จำนวนเชิงซ้อน

Complex Number | 1 จ ำนวนเชิงซ้อน Complex Number Concept 1. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจ านวนเชิงซ้อน 2. การคูณและการหารจ านวนเชิงซ้อน 3. รากที่สองของจ านวนเชิงซ้อน 4. กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซ้อน 5. จ านวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว 6. รากที่ n ของจ านวนเชิงซ้อน 7. สมการพหุนาม 1. ควำมรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจ ำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาผลบวกและผลต่างของจ านวนเชิงซ้อน 3 + 2i และ 1 – i (3 + 2i) + (1 – i) = (3 + 2i) - (1 – i) = ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาจ านวนจริง a , b ที่ท าให้ (a + 2i) + (-1 + 2bi) = 3 + 8i สมบัติเกี่ยวกับจ ำนวนเชิงซ้อน ถ้า z1 , z2 and z3 are complex number 1. z1 + z2 เป็นจ านวนเชิงซ้อน และ z1z2 เป็นจ านวนเชิงซ้อน (สมบัติปิด) 2. z1 + z2 = z2 + z1 และ z1z2 = z2z1 3. z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 4. z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3 บทนิยำม ส าหรับจ านวนเชิงซ้อน z = (a,b) = a+bi เมื่อ a , b เป็นจ านวนจริง เรียก a = ส่วนจริง (real part) แทนด้วย Re(z) เรียก b = ส่วนจินตภาพ (imaginary part) แทนด้วย Im(z)

Complex Number | 2 แบบฝึกหัดที่ 1 1. จงหาค่าของจ านวนจริง a และ b ต่อไปนี้ 1. 2a – 3bi = 4 + 6i 2. a + b – 2abi = 5 – 12i 3. 2a + bi = 10 4. 3a + (a – b)I = 2 + i 5. i2563 – 2i = a + bi 6. i2 + i4 – 2i2020 = a + bi 2. จงเขียนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูป a + bi เมื่อ a และ b เป็นจ านวนจริง 1. (2 – 3i) + (4 – 5i) 2. (-3 – i) – (3 – i) 3. (2 - 2 i) + (5 - 8 i) 4. (2 + i) – (-2 -i) 5. 5(i + 4) + 3(2i -7) 6. i2 (3 – 4i)

Complex Number | 3 2. กำรคูณและกำรหำรจ ำนวนเชิงซ้อน กำรคูณจ ำนวนเชิงซ้อน ก าหนดให้ z1 = a + bi , z2 = c + di จะได้ z1z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 z1z2 = ac – bd + (ad + bc)i สังยุคของจ ำนวนเชิงซ้อน (comjugate) : z ถ้า z = a + bi แล้ว z = a bi + = a - bi กำรหำรจ ำนวนเชิงซ้อน ก าหนดให้ z = a + bi ตัวผกผันการคูณของ z คือ z -1 = 1 z 1 z = 1 a bi + = 1 a bi + a bi a bi − − 1 z = 2 2 a bi a b − + z -1 = z zz สมบัติของสังยุคของจ ำนวนเชิงซ้อน ให้ z , z1 และ z2 เป็นจ านวนเชิงซ้อน จะได้ว่า 1. Re(z) = ( ) 1 z z 2 + , Im(z) = ( ) 1 z z 2i − 2. z = z 3. ถ้า z เป็นจ านวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ แล้ว 1 1 z z = 4. 1 2 1 2 z + z = z + z , 1 2 1 2 z - z = z - z 5. 1 2 1 2 z z z z = , 1 1 2 2 z z z z = เมื่อ z2 ≠ 0

Complex Number | 4 ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาค่าของ (2 – i)(3 + 2i) ให้อยู่ในรูป a + bi ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาค่าของ 2 i 3 2i − + ให้อยู่ในรูป a + bi ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาจ านวนเชิงซ้อน z ที่สอดคล้องกับสมการ (2 + 3i)z = -1 - 2i แบบฝึกหัดที่ 2 1. จงเขียนจ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูป a + bi เมื่อ a , b เป็นจ านวนจริงใด ๆ 1. (4 + i)2 2. (2 – 2i)2 3. (3 + 2i)(2 + 4i) 4. (-1 -i)2 5. ( 2 - 3 i)( 2 + 3 i)

