การแก้อสมการ

การแกอ สมการกําลังสอง

การแกอสมการกําลังสอง มีหลักเกณฑในการแกอสมการกาํ ลังสอง ดังน้ี
1. ทาํ อสมการอยูใ นรูปท่ีขวามือเปน 0

>0

ax2 + bx + c <0
≥0

≤0

2. ซายมอื ของอสมการตองอยูใ นรปู ตวั ประกอบกาํ ลังหนึ่ง โดยสมั ประสิทธิ์หนาตวั แปรตองเปน
จํานวนบวกเสมอ
เชน (x + 5)(x −1) ≥ 0

(2x − 7)(x + 8) ≤ 0

แตถ าอยใู นลกั ษณะทสี่ ัมประสทิ ธห์ิ นา ตัวแปรเปนจาํ นวนลบ เราตอ งเปลย่ี นใหเ ปน จํานวนบวก
โดยตองเปล่ียนเครอื่ งหมายอสมการดวย
เชน (2 − 5x)(x + 3) < 0
เครื่องหมายอสมการ
(− 5x + 2)(x + 3) < 0

− (5x − 2)(x + 3) < 0 เปลย่ี น

นํา -1 คณู ตลอดอสมการ จะได (5x − 2)(x + 3) > 0

สรปุ ถาสัมประสทิ ธ์หิ นา x เปน จาํ นวนลบ เราเปล่ยี นใหเ ปนจาํ นวนบวกไดทันที แตตองเปลย่ี น
เครอื่ งหมายจาก > เปน < หรือ ≥ เปน ≤

3. จาํ นวนท่จี ะเกยี่ วขอ งกบั คาํ ตอบของอสมการ คอื คา x ทท่ี าํ ใหแตละตัวประกอบเปนศูนย
แลวนาํ คา x ดงั กลาวมากําหนดเปนจุดบนเสนจํานวน ใสเครื่องหมายชองขวามอื สดุ เปน + และถดั

มาทางซา ยเปน - และใสส ลบั กนั ไปเร่ือยๆ

-+ -+

จากนั้นสามารถหาคําตอบไดดังน้ี
1. ถา อสมการเปนเครื่องหมาย > 0 ใหต อบชอ งทเ่ี ปน +
2. ถาอสมการเปนเคร่ืองหมาย < 0 ใหตอบชอ งทีเ่ ปน -
3. ถาอสมการเปนเครื่องหมาย ≥ 0 ใหต อบชองท่ีเปน +

พรอมทงั้ คา x ท่ที าํ ใหแตล ะตวั ประกอบเปน ศูนยดวย
4. ถาอสมการเปนเครื่องหมาย ≤ 0 ใหต อบชองทเ่ี ปน -

พรอมท้งั คา x ท่ีทาํ ใหแ ตล ะตัวประกอบเปน ศนู ยด วย

ตวั อยา งที่ 1 จงหาเซตคําตอบของอสมการ (3 − 7x)(2x − 3) ≤ 0
วิธีทาํ
จากอสมการ (3 − 7x)(2x − 3) ≤ 0

จะได (− 7x + 3)(2x − 3) ≤ 0

− (7x − 3)(2x − 3) ≤ 0

นํา -1 คณู ตลอดอสมการ จะได (7x − 3)(2x − 3) ≥ 0

นําคา x ทที่ ําใหแ ตล ะตวั ประกอบเทา กับศูนยม ากําหนดจดุ บนเสนจํานวน
โดยให 7x − 3 = 0 หรือ 2x − 3 = 0

x = 3 หรอื x= 3
2
7

จะพบวา จาํ นวนท่เี ก่ียวขอ งกบั คําตอบ คอื 3 กับ 3

72

นาํ มาเขียนบนเสน จํานวนเพ่อื หาคําตอบ ดังน้ี

+-+ ใสชองน้กี อน

33
72

ดังนี้ เซตของคาํ ตอบ คือ x x ≤ 3 หรอื x ≥ 3 หรือ  − ∞, 3 ∪  3 , ∞ 
 7   7   2 
2 

ตวั อยางที่ 2 จงหาเซตคําตอบของอสมการ x2 − 2x − 3 ≤ 0
วิธที าํ จากอสมการ
x2 − 2x − 3 ≤ 0

จะได (x − 3)(x +1) ≤ 0

นําคา x ท่ที าํ ใหแ ตล ะตัวประกอบเทากับศูนยม ากําหนดจุดบนเสนจํานวน
โดยให x − 3 = 0 หรอื x +1 = 0
x = 3 หรอื
x = −1

