ดอกเบี้ยเเละมูลค่าของเงิน

คุณครูทิพวรรณ เเซ่ขอ นายอริญชัย ดีชู เลขที่ 8 นายอริยธัช ธีรพิทยานนท์ เลขที่ 14 นางสาวกวินทิพย์ มิตรมนุษย์ เลขที่ 21 นางสาวสุธาสินี ล่องจ้า เลขที่ 23 นางสาวสุจิรา สงวนศักดิ์ เลขที่ 30 ดอกเบี้บี้ บี้ ย บี้ ยเเละมูมู มู ล มู ลค่ค่ ค่ า ค่ าของเงิงิงินงิ จัดทำ โดย เสนอ รายงานเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน ค32102 ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2566 โรงเรียนเฉลิมพระเกียรติสมเด็จพระศรีนครินทร์ ภูเก็ต ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5/1

คำ นำ หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-Book) เล่มนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับวิชา คณิตศาสตร์ซึ่งมีเนื้อหาทั้งหมด 4 หัวข้อ ประกอบไปด้วย ดอกเบี้ยคงต้น ดอกเบี้ยทบต้น มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต และค่ารายงวด คณะผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่าหนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-Book) เล่มนี้จะมีประโยชน์สำ หรับผู้เรียนหรือครูผู้สอนรายวิชาคณิตศาสตร์ไม่ มากก็น้อย หากมีข้อผิดพลาดประการใด คณะผู้จัดทำ ขออภัยมา ณ ที่นี้ ด้วย คณะผู้จัดทำ นายอริญชัย ดีชู เลขที่ 8 นายอริยธัช ธีรพิทยานนท์ เลขที่ 14 นางสาวกวินทิพย์ มิตรมนุษย์ เลขที่ 21 นางสาวสุธาสินี ล่องจ้า เลขที่23 นางสาวสุจิรา สงวนศักดิ์ เลขที่30 ก

สารบัญ เรื่อง ดอกเบี้ยคงต้น เรื่อง ดอกเบี้ยทบต้น มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต ค่ารายงวด สารบัญ คำ นำ 1 - 4 5 - 8 9 - 11 12 - 15 ข ก ข

ดอกเบี้ยคงต้น A = P (1 + rt) การคำ นวณหาอัตราดอกเบี้ยคงต้น ดอกเบี้ยคงต้น (Simple Interest) หมายถึง ดอกเบี้ยที่ถูกคำ นวณเพียงครั้งเดียวจากเงินต้นครั้งแรกเท่านั้น ดอกเบี้ย ที่คิดจากเงินต้นเริ่มแรก + ดอกเบี้ยที่ได้รับในแต่ละงวดที่ผ่านมา A แทน จำ นวนเงินต้นพร้อมดอกเบี้ย P แทน เงินต้น r แทน อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี t แทน จำ นวนปี 1

ตัวอย่างโจทย์ 2. กู้เงินจากธนาคารแห่งหนึ่งเป็นจำ นวน 500,000 บาท ธนาคารคิด ดอกเบี้ย 5% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบคงต้น ถ้ากู้เงินเป็นเวลา 5 ปี เมื่อสิ้น 5 ปี ต้องชำ ระดอกเบี้ยให้ธนาคารเป็นเงินเท่าใด วิธีทำ P = 500,000 r = 0.05 t = 5 I = P × r × t I = 500,000 × 0.05 × 5 I = 125,000 ดังนั้น เมื่อสิ้นปีที่ 5 ต้องจ่ายดอกเบี้ยให้ธนาคาร 125,000 บาท P = 10,000 r = 0.015 t = 4 A = P (1 + rt) A = 10,000 [1+0.015(4)] A = 10,600 1. ฝากเงินไว้กับธนาคารจำ นวน 10,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1.5% ต่อปี โดย คิดดอกเบี้ยแบบคงต้น เมื่อสิ้นปีที่ 4 จะได้เงินรวมเป็นเท่าใด ดังนั้น เมื่อสิ้นสุดปีที่ 4 มีเงินรวมเป็น 10,600 บาท วิธีทํา 2

