พาราโบลา PARABOLA

พาราโบลา
PARABOLA

พาราโบลา คือ ภาคตดั กรวยท่ีเกิดจากการตดั กนั ระหวา่ งพ้ืนผวิ กรวยดว้ ยระนาบ
ท่ีขนานกบั เสน้ กาเนิดกรวย ของพ้ืนผวิ น้นั พาราโบลาสามารถกาหนดเป็นดว้ ยจุดต่าง
ๆ ท่ีมีระยะห่างจากจุดที่กาหนด คือ จุดโฟกสั (focus)และเสน้ ที่กาหนด คือ เสน้
ไดเรกตริกซ์

นยิ ามพาราโบลา

พาราโบลา คือเซตของจุดบนพ้ืนระนาบซ่ึงมีระยะห่างจากจุดคงที่ เท่ากบั ระยะท่ี
ห่างจากเสน้ คงท่ี

สว่ นประกอบของพาราโบลา

จุดคงที่ คือจุดโฟกสั (Focus)
เสน้ ตรงท่ีคงท่ี คือเสน้ ไดเรกตริกซ์ (Directrix)
เสน้ ลาตสั เลกตมั (Latus Rectum) คือเสน้ ตรงที่ลากผา่ นจุดโฟกสั และต้งั ฉากกบั แกน
ของรูป
แกนของรูปหรือแกนสมมาตร คือเสน้ ตรงท่ีลากผา่ นจุดยอดและผา่ นจุดโฟกสั
คอร์ดของพาราโบลา คือเสน้ ตรงที่ลากเช่ือมจุด 2 จุด ท่ีตา่ งกนั ของพาราโบลาและ
คอร์ดท่ีลากผา่ นจุดโฟกสั เรียกวา่ Focul ส่วนคอร์ดที่ลากผา่ นจุดโฟกสั ดว้ ย และต้งั ฉาก
กบั แกนของรูปดว้ ย เรียกวา่ ลาตสั เรกตมั (Latus Recrum)

รปู แบบของพาราโบลาทมี่ จี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ จ่ี ุด (0,0)

(พาราโบลาซ่ึงมีจุดยอดที่จุด (0,0) และแกนของรูปทบั แกน y)
(พาราโบลาซ่ึงมีจุดยอดท่ีจุด (0,0) และแกนของรูปทบั แกน x)

โจทยพ์ าราโบลา

1. ใหน้ กั เรียนเติมช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง
1.1) จงหาจุดยอด โฟกสั สมการไดเรกตริกซ์ และเขียนกราฟของสมการ x2 =

4y

วิธีทา รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาคือ x2 = 4cy
จากโจทยก์ าหนดใหส้ มการคือ x2 = 4y จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐาน
จะได้ x2 = 4 (1)y
พิจารณาจากสมการ จะได้ c = 1
ดงั น้นั จุดยอดคือ (0, 0) จุดโฟกสั คือ (0, 1) สมการไดเรกตริกซ์คือ y =

-1
และเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

1.2 จงหาจุดยอด โฟกสั สมการไดเรกตริกซ์ และเขียนกราฟของสมการ y2 +
12x = 0

วธิ ีทา รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาคือ x2 = 4cy
จากโจทยก์ าหนดใหส้ มการคือ y2 + 12x = 0 จดั สมการใหม่ได้
y2 = -12x และจดั ใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐาน
จะได้ y2 = 4 (-3)x
พิจารณาจากสมการ จะได้ c = -3
ดงั น้นั จดุ ยอดคือ (0, 0) จุดโฟกสั คือ (-3, 0) สมการไดเรกตริกซค์ ือ x =
3
และเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

1.3 จงหาจุดยอด โฟกสั สมการไดเรกตริกซ์ และเขียนกราฟของสมการ
(y – 1) 2 = 16(x – 2)

วธิ ีทา รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาคือ ( y - k )2 = 4c(x – h)
จากโจทยก์ าหนดใหส้ มการคือ (y – 1) 2 = 16(x – 2)
จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐาน จะได้ (y – 1) 2 = 4(4)(x – 2)