Complex Number | 5 2. ก าหนดให้ z1 = 2 – i และ z2 = -3 + 2i จงหา 1. z1 2. z2 3. z1z2 4. 1 2 zz 5. z1 x z2 6. z1 + z2 7. 1 2 z z + 8. z1 + z2 3. เมื่อ z = 2 – 4i จงเขียนจ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูป x + yi โดยที่ x , y เป็นจ านวนจริงใด ๆ 1. z + z 2. z z 3. z(z + z ) 4. z - z 5. (z - z )i 6. z i 7. z-1

Complex Number | 6 4. จงเขียนจ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูป x + yi โดยที่ x และ y เป็นจ านวนจริงใด ๆ 1. 2 i 4 i − + 2. 3 2i 2 3i + − 3. 4 3i 1 i + + 4. 2 2i 4i − 5. 5 2i 5 2i − + 6. i 2 4i − 5. จงหาจ านวนเชิงซ้อน z ที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้ 1. (2 – i)z = 4 + 2i 2. (3i + 5)z = 1 + i

Complex Number | 7 3. 2(4 – 7i)z = 5 + 2i 4. (2 + i)z + I = 3 – i 5. z(1 + i) – 2 = 4i 6. (2 + i)z + I = 3

Complex Number | 8 3. รำกที่สองของจ ำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่ำงที่ 1 จงหารากที่สองของ -7 + 24i ตัวอย่ำงที่ 2 จงหารากที่สองของ 6 – 8i ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาเซตค าตอบของสมการ x 6 – 1 = 0 วิธีท า x 6 – 1 = (x3 ) 2 – (1)2 = [(x3 ) – 1] [(x3 ) + 1] = ทฤษฎีบท ก าหนดให้จ านวนเชิงซ้อน z = x + yi และให้ r = 2 2 x y + จะได้ว่า รากที่สองของ z คือ r x r x i if y 0 2 2 r x r x i if y 0 2 2 + − + + − −

Complex Number | 9 ตัวอย่ำงที่ 4 จงหาค าตอบของสมการต่อไปนี้ 1. 4z2 + 12 = 0 2. 3z2 + 5z + 3 = 0 3. (2 – i)z2 + 1 – 2i = 0 แบบฝึกหัดที่ 3 1. จงหารากที่สองของจ านวนเชิงซ้อน 1. z = 16i 2. z = 5 – 12i 3. z = -3 -4i 4. z = 1 - 2 2i

Complex Number | 10 2. จงหาเซตค าตอบของสมการต่อไปนี้ 1. x2 = -9 2. x2 + 52 3. x2 – x – 6 = 0 4. 2x2 + 5x + 12 = 0 5. 3x2 – 2x + 1 = 0 6. 4x2 + 2x + 1 = 0 7. (x + 1)2 + 25 = 0

Complex Number | 11 4. กรำฟและค่ำสัมบูรณ์ของจ ำนวนเชิงซ้อน เนื่องจากจ านวนเชิงซ้อนเขียน a + bi อยู่ในรูปของคู่อันดับ (a , b) โดย a เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วนจิตภาพ ดังนั้นอาจแทนจ านวนเชิงซ้อน (a , b) ใด ๆ ด้วยจุดบนระนาบได้เช่นเดียวกับการแทนคู่ อันดับในความสัมพันธ์ใด ๆ ด้วยจุดบนระนาบในระบบแกนมุมฉาก เรียกแกนนอนว่า แกนจริง (real axis) และแกนตั้งว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis) และเรียกระนาบที่เกิดจากแกนทั้งสองว่า ระนาบ เชิงซ้อน (complex number) เช่น z1 = (3 , 2) z2 = (-2 , 1) z3 = (-2,0) z4 = (4 , -1) ตัวอย่ำง ค่าสัมบูรณ์ของ 3 – 4i คือ ค่าสัมบูรณ์ของ -5i คือ ค่าสัมบูรณ์ของ -4 คือ ค่าสัมบูรณ์ของ 2 – 2i คือ บทนิยำม ค่าสัมบูรณ์ (Absolute value หรือ Modulus) ของจ านวนเชิงซ้อน a + bi คือ จ านวนจริง 2 2 a b + หรือเขียนแทนด้วย 2 2 z a b = +