จะพบวา จํานวนทีเ่ กี่ยวของกบั คาํ ตอบ คือ 3 กับ -1
นํามาเขยี นบนเสน จาํ นวนเพื่อหาคําตอบ ดงั น้ี

+ - +
-1 3

ดงั น้ี เซตของคาํ ตอบ คือ {x -1≤ x ≤ 3 } หรอื [ -1, 3 ]

ตวั อยา งท่ี 3 จงหาเซตคําตอบของอสมการ x2 + 3x + 2 < 0
วิธที ํา จากอสมการ
x2 + 3x + 2 < 0

จะได (x + 2)(x +1) < 0

นําคา x ที่ทําใหแตล ะตัวประกอบเทา กับศนู ยมากําหนดจุดบนเสน จาํ นวน
โดยให x + 2 = 0 หรือ x +1 = 0
หรือ
x = −2 x = −1

จะพบวา จาํ นวนที่เก่ียวของกบั คําตอบ คือ -2 กับ -1
นาํ มาเขียนบนเสน จาํ นวนเพื่อหาคําตอบ ดังนี้

+ - +
-2 -1

ดังน้ี เซตของคาํ ตอบ คือ {x - 2 < x < -1} หรอื ( - 2, -1 )

การแกอสมการกําลังมากกวาสอง
การแกอสมการกาํ ลงั มากกวา สอง จะใชหลกั เกณฑและวธิ กี ารเชน เดียวกนั กบั การแก
อสมการกาํ ลงั สอง

ตัวอยางที่ 4 จงหาเซตคําตอบของอสมการ (x − 5)(x + 7)(2x − 3) > 0
วิธีทํา
จากอสมการ (x − 5)(x + 7)(2x − 3) > 0

นําคา x ทีท่ าํ ใหแตล ะตัวประกอบเทากับศนู ยม ากําหนดจดุ บนเสนจาํ นวน

จะพบวา จาํ นวนทเ่ี กย่ี วของกับคาํ ตอบ คอื 5 , -7 , 3

2

นาํ มาเขียนบนเสน จาํ นวนเพอื่ หาคําตอบ ดังน้ี

-+ - +
-7
35

2

ดงั นี้ เซตของคาํ ตอบ คือ {x - 7 < x < 3 หรือ x > 5 } หรอื ( − 7, 3 ) ∪ ( 5,∞ )
22

ตวั อยา งท่ี 5 จงหาเซตคําตอบของอสมการ (x2 − 9)(x + 3) ≥ 0
วิธีทํา (x2 − 9)(x + 3) ≥ 0
จากอสมการ

จะได (x − 3)(x + 3)(x + 3) ≥ 0

นาํ คา x ที่ทาํ ใหแตล ะตัวประกอบเทา กับศูนยมากําหนดจุดบนเสนจํานวน
จะพบวา จํานวนท่ีเก่ียวขอ งกับคําตอบ คอื 3 , -3 , -3
นํามาเขียนบนเสนจํานวนเพื่อหาคําตอบ ดงั นี้

-+ -+

-3 -3 3

ดงั นี้ เซตของคาํ ตอบ คือ {x x ≥ 3 หรือ x = 3 } หรือ {− 3}∪ (− 3,∞)

จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการตอไปน้ี แบบฝกทกั ษะ
1. x2 − x − 6 ≤ 0
2. 2x2 + 7x + 3 ≥ 0
3. 6x − x2 ≥ 5
4. 2x < 3 − x2
5. x2 + 2x < 15

6. (x2 −16)(x − 4) > 0

7. (x − 3)(x − 4)(x + 2) ≤ 0

การแกอสมการในรปู เศษสว น

หลักเกณฑก ารแกอสมการในรูปเศษสว นมีขอกําหนดคอื ตองจดั รูปแบบของอสมการไมใ หอยูในรปู
เศษสวน และดานขวาของอสมการตองเทากบั ศูนย

ตัวอยา งที่ 6 จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการ 2x − 5 ≤ 0
x−3

วธิ ีทํา เนื่องจากอสมการอยใู นรปู เศษสวน คา x ทที่ ําใหต วั สวนเปน ศูนยจงึ ใชไ มได ดังนน้ั x ≠ 3