พิจารณาจากสมการ จะได้ c = 4, h = 2, k = 1
ดงั น้นั จุดยอดคือ (2, 1) จุดโฟกสั คือ (6, 1) สมการไดเรกตริกซค์ ือ x = -
2
และเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

1.4 จงหาจุดยอด โฟกสั สมการไดเรกตริกซ์ และเขียนกราฟของสมการ
(x + 2) 2 = -20(y – 1)

วธิ ีทา รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาคือ ( x - h )2 = 4c(y – k)
จากโจทยก์ าหนดใหส้ มการคือ (x + 2) 2 = -20(y – 1)
จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐาน จะได้ (x – (-2)) 2 = 4(-5)(y – 1)

พิจารณาจากสมการ จะได้ c = -5, h = -2, k = 1
ดงั น้นั จดุ ยอดคือ (-2, 1) จุดโฟกสั คือ (-2, -4) สมการไดเรกตริกซ์คือ y
=6
และเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

2. ใหน้ กั เรียนแสดงวิธีทาอยา่ งละเอียด
2.1 จงหาจดุ ยอด โฟกสั สมการไดเรกตริกซ์ แกนสมมาตร และเขียนกราฟของ
สมการ
y 2 + 8y + 3x + 19 = 0

วธิ ีทา รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาคือ ( y - k )2 = 4c(x – h)

จากโจทยก์ าหนดใหส้ มการคือ y 2 + 8y + 3x + 19 = 0

จดั สมการใหม่ y 2 + 8y = -3x - 19

y 2 + 8y + 16 = -3x - 19 + 16

(y + 4)2 = -3(x + 1)

จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐาน จะได้ (y + 4)2 = 4( 3 )(x + 1)
4

พิจารณาจากสมการ จะได้ c =  3 , h = -1 , k = -4
4

ดงั น้นั จุดยอดคือ (-1, -4) จุดโฟกสั คือ (-1 3 , -4) สมการไดเรกตริกซ์คือ x =  1
44

และเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

2.2 จงหาจุดยอด โฟกสั สมการไดเรกตริกซ์ แกนสมมาตร และเขียนกราฟของ

สมการ

x 2 + 10x + 5y + 30 = 0

วิธีทา รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาคือ ( x - h )2 = 4c(y – k)

จากโจทยก์ าหนดใหส้ มการคือ x 2 + 10x + 5y + 30 = 0

จดั สมการใหม่ x 2 + 10x = -5y – 30

x 2 + 10x + 25 = -5y – 30 + 25

(x + 5)2 = -5(y + 1)

จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐาน จะได้ (x – (-5)) 2 = 4(- 5 )(y + 1)
4

พิจารณาจากสมการ จะได้ c = - 5 , h = -5 , k = -1
4

ดงั น้นั จุดยอดคือ (-5, 1) จุดโฟกสั คือ (-5, - 1 ) สมการไดเรกตริกซ์คอื y = 9
44

และเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

3. ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาอยา่ งละเอียด

1.) y = x2 – 2x – 8 เป็นกราฟพาราโบลา จงหาวา่ กราฟตดั แกน x และ y ท่ีจุดใด
พร้อมวาดกราฟประกอบ
วธิ ที ำ y = x2 – 2x – 8 _____________ (1)
กราฟตดั แกน x เมื่อ y = 0 จึงแทน y ดว้ ย 0 ลงใน (1)
จะได้ 0 = x2 – 2x – 8

x2 – 2x – 8 = 0
(x + 2)(x – 4) = 0

กรณีท่ี 1 กรณีท่ี 2
x+2
x =0 x-4 =0
=2 x =4

∴ กราฟตดั แกน x ท่ี (-2, 0) และ (4, 0)
y = x2 – 2x – 8 _____________ (2)

