Semester 1 & 2 Buku kelas : Nama : 10 Siti Naila Wulan suci MATEMATIKA WAJIB
Daftar isi 1. Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak 2. Persamaan linear 3 variabel 3. Pertidaksamaan Linear kuadrat-Kuadrat 4. Fungsi a. Fungsi linear b. Fungsi Kuadrat c. Fungsi Rasional d. Fungsi Irasional Semester 1 Semester 2 1. Komposisi Fungsi 2. Invers komposisi 3. Trigonometri
SEMESTER 1 Persamaan dan pertidaksamaan, Persamaan Linier Tiga variabel, Pertidaksamaan Linear kuadrat-Kuadrat, Fungsi
1. PERSAMAAN DAN PETIDAK SAMAAN NILAI MUTLAK Persamaan nilai mutlak adalah suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Persamaan nilai mutlak Bentuk umum persamaan nilai mutlak Bentuk umum persamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut. |ax + b| = c, dengan ax + b = c atau ax + b = –c Pada setiap persamaan nilai mutlak, biasanya kamu diminta untuk menentukan himpunan penyelesaian dari x atau nilai x yang memenuhi. Mengingat, persamaan di dalam tanda mutlak tersebut bisa berupa dua kemungkinan, yaitu ax + b = c atau ax + b = –c. Artinya, akan ada dua nilai x yang memenuhi. Untuk |x| = |a|, berlaku x = a atau x = –a. Contoh Persamaan Nilai Mutlak Adapun contoh persamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut. |x + 2| = 6 Berapakah nilai x yang memenuhi? Pertama, kamu harus menjabarkan dua kemungkinan bentuk persamaan tersebut. penyelesaian : Pertama, kamu harus menjabarkan dua kemungkinan bentuk persamaan tersebut. Kemungkinan 1: x + 2 = 6 x = 4 Kemungkinan 2: -(x + 2) = 6 (x + 2) =- 6 x = -6 – 2 x = -8 Dari penjabaran di atas, ternyata ada dua solusi nilai x, kan? Yaitu 4 dan -8. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 4 atau –8.
Untuk membuktikannya, coba substitusikan nilai 4 atau -8 pada persamaan nilai mutlaknya. Untuk x = 4 → |4 + 2| = 6 |6| = 6 (memenuhi) Untuk x = -8 → |-8 + 2| = 6, |-6| = 6 (memenuhi), ingat -6 berada di dalam tanda mutlak, sehingga dianggap positif. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan linear satu variabel yang berada di dalam tanda mutlak. Konsep dasar pertidaksamaan nilai mutlak ini hampir sama dengan persamaan. Hanya saja, pada pertidaksamaan kamu harus mempertimbangkan tanda pertidaksamaan yang berlaku, misalnya “<”, “>”, “≤”, atau “≥”. Sama seperti pertidaksamaan yang lain, solusi pertidaksamaan nilai mutlak bisa ditentukan melalui garis bilangan. Namun, bukan suatu keharusan, ya. Ada beberapa tipe soal yang memang bisa dicari solusinya tanpa melalui garis bilangan. Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak Adapun bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut. , dengan tanda pertidaksamaan yang disesuaikan, bisa “<”, “>”, “≤”, atau “≥”. Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak Pertidaksamaan nilai mutlak memenuhi sifat-sifat berikut. Pada pertidaksamaan , bilangan a, x termasuk bilangan real, sehingga berlaku: 1. Untuk a≥0, maka |x|≤a, sehingga –a≤x≤a. 2. Untuk a<0, maka |x|≤a, sehingga tidak ada nilai x yang memenuhi. 3. Untuk |x|≥a dengan a>0, maka x≥a atau x≤-a. 4. Untuk |x|<a, maka –a<x<a, sifat ini juga berlaku untuk tanda “≤”. 5. Untuk |x|>a, maka x <-a atau x>a, sifat ini juga berlaku untuk tanda “≥”. 6. Untuk |x|≥a, maka x2 ≥ a2, sifat ini juga berlaku untuk tanda “>”. 7. Untuk |x|≤a, maka x2 ≤ a2, sifat ini juga berlaku untuk tanda “<”.