จากอสมการ 2x − 5 ≤ 0
x−3

นํา (x − 3)2 มาคณู อสมการ จะได 2x − 5 • (x − 3)2 ≤ 0 • (x − 3)2

x−3

(2x − 5)(x − 3) ≤ 0

จะพบวา จํานวนทเ่ี ก่ียวขอ งกบั คาํ ตอบ คอื 5 กับ 3

2

นํามาเขียนบนเสนจํานวนเพื่อหาคําตอบ ดงั นี้

+- +

53
2

ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบควรเปน  x 5 ≤ x ≤ 3 
 2 
 

แตเ นอื่ งจาก x ≠ 3 ดงั นนั้ คาํ ตอบทีถ่ ูกตอง คือ  x 5 ≤ x < 3 
 2 
 

ตัวอยา งที่ 7 จงหาเซตคําตอบของอสมการ 2x − 5 < 0
4−x

วิธีทํา เนื่องจากอสมการอยูในรปู เศษสวน คา x ทท่ี ําใหต วั สวนเปนศนู ยจ ึงใชไ มไ ด ดงั นั้น x ≠ 4

จากอสมการ 2x − 5 < 0
4−x

นํา (4 − x)2 มาคณู อสมการ จะได 2x − 5 • (4 − x)2 < 0 • (4 − x)2

4−x

(2x − 5)(4 − x) < 0

เน่อื งจาก 4 – x มสี มั ประสทิ ธขิ์ อง x เปนจํานวนลบ
ดังน้นั ตองเปลี่ยนใหเ ปน จํานวนบวก จะได (2x − 5)(x − 4) > 0

จะพบวา จาํ นวนทเี่ กีย่ วขอ งกบั คาํ ตอบ คอื 5 กับ 4

2

นาํ มาเขียนบนเสนจาํ นวนเพือ่ หาคําตอบ ดังน้ี

+- +

54

2

เน่ืองจาก x ≠ 4 พบวา จากอสมการ x ≠ 4 อยูแลว

ดังนนั้ เซตคาํ ตอบ คือ {x x < 5 หรือ x > 4 }
2

ตวั อยา งท่ี 8 จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการ x +1 < 7
x−2

วธิ ีทาํ เน่อื งจากอสมการอยใู นรปู เศษสวน คา x ที่ทาํ ใหต วั สว นเปน ศนู ยจ งึ ใชไมได ดังน้นั x ≠ 2

จากอสมการ x +1 < 7
x−2

x +1 −7 < 0
x−2

x +1 − 7(x − 2) < 0

x−2

x + 1 − 7x + 14 < 0
x−2

− 6x + 15 < 0
x−2

เนือ่ งจาก − 6x +15 มีสัมประสิทธ์ขิ อง x เปน จาํ นวนลบ

ดังนน้ั ตอ งเปล่ียนใหเ ปนจํานวนบวก จะได 6x −15 > 0
x−2

นํา (x − 2)2 มาคณู อสมการ จะได 6x −15 • (x − 2)2 > 0 • (x − 2)2

x−2

(6x −15)(x − 2) > 0

จะพบวา จํานวนทเี่ ก่ยี วขอ งกบั คาํ ตอบ คือ 15 กับ 2

6

นาํ มาเขยี นบนเสน จาํ นวนเพ่ือหาคําตอบ ดงั น้ี

+- +

2 15

6

เน่อื งจาก x ≠ 2 พบวา จากอสมการ x ≠ 2 อยแู ลว

ดงั นั้น เซตคําตอบ คือ {x x < 2 หรอื x > 15 }
6

ตัวอยา งที่ 9 จงหาเซตคําตอบของอสมการ x2 −12 ≥ −1

x

วธิ ีทาํ เนอื่ งจากอสมการอยใู นรูปเศษสว น คา x ทท่ี ําใหตัวสวนเปนศูนยจงึ ใชไ มไ ด ดังนน้ั x ≠ 0

จากอสมการ x2 − 12 ≥ −1
x

x2 − 12 + 1 ≥ 0
x

x2 − 12 + x ≥ 0
x

นํา x2 มาคูณอสมการ จะได x 2 + x −12 ≥ 0
x

(x − 3)(x − 4) ≥ 0

x

(x − 3)(x − 4) • x2 ≥ 0 • x2

x

(x − 3)(x − 4)x ≥ 0

จะพบวา จาํ นวนทีเ่ กย่ี วขอ งกบั คาํ ตอบ คือ 3 , 4 กับ 0
นํามาเขียนบนเสน จํานวนเพือ่ หาคําตอบ ดังน้ี