กราฟตดั แกน y เม่ือ x = 0 จึงแทน x ดว้ ย 0 ลงใน (2)
จะได้ y = (0)2 – 2(0) – 8

y = –8
∴ กราฟตดั แกน y ที่ (0, -8)
จะสามารถเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

2.) y = 2x2 + 8x + 3 เป็นกราฟพาราโบลา จงหาวา่ กราฟมีจุดสูงสุด หรือ จุดต่าสุด และ

จุดสูงสุดหรือจุดต่าสุดน้นั อยทู่ ่ีใด

วธิ ที ำ y = 2x2 + 8x + 3______________(1)

สมการ (1) เป็นรูปทวั่ ไปของพาราโบลา

ดงั น้นั พาราโบลามีจุดต่าสุดเมื่อ a > 0 และพาราโบลามีจุดสูงสุดเมื่อ a < 0

∴ ค่า x ท่ีจุดต่าสุด = −b
2a

∴ ค่า x ที่จุดต่าสุด = −b
2a
y = 2x2 + 8x + 3___________(2)

เปรียบเทียบสมการ (2) กบั สมการ (1)

a =2

b=8

c =3

เน่ืองจาก 2 > 0 ดงั น้นั สมการ (2) มีจุดต่าสุด

ค่า x ที่จุดต่าสุด = −b
x=
x= 2−a8

2(2)

-2 ________________(3)

หาค่า y ท่ีจุดต่าสุด โดยการแทน (3) ลงใน (2)

จะได้ y = 2(-2)2 + 8(-2) + 3

y = -5

จุดต่าสุดอยทู่ ่ี (-2, -5)

และสามารถเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

3.) กราฟ y = - x2 - 10x + 1 เป็นกราฟพาราโบลา จงหาวา่ กราฟมีจุดสูงสุด หรือ จุดต่าสุด

และจุดสูงสุด หรือ จุดต่าสุดอยทู่ ี่ตาแหน่งใด

วธิ ีทำ y = ax2 + bx + c ______________(1)

สมการ (1) เป็นรูปทว่ั ไปของพาราโบลา

ดงั น้นั พาราโบลามีจุดต่าสุดเมื่อ a > 0 และพาราโบลามีจุดสูงสุดเมื่อ a < 0

∴ ค่า x ที่จุดต่าสุด = −b
2a

∴ ค่า x ท่ีจุดต่าสุด = −b
2a
y = x2 + 10x + 1_______________(2)

เปรียบเทียบสมการ (2) กบั สมการ (1)

จะได้ a = -1

b = -10

c =1

เน่ืองจาก -1 < 0 ดงั น้นั สมการ (2) มีจุดสูงสุด

ค่า x ท่ีจุดสูงสุด = −b
x=
x= 2a
−(−10)

2(−1)

-5 ________________(3)

หาค่า y ท่ีจุดสูงสุด โดยการแทน (3) ลงใน (2)

จะได้ y = -(-5)2 + 10(-5) + 3

y = -25 + 50 + 1 ∴ y = 26

จุดสูงสุดอยทู่ ี่ (-5, -26)

และสามารถเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

4.) จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x2 - 6x – 9 และแสดงจุดตดั แกน X, จุดตดั แกน Y และ
จุดสูงสุด/ต่าสุด
วธิ ีทำ y = 3x2 - 6x – 9 ________________________(1)
กราฟตดั แกน x เมื่อ y = 0 จึงแทน y ดว้ ย 0 ลงใน (1)
จะได้ 0 = 3x2 - 6x – 9

3x2 - 6x – 9 = 0
(3x + 3)(x – 3) = 0

กรณีที่ 1 กรณีที่ 2
3x + 3
x =0 x-3 =0
= -1 x =3

∴ กราฟตดั แกน x ท่ี (-1, 0) และ (3, 0)

y = 3x2 - 6x – 9 _____________________(2)

กราฟตดั แกน y เมื่อ x = 0 จึงแทน x ดว้ ย 0 ลงใน (2)

y = 3(0)2 – 6(0) – 9

y = -9

∴ กราฟตดั แกน y ที่ (0, -9)

y = ax2 + bx + c _____________________(3)

