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึง

ประสงค์

เครอื่ งมอื วดั ผล
1. แบบสังเกตพฤตกิ รรมการปฏบิ ัตงิ านรายบุคคล (ภาคผนวก ข)
2. แบบประเมินผลการเรยี นรู้ หนว่ ยที่ 2
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นกั ศกึ ษารว่ มกนั ประเมิน (ภาคผนวก จ)

จดั ทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวชิ าแคลคลู สั 1 20

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล
1. แบบสังเกตพฤติกรรมการปฏิบตั งิ านรายบคุ คล เกณฑ์ผ่าน ตอ้ งไมม่ ีชอ่ งปรบั ปรงุ
2. แบบประเมินผลการเรยี นรู้ หน่วยที่ 2 เกณฑ์ผา่ น ทำถูกตอ้ ง 70% ข้ึนไป
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนขึ้นอยู่กับ

การประเมนิ ตามสภาพจริง

บนั ทกึ ผลหลังการจัดการเรียนรู้

จดั ทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรยี นรู้รายวชิ าแคลคูลัส 1 21

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 5

รหสั วิชา 30000-1404 วชิ า แคลคลู สั 1

หนว่ ยที่ 3 ชัว่ โมงท่ี 17 - 20 ช่อื หน่วย อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชันพีชคณิต

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคิด

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต เป็นการหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันท่ีเขียนในรูปประพจน์ตัวแปรอิสระ

อันประกอบด้วยตัวแปรนั้นๆ กับเคร่ืองหมายทางพีชคณิตซ่ึงการหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต

นอกจากใช้บทนิยาม แล้วยังสามารถคำนวณคำไดโ้ ดยการใชส้ ตู ร

สาระการเรียนรู้
1. ความหมายของฟงั กช์ นั พชี คณิต
2. ทฤษฎีบทเกยี่ วกับการหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั พชี คณติ
3. สูตรการหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั พีชคณิต

ผลการเรยี นรทู้ ีค่ าดหวัง
1. บอกความหมายของฟงั กช์ นั พชี คณติ ได้
2. อธิบายทฤษฎบี ทเกย่ี วกับการหาคา่ อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันพีชคณิต
3. บอกสูตรการหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั พชี คณิตได้
4. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ที่อาจารย์สามารถ
สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสัมพันธ์ ความมีวินัย ความรบั ผิดชอบ ความเช่ือมั่นในตนเอง
ความสนใจใฝ่รู้ ความรกั สามคั คี ความกตญั ญกู ตเวที

กิจกรรมการเรยี นการสอน
ขน้ั นำเขา้ ส่บู ทเรียน
1. อาจารย์ทบทวนเรือ่ งอนุพันธ์ของฟังกช์ นั

ขั้นสอน
2. แจกใบความรู้ให้นักศึกษาศึกษาความหมาย ทฤษฎีบท และสูตร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

พีชคณติ ในแบบต่างๆ
3. ศึกษาตัวอย่างจากหนังสือและบนกระดานที่อาจารย์อธิบายพร้อมทั้งซักถามและเสนอแนะให้

เพ่อื นๆ ได้

จดั ทำโดย นางสุริษา เกษรศิริ

แผนการจดั การเรยี นรู้รายวชิ าแคลคลู สั 1 22

4. ใหน้ ักศึกษาทำเอกสารแนะแนวทางโดยเปิดโอกาสให้ปรกึ ษากันกบั เพื่อนๆ ได้
5. ชว่ ยกนั สรุปและอธบิ ายเพ่ิมเตมิ เพ่อื ความเข้าใจมากข้ึน
6. ทำแบบประเมินผลการเรยี นรู้

ข้นั สรุปและการประยุกต์
7. อาจารย์และนกั ศกึ ษาช่วยกนั สรุปเพิ่มเตมิ เก่ียวกับการหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ลงในสมดุ เพอ่ื ให้

นักศึกษาไดน้ ำไปประยุกตใ์ ชต้ อ่ ไป
8. อาจารย์ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ และช้ีแจงข้อบกพร่องหรือข้อผิดพลาดให้นักศึกษา

ทราบ

สื่อการเรยี นการสอน
1. หนังสอื เรียนวชิ า แคลคูลัส 1 (30000-1404)
2. เอกสารแนะแนวทาง
3. ใบความรู้

การวัดผลและการประเมนิ ผล
วธิ ีวดั ผล
1. ตรวจแบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้
2. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึง
ประสงค์

เครอื่ งมอื วดั ผล
1. แบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้
2. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นักศึกษาร่วมกันประเมิน

เกณฑ์การประเมนิ ผล
1. แบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้ เกณฑ์ผ่าน ทำถูกต้อง 70% ข้ึนไป
2. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนข้ึนอยู่กับ

การประเมนิ ตามสภาพจริง

บนั ทกึ ผลหลงั การจัดการเรียนรู้

จดั ทำโดย นางสุริษา เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวิชาแคลคลู สั 1 23

แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 6

รหสั วชิ า 30000-1404 วิชา แคลคูลัส 1

หน่วยที่ 3 ชัว่ โมงที่ 21 - 24 ช่ือหน่วย อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันพชี คณิต (ตอ่ )

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคิด

1. ถ้า y = f(u) และ u = F(x) เป็นฟังก์ชันท่ีสามารถหาอนุพันธ์เทียบกับ x ได้แล้ว

เราจะไดว้ ่า y = fF(x) และสามารถหาอนพุ ันธข์ อง y เทียบกับ x ไดจ้ าก

dy = dy  du
dx du dx

2. ถ้า y = f(u) u = g(v) และ v = h(x) เราจะได้ว่า y = f(u (v(x)) ซึ่ง เราสามารถหา

อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x คือ

dy = dy  du  dv
dx du dv dx

3. การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปของสมการพาราเมตริก (Parametric

Equation) ซ่ึงเขียนอยู่ในรูปของ x = f(t) และ y = g(t) เราสามารถหาอนุพันธ์ของ y

เทยี บกบั x ไดด้ ังน้ี

จาก dy = d g(t) และ dx d f (t)
dt dt dt = dt

โดยอาศัยความร้เู รื่องกฎลกู โซ่ เราจะได้วา่ dy = dy . dt โดยที่ dt = 1
dx dt dx dx dx
dt
สาระการเรียนรู้

4. การหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ ันพีชคณิตโดยใช้สตู ร

5. การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชันโดยปริยาย

6. การหาอนพุ ันธ์อันดบั สูง

ผลการเรยี นรทู้ ่ีคาดหวงั
3. บอกสตู รการหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั พีชคณติ ได้
4. คำนวณหาอนุพันธ์ของฟังก์ชนั พีชคณติ ได้
6. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ที่อาจารย์สามารถ
สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสัมพันธ์ ความมีวินัย ความรบั ผิดชอบ ความเชื่อม่ันในตนเอง
ความสนใจใฝ่รู้ ความรักสามัคคี ความกตัญญกู ตเวที

จดั ทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรยี นรู้รายวิชาแคลคูลสั 1 24