- + - +
0 3 4

ดงั น้นั เซตคําตอบควรเปน {x 0 ≤ x ≤ 3 หรอื x ≥ 4 }
แตเ นอื่ งจาก x ≠ 0 ดังนน้ั คําตอบทีถ่ ูกตอง คอื {x 0 < x ≤ 3 หรือ x ≥ 4 }

จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการตอ ไปนี้ แบบฝก หดั

1. 2x −1 ≤ 0
x+3

2. 7x +1 < 8
2x − 5

3. 5 − 6 >7
x +1 x −3

4. 1 ≤ x − 2

x−2

คา สัมบูรณข องจํานวนจริง

ให x เปน จาํ นวนจริง สญั ลกั ษณ x หมายถึง คาสมั บูรณของ x ซ่ึงกําหนดความหมายดังนี้

บทนิยาม ให x เปนจาํ นวนจริง
1. ถา x > 0 แลว x = x

2. ถา x = 0 แลว x = 0

3. ถา x < 0 แลว x = −x

เชน ถา x = 3 จะได 3 = 3 ( จากบทนยิ าม ขอ 1 )

ถา x = −7 จะได − 7 = −(− 7) = 7 ( จากบทนิยาม ขอ 3 )

ถา x = 0 จะได 0 = 0 ( จากบทนยิ าม ขอ 2 )

จะเหน็ วา คา สัมบรู ณข องจาํ นวนจรงิ ใดก็ตามจะไมมคี าเปนจํานวนลบ
สมบัติของคา สมบรู ณ
1. ถา x เปนจํานวนจรงิ แลว x ≥ 0 เสมอ

2. ถา x เปนจาํ นวนจริงแลว x = - x เสมอ

3. ถา x เปนจาํ นวนจริงแลว x ≥ x เสมอ

4. ถา x เปน จํานวนจรงิ แลว x + y ≤ x + y เสมอ

5. ถา x เปน จํานวนจริงแลว x − y ≥ x − y เสมอ

6. ถา x เปนจาํ นวนจริงแลว xy = x y เสมอ

7. ถา x และ y เปน จํานวนจริงซึง่ y ≠ 0 แลว x x เสมอ
=
yy

เชน 1. 5 = 5 ≥ 0

−7 =7≥0

2. 5 = - 5 = 5
3. − 7 ≥ 7

3 ≥3

4. 5 + 3 ≤ 5 + 3

8≤8

4 + (− 2) ≤ 4 + - 2

2≤6

5. 5 − 2 ≥ 5 − 2

3≥3
-7−3 ≥ -7 − 3

10 ≥ 4

6. (5)(- 3) = 5 - 3 = 15

7. − 7 = − 7 = 7

4 44

การแกส มการทอี่ ยูในรปู คาสัมบูรณ

หลกั เกณฑแกสมการที่อยใู นรูปคาสมั บูรณ ดงั นี้
1. ขจัดเครอ่ื งหมายคา สมั บรู ณ
2. ใชว ธิ กี ารแกส มการแบบธรรมดา
2.1 ถา a > 0 และ x = a แลว x = ±a

2.2 ถา x และ y เปนจาํ นวนจรงิ และ x = y จะได x = y หรอื x = −y

ตวั อยา งที่ 10 จงหาคา x ท่ีสอดคลองกับสมการ 2x + 5 = 4

วธิ ที ํา จากโจทย 2x + 5 = 4 2x + 5 = ±4

น่นั คือ 2x + 5 = 4 หรือ 2x + 5 = −4

2x = −1 หรือ 2x = −9

x = − 1 หรอื x=−9
2
2

ตวั อยางที่ 11 จงแกส มการ 2x − 5 = 3x +1 2x − 5 = ±(3x + 1)
วธิ ที าํ จากโจทย 2x − 5 = 3x +1
หรอื 2x − 5 = −(3x + 1)
นัน่ คอื 2x − 5 = 3x +1 หรอื 2x − 5 = −3x −1
หรือ 2x + 3x = −1 + 5
2x − 3x = 1+ 5 หรอื 5x = 4
หรอื x = 4
−x=6
5
x = −6

x = −6

ตัวอยา งท่ี 12 จงหาเซตคาํ ตอบสมการ 3x + 2 = x − 2

วิธที าํ จากสมการ 3x + 2 = x − 2 ± (3x + 2) = x − 2
− (3x + 2) = x − 2
น่นั คอื 3x + 2 = x − 2 หรือ
− 3x − x = −2 + 2
3x − x = −2 − 2 หรอื − 2x = 0
หรอื
2x = −4 − 2x = 0

x= −4 หรือ x= 0 =0
2 −2

x = −2 หรือ

ตรวจสอบคาํ ตอบ แทน x = 0
แทน x = −2 3(0) + 2 = 0 − 2
3(− 2) + 2 = − 2 − 2

−6+2= −4 2 = 2 เปน จรงิ

− 4 ≠ 4 ไมจ ริง
จะพบวา คา x ทใี่ ชได จะมีเพียงคา เดยี ว คอื x = 0
ดังนั้น เซตคําตอบ คอื {0}

