C9D0C3F4-C843-47A1-BCE8-21FC8543F707

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม
มัธยมศึกษาปีที่4

เรื่อง ระบบจำนวนจริง
และ ความสัมพันธ์และฟังชัน

จัดทำโดย

นายณัฐคุณ นาโพธิ์ เลขที่ 14 ม.4|3
นายนรธร ซ้ายโฮง เลขที่15 ม.4|3
นายพีระพัฒน์ ปานกลาง เลขที่21 ม.4|3
นางสาวสุธาสินี สมภักดี เลขที่25 ม.4|3
นางสาวนันทัชพร พันพลอย เลขที่36 ม.4|3

เสนอ

ครู กัญญ์ภัคพิมพ์ อุดมวงษ์

ที่มา

https://tuemaster.com/blog/ (ความสัมพันธ์และฟังชั่น)

https://www.scimath.org/lesson-

mathematics/item/7058-2017-05-24-14-59-48 (ระบบจำนวนจริง)

ระบบจำนวนจริง

จำนวนจริง

จำนวนตรรกยะ(Q) จำนวนอตรรกยะ

จํานวนเต็ม ติดเครืองหมายราก

เต็มบวก √ √และถอดไม่ลงตัว
ตัวอย่าง : 1,2,3,...
เต็มศูนย์ ตัวอย่าง: 2. 5.7
เต็มลบ ทศนิยมไม่ซ้ำ
เช่น 1.23721342...3.4323223222...
สัญลักษณ์พิเศษ

ทศนิยมซ้ำ

สมบัติจำนวนจริง

สมบัติการปิด
สมบัติการสลับที่
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
สมบัติการมีเอกลักษณ์
สมบัติการ อินเวอร์ส
สมบัติการแจกแจง

.สมบัติการเท่ากัน

สมบัติการสะท้อน
สมบัติการสมมาตร ถ้า a-5 แล้ว b=a
สมบัติการถ่ายทอด ถ้า asb และ bsc แล้ว asc
สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน a=b แล้ว a+c = b+c
สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน a-5 แล้ว c40 แล้ว ac=bc

.พหุนามตัวแปรเดียว

พหุนาม คือ นิพจน์ที่เขียนในรูปเอกนาม
หรือ เขียนอยู่ในรูปการบวกของเอกนาม ตั้งแต่สองเอก
นาม ขึ้นไป

ตัวอย่างของพหุนาม
4x + 3x + 2 = เป็นพหุนามดีกรี 3 เนื่องจากต้องดูที่
เลขชี้กำลังแต่ละตัว ซึ่งเลขชี้กำลังที่มากที่สุดเป็น 3 จึง
เรียกว่า"พหุนามดีกรี 3
ex : 39 2x − 1 = พหุนามดีกรี 5O = เป็นพหุนาม ไม่นิยาม
ดีกรี





บันทึก





ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์
คู่อันดับ และผลคูณคาร์ทีเซียน

• คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็น
สมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการ
สลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้

สมบัติของคู่อันดับ
1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d

≠ ≠ ≠3. ถ้า (a,b) (c,d) แล้วจะได้ a c หรือ b d
• ผลคูณคาร์ทีเซียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a
เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B

∈ ∈นั่นคือ A× B = { (a,b) | a A และ b B }
สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน
กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว

ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามี
สมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน หรือ ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์
ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน สมาชิกตัวหลังต้องเท่า

กันด้วย

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b)
เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b)

ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B
สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B

หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า

ความสัมพันธ์

(Relation)

r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับ
เซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)
1. โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์r คือ เซตที่มี

สมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้
สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น Dr = {x | (x, y)

ε r}
2. เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มี

สมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้
สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น Rr = {y | (x, y)

ε r}
ตัวผกผันของความสัมพัน
ธ์ (Inverse of Relation) อิน
เวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการ
สลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับ

ที่เป็นสมาชิกของ r

สัญลักษณ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r

เขียนแทนด้วย r-1

เขียน r-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้ r-1

= {(x, y) | (y, x) ε r}

ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r-1 จะ

เป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

ฟังก์ชัน (Function

ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับ
ใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว
สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน
หรือ
ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความ
สัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน สมาชิกตัวหลังต้องเท่า
กันด้วย

วิธีที่ 1 ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข r(x, y)
แล้ว ให้นำเงื่อนไข r(x, y) มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้
1) ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่ 2 เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข r(x,
y)
สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r ดังนั้นจะได้เงื่อนไข r(x, y) และ r(x, z) พิจารณา
1) ถ้าสามารถแสดงได้ว่า y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ากรณีที่มี y ε z จะได้ว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่ 3 โดยใช้กราฟ
กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y
และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ rพิจารณา
1) ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น
จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2) ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด จะได้ว่า r
จะไม่เป็นฟังก์ชัน