สมการ (3) เป็นรูปทว่ั ไปของพาราโบลา

พาราโบลามีจุดต่าสุดเม่ือ a > 0 และพาราโบลามีจุดสูงสุดเมื่อ a < 0

∴ ค่า x ที่จุดต่าสุด = −b
2a

∴ ค่า x ท่ีจุดต่าสุด = −b
2a
y = 3x2 - 6x - 9___________(4)

เปรียบเทียบสมการ (4) กบั สมการ (3)
a =3
b = -6
c = -9

เน่ืองจาก 3 > 0 ดงั น้นั สมการ (2) มีจุดต่าสุด

ค่า x ที่จุดต่าสุด = −b
x=
x= 2a
−(−6)

2(3)

1 ________________(5)

หาค่า y ท่ีจุดต่าสุด โดยการแทน (5) ลงใน (4)

จะได้ y = 3(1)2 - 6(1) - 9

y = -12

จุดต่าสุดอยทู่ ี่ (1, -12)

สามารถเขียนกราฟสมการไดด้ งั น้ี

5.) จากสมการ y = 2x2 + 5x – 12 และY จะมีค่าเป็นบวกเม่ือใด

วธิ ที ำ y = 2x2 + 5x – 12 ________________(1)

กราฟตดั แกน x เมื่อ y = 0 จึงแทน y ดว้ ย 0 ลงใน (1)

0 = 2x2 + 5x – 12

2x2 + 5x – 12 = 0

(2x +3)(x + 4) = 0

กรณีที่ 1 กรณีท่ี 2

2x + 3 = 0 x+4 = 0

x = 3 x = -4
2
x = 1.5

กราฟตดั แกน x ท่ี (- 4, 0) และ (1.5, 0)
สามารถเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

Y มีค่าเป็นลบในช่วงที่กราฟอยใู่ ตแ้ กน X (เสน้ ประ)
Y มีค่าเป็นบวกในช่วงท่ีกราฟอยเู่ หนือแกน X (เส้นทึบ)
จาก จุด A กราฟอยเู่ หนือแกน X เม่ือ x < - 4
จาก จุด B กราฟอยเู่ หนือแกน X เมื่อ x > 1.5
ดงั น้นั y จะมีค่าเป็นบวกเมื่อ x < - 4 หรือ x > 1.5

6.) ถา้ กราฟของ y = x2 + 8x + k ผา่ นจุด(2, 11) แลว้ จุดตดั บนแกน X ของกราฟน้ีอยหู่ ่าง

กนั ก่ีหน่วย

วธิ ที ำ y = x2 + 8x + k___________________(1)

จุด (2,11) อยบู่ นเส้นกราฟ (1) จึงแทน x ดว้ ย 2 และแทน y ดว้ ย 11 ลงใน (1)

11 = (2)2 + 8(2) + k

11 = 4 + 16 + k

11 = -9__________________________(2)

แทน (2) ลงใน (1)

y = x2 + 8x – 9 ___________________(3)

กราฟตดั แกน y เมื่อ y = 0 จึงแทน y ดว้ ย 0 ลงใน (3)

0 = x2 + 8x – 9

x2 + 8x – 9 = 0

(x + 9)(x – 1) = 0

กรณีที่ 1 กรณีที่ 2

x+9 = 0 x-1 = 0

x = -9 x =1

กราฟตดั แกน x ท่ี A(- 9, 0) และ B(1, 0)
จุด A และ B อยหู่ ่างกนั = 1 -(-9) = 10 หน่วย

7.) ถา้ y = x2 - 3x - 4 แลว้ จุดยอดของกราฟอยหู่ ่างจากแกน X กี่หน่วย

วธิ ีทำ y = x2 - 3x – 4______________(1)

สมการ (1) เป็นรูปทว่ั ไปของพาราโบลา

ค่า x ท่ีจุดยอด = −b
2a

y = x2 - 3x – 4___________(2)
เปรียบเทียบสมการ (2) กบั สมการ (1)

a =1
b = -3
c = -4

ค่า x ท่ีจุดยอด = −(−3)
x=
2(1)