กจิ กรรมการเรยี นการสอน
ข้นั นำเขา้ สบู่ ทเรยี น
1. อาจารยท์ บทวนเรอ่ื งอนพุ ันธข์ องฟังก์ชัน

ขัน้ สอน
2. อาจารยอ์ ธิบายการหาอนุพันธ์ของฟงั กช์ นั โดยการใชส้ ตู รประกอบ สตู รอยู่ในใบความรู้ 3.1
3. ศกึ ษาตัวอย่างจากหนงั สือและบนกระดานทีอ่ าจารย์อธบิ าย พรอ้ มท้งั ซักถามและเสนอแนะ
4. ทำเอกสารแนะแนวทางโดยเปิดโอกาสใหป้ รึกษากนั กับเพื่อนๆ ได้
5. ทำแบบประเมินผลการเรียนรทู้ ี่ 3.2

ขนั้ สรปุ และการประยุกต์
6. อาจารย์และนกั ศึกษาชว่ ยกันสรุปเพ่ิมเติมเก่ียวกบั การหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันลงในสมุดเพื่อให้

นกั ศึกษาได้นำไปประยุกตใ์ ช้ต่อไป
7. อาจารยต์ รวจแบบประเมินผลการเรียนรู้และช้ีแจงข้อบกพร่องหรือข้อผิดพลาดใหน้ ักศึกษาทราบ

สื่อการเรียนการสอน
1. หนงั สือเรยี นวิชา แคลคูลัส 1 (30000-1404)
2. เอกสารแนะแนวทาง

การวดั ผลและการประเมนิ ผล
วิธวี ัดผล
1. ตรวจแบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้
2. การสังเกตและประเมินพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึง
ประสงค์

เครอื่ งมอื วดั ผล
1. แบบประเมินผลการเรยี นรู้
2. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นกั ศึกษารว่ มกันประเมิน

เกณฑก์ ารประเมินผล
1. แบบประเมนิ ผลการเรียนรทู้ ี่ 3.2 เกณฑผ์ า่ น ทำถูกตอ้ ง 70% ขน้ึ ไป
2. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนข้ึนอยู่กับ

การประเมนิ ตามสภาพจรงิ

บันทึกผลหลงั การจดั การเรียนรู้

จัดทำโดย นางสรุ ิษา เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวชิ าแคลคูลัส 1 25

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 7

รหัสวชิ า 30000-1404 วิชา แคลคูลัส 1

หนว่ ยที่ 4 ชัว่ โมงท่ี 25 - 28 ช่อื หนว่ ย อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั อดิศัย

แนวคดิ
ฟังก์ชันอดิศัย คือ ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต แต่มีรูปแบบเฉพาะของตนเอง ได้แก่ ฟังก์ชัน

ตรีโกณมิติ ฟังกช์ ันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันชี้กำลัง และฟังก์ชันลอการิทึม การหาอนุพันธ์ของ
ฟังชันอดิศัยต่างๆ สามารถหาค่าได้โดยการใช้สูตร ซ่ึงมีการพิสูจน์ และ การนำไปใช้เรียนกันอย่างละเอียด
ในแตล่ ะชนิด

สาระการเรยี นรู้
1. ความหมายของฟงั ก์ชันอดิศัย
2. ฟังก์ชันอดศิ ัยชนดิ ต่างๆ
3. การหาอนุพันธข์ องฟงั ชันตรโี กณมิติ

ผลการเรยี นรทู้ ค่ี าดหวงั
1. บอกความหมายของฟังกช์ นั อดศิ ัยชนิดต่างๆ ได้
2. คำนวณหาอนุพันธ์ของฟงั กช์ ันตรโี กณมิตไิ ด้
3. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ท่ีอาจารย์สามารถ
สงั เกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสัมพันธ์ ความมีวนิ ัย ความรับผิดชอบ ความเช่ือมั่นในตนเอง
ความสนใจใฝร่ ู้ ความรักสามคั คี ความกตัญญูกตเวที

กจิ กรรมการเรยี นการสอน
ขัน้ นำเข้าสู่บทเรียน
1. ทบทวนพดู คุยเรอ่ื งของการหาอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติแบบต่างๆ

ข้ันสอน

2. อาจารย์อธิบายสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ท้ัง 6 สูตร และยกตัวอย่างประกอบ

2-3 ข้อ บนกระดานและให้นกั ศกึ ษาซกั ถามได้ du
d du d dx
1. ddx sin u = cos u dx 2. ddx cos u = − sin u.
3. dx tan u 4. dx cot u
5. = sec 2 u. du 6. = – cosec2 u. du
dx dx
d du d du
dx sec u = sec u. tan u dx dx cosecu = – cosec2 u. cot u dx

จดั ทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรียนรู้รายวชิ าแคลคลู ัส 1 26

3. ใหน้ กั ศึกษาทำใบงานเพ่ือดูความเขา้ ใจของนักศึกษา
4. อาจารยแ์ ละนกั ศึกษาชว่ ยกันเฉลย สรปุ และอธบิ ายเพ่มิ เติม

ขั้นสรปุ และการประยกุ ต์
5. อาจารย์และนักศึกษาสรุป โดยการถาม - ตอบระหว่างกันในช้ันเรียน และจดลงในสมุดเพ่ือ

นำไปประยุกตใ์ ช้ในบทเรียนต่อไป
6. ใหน้ กั ศกึ ษาทำแบบประเมนิ ผลการเรียนรู้ ส่งตามกำหนด
7. อาจารยต์ รวจแบบประเมินผลการเรยี นรู้ และชี้แจงส่ิงทบ่ี กพร่องหรอื ผิดพลาดใหน้ ักศึกษาทราบ

สือ่ การเรียนการสอน
1. หนงั สอื เรยี นวชิ า แคลคลู ัส 1 (30000-1404)
2. ใบงาน
3. แบบประเมินผลการเรียนรู้

การวดั ผลและการประเมนิ ผล
วธิ วี ัดผล
1. สงั เกตพฤติกรรมการปฏิบัติงานรายบุคคล
2. ตรวจใบงานและแบบประเมนิ ผลการเรียนรู้
3. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึง
ประสงค์

เครือ่ งมือวัดผล
1. แบบสังเกตพฤตกิ รรมการปฏบิ ัติงานรายบุคคล
2. ใบงานและแบบประเมินผลการเรียนรู้
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นกั ศึกษาร่วมกันประเมิน

เกณฑ์การประเมนิ ผล
1. แบบสังเกตพฤติกรรมการปฏบิ ัติงานรายบุคคล เกณฑ์ผ่าน ต้องไม่มชี ่องปรบั ปรุง
2. ใบงานและแบบประเมนิ ผลการเรียนรู้ ทำถกู ต้อง 70% ขน้ึ ไป
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนข้ึนอยู่กับ

การประเมนิ ตามสภาพจรงิ

บนั ทึกผลหลงั การจดั การเรยี นรู้

จดั ทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรยี นรู้รายวิชาแคลคลู ัส 1 27

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 8

รหสั วชิ า 30000-1404 วชิ า แคลคลู สั 1

หนว่ ยที่ 4 ช่ัวโมงท่ี 29 - 32 ชอ่ื หนว่ ย อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั อดศิ ัย (ตอ่ )