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B)
ก็เต่อเมื่อ
1) f เป็นฟังก์ชัน
2) Df = A
3) Rf = B
สัญลักษณ์ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f :
AB หรือ
f : AB อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A

≠ ≠ ≠A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø
A× B B × A ก็ต่อเมื่อ A B Ø
2. A × Ø = Ø × A = Ø
∪3. A × ( B C )
∪= (A× B) (A × C)
∪ ∪(A B) × C = (A× C) (B × C)
∩ ∩4. A × ( B C ) = (A× B) (A × C)
∩ ∩(A B) × C = (A× B) (B × C)
5. A × ( B – C ) = (A× B) – (A × C)
(A – B) × C ) = (A× C) – (B × C)
กราฟของความสัมพันธ์
ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง
(x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง
จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้

บทนิยาม
ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความ
สัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์

R
ฟังก์ชัน
ความหมายของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัว
หน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน

∈ ∈นั่นคือ

ถ้า (x1,y1) r และ (x1,y2) r แล้ว y1= y2
หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่
1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ
ซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็น

ฟังก์ชัน

∈2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก

r = {(x,y) A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข
P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์

นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน
3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้า
เส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้น

ไม่เป็นฟังก์ชัน

ลักษณะของฟังก์ชัน⚡️✨

• ฟังก์ชันจาก A ไป B

f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และ

→เรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A B

• ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A

และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย f : A B

• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B

f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

∈ซึ่งถ้า y R f
∈ ∈แล้วมี x Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) f เขียนแทนด้วย f :

B

หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ

x1และ x2 ในโดเมน ถ้า

f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2

• ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

⊂ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A Df
♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A
♦ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) < f( x2)

f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A

ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) > f( x2)

เมื่อรู้จักคู่อันดับแล้ว ความสัมพันธ์ มีนิยามดังต่อไปนี้

ความสัมพันธ์ คือ เซตที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นคู่อันดับ โดยที่คู่อันดับแต่ละคู่

เกิดจากการจับคู่กันของสมาชิกจากเซตสองเซต เช่น

{(A, X), (B, Y), (C, Z), (D, W)}

{(Galaxy Note 10, Samsung), (iPhone 11, Apple), (Find X,
Oppo), …}
{(1, 1), (2, 4), (3, 9), …}
ตัวอย่างโจทย์ – จงหาค่า x,y เมื่อ (x + 1, 2y) = (-5, 11)

กราฟของความสัมพันธ์ หากความสัมพันธ์ เป็นความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขแล้ว เราสามารถเขียนความสัมพันธ์
โดยใช้กราฟได้ โดยการนำคู่อันดับต่างๆ ของความสัมพันธ์ไปวาดลงบนกราฟ เช่น
ให้ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

∈B = {5, 6, 7, …, 20}

โดย r = {(x, y) A×B | y = 3x}
แจกแจงสมาชิกได้เป็น r = {(2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15)}
จะวาดกราฟได้ดังนี้

∈ในกรณี r เป็นความสัมพันธ์ของจำนวนจริง มักจะวาดกราฟได้เป็นเส้น เช่น

r = {(x, y) R×R | y = 3x}
จะวาดกราฟได้ดังนี้

เคล็ดลับการพิจารณากราฟ พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y ได้ดังนี้
กราฟจะผ่านจุด (a, b) เมื่อ แทนค่า a และ b ลงในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง
จุดตัดแกน x คือ จุดที่ y = 0 ถ้าแทนค่าแล้วสมการไม่เป็นจริงแสดงว่า ไม่มีจุดตัดแกน x
จุดตัดแกน y คือ จุดที่ x = 0 ถ้าแทนค่าแล้วสมการไม่เป็นจริงแสดงว่า ไม่มีจุดตัดแกน y
กราฟอยู่เหนือแกน x เมื่อ y > 0
กราฟอยู่ใต้แกน x เมื่อ y < 0

ตัวอย่างโจทย์ – กราฟต่อไปนี้ผ่านจุด (0, 1) หรือไม่
x+y=1
x2-y2 = 1

ตัวอย่างโจทย์ – จงหาจุดตัดแกน x และ y ของกราฟต่อไปนี้
2x + 1 = 3y

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ

สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์
r โดเมนของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย

∈Dr

Dr = {x | (x, y) r}
เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ

สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์

∈r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Rr

Rr = {y | (x, y) r}
เช่น
r = {(1, 3), (2, 8), (3, 10), (3, -5), (4,
19), (8, 3), (100, -5), (-9, 22)}
Dr = {1, 2, 3, 4, 8, 100, -9}
Rr = {3, 8, 10, -5, 19, -5, 22}
r = {(โตเกียว, ญี่ปุ่น), (กรุงเทพ, ไทย),
(เบอร์ลิน, เยอรมันนี), (แคนเบอร์ร่า,
ออสเตรเลีย), (โซล, เกาหลี), …}
Dr = เซตของเมืองหลวงทั่วโลก
Rr = เซตของประเทศทุกประเทศ