Barisan Aritmatika

MATERI : BARISAN
DAN DERET

KELAS : X

SEMESTER : GENAP

Proses belajar tidak sekedar menghafal konsep-konsep atau fakta-fakta belaka, tetapi
kegiatan menghubungkan konsep-konsep untuk menghasilkan pemahaman yang utuh,
sehingga konsep yang dipelajari akan dipahami secara baik dan tidak mudah dilupakan.
Dengan demikian, agar terjadi pembelajaran bermakna maka guru harus berusaha
mengetahui dan menggali konsep-konsep yang sudah dimiliki peserta didik dan
membantu memadukannya secara harmonis konsep- konsep tersebut dengan
pengetahuan baru yang akan diajarkan. Pembelajaran bermakna merupakan suatu proses
dikaitkannya informasi baru pada konsep-konsep relevan yang terdapat dalam struktur
kognitif seseorang. Belajar akan lebih bermakna jika peserta didik mengalami langsung
dari pada hanya mendengarkan penjelasan dari guru. Guna mencapai pembelajaran
bermakna, bahan ajar ini adalah salah satu sarana yang sangat penting. Semoga dengan
pemanfaatan bahan ajar barisan dan deret aritmatika ini sebagaimana yang diharapkan
yaitu akan tercipta pembelajaran yang aktif, kreatif, efektif dan menyenangkan.

Kuningan, 30 Desember 2022

Titi Siti Latifah,S.Pd

Halaman

HALAMAN JUDUL .................................................................................................................... i

PRAKATA ..................................................................................................................................... ii

DAFTAR ISI ............................................................................................................................... iii

PENDAHULUAN ......................................................................................................................... 1

A. CAPAIAN PEMBELAJARAN ............................................................................................... 1
B. TUJUAN PEMBELAJARAN ............................................................................................... 1

KEGIATAN INTI ....................................................................................................................... 3

A. POKOK-POKOK MATERI ..................................................................................................... 3
B. URAIAN MATERI ................................................................................................................. 3

1. Materi Pendahuluan ........................................................................................................ 3
2. Pengertian Aritmetika ................................................................................................... 4
3. Pengertian Barisan .......................................................................................................... 5
4. Merumuskan Masalah Nyata yang Memiliki Model Matematika Berbentuk

Barisan Aritmetika ......................................................................................................... 8
5. Latihan Soal ...................................................................................................................... 10

PENUTUP ....................................................................................................................................... 11

A. RANGKUMAN ......................................................................................................................... 11
B. TES FORMATIF ..................................................................................................................... 12

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................... 13

CAPAIAN PEMBELAJARAN

Di akhir fase E, peserta didik dapat
menggeneralisasi sifat-sifat bilangan berpangkat
(termasuk bilangan pangkat pecahan). Mereka
dapat menerapkan barisan dan deret aritmetika
dan geometri.

TUJUAN PEMBELAJARAN

Melalui model Project Based Learning (PJBL) dengan pendekatan
saintifik, media PPT dan flipbook berbantuan LKPD diharapkan
peserta didik dapat:
1. Memahami konsep barisan aritmetika dengan baik
2. Menentukan pola barisan bilangan aritmetika dengan tepat
3. Mendeskripsikan rumus suku ke-n barisan dan aritmetika

dengan benar
4. Menyajikan alat peraga serta menyelesaikan permasalahan sehari-

hari yang berhubungan dengan konsep barisan aritmetika.

DESKRIPSI SINGKAT MATERI

Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik
atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan itu
sendiri. Jika beda antara suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan
tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika.

1

Bahan ajar ini akan memberikan pengetahuan tentang penerapan konsep barisan dan
deret aritmatika untuk menyelesaikan masalah kontekstual. Nilai unsur ke−n suatu
barisan aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus Un = a + (n − 1)b, j umlah n
suku pertama
Bahan ajar ini disusun untuk memberikan bekal kepada para peserta didik dalam hal
pemahaman dan pengaplikasian materi pembelajaran pada mata pelajaran Matematika
“Barisan Aritmetika”.