Contoh Pertidaksamaan Nilai Mutlak Agar kamu semakin paham, yuk simak contoh pertidaksamaan nilai mutlak berikut. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut. |2x + 3| < 7 Pembahasan : Dari bentuk di atas, kira-kira sifat mana yang bisa kamu gunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaannya? Coba kita ambil sifat ke-4, ya. Untuk |x|<a, maka –a<x<a -7<2x+3<7 → kurangkan semua ruas dengan 3 -7 – 3<2x + 3 – 3<7 – 3 -10<2x<4 -5<x<4 Oleh karena penyelesaiannya 5<x<4, maka himpunan nilai x yang memenuhi adalah {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Contoh Soal Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut. Pembahasan: Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, gunakan sifat persamaan nilai mutlak |x| = |a|, berlaku x = a atau x = –a. Dengan demikian: x = a x + 3 = 2x – 1 -x = -4 x = 4 x = –a x + 3 = -(2x – 1) x + 3 = -2x + 1 3x = -2 x = -2/3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah {-2/3, 4}.
Banyak permasalahan dalam keseharian yang dapat di selesaikan dengan menggunakan bentuk sistem persamaan linear. Dalam hal ini kita di tuntut untuk dapat menerjemahkan soal cerita atau informasi ilmiah ke dalam model matematika yang berbentuk sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear dapat di aplikasikan dalam bidang penjualan barang. Aplikasi sistem persamaan linear tiga variabel Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebuah konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan kasus yang tidak dapat di selesaikan mengunakan persamaan linear satu variabel dan persamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear dapat di selesaikan dengan tiga metode yaitu sebagai berikut: A. Metote Eliminasi merupakan suatu cara menyelesaikan persamaan linear dengan cara menghilangkan salah satu variabel dari variabel yang ada. B. Metode Substitusi adalah salah satu variabel dari salah satu persamaan di substitusikan sehingga di peroleh sebuah persamaan dengan satu variabel saja. C. Metode Emiminasi dan Substitusi merupakan cara penyelesaian dengan menggabungkan 2 metode sekaligus, yakni metode eliminasi dan metode substitusi. Dengan menggunakan konsep sistem persamaan linear kamu bisa menentukan harga satuan masing-masing barang. Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel Dapat di selesaikan dengan metode eliminasi. • Dapat di selesaikan dengan metode substitusi. • Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi dan subtitusi. 2. PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL
Contoh Soal (1) Ketahui x + 3y + 2z = 16, 2x + 4y – 2z = 12, dan x + y + 4z = 20. Tentukan nilai x, y, z! Pembahasan : x + y + 4z = 20 x = 20 – y – 4z x + 3y + 2z = 16 (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16 2y – 2z + 20 = 16 2y – 2z = 16 – 20 2y – 2z = –4 y – z = –2 2x + 4y – 2z = 12 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12 2y – 10z + 40 = 12 2y – 10z = 12 – 40 2y – 10z = –28 y – z = –2 |×2| 2y – 2z = –4 2y – 10z = –28 |×1| 2y – 10z = –28 (2y – 2z = –4) – (2y – 10z = –28) = (z = 3) y – z = –2 |×10|10y – 10z = –20 2y – 10z = – 28 |×1| 2y – 10z = –28 (10y – 10z = –20) - (2y – 10z = –28) = (y = 1) x + 3y + 2z = 16 x + 3(1) + 2(3) = 16 x + 3 + 6 = 16 x + 9 = 16 x = 16 – 9 x = 7 1. Subsitusi 2. Eliminasi 3. Subsitusi Sistem pertidaksamaan dua variabel bentuk linear-kuadrat adalah suatu sistem pertidaksamaan dua variabel yang terdiri dari satu atau lebih pertidaksamaan linear dan satu atau lebih pertidaksamaan kuadrat. Secara umum sistem pertidaksamaan dua variabel bentuk sebagai berikut: linear-kuadrat adalah Jy > ax + b dengan a, b, p, q, r∈ R. Tanda ">" atau "<" dapat diganti dengan tanda "<" atau ">" {y <px² + qx+r penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear-kuadrat adalah semua himpunan (x, y) yang memenuhi semua pertidaksamaan pembentuk sistem pertidaksamaan tersebut. Apabila x dan y adalah bilangan real, maka ada tak hingga solusi yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaanya. _ _ 3. PERSAMAAN LINIER KUADRAT-KUADRAT