ตัวอย่างโจทย์ 3. เขียวฝากเงินกับธนาคารเป็นจำ นวนเงิน 100,000 บาท ธนาคารให้ ดอกเบี้ย 0.15% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบคงต้น เมื่อสิ้นปีที่ 3 เขียวจะได้รับ ดอกเบี้ยเป็นจำ นวนเงินเท่าใด วิธีทํา P = 100,000 r = 0.15% = 0.0015 t=3 ดังนั้น เมื่อฝากครบ 3 ปี เขียวได้รับดอกเบี้ยเป็นเงิน 450 บาท 4. นักลงทุนรายหนึ่งซื้อหุ้นกู้อายุ 10 ปี โดยที่นักลงทุนต้องการผลตอบแทน คืนทั้งหมดเมื่อครบกำ หนด 10 ปี เป็นจำ นวน 1,000,000 บาท ถ้าผู้ออกหุ้นกู้ ให้ผลตอบแทน 10% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบเชิงเดียว(ดอกเบี้ยคงต้น) นัก ลงทุนควรจะลงทุนซื้อหุ้นกู้เป็นจำ นวนเท่าใด วิธีทำ A = 1,000,000 t = 10 r = 10% = 0.1 โจทย์ถามหาค่า P ดังนั้น จำ นวนเงินที่จะต้องซื้อหุ้นกู้ในครั้งแรกคือ 500,000 บาท I = P × r × t I = 100,000 × 0.0015 × 3 I = 450 A = P (1 + rt) 1,000,000 = P [1 + (0.1)(10)] 1,000,000 = P (2) P = 1,000,000 / 2 P = 500,000 3

ตัวอย่างโจทย์ 5. กู้เงินจากธนาคารจำ นวน 800,000 บาท ธนาคารคิดดอกเบี้ย 8.5% ต่อ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบคงต้น เมื่อครบกำ หนดที่ตกลงไว้กับธนาคาร จะต้อง ชำ ระเงินทั้งหมด 1,072,000 บาท ถามว่ากู้เงินจากธนาคารนี้เป็นเวลากี่ปี วิธีทํา P = 800,000 r = 0.085 A = 1,072,000 ดังนั้น กู้เงินจากธนาคารนี้เป็นเวลา 4 ปี A = P (1 + rt) 1,072,000 = 800,000 [1 + 0.085t] 1,072,000 = 1 + 0.085t 800,000 1.34 = 1 + 0.085t 0.34 = 0.085t t = 4 4

ในการลงทุน ถ้าการคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายงวด มูลค่าเงินในแต่ละงวดจะเปลี่ยนไปตามเวลา หากพิจารณา ความสัมพันธ์เชิงคณิตศาสตร์จะเป็นความสัมพันธ์แบบ เวียน ดอกเบี้ยทบต้น ดอกเบี้ยทบต้น (Compound Interest) หมายถึง ดอกเบี้ยที่กำ หนดให้มีการนำ เอาดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นในแต่ละครั้ง ที่มีการคิดดอกเบี้ยไปรวมกับเงินต้นเพื่อนำ มาเป็นเงินต้นของงวดถัดไป การคำ นวณหาอัตราดอกเบี้ยทบต้น A แทน เงินรวมทั้งหมด P แทน เงินต้น r แทน อัตราดอกเบี้ย n แทน จำ นวนงวดที่คิดดอกเบี้ยทบต้น A = P (1 + r)ⁿ 5

ตัวอย่าง 1. นำ เงินไปฝากธนาคารจำ นวน 100,000 บาท โดยธนาคารให้อัตรา ดอกเบี้ย 1.3% ต่อปี ถ้าปล่อยบัญชีทิ้งไว้อย่างน้อย 5 ปีจะมียอดเงินใน บัญชีอย่างน้อยเท่าไหร่ A = P (1 + r)ⁿ A = (100,000) (1 + 0.013)⁵ A = (100,000) 1.13⁵ A = 106,671 P = 100,000 r = 1.3% = 0.013 n = 5 วิธีทำ ดังนั้น จะมีเงินในบัญชีในอนาคตอย่างน้อย 106,671 บาท 2. นายเขียว ฝากเงิน 100,000 บาท กับธนาคารโดยธนาคารให้ดอกเบี้ย 12% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยบทต้นทุก 3 เดือน อยากทราบว่าเมื่อสิ้นปี นาย เขียว จะได้เงินต้นพร้อมดอกเบี้ยเป็นเงินรวมเท่าใด วิธีทำ P = 100,000 r = 12% = 0.012 n = 3/12 = 4 คิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน แสดงว่า 1 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 4 ครั้ง A = P (1 + r)ⁿ A = 100,000 (1 + 0.12/4)⁴ A = 100,000 (0.03)⁴ A = 112,550.88 ดังนั้น จะได้เงินต้นพร้อมดอกเบี้ยเป็นเงินรวม 112,550 บาท 6