แนวคิด

ก่อนจะศึกษาถึงการหาอนุพันธ์ของฟั งก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (Inverse Trigonometric

Function) โดยวธิ กี ารใชส้ ูตรนนั้ นกั ศกึ ษาควรทำความเข้าใจเกีย่ วกับฟังก์ชันตรโี กณมิติผกผนั เสียก่อน

ถ้า x = sin y เป็นฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ แิ ล้ว เราจะกล่าววา่ y = arcsin x เป็นฟงั ก์ชันตรีโกณมิติ

แบบผกผัน เมื่อ y เป็นมุมใดๆ ท่ี sin ของมันมีค่าเท่ากับ x ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ในรูปของ y =

arcsin x จะเขียนแทนได้ด้วย y = sin −1x โดยสัญลักษณ์ –1 ไม่ได้หมายถึง ตัวเลขช้ีกำลัง นั่นคือ

sin −1x  (sin) −1  1
sin x
sin −1x อ่านว่า อาร์คไซน์ของ x หรืออนิ เวอร์สไซนข์ อง x

สาระการเรยี นรู้
4. การหาอนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิผกผนั

ผลการเรยี นรู้ทีค่ าดหวงั
4. คำนวณหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิตผิ กผันได้
5. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ท่ีอาจารย์สามารถ
สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสัมพันธ์ ความมีวินัย ความรบั ผิดชอบ ความเชื่อม่ันในตนเอง
ความสนใจใฝร่ ู้ ความรักสามคั คี ความกตญั ญูกตเวที

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ขั้นนำเข้าส่บู ทเรียน
1. ทบทวนพดู คยุ เร่ืองของการหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั แบบตา่ งๆ

ข้นั สอน
2. อาจารย์อธิบายถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันอ่ืนๆ ในทำนองเดียวกัน และได้สรุปเป็นนิยามได้

ดังน้ี

จัดทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรียนรู้รายวิชาแคลคลู ัส 1 28

บทนิยามของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติผกผัน

1. y = arcsin x เมอ่ื –   y  และ –1 x  1

2 2

2. y = arccos x เมื่อ 0  y   และ –1 x  1

3. y = arctan x เม่ือ –   y   และ – x  

2 2

4. y = arccot x เมื่อ 0 y   และ – x  

5. y = arcsec x เมอื่ –   y  –  และ 0 y   และ x  1

2 2

6. y = arccosec x เม่อื –   y  –  และ 0 y   และ x  1

2 2
3. อาจารย์อธิบายตัวอย่างบนกระดานโดยการนำสูตร นิยาม และกฎลูกโซ่มาใช้ในการแก้ปัญหา

แล ะ

หาคา่ ของอนพุ ันธฟ์ ังกช์ นั ตรโี กณมติ ิผกผนั

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดให้ y = arcsin 3x จงหา dy
dx
จาก y = arcsin 3x

dy = d arcsin 3x
dx dx
1 d
= 1− (3x)2 dx 3x

= 1 (3 dx )
1− 9x2 dx

 dy = 3
ตวั อย่างท่ี 2 dx 1− 9x2

กำหนดให้ y= arccot (x – 1) จงหา dy
dx
จาก y = arccot (x – 1)

 dy = d arccot (x – 1)
dx dx
−1 d
= 1+ (x −1)2 dx (x – 1)

= 1 + (x 2 −1 + 1)  dx − d1 
− 2x dx dx

= −1
1+ x2 − 2x +1

จดั ทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวิชาแคลคูลัส 1 29

 dy = −1
dx x2 − 2x + 2

4. ส่วนตัวอื่นๆ อาจารย์และนกั ศึกษาชว่ ยกนั เฉลย สรปุ และอธิบาย โดยการถาม - ตอบ

ขั้นสรุปและการประยกุ ต์
5. นักศึกษาสรุป โดยการถาม ตอบระหว่างกันในช้ันเรียน และจดลงในสมุดเพื่อนำไป

ประยุกต์ใชใ้ นบทเรียนและชีวิตประจำวนั ตอ่ ไป
6. ทำแบบประเมนิ ผลการเรียนรทู้ ่ี 4.2
7. อาจารย์ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรทู้ ่ี 4.2 และช้ีแจงส่ิงที่บกพร่องหรือผดิ พลาดให้นักศึกษา

ทราบ

สอ่ื การเรียนการสอน
หนังสอื เรยี นวิชา แคลคูลัส 1 (30000-1404)

การวัดผลและการประเมินผล
วธิ วี ดั ผล
1. ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้
2. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึง
ประสงค์

เครือ่ งมือวดั ผล
1. แบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้
2. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นกั ศกึ ษารว่ มกนั ประเมิน

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล
1. แบบประเมนิ ผลการเรียนรู้ ทำถูกตอ้ ง 70% ข้นึ ไป
2. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนขึ้นอยู่กับ

การประเมินตามสภาพจริง

บนั ทกึ ผลหลังการจดั การเรียนรู้

จดั ทำโดย นางสรุ ิษา เกษรศิริ

แผนการจดั การเรียนรู้รายวชิ าแคลคลู ัส 1 30

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 9

รหสั วชิ า 30000-1404 วิชา แคลคูลสั 1

หนว่ ยท่ี 5 ชั่วโมงท่ี 33 - 36 ชือ่ หน่วย การประยุกตอ์ นุพันธข์ องฟงั กช์ ัน

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคดิ

การประยุกต์อนุพันธ์ของฟังก์ชนั เป็นการนำความรเู้ ร่ืองอนุพันธ์ของฟังก์ชันท่ีเรียนมาใช้ประโยชน์

ใหเ้ ห็นจริง เชน่ นำมาใช้ในการเขียน กราฟของฟังกช์ ัน ความชนั ของเส้นโค้ง การหาคา่ สงู สุดและต่ำสุด

สัมพันธ์ ของฟังก์ชัน โดยใช้อนุพันธ์อันดับท่ีหนึ่ง และอนุพันธ์อันดับท่ีสอง การนำความรู้เรื่องค่าสูงสุด

และต่ำสุดไปใช้ประโยชน์ ในทางช่างและชีวิตประจำวัน การหาความเร็วของวัตถุที่เคล่ือนที่ในแนว

เส้นตรง การหาค่าอัตราสัมพัทธ์ เป็นการหาค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของสองสิ่งเปรียบเทียบกัน

การหาคา่ ประมาณโดยใช้ผลตา่ งอนุพันธ์ (ค่าเชงิ อนุพนั ธ์)

สรปุ วธิ หี าค่าสงู สดุ หรอื ค่าตำ่ สุดสมั พทั ธ์ โดยใช้อนุพันธ์อันดบั ท่ีสอง

1. จาก y = f(x) หาอนุพันธ์อันดับท่ีหน่ึงก่อน คือ หา dy แล้วให้ dy = 0 แก้สมการหาค่า
dx dx
ของ x สมมตวิ ่า ได้ x = a