Secara umum langkah untuk menentukan daerah penyelesaian tersebut adalah: 1. Membuat grafik fungsi masing-masing pertidaksamaan dan menentukan daerah penyelesaiannya 2. Menentukan irisan dari semua daerah penyelesaian semua grafik fungsi dan irisan ini merupakan daerah penyelesaiannya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Contoh soal Gambar grafik : y>X²-3x-2 Denganmenggunakan aplikasi geogebra diperoleh gambar grafik diatas sebagai berikut _ Daerah yang diarsir pada grafik y\ge x^{2}-3x-2 merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan ini. Perhatikan irisan dari kedua grafik disamping. Daerah yang diarsir dari irisan kedua grafik diatas merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidak samaan dua variabel disamping. Jadi penyelesaian sistem pertidaksamaannya adalah semua nilai (x,y) yang berada pada daerah yang dibatasi oleh y=x-3 dan y = x² - 3x - 2yang dalam gambar di atas ditunjukkan dengan arsiran tebal diantara gambar fungsi y=x-3 dan y=x^{2}-3x-2 Fungsi adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan kepada anggota himpunan yang lain. Fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Pada dasarnya, fungsi adalah suatu relasi yang memetakan setiap anggota dari suatuhimpunan yang disebut sebagai daerah asal atau domain ke tepat satu anggota himpunan lain yang disebut daerah kawan (kodomain). 4. FUNGSI A. Fungsi linier Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Contoh f(x) = 3x + 5
B. Fungsi Kuadrat Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Contoh : f(x) = 2x2 + 3x-1 C. Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah sebuah fungsi yang dapat diekspresikan sebagai rasio dua polinomial, di mana pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. 1. f(x) = 4x² + 3x + 8. Hitunglah nilai a + 2b + 3c! Jawaban: Diketahui nilai a = 4, b = 3, c = 8 = a + 2b + 3c = 4 + 2(3) + 3(8) = 4 + 6 + 24 = 34 Buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik A (4,2) dan B (2,6). Pembahasan: (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) (y – 2)/(6 – 2) = (x – 4)/(2 – 4) (y – 2)/4= (x – 4)/-2 -2y + 4 = 4x – 16 -2y = 4x – 20 y = -2x + 10. Contoh soal Contoh soal
Contoh soal Fungsi irrasional adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real tak negatif kepada himpunan itu sendiri sehingga fungsi irrasional memiliki syarat bahwa fungsi akan terdefinisi apabila nilai di dalam akar tersebut tidak negatif. D. Fungsi Irasional H(x) = 3x/X^2 - 9 Cara penyelesaian: Faktorkan penyebut dan sederhanakan. H(x) = 3x/(x - 3)(x + 3) Jadi, h(x) mempunyai asimptot vertical pada x = 3 dan x = -3 Contoh soal 5√3 – 2√3 - √12 = 5√3 – 2√3 - √4 √3 = 5√3 – 2√3 – 2√3 = (5-2-2) √3 = √3 Apa Saja yang Termasuk Bilangan Irasional? • Bilangan π yang biasa ditulis dengan notasi 22/7 atau 3,14, dalam bilangan irasional memiliki angka desimal sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... • Bilangan euler atau e, yaitu konstanta dalam matematika yang memiliki nilai 2,7182818. • Bilangan √2 yang mempunyai nilai sebesar 1,4142135623730950488016887242096.... Ini berlaku untuk bilangan akar lainnya.
SEMESTER 2 Komposisi Fungsi, Invers Komposisi, Trigonometri.
