hall

เ ล ข า ค ณิ ต

วเิ คราะห์

คาํ นาํ

หนงั สือเรืองเลขาคณติ วเิ คราะห์เลม่ นี
จุดมงุ่ หมายเพื อพั ฒนาผุ้เรยี ใหม้ ีความ
เขา้ ใจเรืองภาคตดั กรวยวงกลม วงรี
พาลาโบลา ไฮเพอรโิ บลา ต่อการเรยี น
คณติ ศาสตร์โดยหาเนอื หาจากหนงั สือนี
มีจุดมุง่ หมายเรขาคณิตเพื อวิเคราห์ไป
ใช้ในการศกึ ษาและพั ฒนาการเรยี นร้ตุ อ่
ไป

เรขาคณิตวเิ คราะห์คือ?

เรขาคณติ วเิ คราะห์ANALYTIC GEOMETRY เปนสาขาหนงึ ของวชิ าคณิตศาสตร์ที
เปนพื นฐานทีสําคัญวชิ าหนงึ ของคณติ ศาสตร์ซงึ แสดงใหเ้ ห็นถงึ การนําความรทู้ างพี ชคณิต
มาช่วยในการแก้ปญหาทเี กียวกบั เรขาคณิตดงั นันวิชาเรขาคณติ วิเคราะหจ์ ึงเน้นการแก้
ปญหาดว้ ยวิธีการทางพี ชคณติ ทาํ ใหก้ ารศกึ ษาเรขาคณิตง่ายและน่าสนใจขนึ ในแงข่ องการ
ศึกษาเรขาคณติ เรขาคณิตวิเคราะห์เปนวิธีการศึกษาวิธีการหนงึ โดยวิธกี ารทาง
เรขาคณติ วเิ คราะห์เปนการศึกษาความสมั พั นธข์ องหลักเกณฑ์ทางเรขาคณิตและพี ชคณิต
ผสมผสานกับกุญแจสาํ คัญของวธิ ีการนคี ือการกาํ หนดตาํ แหนง่ ใหก้ บจั บุ นั เปนต้นวา่ ในระ
นาบเรากาํ หนดตาํ แหนง่ ของจุดตา่ งๆด้วยคูอ่ นั ดบั ของจํานวนจรงิ ตามระบบใดระบบหนึง
และใช้ประโยคเชิงพี ชคณิต(ประพจนส์ มการอสมการเปนตน้ )กลา่ วถึงความสัมพนัธ์ระหวา่ ง
จ านวนจรงิ ในคู่อันดับนัน ซงึ ทาํ ให้เราสามารถอธบิ ายรปู เปนประโยคเชิงพชีคณิตได้และใน
ทางกลบกั นั เรากส็ ามารถถา่ ยทอดความสัมพั นธร์ ะหว่างการทาํ แผนทโี ลกของชาวกรกี และ
เริมมคี วามชดั เจนมากขนึ เมือป แยร์ เดอ แฟร์มา ค.ศ.1601 – 1665) ไดศ้ ึกษาผลงานทาง
เรขาคณิตในสมยั กอ่ นๆด้วยวิธกี ารของเขาคือการศกึ ษารปู โค้งดว้ ยสมการทางพี ชคณิตตอ่
มา เรอเน เดการ์ต (ค.ศ.1596 – 1650) ภาคผนวกตอนที 3 ของหนังสอื เลม่ หนงึ ซึงกลา่ ว
ถงึ การวิเคราะหป์ ญหาและวธิ กี ารทางเรขาคณติ ออกเผยแพรใ่ นเดการ์ตได้เสนอหลักการ
ของการกํา หนดตาํ แหน่งใหก้ บัจุดต่างๆในระนาบเปนการเปดทางสําหรบั การศกึ ษาด้วยวธิ ี
การทางเรขาคณิตวิเคราะหต์ งั แตน่ นั เปนต้นมา เรขาคณติ วิเคราะห์จึงเรมิ มบี ทบาทอย่าง
มหาศาลในการพั ฒนาความรูท้ างคณิตศาสตร์และการประยกุ ต์ ส าหรับ ในทางคณิตศาสตร์
เรขาคณติ วเิ คราะหน์ อกจากจะเปนวิธีการทีชว่ ยแกป้ ญหายากบางข้อในวิชา เรขาคณิตแบบยู
คลดิแล้วยงั สามารถขยายไปศึกษารูปคา้ งทมี ิใชร่ ูปทรงเรขาคณติ ไดอ้ กี นอกจากนีการศกึ ษา
เรขาคณิตวเิ คราะห์ยงั ส่งผลใหเ้ กดิวิชาแคลคลู และเปนแนวทางของการศกึ ษาคณิตศาสตร์
ช้นั สงู บางสาขาด้วยในวิชาแคลคูลทฤษฎีการประมาณคา่ โดยใชอ้ นพุ นธั ์นยิ ามคา่ สูงสุดและ
คา่ ตาํ สุดสมั พทัธ์ตลอดจนการหาพื นทแี ละปรมิ าตรของรปู ทรงจาํ เปนตอ้ งอาศัยรูปและ
สมการในวชิ าเรขาคณติ วเิ คราะหเ์ ข้าช่วยแม้แตน่ ิยามพื นฐานอนพุ นธั ์ตลอดจนอนทิกรลั เรา
สามารถอธบิ ายไดง้ ่ายโดยใชร้ ปู ทาง เรขาคณิตวเิ คราะห์เข้าชว่ ยนอกจากจะมปี ระโยชน์ในการ
ศกึ ษาคณิตศาสตรแ์ ล้ว เรขาคณิตวิเคราะหย์ งั มีบทบาทในการศกึ ษาด้านตา่ งๆ ดว้ ย อาทิ ใน
วิชาเคมีและฟ สกิ ส์ ใช้เรขาคณติ วิเคราะหใ์ นการศึกษาความสัมพั นธ