2. จาก dy ในข้อ 1 หาอนุพันธ์อนั ดับที่สอง คอื หา d2y
dx dx2

3. นำค่า x = a จากข้อ 1 แทนลงใน d2y ในข้อ 2 แล้วพิจารณาค่าของ d2y ถ้ามีค่าเป็นบวก
dx2 dx2
แสดงว่า x = a เป็นค่าท่ีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ถ้ามีค่าเป็นลบ แสดงว่า x = a เป็นค่าที่จุดสูงสุด

สัมพัทธ์ แต่ถ้า d2y = 0 จะทดสอบไม่ได้ว่า เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต่ำสุดสัมพัทธ์ ต้อง
dx2
กลับไปใชว้ ิธกี ารในตอนแรก คือ ใช้อนพุ นั ธ์อนั ดับที่ 1

สาระการเรยี นรู้
1. ความชนั ของเส้นโค้ง
2. การหาคา่ อนุพันธ์ของฟงั กช์ ันจากนิยาม
3. อัตราสัมพัทธ์
4. การหาคา่ เชิงอนุพันธ์ (ผลต่างอนุพันธ์)

ผลการเรียนร้ทู ่คี าดหวัง
1. เขยี นกราฟของเสน้ โคง้ ของฟงั ก์ชนั และหาความชนั ของเสน้ โค้งได้
2. หาคา่ และคำนวณค่าสูงสุดและคา่ ตำ่ สดุ สัมพัทธข์ องฟังกช์ นั ได้

จัดทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรยี นรู้รายวชิ าแคลคูลสั 1 31

3. แกป้ ัญหาโจทยเ์ ก่ยี วกับคา่ สูงสุดและคา่ ตำ่ สดุ สัมพัทธไ์ ด้
4. แกป้ ญั หาโจทย์ ความเร็วและความเรง่ ของวัตถทุ ี่เคลอ่ื นที่ในแนวเส้นตรงได้
5. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ท่ีอาจารย์สามารถ

สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสัมพันธ์ ความมีวินัย ความรับผิดชอบ ความเชื่อมั่นใน

ตนเอง ความสนใจใฝ่รู้ ความรักสามัคคี ความกตัญญกู ตเวที

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั นำเขา้ สูบ่ ทเรยี น
1. อาจารย์ทบทวนในเรอื่ งการหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน

y

ขน้ั สอน B(0, b) C y = f(x)
2. อาจารยอ์ ธบิ ายความหมายของความชันของเส้น A (a, 0) 0 GH

โค้งให้นักศึกษาเข้าใจเพื่อเป็นพื้นฐานของค่า D(d, 0) F(f, 0) x
ตา่ งๆ โดยใช้รปู ประกอบ E

จุดตัดแกน x และจุดตัดแกน y เราจะพบว่า จุดตัดแกน x มี 3 จุดคือ A (a, o), D (d, o) และ
F (f, o) จุดตัดแกน y มีจุดเดียว คือ B (o, b) เนื่องจากกราฟเป็นเส้นโค้ง ดังนั้นจึงมีทั้งโค้งคว่ำ และโค้ง
หงาย ช่วงใดที่เป็นโค้งคว่ำก็จะทำให้เกิดจุดสูงสุดของฟังก์ชันในช่วงน้ัน เราเรียก จุดสูงสุดสัมพัทธ์
(Relative Maximum Point) ในรูป คือ จุด C ช่วงจาก A ถึง D เรียกว่า ช่วงโค้งคว่ำ ช่วงใดท่ีเป็นโค้ง
หงาย ก็จะทำให้เกิดจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงน้ันๆ เราเรียกว่า จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ (Relative Minimum
Point) ในรูปคือ จุด E ช่วงจาก D ถึง F เรียกว่า ช่วงโค้งหงาย นอกจากน้ีถ้าช่วงใดค่าของฟังก์ชันมีค่า
เทา่ กนั ทกุ คา่ ตลอดในช่วงน้นั เราจะเรียกว่า เป็นชว่ งคงทข่ี องฟังก์ชัน (Constant Interval) เชน่ ในช่วง G
ถงึ H

3. ใหน้ กั ศึกษาศกึ ษาการหาค่าอนุพันธฟ์ งั กช์ ันจากนิยามจากหนงั สอื เรียน สรุปลงในสมุด
4. อาจารย์นำตัวอย่างจากหนังสือมาอธิบายบนกระดานในนักศึกษาทำความเข้าใจ โดยการถาม –

ตอบ และชว่ ยกนั สรปุ วิธีทีง่ ่ายทีส่ ุดในการหาค่าอนุพันธ์ฟังก์ชนั ในหัวข้อต่อไปนี้
- ความหมายของอนุพันธเ์ รขาคณิต

ตวั อยา่ ง จงหาความชันของเส้นโค้ง y = x2– 2x + 5 ท่จี ุด (2, 5)

 ความชันของเสน้ โค้งทจี่ ุดใดๆ คอื อนุพนั ธ์ของเส้นโคง้ ท่ีจดุ น้ัน

 จาก y = x2 – 2x + 5

dy = d (x2–2x+5)
dx dx

จดั ทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรยี นรู้รายวิชาแคลคูลสั 1 32

= dx2 – d2x + d5
dx dx dx

 dy = 2x–2
dx
ดังนัน้ ความชันของเสน้ โคง้ ท่จี ดุ (2, 5) คือ 2(2)–2 = 2

สรุป การหาความชันของเสน้ โค้งหรอื เสน้ สัมผสั โค้ง มีหลักดังน้ี

1. หาอนพุ ันธข์ องเสน้ โค้งท่กี ำหนดให้ ซง่ึ จะเทา่ กบั ความชันของเสน้ โค้งนัน้ ทจ่ี ดุ ใดๆ

2. ให้ (x1, y1) เป็นพกิ ดั ของจุดทีต่ ้องการ (จุดสัมผัส)
3. แทนค่า (x1, y1) ลงในอนุพันธ์ตามข้อ 1 ก็จะเป็นความชันของเส้นโค้ง หรือความชันของเส้น

สัมผัสโค้งตรงจดุ สมั ผัสทต่ี ้องการ

- สมการของเส้นสัมผัสและเส้นแนวลากของเสน้ โคง้ มี

- เส้นสมั ผสั โคง้

- เสน้ แนวต้งั ฉาก

ตวั อย่าง จงหาสมการของเส้นสมั ผสั และเสน้ ตัง้ ฉากกบั พาราโบลา y2 = 4x ทจี่ ดุ (1, 2)

จากสมการเส้นสัมผัสโคง้ y – y1 = m(x – x1)
dy
 m = dx  จากสมการ y2 = 4x

 dy2 = d 4x
dx dx
dy dx
2y dx = 4 dx

 dy = 4 = 2
dx 2y y
2
 (x1, y1) คือ (1, 2)  m = (2) =1

เส้นสมั ผสั โคง้ คอื y – 2 = 1(x–1)

 สมการเส้นสมั ผสั คือ y = x + 1

ความชนั ของเส้นต้งั ฉาก = − 1 = 1 = –1
m −1
สมการของเส้นตงั้ ฉาก คอื y – 2 = –1(x–1) = –x + 1