P = 90,000 r = 1.5% = 0.015 n = 4 งวด 3. สมชายฝากเงินกับธนาคารเป็นเงิน 90,000 บาท เป็นเวลา 4 ปี และ ธนาคารให้ดอกเบี้ยแบบทบต้นต่อปี โดยให้ดอกเบี้ย 1.5% ต่อปี เมื่อสิ้นปีที่ 4 สมชายจะมีเงินรวมทั้งหมดเท่าไร วิธีทำ A = P (1 + r)ⁿ = 90,000(1+0.015)⁴ = 90,000(1.06) A = 95,400 A = P (1 + r)ⁿ 10,938 = 10,000 (1 + r)¹² (1 + r) = (¹²√1.0938) r = 4 (¹²√1.0938) - 1 r ≈ 0.029998 4. ฝากเงิน 10,000 บาทกับธนาคารแห่งหนึ่ง โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบ ทบต้นทุก 3 เดือน เมื่อสิ้นปีที่ 3 ธนาคารแจ้งว่ามีเงินอยู่ในบัญชีประมาณ 10,938 บาท จงหาอัตราดอกเบี้ยต่อปีที่ธนาคารกำ หนด วิธีทำ A = 10,938 P = 10,000 n = 3 × 4 = 12 ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน แสดงว่าหนึ่งปีคิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง (งวด) ดังนั้น อัตราดอกเบี้ยต่อปีที่ธนาคารกำ หนดคือ 0.03% ดังนั้น สมชายจะมีเงินรวมทั้งหมด 95,400 บาท 7

5. บุษบาฝากเงินที่ธนาคารแห่งหนึ่งจำ นวน 50,000 บาท เป็นระยะเวลา 3 ปี ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1.6% ต่อปี บุษบาจะมีเงินรวมทั้งหมดเท่าไร โดย ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน A = P (1 + r)ⁿ A = 50,000 (1 + 0.016)³ A = 60,000 × 1.016³ A = 62,926.32576 วิธีทำ P = 60,000 r = 1.6% = 0.016 n = 3 ดังนั้น บุษบาจะมีเงินรวมทั้งหมด 62,926 บาท 8

1. มูลค่าของเงินปัจจุบัน (Present Value : PV) หมายถึง มูลค่า เงินจำ นวนหนึ่งที่ได้รับหรือจ่ายไปใน อนาคต ว่ามีมูลค่าเท่าใดในปัจจุบัน ซึ่ง หากนำ ไปลงทุนแล้วได้รับดอกเบี้ยใน อัตราหนึ่งจะได้รับเงินรวมเท่ากับเงิน จำ นวนนั้นในอนาคต 2. มูลค่าเงินในอนาคต (Future Value : FV) หมายถึง เงินในวัน นี้ที่จะมีมูลค่าเพิ่มมากขึ้นในอนาคต นั่น คือ เงินที่มีในวันนี้หากนำ ไปลงทุน การ คำ นวณหามูลค่าเงินปัจจุบันของเงินที่ จะได้ร้บในอนาคต ถ้าลงทุน P บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย i% ต่อปี โดยคิด ดอกเบี้ยแบบ ทบต้นปีละ k ครั้ง เป็นเวลา n ปี กำ หนดให้ แล้วเมื่อครบ n ปี มี S เป็นมูลค่าอนาคตของเงินต้น P ในทางกลับกัน คือมูลค่าปัจจุบันของเงินรวม S ดังนั้น มูลค่าปัจจุบัน P ของเงินรวม S โดย มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต มูลค่าเงินตามเวลา (Time value of money) เป็นปัจจัยหนึ่งของการตัดสินใจในการลงทุน โดยมูลค่าของเงินนั้นขึ้นอยู่กับ ปัจจัย 2 ประการ ได้แก่ ระยะเวลา และอัตราดอกเบี้ย และมูลค่าเงินตามกาล เวลาเกี่ยวข้องกับแนวความคิดพื้นฐานสองกลุ่ม คือ การคำ นวณ P = คือมูลค่าปัจจุบันของเงินรวม S S = มูลค่าอนาคตของเงินต้น r = อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี n = จำ นวนปี k = จำ นวนครั้งที่คิดดอกเบี้ยทบต้นใน 1 ปี 9

ตัวอย่างโจทย์ 1. สุนีฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง ดอกเบี้ย 5% ต่อปี ถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย ทบต้นทุก 6 เดือน ถ้า ต้องการให้มีเงินในบัญชีประมาณ 200,000 บาท ในเวลา 10 ปี สุนี้ต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อยเท่าใด วิธีทำ S=200,000 k=2 n=10 r=0.05 2. สมศรีฝากเงินไว้กับธนาคาร 3 ปี โดยธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย 12% โดยคิด ดอกเบี้ยทบต้นทุก 4 เดือน สมศรีถอนได้รับเงินทั้งสิ้น 49,700 อยากทราบว่าสมศรี ฝากเงินไว้เท่าไร ดังนั้น สุนีต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อย 122,054.19 บาท ดังนั้น สมศรีฝากเงินไว้ 34,918.56 บาท วิธีทำ 10