Complex Number | 12 ถ้า z1 = a + bi และ z2 = c + di เป็นจ านวนเชิงซ้อนแล้ว โดยบทนิยามของค่าสัมบูรณ์ 1 2 z -z หมายถึงระยะทางระหว่างจุด (0 , 0) และจุดที่แทนด้วยจ านวนเชิงซ้อน z1 – z2 ในระนาบเชิงซ้อน z1 – z2 = (c – a) + (d -b)i นั่นคือ 1 2 z -z = 2 2 (a c) (b d) − + − ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนกราฟแสดงจ านวนเชิงซ้อน z ทั้งหมด ในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับ อสมการ z 3 และอสมการ z 2 2 − สมบัติของค่ำสัมบูรณ์ (Modulus) ให้ z , z1 , z2 เป็นจ านวนเชิงซ้อน จะได้ว่า 1. 2 z zz = 2. z = -z = z 3. ถ้า z เป็นจ านวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้ว 1 1 = z z 4. 1 2 1 2 z z = z z 5. 1 2 1 2 z +z z z + 6. 1 2 1 2 z -z z z −

Complex Number | 13 แบบฝึกหัดที่ 4 1. จงเขียนจุด และเวกเตอร์ ต่อไปนี้ในระนาบเชิงซ้อน 3 – 4i , -5 -2i , -3 , -3 – 2i , 4 + i , i(4 + 6i) , i2 (4 + 6i) 2. จงหาค่าสัมบูรณ์ของจ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ 1. 1 - 3i 2. 2 - 3i 3. -5 + 12i 4. - 3 - i 5. -3i 6. 1 1 i 2 2 −

Complex Number | 14 3. จงเขียนกราฟของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการหรืออสมการต่อไปนี้ 1. z 2 1 − 2. z 2 3i 3 − + 3. z 2 5i 1 + − 4. z i 1 + 5. จ ำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ถ้า z = x + yi สามารถเขียน z เป็นจ านวนบนระนาบเชิงซ้อน จะสามารถเขียนแทน z ด้วย เวกเตอร์บนระนาบ ได้ดังนี้ เมื่อก าหนดให้ เป็นมุมซึ่งวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ไปทางด้านบน ไปยัง Oz และ r = Oz แทนระยะระหว่างจุดก าเนิด O กับ z จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้ z = x + yi y x r

Complex Number | 15 x = rcos และ y = rsin นอกจากนี้ ยังได้ความสัมพันธ์ที่ท าให้หาค่า r และ จาก x และ y ดังนี้ r = 2 2 x y + และ tan = y x ดังนั้นสามารถเขียนจ านวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วได้ z = r [cos + isin] เรียกรูปแบบ z = r [cos + isin] ว่าเป็นรูปเชิงขั้ว (polar form) ของ z และ เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) ของ z ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนจ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว 1. 4 + 4i 2. - 3 + i 3. 2 - 2 3 i 4. -1 - i

Complex Number | 16 ตัวอย่ำงที่ 2 จงท าให้จ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้เป็น x + yi เมื่อ x , y เป็นจ านวนจริง 1. ก าหนดให้ z1 = 2 3 11 11 cos isin 6 6 + , z2 = 4 4 4 cos isin 3 3 + จงหา z1z2 และ 1 2 z z 2. ก าหนดให้ z1 = 2 cos isin 6 6 + , z2 = 8 4 4 cos isin 3 3 + จงหา z1z2 และ 1 2 z z ทฤษฎีบท ให้ z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 ) และ z2 = r2(cos 2 + i sin 2 ) โดยท z1 z2 1. z1z2 = 12 rr [cos 1 2 ( ) + + i sin 1 2 ( ) + ] 2. 2 1 z = 2 1 r [cos 2 - i sin 2 ] 3. 1 2 z z = 1 2 r r [cos 1 2 ( ) − + i sin 1 2 ( ) − ] 4. 1 z = 1 r [cos 2 ( ) − + i sin 2 ( ) − ]

Complex Number | 17 ตัวอย่ำงที่ 3 จงเขียน 6 3 3 i 2 2 + ในรูป x + yi เมื่อ x , y เป็นจ านวนจริง แบบฝึกหัดที่ 5 1. จงเขียนจ านวนต่อไปนี้ในรูปเชิงขั้ว 1. z = 1 + 3 I 2. z = 1 – i 3. z = -2 3 + 2i 4. z = -4 – 4i 5. z = 1 i 2 2 − + 6. z = 1 i 3 3 − + ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ (De Moivre’s Theorem) ถ้า z = r cos isin + เป็นจ านวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว และ n เป็นจ านวนเต็มบวกแล้ว z n = rn cos(n ) isin(n ) +