 สมการเส้นตง้ั ฉาก คอื y = –x + 3

- มมุ ทเี่ ส้นโคง้ สองเส้นตดั กนั

- จดุ สูงสุด จดุ ตำ่ สุด และจดุ เปล่ยี นเวา้

จดั ทำโดย นางสรุ ิษา เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวชิ าแคลคูลสั 1 33

5. ทำแบบประเมนิ ผลการเรียนรู้
ขน้ั สรปุ และการประยุกต์

6. นกั ศึกษาร่วมกันสรปุ การประยุกต์อนุพันธข์ องฟังกช์ ัน ท้งั หมดลงในสมุด
7. อาจารย์ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ และชแี้ จงสิ่งทบี่ กพร่องหรอื ผิดพลาดให้นักศึกษาทราบ

ส่ือการเรียนการสอน
1. หนงั สือเรียนวชิ า แคลคลู สั 1 (30000-1404)
2. แบบประเมนิ ผลการเรียนรทู้ ่ี 5.1

การวัดผลและการประเมินผล
วธิ วี ัดผล
1. สังเกตพฤติกรรมการปฏิบัตงิ านรายบคุ คล
2. ตรวจแบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้
3. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึง
ประสงค์

เครื่องมอื วัดผล
1. แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการปฏิบัตงิ านรายบคุ คล (ภาคผนวก ข)
2. แบบประเมินผลการเรียนรู้
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นกั ศึกษาร่วมกนั ประเมิน (ภาคผนวก จ)

เกณฑก์ ารประเมินผล
1. แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการปฏิบัตงิ านรายบุคคล เกณฑผ์ ่าน ต้องไม่มีชอ่ งปรับปรงุ
2. แบบประเมินผลการเรียนรู้ ทำถูกต้อง 70% ขึ้นไป
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนขึ้นอยู่กับ

การประเมนิ ตามสภาพจริง

บนั ทึกผลหลังการจัดการเรยี นรู้

จัดทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรยี นรู้รายวิชาแคลคูลัส 1 34

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 10

รหัสวชิ า 30000-1404 วิชา แคลคลู ัส 1

หนว่ ยที่ 5 ชว่ั โมงท่ี 37 - 40 ช่ือหนว่ ย การประยกุ ตอ์ นพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชัน (ตอ่ )

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคิด

ในการหาค่าอัตราสัมพทั ธ์ หรือ ทำโจทยป์ ญั หาเก่ยี วกบั อัตราสัมพทั ธ์ (Related Rate) คอื

1. ไม่ควรรีบร้อนแทนค่าของตัวแปรหรือตัวไม่ทราบค่าก่อนการหาอนุพันธ์ เพราะจะทำให้การ

หาค่าอนพุ ันธไ์ ดศ้ ูนยท์ ง้ั หมด

2. การแทนคา่ อัตราการเปล่ียนแปลงเทียบกับเวลา ควรต้องมีการกำหนดเครื่องหมายของอัตรา

การเปล่ียนแปลงด้วย คอื

2.1 ถ้าตัวแปรเพมิ่ ขึ้น เมอ่ื เวลาเพ่ิมขนึ้ ใหอ้ ตั ราการเปลย่ี นแปลงเทยี บกบั เวลา มีค่าเป็น บวก

2.2 ถ้าตวั แปรลดลง เมื่อเวลาลดลง ให้อัตราการเปลี่ยนแปลงเทยี บกับเวลา มคี า่ เปน็ ลบ

สาระการเรียนรู้
5. การหาคา่ โดยประมาณของฟังก์ชนั โดยใช้คา่ เชิงอนุพันธ์

ผลการเรยี นรทู้ ีค่ าดหวัง
5. แก้ปญั หาโจทยท์ ่ีเกย่ี วกับอัตราสมั พทั ธ์ได้
6. หาค่าโดยประมาณของฟงั กช์ ันโดยใชผ้ ลต่างอนุพันธไ์ ด้
7. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ท่ีอาจารย์สามารถ
สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสัมพันธ์ ความมีวนิ ัย ความรบั ผดิ ชอบ ความเช่ือม่ันในตนเอง
ความสนใจใฝ่รู้ ความรกั สามัคคี ความกตัญญูกตเวที

กจิ กรรมการเรยี นการสอน
ข้นั นำเข้าสู่บทเรียน
1. อาจารยท์ บทวน อัตราสัมพทั ธ์ โดยการสนทนา ถาม - ตอบ

ขัน้ สอน
2. อาจารยย์ กตัวอย่าง อตั ราสัมพัทธ์ พรอ้ มท้ังอธบิ ายและซักถาม

จัดทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวิชาแคลคูลสั 1 35

ตัวอย่าง 1 ถ้าจรวดลำหน่ึง ตามรูปท่ี 5.11 กำลังถูกยิงข้ึนในแนวด่ิงด้วยความเร็ว 880 ฟุต/วินาที

ในขณะนั้นจรวดอยู่ห่างจากฐานยิง 4,000 ฟุต กล้องสังเกตการณ์อยู่ห่างจากฐานยิงจรวด

3,000 ฟุ ต

จงหาความเร็วขณะใดขณะหนง่ึ ทจี่ รวดกำลังเคลอื่ นท่หี ่างออกจากกลอ้ งสงั เกตการณ์อันนี้

จรวด กำหนดให้
t = เวลาท่จี รวดใช้ในการเดินทาง (วนิ าที)
y ft x ฟตุ y = ระยะทางจากกล้องถึงจรวดหลังจากยิงจรวด
กลอ้ ง 3,000 ft
ไปแล้ว t วนิ าที (ฟตุ )
x = ความสูงของจรวดที่ห่างจากฐานยิงหลังจาก

เวลาผา่ นไป t วินาที (ฟุต)

dy = ความเร็วขณะใดขณะหนง่ึ ทจี่ รวดกำลงั เคล่ือนทหี่ ่างออกไปจากกล้องมีหน่วยเปน็ ฟตุ /วนิ าที
dt
dx
dt = ความเรว็ ขณะใดขณะหน่ึงที่จรวดกำลงั ถกู ยงิ ขึน้ ในแนวด่งิ มหี น่วยเปน็ ฟุต/วนิ าที

จากรูป 5.11 และจากทฤษฎีบทของปิธากอรัส เราจะไดว้ า่

y 2 = x 2 + (3,000) 2 ………………. (1)

จากสมการ (1) หาอนุพันธเ์ ทียบกับเวลา t ทงั้ สองขา้ ง

dy2 = dx2 + d (3,000) 2
 dt dt dt
dy dx
2y dt = 2x dt + 0

 dy = 2x . dx …….………………. (2)
dt 2y dt

จาก (1) ; เมอื่ x = 4,000 ฟุต เราสามารถหาค่า y ไดด้ งั น้ี

y = (4,000)2 + (3,000)2

= 5,000 ฟตุ

เมื่อ x = 4,000 ฟตุ , y = 5,000 ฟตุ และ dx = 880 ฟตุ /วินาที
dt
dy x dx
จาก (2) ; dt = y dt

 dy = 4,000 (880)
dt 5,000

= 704 ฟุต/วนิ าที

จัดทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวิชาแคลคูลัส 1 36

ความเร็วขณะใดขณะหน่งึ ทจี่ รวดกำลังเคลือ่ นทห่ี ่างออกจากกล้อง

= 704 ฟตุ /วนิ าที
3. สุ่มนักศึกษาออกมาแสดงวิธีหาคำตอบของตัวอย่างบนกระดานโดยเพื่อนในห้องเป็นผู้