Contoh Fungsi komposisi 1. KOMPOSISI FUNGSI Fungsi komposisi adalah fungsi yang melibatkan lebih dari satu fungsi. Ketika ada suatu fungsi, kemudian dilanjutkan dengan fungsi lainnya, maka akan membentuk suatu fungsi baru. Fungsi baru inilah fungsi hasil komposisi dari kedua fungsi sebelumnya. Misalnya, ada fungsi f(x) dan g(x). Nah, fungsi f komposisi g adalah fungsi yang dipetakan oleh fungsi g(x) kemudian dilanjutkan oleh fungsi f(x). Operasi fungsi komposisi biasa dilambangkan dengan “o” dan dibaca komposisi atau bundaran. Pengertian fungsi Mengenal kembali fungsi yaitu, Fungsi adalah relasi himpunan A ke himpunan B, dengan setiap anggota A dipasangkan ke tepat satu anggota B. Fungsi sendiri dapat diilustrasikan seperti gambar berikut. Misalnya ada fungsi f(x) dan g(x), maka fungsi komposisi yang dapat terbentuk dari f(x) dan g(x) adalah: 1. (f o g)(x) (f o g)(x) dapat dibaca “fungsi f komposisi g” atau “f bundaran g”, yang artinya fungsi yang dipetakan oleh fungsi g(x) kemudian dilanjutkan oleh fungsi f(x). Jadi, fungsi g nya dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam fungsi f. Sehingga, dapat dinotasikan sebagai berikut: (f o g)(x) = f(g(x))
2. (g o f)(x) (g o f)(x) dapat dibaca “fungsi g komposisi f” atau “g bundaran f”, yang artinya fungsi yang dipetakan oleh fungsi f(x) kemudian dilanjutkan oleh fungsi g(x). Kalau g o f, yang dikerjakan terlebih dahulu adalah fungsi f, kemudian dilanjutkan atau dimasukkan dalam fungsi g. Sehingga, dapat dinotasikan sebagai berikut: (g o f)(x) = g(f(x)) Sifat-sifat Fungsi Komposisi Komposisi Fungsi komposisi memiliki sifat-sifat yang bisa kamu lihat pada gambar di bawah ini. Jika f : A → B , g : B → C , h : C → D, maka berlaku: Contoh Fungsi komposisi 1. Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 3x – 7, maka (f o g)(x) adalah …. Pembahasan: Diketahui: f(x) = 2x + 5 g(x) = 3x – 7 Ditanya: (f o g)(x)? Jawab: (f o g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) + 5 = 2(3x – 7) + 5 = 6x – 14 + 5 = 6x – 9 Jadi, (f o g)(x) = 6x – 9.
2. INVERS KOMPOSISI Fungsi invers adalah pemetaan yang memiliki arah berlawnan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi mematakan dari himpunan A ke B. Maka, yang dimaksud fungsi invers adalah fungsi yang memetakan dari B ke A. Suatu fungsi dengan sifat tertentu memiliki invers, fungsi tersebut adalah fungsi yang memiliki sifat bijektif atau korespondensi satu-satu. Begitu juga dengan komposisi fungsi. Komposisi dari dua buah fungsi yang memiliki invers juga akan memiliki invers. Perhatikan pengertian invers yang dijelaskan melalui gambar di bawah untuk membantu pemahaman sobat idschool mengenai fungsi invers pada suatu fungsi dan komposisi fungsi. Misalkan suatu fungsi f(x) memiliki invers f ‒1 (x) dan g(x) memiliki invers g ‒1 (x) . Komposisi f(x) dan g(x) juga akan memiliki invers. Komposisi invers ini memiliki sifat fungsi invers yang akan dijelaskan kemudian. Pada gambar sebelah kiri ditunjukkan sebuah fungsi f(x) yang memiliki fungsi invers f ‒1 (x) . Gambar di sebelah kanan adalah komposisi dua buah fungsi dan inversnya. Fungsi Invers Sebelum memasuki Sifat Invers kita akan mempelajari jari dulu gimana sih konsep fungsi Infers melalu contoh soal yang akan kita bahas dibawah ini. Tentukan invers dari fungsi f(x) di bawah! Pembahasan: misalkan f(x) = y, maka penyelesaian untuk mendapatkan invers dari fungsi f(x) dapat diperoleh seperti cara berikut.