PETUNJUK BELAJAR

Pastikan dan fokuskan apa yang akan anda
pelajari hari ini
Baca dan pahami Pendahuluan (apersepsi)
untuk membantu anda memfokuskan
permasalahan yang akan dipelajari
Cari referensi/buku-buku teks yang
terkait
dengan topik/permasalahan yang anda
hadapi
Jangan lupa browsing internet untuk
mendapatkan pengetahuan yang uptodate
Selalu diskusikan setiap persoalan yang
ada
dengan teman-teman dan atau guru

2

POKOK-POKOK MATERI
Bahan ajar ini terbagi menjadi 2 bagian kegiatan pembelajaran dan di dalamnya
terdapat uraian materi, contoh soal, latihan soal, rangkuman, dan tes formatif
1. Barisan Aritmatika
2. Merumuskan Masalah Nyata yang Memiliki Model Matematika Berbentuk Barisan
Aritmatika

URAIAN MATERI
Materi Pendahuluan

Barisan Aritmetika
Pernahkah kalian menemui benda-benda yang tersusun dan tertata rapid an teratur di
tempat kalian? Menurut kalian apakah tumpukan batu-bata disusun dengan teratur?
Apakah kursi-kursi bioskop disusun secara teratur, apakah anak-anak tangga disusun
secara teratur?

Coba perhatikan susunan genteng pada gambar diatas, dimana bahwa sebuah perusahaan
genteng pada bulan pertama mampu menghasilkan 3000 genteng. Dengan penambahan
tenaga kerja dan produktivitasnya, maka perusahaan itu mampu menambah produksinya
menjadi 500 genteng per bulan. Jika produksinya konstan, apakah kalian dapat
memperkirakan banyak produksi yang dihasilkan pada bulan ke -8? Kalau bisa bagaimana
caranya? Untuk memahami permasalahan tersebut pelajari uraian materi pada bahan ini!

3

Pengertian Aritmetika

Aritmetika (kadang salah dieja sebagai aritmatika, berasal dari bahasa
Yunani αριθμός – arithmos = angka) atau dulu disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau
pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang awam, kata
“aritmetika” sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan. Silakan lihat angka untuk
mengetahui lebih dalam tentang teori bilangan.

1. Teorema Dasar Aritmetika
Teorema dasar aritmetika menyatakan bahwa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari 1
memiliki faktorisasi prima unik (representasi bilangan sebagai hasil kali faktor prima), tidak
termasuk urutan faktor. Misalnya, angka 252 hanya memiliki satu faktorisasi prima, yaitu:
252 = 22 × 32 × 71

Elemen Euklides sendiri pertama kali memperkenalkan teorema ini dan memberikan bukti
parsial (yang disebut dengan lemma Euklides). Teorema dasar aritmetika pertama kali
dibuktikan oleh Carl Friedrich Gauss.

2. Teori Bilangan
Sampai abad ke-19, teori bilangan adalah sinonim dari “aritmetika”. Masalah yang ditangani
secara langsung terkait dengan operasi dasar dan terkait primality, terbagi, dan solusi
persamaan dalam bilangan bulat, seperti teorema terakhir Fermat.

Tampaknya sebagian besar masalah ini, meskipun sangat mendasar untuk dinyatakan, sangat
sulit dan mungkin tidak dapat diselesaikan tanpa matematika yang sangat mendalam yang
melibatkan konsep dan metode dari banyak cabang lain. Hal ini menyebabkan cabang baru
dari teori bilangan seperti teori bilangan analitik, teori bilangan aljabar, geometri diofantin,
dan geometri aljabar aritmetika.

4

Bukti Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat adalah contoh khas perlunya metode canggih,
yang jauh melampaui metode aritmetika klasik, untuk memecahkan masalah yang dapat
dinyatakan dalam aritmetika dasar.