ชว่ ยเหลือ
4. ให้นักศึกษาจำสูตรการหาอนุพันธ์ และสูตรการหาค่าเชิงอนุพันธ์ เพื่อนำไปใช้ในการหาค่า

อนพุ ันธ์
5. นักศึกษาทำแบบประเมินผลการเรียนรู้ ส่งอาจารย์
6. อาจารยเ์ ฉลยแบบประเมนิ ผลการเรียนรู้ และใหน้ ักศึกษาชว่ ยกนั ซกั ถามขอ้ สงสัย

ขั้นสรปุ และการประยุกต์
7. นักศึกษาร่วมกันสรปุ การประยกุ ต์อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั ทั้งหมดลงในสมุด
8. อาจารยใ์ หน้ ักศึกษาทำแบบประเมินผลการเรยี นรู้ สง่ ตามกำหนด
9. อาจารยต์ รวจแบบประเมินผลการเรียนรู้และช้ีแจงข้อบกพร่องหรือข้อผดิ พลาดให้นักศึกษาทราบ

สื่อการเรียนการสอน
1. หนงั สือเรียนวิชา แคลคูลัส 1 (30000-1404)
2. แบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้
3. ใบความรู้

การวดั ผลและการประเมนิ ผล
วธิ วี ัดผล
1. สังเกตพฤติกรรมการปฏบิ ัติงานรายบุคคล
2. ตรวจแบบประเมินผลการเรยี นรูท้ ี่
3. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึง
ประสงค์

เคร่อื งมอื วัดผล
1. แบบสงั เกตพฤติกรรมการปฏิบตั งิ านรายบคุ คล
2. แบบประเมินผลการเรียนรู้
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นักศกึ ษาร่วมกนั ประเมนิ

จัดทำโดย นางสรุ ิษา เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวิชาแคลคลู ัส 1 37

เกณฑก์ ารประเมนิ ผล
1. แบบสงั เกตพฤติกรรมการปฏิบตั ิงานรายบุคคล เกณฑผ์ ่าน ตอ้ งไมม่ ชี ่องปรบั ปรุง
2. แบบประเมินผลการเรยี นรู้ ทำถกู ตอ้ ง 70% ขึน้ ไป
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนขึ้นอยู่กับ

การประเมินตามสภาพจริง

บนั ทกึ ผลหลงั การจดั การเรยี นรู้

จดั ทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวชิ าแคลคลู ัส 1 38

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 11

รหสั วชิ า 30000-1404 วชิ า แคลคูลัส 1

หน่วยท่ี 6 ชัว่ โมงที่ 41 - 44 ช่อื หนว่ ย การอนิ ทิกรลั ไม่จำกัดเขต

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคดิ

การอินทิกรัลไม่จำกัดเขต (Indefinite Integral) คือ การหาค่าของฟังก์ชัน เมื่อมีการกำหนด

อนุพันธ์ของฟังก์ชันมาให้ โดยเรียกอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดมาให้ว่า อินทิแกรนด์ฟังก์ชัน อีก

ความหมายของการอินทิกรัลไม่จำกัดเขต เราเรียกว่า ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) ในการคำนวณหาค่า

อินทิกรัลของฟังกช์ ันตา่ งๆ น้ัน อาจแทนคา่ ได้โดยตรง หรืออาจต้องมกี ารแปลงฟงั กช์ ันทต่ี ้องการอนิ ทิเกรต

ให้เปน็ ฟังกช์ นั ใหม่ทีง่ ่ายข้นึ

สาระการเรยี นรู้
1. ความหมายของปฏิยานพุ ันธ์
2. การหาคา่ ของปฏยิ านุพันธ์
3. การหาค่าอินทกิ รัลไม่จำกัดขอบเขตของฟงั กช์ ันพชี คณิต

ผลการเรยี นร้ทู ี่คาดหวัง
1. บอกความหมายของปฏยิ านพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชันได้
2. หาคา่ ของปฏยิ านุพนั ธไ์ ด้
3. คำนวณหาคา่ ของอนิ ทกิ รลั ของฟังก์ชนั พชี คณิตได้
4. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ที่อาจารย์สามารถ
สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสมั พันธ์ ความมีวินัย ความรบั ผิดชอบ ความเช่ือม่ันในตนเอง
ความสนใจใฝร่ ู้ ความรกั สามัคคี ความกตัญญกู ตเวที

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ขน้ั นำเข้าสูบ่ ทเรียน
1. อาจารย์ซักถามกับนักศึกษาถึงเร่ืองท่ีเรียนมาแล้วว่ามีความเข้าใจมากน้อยแค่ไหน ซึ่งเป็น
พนื้ ฐานของเรอื่ งทจ่ี ะเรียนต่อไป
ขนั้ สอน
2. อาจารย์แจกใบความรู้พร้อมท้ังอธิบายความหมาย การหาค่าของปฏยิ านุพันธ์ และการหาค่า
อินทิกรัลไม่จำกัดขอบเขตของฟังก์ชันพีชคณิต พร้อมตัวอย่างเพื่อให้นักศึกษาเข้าใจและ
นำไปใช้ได้

จัดทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรียนรู้รายวชิ าแคลคูลัส 1 39

3. อาจารย์ยกตวั อย่างบนกระดานเพ่ิมเติมจากใบความรู้ เปดิ โอกาสให้นกั ศึกษาซักถามและช่วยกัน

คิด

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหา (7x +2)5 dx

ในท่นี ี้ u ควรจะเป็น 7x + 2 เราอาจใช้การแปลง dx ใหเ้ ปน็ du จะได้เปน็ d(7x + 2) =

7dx

 dx = d(7x + 2) d ซ่งึ เราจะไดว้ ่า
7 2)5 (7x +2)
(7x +2)5 dx =
(7x + 7
=
1  (7x + 2)5 d(7x + 2)
7
1 (7x + 2)5+1
= 7 5+1 +C

= 1 (7x + 2)6 + C
76
1
 (7x +2)5 dx = 42 (7x + 2)6 + C

ตวั อย่างท่ี 2 จงหา dx

 3x + 2
ให้ u = 3x + 2  du = d(3x + 2) = 3dx
du d(3x + 2)
 dx = 3 = d(33x + 2)
 dx =
 3x + 2  (3x + 2)(3)
1 d(3x + 2)
=
3  3x + 2
1
= 3 ln3x + 2 + C
= C
 dx 2 ในเทอมของ 1 ln3x + 2 + =
y 3 dy
 3x + dx

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาค่าของ x จากสมการ 3x2 + 2x และหาค่าของ C