Complex Number | 18 2. จงเขียนจ านวนต่อไปนี้ในรูป x + yi เมื่อ x , y เป็นจ านวนจริง 1. i − −3 3i 2. 2 1 3i − 3. 3 + 2 2i 4. 4 − 3 i

Complex Number | 19 5. 100 3 i 2 2 + 6. (2 2 3i)(3 3 3i) − − 7. 3 5 ( 3 i) (2 3 2i) − − + 3. จงหาค่า r , ที่เป็นไปได้ที่ท าให้สมการเป็นจริง 1. r cos isin + = -1 + 3 i เมื่อ 2 6 2. r cos isin + = -3 + 3i เมื่อ 6 7

Complex Number | 20 6. รำกที่ n ของจ ำนวนเชิงซ้อน (The nth roots of complex number) ตัวอย่ำงที่ 1 จงหารากที่ 4 ของ 3 – 4i ตัวอย่ำงที่ 2 จงหารากที่ 3 ของ 8 บทนิยำม ส าหรับจ านวนเชิงซ้อน z และ ใด ๆ โดย n เป็นจ านวนเต็มบวก z เป็นรากที่ n ของ w ก็ต่อเมื่อ z n = w

Complex Number | 21 ตัวอย่ำงที่ 3 จงหารากที่ 6 ของ -64i ตัวอย่ำงที่ 4 จงหาผลบวกของรากที่ 4 ของ -2 + 2 3 i ทฤษฎีบท ถ้า z = r cos isin + แล้วรากที่ n ของ z มีได้ทั้งหมด n รากที่แตกต่างกัน คือ zk = 1 n 2k 2k r cos isin n n + + + เมื่อ k = 0 , 1 , 2 ,… , n - 1 ข้อสังเกต ถ้า zk = 1 n 2k 2k r cos isin n n + + + แล้ว n 1 k k 0 z 0 − = =

Complex Number | 22 แบบฝึกหัดที่ 6 1. จงหารากที่สามของ 27 5 5 cos isin 3 3 + 2. จงหารากที่สามของ -8i 3. จงหารากที่หก ของ i

Complex Number | 23 4. จงหารากที่ห้า ของ -16 - 16 3 i 5. จงหารากที่ห้า ของ 2 - 2 i

Complex Number | 24 6. จงหาจ านวนเชิงซ้อนทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้ 1. z5 + i = 0 2. z3 = -i 3. z4 + 2 – 2i = 0

Complex Number | 25 4. z6 + (1 - 3 i)2 = 0 7. สมกำรพหุนำม (Polynomial Equations) ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาค าตอบทั้งหมดของสมการ 27x3 – 125 = 0 ทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต (Fundamental Theorem Algebra) ถ้า p(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรี มากว่าศูนย์แล้วสมการ p(x) = 0 จะมีค าตอบอย่างน้อย 1 ค าตอบ

Complex Number | 26 ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาค าตอบทั้งหมดของสมการ x 4 + 2x2 – 8 = 0 ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาเซตค าตอบทั้งหมดของ x 3 – 5x2 + 4x + 10 = 0

Complex Number | 27 ตัวอย่ำงที่ 4 จงหาค่าของ a และ b ที่ท าให้ x + 7 เป็นตัวประกอบร่วมของ x 2 – (3a + 5)x – 11b + 1 และ x 2 + (5b + 2)x + a + 38 แบบฝึกหัดที่ 7 1. จงหาเซตค าตอบของสมการต่อไปนี้ 1. 2x3 – x + 1 = 0 2. x3 + 2x2 – x – 2 = 0

Complex Number | 28 3. x4 – 2x3 – x 2 + 8x – 12 = 0 4. x4 + 4x2 – 45 = 0 5. x5 – x 4 + 5x3 – 5x2 + 4x – 4 = 0 6. x5 + 9x3 + 8x2 + 72 = 0

Complex Number | 29 2. ให้ 2 – 3i เป็นค าตอบหนึ่งของสมการ z 3 – 3z2 + 9z + 13 = 0 จงหารากที่เหลือ 3. ให้ 1 – i เป็นค าตอบหนึ่งของสมการ z 4 – 6z3 + 23z2 – 34z + 26 = 0 จงหารากที่เหลือ 4. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจ านวนเต็มและมี 3 , -4 และ 3 + i เป็นค าตอบ

Complex Number | 30 5. จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 และมีสัมประสิทธิ์เป็นจ านวนเต็ม มี 2 - 2 3 i และมี -4i เป็นค าตอบ