Pengertian Barisan

Dalam matematika, barisan aritmetika atau dikenal sebagai barisan hitung adalah barisan yang
mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain,
setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku sebelumnya
dengan menambah bilangan tetap, misalnya:

3, 5, 7, 9, 11, 13, ..
Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

a,a + b,a + 2b, a + 3b, …
Selanjutnya, sebagaimana disadur dari buku berjudul Matematika SMK 2: Kelompok Bisnis dan
Manajemen yang diterbitkan oleh Grasindo, barisan aritmetika adalah suatu baris di mana nilai
pada masing-masing sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat penjumlahan atau
pengurangan dengan suatu bilangan b.

Lebih lanjut, selisih antara nilai suku-suku saling berdekatan dan selalu sama, yaitu b. Misalnya:
Un – U(n-1) = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmetika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Suku Barisan Aritmetika
Misal adalah suku barisan ke-n, maka

= + ( − 1)

5

Bukti

Kita mulai mengurutkannya dari suku 1 = . Kita teruskan untuk suku ke-2,
3,
hingga 2 = +
. 3 = + 2

⋮
Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh

` = + ( − 1) .

Atau lebih umumnya, suku barisan ke-n dapat ditulis
= + ( − ) .

1. Beda
Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal b adalah beda antar
suku, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.

= − −1.

2. Suku Tengah

Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya
barisan suku berupa ganjil. Misal dan dengan < mengapit sebanyak ganjil suku-
suku lain dalam suatu barisan aritmetika. Karena itu, − maupun + adalah bilangan
genap. Suku yang terletak antara dan adalah

+ = + ( + − )

2 2

Dengan

= −
−

Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati:

+ = + + − ) ( − )
( 2 −
2
+
= 2

6

Rumus Barisan Aritmetika
Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:

Un = a + (n – 1)b atau Un = Un-1 + b

Selain mencari rumus suku ke-n, adapun rumus yang digunakan untuk mencari nilai tengah dari
sebuah barisan aritmetika, yakni:

Ut = ½ (a + Un)

Keterangan:

Un = suku ke-n
a = U1
Un-1 = suku sebelum suku
ke-n
b = beda

CONTOH 1

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U2 = 7 dan U6 = 19,
Tentukan :
a) Beda
b) Suku pertama
c) Suku ke−41
Penyelesaian

a) Beda
U6 = 19 → a + 5b = 19
U2 = 19 → a + b = 7 −
4b = 12
b =3

b) Suku pertama U2 = a + b = 7↔ a = 7 − 3

c) Suku ke−41
U41 = a + 40b = 4 + 40(3)

= 4 + 120
= 124

7

CONTOH 2
Diketahui sebuah barisan aritmatika sebagai berikut.
−12, −4, 4, 12, 20,... , 148
Tentukan banyak suku pada barisan tersebut!
Penyelesaian
Suku pertama a = U1 = −12
Beda b = U2 − U1
= −4 − (−12)
=8
Suku terakhir Un = 148
Rumus suku ke−n barisan aritmatika
Un = a + (n − 1)b
148 = −12 + (n − 1)8
148 = −12 + 8n − 8
148 = −20 + 8n
8n = 168
n = 21
Jadi, banyak suku barisan tersebut adalah 21

Merumuskan masalah nyata yang memiliki model matematika berbentuk barisan
aritmetika

8

Konsep barisan aritmatika banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Pada gambar diatas
merupakan beberapa contoh penerapan konsep barisan aritmatika. Yaitu, aturan barisan bebek
ketika berjalan, aturan hari pada kalender, dan aturan duduk, dan lainnya. Apakah kamu
penasaran bagaimana penerapannya? Atau dapatkah kamu menyebutkan contoh penerapan
barisan lainnya?

Perhatikan permasalahan berikut ini!