3. สายชลต้องการฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งซึ่งกำ หนดอัตราดอกเบี้ย 5% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน ถ้าสายชลต้องการให้มีเงิน ในบัญชีประมาณ 10,000 บาท เมื่อสิ้นสุดปีที่ 3 เขาต้องฝากเงินต้นไม้ อย่างน้อยเท่าใด วิธีทำ 4.เมื่อลูกค้าธนาคารคนหนึ่งฝากเงินกับธนาคารเป็นจำ นวน 50,000 บาท โดย ธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละ 4 ต่อปี และคิด ดอกเบี้ยทบต้นทุกๆ 6 เดือน จงหาว่าถ้า ลูกค้าคนนี้ฝากเงิน เป็นระยะเวลา 3 ปี จะมีเงินฝากรวมทั้งสิ้นกี่บาท ดังนั้น สายชลควรนําเงินไปฝากอย่างน้อย 8,609.76 บาท ดังนั้น ลูกค้าคนนี้จะมีเงินฝากรวมทั้งสิ้น 56,308.12 บาท วิธีทำ จากโจทย์ P = 50,000 r = 0.04 n = 3 k = 2 S = P (1 + r/k)ᵏⁿ S = 50,000 (1 + 0.04/2)²*³ S = 50,000 (1 + 0.02)⁶ S = 50,000 (1.1261623) S = 56,308.12 11

ค่ารายงวด ค่ารายงวด (Annuity) หมายถึง การจ่ายเงินหรือฝากเงินเป็นงวดๆติดต่อกันหลาย ๆ งวด โดย การจ่ายเงินเเต่ละงวดมีระยะห่างเท่า ๆ กัน เช่น การซื้อสินค้าเงินผ่อน การ ออมเงินเเบบฝากประจำ กับธนาคาร 1. ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด 2. ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด การรับหรือจ่ายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน R บาท ซึ่งเริ่มรับหรือจ่ายเงินตอนต้นงวดรวมทั้งหมด n งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น i % ให้ r = i/100 A = เงินรวม R = เงินแต่ละงวด r = อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ต่อปี n = จำ นวนงวด 12

1. เพ็ญฝากเงิน 100บาท เข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดือนเป็นเวลา 2 ปี เเละ ได้รับ อัตราดอกเบี้ยเเบบทยทุกต้นเดือน เมื่อสิ้นสุดปีที่ 2 เพ็ญจะได้เงินรวมเท่าไหร่ ตัวอย่างโจทย์ ดังนั้น เมื่อสิ้นปีที่ 2 เพ็ญจะได้เงินรวมประมาณ 2,555.91 บาท 2. สายลมฝากเงิน 100 บาท เข้าบัญชีธนาคารทุกสิ้นเดือนเป็นเวลา 2 ปี และได้ รับอัตราดอกเบี้ยเเบบทบต้นเดือนทุกเดือน เมื่อสิ้นปีที่ 2 สายลมจะได้เงินรวม เท่าไหร่ ดังนั้น เมื่อสิ้นปีที่ 2 สายฟ้าจะได้เงินรวมประมาณ 2,543.20 บาท 13

3. รถจักรยานยนต์ยี่ห้อหนึ่งราคา 48,500 บาท ถ้านักศึกษาซื้อรถคันนี้ โดยวางเงินดาวน์ 5,000 บาท ที่เหลือผ่อนชำ ระเป็นรายเดือน 3 ปี อัตรา ดอกเบี้ยร้อยละ 5 ต่อปี จงหาจำ นวนเงินผ่อนรายเดือนถ้าผู้ขายคิดดอก เบี้ยเเบบไม่ลดต้นไม่ลดดอก ดังนั้น จะต้องจ่ายเงินค่ารถจักรยานยนต์เดือนละ 1.389.58 บาท ตัวอย่างโจทย์ 14

4. นิชาต้องการซื้อตู้เย็นจากห้างดอกบัว โดยห้างคิดราคา 12,500 บาท ในราคาเงินสด เเต่ถ้าจะซื้อเงินผ่อนทางห้างกำ หนดอัตราดอกเบี้ยไว้ร้อย ละ 0.80 ต่อปี กำ หนดให้ชำ ระ6 เดือน นิชาต้องจ่ายค่าตู้เย็นเดือนละเท่าใด โดยห้างคิดดอกเบี้ยเเบบไม่ลดต้นไม่ลดดอก ดังนั้น นิชาต้องจ่ายเงินค่าตู้เย็นเดือนละ 2,092.60 บาท ตัวอย่างโจทย์ 15

T HANK YO U T HANK YO U