1.5 ________________(3)

หาค่า y ท่ีจุดยอด โดยการแทน (3) ลงใน (2)

จะได้ y = (1.5)2 - 3(1.5) - 4

y = -6.25

จุดต่าสุดอยทู่ ่ี (1, -12)

สามารถเขียนกราฟสมการไดด้ งั น้ี

ดงั น้นั จุดยอดของกราฟอยใู่ ตแ้ กน x และห่างจากแกน x = 6.25 หน่วย

สามารถเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

8.) กราฟของพาราโบลา y = 4 - x2 ตดั กบั เส้นตรง y = - 5 ที่จุด A และ B ถา้ C เป็นจุดยอด
ของพาราโบลา แลว้ จงหาพ้ืนท่ีของสามเหล่ียม ABC

วธิ ีทำ y = 4 - x2 ___________________________(1)
y = -5 ___________________________(2)

สมการ (1) ตดั กบั สมการ (2) หาจุดตดั โดยการแทน (2) ลงใน (1)
-5 = 4 - x2
x2 = 9
x = 3 , -3

กราฟพาราโบลา ตดั เส้นตรงท่ี A(- 3, - 5), B(3, - 5)

จุด C เป็นจุดยอดของกราฟพาราโบลาและเป็นจุดตดั แกน Y
ดงั น้นั จึงหาจุดตดั แกน Y โดยแทน x ดว้ ย 0 ลงใน (1)

y = 4 – (0)2
y=4
จุด C อยทู่ ี่พกิ ดั (0, 4)
D เป็นจุดท่ีเส้นตรง y = - 5 ตดั แกน Y
ดงั น้นั พกิ ดั ของ D คือ (0, -5)

ความยาวของ AB = 3 – (-3)
=
6 หน่วย
CD =
= 4 – (-5)

∴ พ้นื ที่สามเหลี่ยม ABC 9 หน่วย

= = 1 × ฐาน × สูง
2
=
1 (AB)(CD)
= 2

1 × 6 × 9
2

27 ตารางหน่วย

9.) จงหาจุดยอด โฟกสั สมการไดเรกตริกซ์ และเขียนกราฟของสมการ y 2 – 4y – 12x -

20 = 0

วธิ ีทำ รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาคือ (y - k )2 = 4c(x – h)

จากโจทยก์ าหนดใหส้ มการคือ y 2 – 4y – 12x - 20 = 0

จดั สมการใหม่ y 2 – 4y = 12x + 20

y 2 – 4y + 4 = 12x + 20 + 4

(y – 2)2 = 12(x + 2)

จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐาน จะได้ (y - 2) 2 = 4(3)(x – (-2))

พิจารณาจากสมการ จะได้ c = 3, h = -2 , k = 2

ดงั น้นั จุดยอดคือ (-2, 2) จุดโฟกสั คือ (1, 2) สมการไดเรกตริกซ์คือ x = -5

และเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

10.) จงหาจุดยอด โฟกสั สมการไดเรกตริกซ์ และเขียนกราฟของสมการ

x 2 + 6x – 20y + 49 = 0

วธิ ที ำ รูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลาคือ ( x - h )2 = 4c(y – k)

จากโจทยก์ าหนดใหส้ มการคือ x 2 + 6x – 20y + 49 = 0

จดั สมการใหม่ x 2 + 6x = 20y – 49

x 2 + 6x + 9 = 20y – 49 + 9

(x + 3)2 = 20(y - 2)

จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปมาตรฐาน จะได้ (x – (-3)) 2 = 4(5)(y – 2)

พิจารณาจากสมการ จะได้ c = 5, h = -3 , k = 2

ดงั น้นั จุดยอดคือ (-3, 2) จุดโฟกสั คือ (-3, 7) สมการไดเรกตริกซค์ ือ y = -3

และเขียนกราฟไดด้ งั น้ี