เมือ่ x = 2 , y = 9
dy
จาก dx = 3x2 + 2x

 dy = (3x2 + 2x) dx

อินทิเกรตทงั้ สองข้าง เราจะได้วา่

 dy = (3x2 + 2x)dx

จดั ทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวชิ าแคลคูลัส 1 40

 dy = 3x2dx + 2xdx

y = 3  x 2+1  + 2  x1+1  + C
 2   1+1 
+1

y= 3 x3 + 2 x2 +C
3 2
y = x3 + x2 + C

เน่ืองจาก x = 2, y = 9 ดังนน้ั

9 = 23 + 22 + C

 C = 9 – 8 – 4 = –3

C = –3

ดังน้นั y = x3 + x2 – 3

4. อาจารย์ให้นักศึกษาทำเอกสารแนะแนวทางโดยถามกันได้เพื่อช่วยกันระดมความคิด หา

คำตอบ

5. อาจารย์และนักศึกษาช่วยกนั เฉลยเอกสารแนะแนวทาง

ขั้นสรุปและการประยกุ ต์
6. อาจารยแ์ ละนกั ศึกษาชว่ ยกันสรปุ สูตรของ การหาค่าของปฏยิ านพุ ันธ์
7. นกั ศึกษาทำแบบประเมินผลการเรียนรู้ท่ี 6.1
8. อาจารย์ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรู้ที่ 6.1 และชี้แจงข้อบกพร่องหรือข้อผิดพลาดให้
นักศกึ ษาทราบ

สือ่ การเรียนการสอน

1. หนงั สือเรียนวชิ า แคลคูลัส 1 (30000-1404)
2. ใบความรู้
3. เอกสารแนะแนวทาง

การวัดผลและการประเมินผล
วธิ วี ัดผล
1. สังเกตพฤติกรรมการปฏิบตั งิ านรายบคุ คล
2. ตรวจแบบประเมินผลการเรียนรทู้ ่ี 6.1
3. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึง
ประสงค์

จัดทำโดย นางสุรษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรยี นรู้รายวิชาแคลคูลัส 1 41

เคร่ืองมอื วดั ผล
1. แบบสังเกตพฤตกิ รรมการปฏบิ ัติงานรายบุคคล
2. แบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นักศึกษารว่ มกันประเมิน

เกณฑ์การประเมนิ ผล
1. แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการปฏบิ ตั ิงานรายบคุ คล เกณฑผ์ ่าน ตอ้ งไมม่ ีชอ่ งปรบั ปรงุ
2. แบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้ ทำถูกต้อง 70% ข้ึนไป
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนข้ึนอยู่กับ

การประเมนิ ตามสภาพจริง

บนั ทึกผลหลงั การจัดการเรียนรู้

จดั ทำโดย นางสรุ ิษา เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวชิ าแคลคลู ัส 1 42

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 12

รหสั วิชา 30000-1404 วชิ า แคลคูลัส 1

หนว่ ยที่ 6 ชวั่ โมงท่ี 45 - 48 ช่ือหนว่ ย การอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคิด

การอินทิเกรตฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิบางครงั้ จะอยู่ในรปู ผลคณู ของฟังก์ชนั 2 ฟังกช์ ันคณู กัน หรืออยู่

ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลัง จะไม่สามารถอินทิเกรตได้ทันทีต้องมีการดัดแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เหลา่ นัน้ ก่อน จงึ จะสามารถอนิ ทิเกรตได้สะดวกขึ้น แบ่งลกั ษณะโจทย์ดังกลา่ วออกเปน็ 6 ลักษณะ คอื

1. sin n xdx หรือ cosn xdx
2. sin m cosn xdx

3. sin Ax.cosBxdx , sin Ax.sin Bxdx, cosAx.cosBxdx
4.  tannxdx หรือ cotnxdx
5. secnxdx หรือ cosecnxdx
6.  tanmx.secn xdx หรือ cotmx.cosecnxdx

สาระการเรียนรู้
4. การหาคา่ อนิ ทกิ รลั ไม่จำกัดขอบเขตของฟงั กช์ ันอดิศัยโดยใช้สูตร

ผลการเรยี นรู้ทค่ี าดหวงั
4. คำนวณหาค่าอินทกิ รัลไมจ่ ำกดั ขอบเขตของฟงั ก์ชันอดิศยั โดยใช้สูตรได้
5. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ท่ีอาจารย์สามารถ
สงั เกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสมั พันธ์ ความมีวินัย ความรับผดิ ชอบ ความเชื่อม่ันในตนเอง
ความสนใจใฝ่รู้ ความรักสามัคคี ความกตญั ญกู ตเวที

กิจกรรมการเรียนการสอน
ขั้นนำเขา้ สบู่ ทเรยี น
1. อาจารยแ์ จกใบงานของเร่อื งทแ่ี ล้วใหน้ ักศึกษาลองทำเพ่อื เปน็ การทบทวน

ขนั้ สอน
2. ในหัวข้อนี้จะมีตัวอย่างการหาคำตอบโดยการใช้สูตรที่เรียนมาเป็นพื้นฐาน เพราะฉะน้ัน

อาจารย์ จะแจกใบความรทู้ ี่สรปุ สูตรมาให้นักศึกษาไว้ทอ่ งจำเพ่ือเป็นการทบทวน

จดั ทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจดั การเรียนรู้รายวิชาแคลคลู ัส 1 43

3. อาจารย์ยกตัวอย่าง อธิบายให้นักศึกษาฟังและคิดตามพร้อมทงั้ มีการซักถามในขณะที่อธิบาย

ได้เต็มที่

ตวั อย่างท่ี 1 จงหา sin(2x + 3)dx
ใชส้ ตู ร sin udu = −cosu +C

โดยเลือกให้ u = 2x + 3  du = d(2x + 3) = 2dx

ดังน้นั dx = du = d(2x + 3)
2 2
d(2x + 3)
 sin(2x + 3)dx =  sin(2x + 3) 2

= 1  sin( 2x + 3)d(2x + 3)
2
= 21− cos(2x + 3) + C
1
ดงั นนั้ sin(2x + 3)dx = − 2 cos(2x + 3) + C

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหา cos4 xdx
1 4
cos4 xdx = ( 2 (1 + cos 2x)) 2 dx

= ( 1 (1 + cos 2x))2 dx
2
1
= 4  (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x ) dx

= 1  dx + 1  2 cos 2xdx + 1  cos 2 2x dx
4 4 4
1 1 1 1 ))22
= 4 x + 4  cos 2xd(2x ) + 4  ( 2 (1 + cos 2( 2x dx

= 1 x + 1 sin 2x + 1  (1 + cos 4x) dx
4 4 8
1 1 1 1 d4x
= 4 x + 4 sin 2x + 8  dx + 8  cos 4x. 4

= 1 x + 1 sin 2x + 1 x + 1  cos 4xd 4x
4 4 8 32
3 1 1
ดังนั้น cos4 xdx = 8 x + 4 sin 2x + 32 sin 4x + C

จดั ทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวิชาแคลคลู สั 1 44

ตวั อย่างที่ 3 จงหาคา่ ของ sin3x.cos2 xdx 3−1
2
sin3x.cos2 xdx = −  (1 − cos 2 x ) . cos 2 xd cos x

= −  (1− cos2 x). cos2 xd cosx
= −  cos2xdcosx +  cos4xdcosx
1 1
= − 3 cos3 x + 5 cos5 x + C
=
ดังนน้ั sin3x.cos2 xdx 1 cos5 x − 1 cos3 x + C
5 3