Masalah

Ada seorang anak yang bernama Rendi, ia sangat menyukai bercocok
tanam. Di suatu hari ia mulai menanam pohon dan dirawatnya dengan baik.
Setiap hari Rendi selalu menyirami dan memberi pupuk kepada
tanamannya. Sehingga setiap minggu Rendi selalu mengamati tinggi
perkembangan dari tanamannya. Pada Minggu pertama tanaman tersebut
tumbuh dan memiliki tinggi 3 cm. Untuk Minggu yang kedua tanaman
tersebut bertambah tinggi menjadi 8 cm. Karena tumbuh subur, pada
minggu ke 3 tanaman tersbut bertambah tinggi menjadi 13 cm. Rendi
berencana memanen tanaman tersebut pada Minggu ke-30. Jadi bisakah
kalian menghitung berapa tinggi tanaman tersebut pada Minggu ke-30?

Penyelesaian

1. Memahami masalah

Diketahui: tinggi tanaman minggu ke-1 = 3 cm

tinggi tanaman minggu ke-2 = 8 cm

tinggi tanaman minggu ke-3 = 13 cm

Ditanya: tinggi tanaman minggu ke-30?

2. Membuat rencana penyelesaian

Mencari nilai b dengan menggunakan rumus Un = a + (n − 1)b

3. Melaksanakan penyelesaian

3cm 8 cm 13 cm 18 cm 23 cm

PERTUMBUHAN TUMBUHAN

Tinggi Tanaman Tinggi Tanaman Tinggi Tanaman Tinggi Tanaman Tinggi Tanaman
Minggu Ke-1 Minggu Ke-2 Minggu Ke-3 Minggu Ke-4 Minggu Ke-5

9

Jika dimisalkan tinggi tanaman minggu pertama dengan (u1) dan tinggi tanaman pada
minggu ke-2 (u2), begitu juga seterusnya, maka

U1 U2 U3 U4 … Un

3 8 13 18 … a + (n-1)b

Perhatikan tabel diatas, setiap dua suku berurutan pada barisan di atas tentunya
mempunyai selisih

U2-U1 U3-U2 U4-U3 U5-U4 … Un-Un-1

5 5 5 5…5

Un = a + (n – 1) b

U30= 3 + (30 – 1) 5

U30= 3 + (29) 5

U30= 3 + 145

U30= 148

4. Mengecek kembali

Setelah melakukan pengecekan kembali dapat disimpulkan tinggi tanaman pada Minggu
ke-30 adalah 148 cm

Kerjakan latihan soal berikut ini dengan tepat!

1. Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n, dan suku ke-10 dari barisan 5, 10, 15, 20
,…

2. Suku ke-6 dan ke-12 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 35 dan 65.
Tentukan Suku ke-52 barisan aritmetika tersebut

3. Diketahui barisan aritmatika 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38 tentukan nilai suku tengah dari
barisan aritmatika tersebut!

4. Seorang penjual daging pada bulan Januari menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret
dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10kg dari bulan sebelumnya. Hitunglah
Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan

5. Dalam gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri 14 buah, baris
kedua berisi 16 buah, baris ketiga 18 buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Tentukan
banyaknya kursi pada baris ke-20 !

10

RANGKUMAN

1. Barisan aritmetika atau dikenal sebagai barisan hitung adalah barisan
yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama
dan tetap

2. Rumus Suku ke-n adalah

TEST FORMATIF
1.

Suatu perusahaan memproduksi 5.000 unit barang pada tahun pertama. Pada tahun-tahun
berikutnya, hasil produksi turun secara bertahap 80 unit pertahun. Tentukan pada tahun
ke berapa perusahaan tersebut hanya memproduksi 3.000 unit barang!

11

2.

Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi, baris paling depan terdapat 23 kursi,
baris berikutnya 2 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Hitunglah jumlah kursi
dalam ruangan sidang tersebut!

12

 Sukino. 2013. Matematika untuk SMA/MA kelas X. Jakarta: PT Gelora Aksara Pratama.
 Sinaga, Barnok. dkk. 2014. BSE Matematika SMA/MA/SMK/MAK kelas X. Jakarta:

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

13