สารบญั

โพรเจกชนั _____________________________________________
การหาระยะทางระหวา่ งจุด2จุด____________________________
การหาพื นทีรปู หลายเหลียม_______________________________
จดุ เเบ่ง________________________________________________
ความชนั ของเสน้ ตรง____________________________________
สมการของเส้นตรงรูปแบบต่างๆ__________________________
ระยะทางระหวา่ งจดุ กบั เส้นตรง____________________________
ภาคตดั กรวยหนา้ ________________________________________
ระยะห่างระหว่างจดุ กบั จุด_________________________________
ภาคตดั กรวยวงกลม_____________________________________
ภาคตดั กรวยพาลาโบลา__________________________________
ภาคตดั กรวยวงร_ี _______________________________________
ภาคตัดกรวยไฮเพอร์โบลา________________________________

โปรเจกชัน
(PROJECTIONS)

1.1 โพรเจกชันจุด P บนเสน้ ตรง 1จดุ คอื P ซึงเกิดจาก
เสน้ จากจดุ P มาต้งฉั ากกบั เส้นครง

1.2 โพรเจกชนั ของจุกบนแกน X และY

โพรเจกชันของจุด P X, Y) ใด ๆ บนแกน X คือจุด P
(X, 0) โพรเจกชนั ของจดุ P (X, Y) ใด ๆ บนแกน Y
คือจดุ P '(0, Y) เชน่ โพรเจกชนขั องจดุ (3, 7) บน
แกน X คือจุด (3, 0) โพรเจกชนั ของจุด (4, 5) บน
แกน Y คอื จดุ (0, 5)

1.3โพรเจกช้นขั องสว่ นของเส้นตรง AB บนเส้นตรง 1 ถ้า
AB เปนสว่ นของเสน้ ตรง 1 เปนเส้นตรงทีกาํ หนดให้โพ้ รเจ
กชนขั องสว่ นของเส้นตรง AB บนเส้นตรง 1ค์อส่วนของ
เสน้ ตรง AB”โดยที A และ B เป นโพรเจกซนั ของจดุ A
และ B บนเส้นตรง 1 ตามลาํ ดับ

โปรเจกชัน
(PROJECTIONS)

1.4 โพรเจกขน้ ของจดุ P (X, Y) บนเส้นตรง Y=X ให้ P”
เปนโพรเจกชนั ของจดุ P (X1, Y1) บนเส้นตรง Y = X คือจุด

1.5 โพรเจกชนั ของจดุ P (X, Y) บนเส้นตรง Y =-ให้ P
เปนโพรเจกชันของจุด FX1.Y1) บนเสน้ ตรง Y = X คอื จุด

1.6 โพรเจกชนของจุด P (X, Y) บนเสน้ ตรงใด ๆ วธิ ีทาํ
1 หาสมการเสน้ ตรงทีผ่านจดุ P (X,Y) และตงั ฉากกับเส้นตรง
ทโี จทย์กําหนด
2 แกส้ มการเส้นตรงทีโจทยก์ าหนดและเสน้ ตรงในข้อ 1 เพื อ
หาจุดตดั ของเส้นตรงทังสองเสน้
3 โพรเจกชนั ของ P (X, Y) บนเสน้ ตรงทกี ําหนดคือจดุ ตัดใน
ข้อ 2

การหาระยะทางระหวา่ งจดุ 2 จดุ

2.การหาระยะห่างระหวา่ ง2จดุ ถา้ P และ Q เปนจุด 2จุดใด ๆ ระยะ
หา่ งระหวา่ งจุด P และ Q เขยี นแทนด้วย IPQ