จงหาเซตคําตอบของสมการตอไปน้ี แบบฝกหัด
1. 2x − 5 = 9
2. x = x −1
3. 4x − 3 = 7
4. x − 5 = 2x +1
5. 6x − 4 = 3x + 2
6. 2x + 3 = x − 5
7. 6x − 9 = 3x +1
8. 2 + 3x = 2 + 3x

การแกอ สมการที่อยใู นรปู คา สัมบรู ณ

หลกั เกณฑการแกอสมการท่ีอยใู นรูปคาสมั บรู ณทาํ เชนเดยี วกับสมการคาสมั บูรณ โดยนาํ รปู แบบเพ่ือ
นําไปใชใ นการจดั คาสัมบูรณออกจากอสมการ โดยใชร ูปแบบ ดังนี้

กาํ หนดให a เปน จํานวนจริงบวก
1. x < a กต็ อ เม่ือ − a < x < a

2. x > a กต็ อ เมื่อ x < −a หรอื x > a

3. x ≤ a ก็ตอ เมื่อ − a ≤ x ≤ a

4. x ≥ a ก็ตอ เมื่อ x ≤ −a หรือ x ≥ a

ตัวอยา งท่ี 1 จงแกอสมการ 2x − 5 ≤ 4

วธิ ที าํ จากอสมการ 2x − 5 ≤ 4

ใชความรูข อ 3 เพือ่ ขจัดเครือ่ งหมายคา สัมบูรณออกไป
จะได − 4 ≤ 2x − 5 ≤ 4

− 4+5 ≤ 2x ≤ 4+5

1≤ 2x ≤ 9

น่ันคือ 1 ≤ x ≤ 9

22

ตวั อยางที่ 2 จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการ 6x − 3 > 5

วธิ ที าํ จากอสมการ 6x − 3 > 5

ใชค วามรขู อ 2 เพือ่ ขจดั เครื่องหมายคา สัมบูรณออกไป
จะได 6x − 3 < −5 หรือ 6x − 3 > 5
6x < −5 + 3 หรอื 6x > 5 + 3
หรอื 6x > 8
6x < −2

x < − 2 หรือ x > 8

66

x < −1 หรือ x > 4

33

ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ {x x < −1 หรือ x > 4 }

33

หรอื (− ∞ , −1 ) ∪ ( 4 , ∞)

33

ตวั อยางที่ 3 จงหาเซตคําตอบของอสมการ x − 3 < 2x + 4
วธิ ีทํา จากอสมการ x − 3 < 2x + 4

ใชค วามรูขอ 1 เพื่อขจัดเคร่ืองหมายคาสัมบรู ณออกไป
จะได − (2x + 4) < x − 3 < 2x + 4

− 2x − 4 < x −3 < 2x + 4

หาคา x แบงออกเปนอสมการ 2 อสมการ ดงั นี้
และ x − 3 < 2x + 4
− 2x − 4 < x −3

− 4 + 3 < x + 2x และ − 3 − 4 < 2x − x
และ − 7 < x
−1 < 3x

−1 < x และ − 7 < x
3

ใชเสน จาํ นวนหาคําตอบ จะไดสว นท่ีซํา้ กัน (เพราะเช่ือมดว ยคาํ วา “และ”) ดังนี้

-7 −1 สวนทซ่ี าํ้ กนั

3

ดงั นน้ั เซตคาํ ตอบของอสมการ คือ {x x > −1 }

3

หรือ ( −1 , ∞)

3

จงหาเซตคาํ ตอบของอสมการตอ ไปน้ี แบบฝกหัด
1. 2x − 3 < 5
2. 5x +1 > 3
3. 2x + 3 > −4
4. 7x + 2 ≤ 13
5. 2x + 3 < x + 4
6. 2x − 3 ≥ x + 2
7. x + 4 ≤ x − 3
8. 2x + 3 < −x