4. อาจารย์ให้นกั ศึกษาทำแบบประเมนิ ผลการเรยี นรู้ ส่งในชั่วโมงต่อไป

ขนั้ สรุปและการประยกุ ต์
5. อาจารยต์ รวจแบบประเมนิ ผลการเรียนรู้และชี้แจงข้อบกพร่องหรือข้อผิดพลาดให้นักศึกษาทราบ
6. อาจารย์และนักศึกษาชว่ ยกบั สรปุ สตู รอีกครง้ั

สื่อการเรียนการสอน

1. หนงั สือเรยี นวชิ า แคลคลู ัส 1 (30000-1404)
2. ใบความรู้

การวัดผลและการประเมนิ ผล
วิธวี ัดผล
1. สังเกตพฤติกรรมการปฏิบัติงานรายบุคคล
2. ตรวจแบบประเมนิ ผลการเรียนรู้
3. การสังเกตและประเมินผลพฤติกรรมด้านคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึง
ประสงค์

เครอื่ งมือวัดผล
1. แบบสังเกตพฤติกรรมการปฏิบัตงิ านรายบุคคล
2. แบบประเมินผลการเรยี นรู้
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยอาจารย์และ

นักศกึ ษารว่ มกันประเมิน

เกณฑ์การประเมนิ ผล
1. แบบสงั เกตพฤติกรรมการปฏบิ ตั งิ านรายบุคคล เกณฑผ์ ่าน ตอ้ งไมม่ ีช่องปรบั ปรงุ
2. แบบประเมนิ ผลการเรียนรู้ ทำถกู ตอ้ ง 70% ขึ้นไป
3. แบบประเมินคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ คะแนนข้ึนอยู่กับ

การประเมินตามสภาพจรงิ

บนั ทึกผลหลงั การจดั การเรยี นรู้

จดั ทำโดย นางสุริษา เกษรศิริ

แผนการจดั การเรยี นรู้รายวิชาแคลคลู สั 1 45

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 13

รหัสวิชา 30000-1404 วิชา แคลคลู ัส 1

หนว่ ยท่ี 8 ชัว่ โมงที่ 49 – 52 ชือ่ หนว่ ย อินทิกรัลจำกดั เขตและ

การประยุกตอ์ ินทกิ รลั

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แนวคดิ

ฟังก์ชัน f(x) ใด ๆ ท่ีต่อเนื่องในช่วงปิด [a, b] เมื่อ f(x) หาค่าอินทิกรัลได้ และมีอินทิกรลั ไม่จำกัด

b

เขตเป็น F(x) แล้ว อินทิกรัลจำกัดเขตของ f(x) คือ  f(x) dx = F(x)ab = F(b) – F(a) อินทิกรัลจำกัดเขต
a

มีสมบัติบางประการสืบเนื่องจากอินทิกรลั ไม่จำกัดเขต สมบัติของอินทิกรลั จำกัดเขตมีประโยชน์มาก ใช้ใน

การหาค่าพืน้ ท่ใี ตเ้ สน้ โคง้ พนื้ ท่ีระหว่างเส้นโค้ง หาปรมิ าตรของเสน้ โคง้ ท่ี หมุนรอบแกน เปน็ ตน้

คา่ อินทกิ รัลจำกัดเขตของ f(x) ใดๆ คือ ค่าผลรวมทางพีชคณิตของพื้นที่เล็กๆ ใต้เสน้ โค้ง การหา

b

ค่าอินทิกรัลจำกัดเขตต้องทราบปฏิยานุพันธก์ ่อน ถ้า f(x) ต่อเนื่องในช่วงปิด [a, b] แล้ว  f(x) dx จะหา
a

คา่ ได้และมีเพยี งคา่ เดยี วเท่านน้ั

สาระการเรียนรู้
1. อินทิกรัลจำกดั
2. การประยกุ ต์ของอนิ ทกิ รลั จำกัดเขต
3. การหาพน้ื ท่รี ะหว่างเสน้ โคง้ 2 เสน้

ผลการเรียนรู้ท่คี าดหวงั
1. อธิบายความหมายของการอนิ ทิกรลั จำกัดเขตได้
2. คำนวณหาค่าอินทิกรัลจำกดั เขตของฟังกช์ นั ในชว่ งปดิ ท่กี ำหนดให้ได้
3. คำนวณหาคา่ พื้นทรี่ ะหวา่ งเส้นโค้งกับแกนได้
4. คำนวณหาค่าพน้ื ที่ระหว่างเส้นโคง้ 2 เส้นได้
5. มีการพัฒนาคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ท่ีอาจารย์สามารถ
สังเกตเห็นได้ ในด้านความมีมนุษยสมั พันธ์ ความมีวนิ ัย ความรับผิดชอบ ความเชื่อมั่นในตนเอง
ความสนใจใฝร่ ู้ ความรกั สามคั คี ความกตัญญูกตเวที

กิจกรรมการเรียนการสอน
ข้นั นำเขา้ สบู่ ทเรยี น

จดั ทำโดย นางสุริษา เกษรศิริ

แผนการจัดการเรียนรู้รายวิชาแคลคลู ัส 1 46

1. อาจารย์ทบทวนเรอ่ื งการอนิ ทกิ รัล โดยใชว้ ิธกี ารถามตอบ

ขนั้ สอน

2. อาจารย์ยกตัวอย่างท่ี 1 และ 2 เร่ืองทฤษฎีบทหลักมูลของอินทิกรัลแคลคูลัส โดยใช้วิธีการ

3

ถามตอบตัวอย่างที่ 1 จงหา  (x2 − 2x + 3) dx
1

วิธีทำ เน่ืองจาก f(x) = x2 – 2x + 3 เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองใน R ดังนั้น ฟังก์ชัน f จึงเป็น

ฟังกช์ นั ตอ่ เนอ่ื งในชว่ งปิด [1, 3] ดว้ ย

 f(x) dx = (x2 − 2x +3)dx

 F(x) = x3 − x 2 + 3x + C
3
3x13
ดังนั้น 3 = x3 − x 2 +
 3
(x2 −2x +3) dx

1

=  33 −32 + 3(3)  − 13 −12 + 3(1) 
 3   3 

= (9 − 9 + 9) −  1 −1+ 3 
3

3 = 20
3
 (x2 −2x +3) dx
1



ตวั อยา่ งที่ 2 จงหา 3 x 2 sin 3x dx


0
วิธีทำ เนื่องจาก f(x) = x2 sin 3x เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองใน R ดังน้ัน f จึงเป็นฟังก์ชัน

ตอ่ เน่อื งในช่วง 0, 
3 

การหาค่า  f (x)dx =  x2 sin 3x dx ซึ่งจะสามารถหาค่าของ F(x) ได้ โดยใช้การ

อินทเิ กรตทีละสว่ นก่อน ดังน้ี

 x2 sin 3x dx −x 2 cos 3x 2 x sin 3x 2 cos 3x
3 9 27
= + +



ดังน้นั 3 x 2 sin 3x dx จะหาได้จาก


0

จดั ทำโดย นางสรุ ษิ า เกษรศิริ