2.1 ถา้ P และ Q เปนจุดทอี ยู่ในแนวทีขนานกบั แกน X
P = (X1, Y), Q = (X2, Y) แล้ว
2.2 ถ้า P และ Q เปนจุดมราอยู่ในแนวทขนานกบั
แกน Y P = (X, Y1), 0 = (X, Y2) แล้ว
2.3 ถ้า P (X1, Y1) และ Q (X2, Y2) เป นจดุ ใด ๆ 2 จุด
บนระนาบ P = (X, Y1), Q = (X, Y2) แล้ว

ใหA้ (X, Y )และ Q(X2,Y2)เปนจดุ ใดๆจดุ บน
ระนาบ P = (X,Y1) Q = (X,Y2)แล้ว

การหาพื นทรี ูปหลายเหลียม

1 นาํ จดุ ยอดของรูปเหลยี มมาเขียนเรยี งในแนวตัง
ในทศิ ทวนเขม็ นา ิ กา
2 ปดทา้ ยด้วยจดุ ยอดแรก
3 พื นทีของรปู เหลียมจะเท่ากบั ครงึ หนงึ ของผล
บวกของผลคณู ทแยงลงลบด้วยผลบวกของผล
คูณทแยงขนึ

จดุ แบ่งของส่วนของเสน้ ตรง
ออกเปนอตั ราส่วน M: N

ความชนั ของเสน้ ตรง

สมการเสน้ ตรงในรปู แบบตา่ งๆ

ระยะทางระหวา่ งจดุ กบั เสน้ ตรง

ภาคตัดกรวย

ภาคตดั กรวย คอื ภาคตัดกรวย (CONIC SECTION หรือ
CONIC) ในทางคณติ ศาสตรห์ มายถงึ เสน้ โคง้ ทีไดจ้ าก
การตดั พื นผวิ กรวยกลม ดว้ ยระนาบแบน ภาคตดั กรวย
นถี ูกตังเปนหวั ข้อศกึ ษาตังแตส่ มัย 200 ปก่อนครสิ ต์
ศกั ราชโดยอพอลโลเนยี ส แหง่ เพอร์กา ผูซ้ ึงศึกษา
ภาคตดั กรวยและค้นพบสมบัตหิ ลายประการของ
ภาคตัดกรวยตอ่ มากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกน า
ไปใชป้ ระโยชน์หลายแบบ ไดแ้ ก่ ในป พ.ศ. 2133 (ค.ศ.
1590) กาลเิ ลโอ กาลเิ ลอี พบวา่ ขปี นาวธุ ทยี ิงขนึ ไปในมุม
ทีก าหนดมีวิถีการเคลอื นทีโคง้ แบบพาราโบ ลา, ใน
พ.ศ.2152 (ค.ศ. 1609) โยฮนั ส์ เคปเลอร์ พบว่าวงโคจร
ของดาวเคราะหร์ อบนอกเปนรูปวง
ชนิดของภาคตัดกรวย
วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึงได้จากการตดั กรวย
ดว้ ยระนาบ ใหไ้ ด้เส้นโคง้ ปด (เปนวง) วงกลมนันถือ
เปนกรณพี ิ เศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการ
ตัดนนั ตังฉากกบั แกนกลางของกรวย หากระนาบตัด
กรวยในแนวขนานกับเสน้ ขอบของกรวย หรือเรยี ก เส้น
กําเนิดกรวย (GENERATOR LINE) จะได้เสน้ โค้งเรียกว่า
พาราโบลา หากระนาบไมอ่ ยู่ในแนวขนานเส้นขอบ
และตดั กรวยได้เสน้ โคง้ เปดไม่เปนวง จะเรยี กเส้นโค้งนวี า่
ไฮเพอรโ์ บลาจะเห็นได้วา่ ในกรณนี รี ะนาบจะตัดกรวยทงั ครึงบน
และครึงลา่ งได้เปนเส้นโคง้ ทขี าดจากกันสองเส้น

ความสมั พั นธร์ ะหว่างจดุ และเสน้

ระยะหา่ งระหว่างจุดกบั จุดระยะท าง
ระหวา่ งจดุ กบั เส้นระยะหา่ งระหว่าง
เส้นตรงขนานกนั 2 เส้นจดุ กึงกลาง
ระหวา่ งจดุ 2 จดุ

ภาคตดั กรวย วงกลม

ภาคตัดกรวย พาราโบลา

ภาคตดั กรวย วงรี

ภาคตดั กรวย ไฮเพอรโ์ บลา

50
40
30
20
10

THANK
You