Diperoleh : Persamaan x atas variabel y sesuai dengan persamaan berikut.. Berdasarkan persamaan akhir di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi invers dari f(x) adalah f ‒1 (x) = 3 + 2x / 4 ‒ x . Cara menentukan invers suatu fungsi, seperti cara di atas, memang cukup panjang. Sebenarnya, ada rumus praktis untuk menentukan suatu fungsi invers meskipun demikian Sebaiknya kalian sudah menguasai konsep pencarian invers suatu fungsi di atas terlebih dahulu. Hal ini akan bermanfaat bagi sobat idschool nantinya, juga akan bermanfaat ketika sobat idschool lupa rumus cepatnya. Dan Cara cepat mencari fungsi invers untuk bentuk tertentu dapat diperoleh dengan cara cepat mencari Invers fungsi seperti diatas. Kita akan menggunakan cara cepat mencari invers fungsi untuk menyelesaikan permasalahan yang sama pada soal dan pembahasan invers fungsi di atas. Mencari fungsi invers f(x) dengan cara cepat: f(x) = 4x ‒ 3 / x + 2 f ‒1 (x) = ‒2x ‒ 3 / x ‒ 2 f ‒1 (x) = ‒(2x + 3 ) / ‒(4 ‒ x) f ‒1 (x) = 2x + 3 / 4 ‒ x f ‒1 (x) = 3 + 2x / 4 ‒ x
Sifat Invers pada komposisi Fungsi Pembahasan sifat invers pada komposisi fungsi mempelajari hubungan kesamaan suatu fungsi invers dengan kesamaan lainnya. Sifat invers pada komposisi fungsi dapat membuat sobat idschool lebih tepat dalam menentukan langkah yang tepat untuk menyelesaikan variasi soal yang diberikan terkait komposisi fungsi. Sifat fungsi invers pada komposisi fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah. Contoh Soal Jika f(x) = x + 2 dan g(x) = 3 ‒ x / 2x + 1 maka (f ∘ g) ‒1 (x) adalah …. A.x ‒ 6/5 ‒ 2x B. x ‒ 6 / 2x ‒ 5 C. x + 6 / 2x ‒ 5 D. x ‒ 6 / 2x + 5 E. 2x ‒ 5 / x + 6
Pembahasan: Mencari komposisi fungsi (f ∘ g)(x): Invers fungsi komposisi (f ∘ g) ‒1 (x) Mencari cara cepat dapat dilakukan seperti pada cara berikut. Jadi, (f ∘ g) ‒1 (x) = x ‒ 6 / 5 ‒ 2x Jawaban: A 3. TRIGONOMETRI Trigonometri adalah cabang ilmu dalam Matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut pada segitiga. Hubungan itu biasanya dinyatakan sebagai perbandingan sinus, kosinus, dan tangen. Melalui perbandingan ini, kamu bisa dengan mudah menentukan panjang sisi segitiga meskipun hanya diketahui panjang salah satu sisi dan sudutnya saja. Jenis-Jenis Trigonometri Perbandingan dasar trigonometri terdiri dari sinus, kosinus, dan tangen. Dari perbandingan tersebut, akan muncul perbandingan lain, seperti kosekan, sekan, dan kotangen. Apa sih maksud perbandingan-perbandingan tersebut? Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut. Dengan: x = AB = panjang sisi mendatar segitiga; y = BC = panjang sisi tegak segitiga; r = AC = panjang sisi miring atau sisi terpanjang segitiga; dan = besarnya sudut yang dibentuk oleh sisi- sisi segitiga.
Dari gambar di atas, trigonometri memuat perbandingan sisi-sisi segitiga terhadap sudutnya, sehingga diperoleh sinus, kosinus, dan tangen. Lalu, apa rumus perbandingan sinus, kosinus, dan tangen? Sinus Sinus atau bisa disingkat sin adalah perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dan panjang sisi miring. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut. Kosinus Kosinus atau biasa disebut cos adalah perbandingan antara panjang sisi di samping sudut dan panjang sisi miring. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut. Tangen Tangen atau biasa disebut tan adalah perbandingan antara panjang sisi di depan sudut dan panjang sisi di samping sudut. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut. Kosekan Kosekan adalah perbandingan antara panjang sisi miring segitiga dan panjang sisi di depan sudut. Dengan kata lain, kosekan merupakan kebalikan dari sinus. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut. Sekan Sekan adalah perbandingan antara panjang sisi miring segitiga dan panjang sisi di samping sudut. Dengan kata lain, sekan merupakan kebalikan dari kosinus. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut. Kotangen Kotangen adalah perbandingan antara panjang sisi di samping sudut dan panjang sisi di depan sudut. Dengan demikian, kotangen merupakan kebalikan dari tangen yang secara matematis, dirumuskan sebagai berikut. Rumus Indentitas Trigonometri
Contoh Soal Maka dapat kita simpulkan bahwa aplikasi trigonometri dapat kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya mencari ketinngian suatu benda pada bidang datar hanya dengan mengetahui sudut kemiringan dan jarak pengamat terhadap benda tersebut. Serta banyak juga digunakan pada bidang sains, arsitek, pelaut, dan sebagainya. Kesimpulan