Expo+Log น.ส.กัญญาณัฐ ปุยฝ้าย ม.5_1 เลขที่ 12.

น.ส.กญั ญาณฐั ปยุ ฝ้าย
ม.5/1 เลขที่ 12

EXPO+LoG

เอกสารประกอบการเรียนออนไลน์ เร่อื ง การหารากทส่ี องในรปู a 2 b หรอื x 2 y

พิจารณาการกระจาย 5 32

2 +2 นล +

( น + ลง = 2

3)( 5 t 2 5 t2 5 ะ 32

= 3+

= 5 t 2 5-3 + 3

= (5+3) + 2 5. 3

= 8 + 2 15

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหารากทีส่ องของ 7 2 10 (คาตอบจะมีสองค่า)
Lb Lม

±+ 2 Ex 2
_
_

เ น5 + 2 ราก บวก

เ น(5 2)- + ราก ลบ

ตวั อย่างท่ี 2 จงหารากที่สองของ 10 2 21 (คาตอบจะมีสองคา่ )

/\ /\

7 t3 7+ 3
_ _

_ _

มาก อย

มาก อย

± ( 3)ระ -

้น้น็ป่ีท็ป่ีท้ล้น

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ 10 84 (คาตอบจะมคี า่ เดยี ว)

→ 69 ± 2 b

ราก สอง 4×21
t
เ นพวก
2×2

10 - 84 = 10 - 4×21

= 10 - 2 21

7 3= -

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาคา่ ของ 5 21 (คาตอบจะมีคา่ เดยี ว)

5+ 21 = 2- 5+ 21
2

= 10 t 2 21
2

= 7t 3
2

ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาคา่ ของ 17 6 8 (คาตอบจะมคี ่าเดยี ว)

ใน9 ×3= q

2×3

17-6 8 = 17 - 2×3 8

= 17 2- 72

= 9- 8

ท็ป่ีท่ี

แบบฝึกหดั เร่ือง การหารากที่สองของจานวนท่ีอยู่ในรปู x 2 y

1. จงหาคา่ ของ 17 2 72 = 9 8 29 8
2. จงหาคา่ ของ 4 2 3 =98
= 3 22
= 3-11 t 2 3×1
= 3- 1

= ☒13 -

3. จงหาค่าของ 12 6 3 = 12 + 2×3 3
= 9+3 + 2 9×3

= 9t 3

= *3 t 3

4. จงหารากทีส่ อง 11 2 24
เนื่องจาก 11 2 24 = 8 3 2 8 3
= ( 8 3)2
= (2 2 3)2
รากทีส่ องของ 11 2 24 คือ (2 2 3)

5. จงหาค่าของ 4 15

= 5t 3 2

{= (4 + 15) ×

= 8 + 2 15 22
2
= 10 t 6 ✗✗

2

= 8 + 2 15

2
= 5+3 + 2 5 × 3

ระ

สอง ตอบ 5 17 4 15
ก
หา ราก สอง ของ 3- 1
6. จงหารากทส่ี องของ 4
2
จารณา 4 + 5 + 17-4 า 5
(3 1)ะ -
= 4 + 5 + ต17-2า60

= 4 + 5 t 12+5 - 2 12×5

= 4t 5 + ( 12 - 5) = ± ( 3- 1)

= 4 t 12

= 4t 2 3

= 3+1 t 2 3×1

= 3+ 1

= 3 +1

7. จงหาค่าของ 3 3 8 7 4 3 =2

=- 3 t 3+8 7 t 2 4×3

= - 3 t 3 t8
4t 3

= - 3 + 3+8 2 t 3

( )=
- 3 + 3 + 16+8 3

=- 3 t ( 3 + 4) 2

= - 3 + 3 +4

=4

= 2*

่ีท้ขิพำคีม

รทู ไมร่ ูจ้ บ เราสามารถใชห้ ลักการของสมการ เพ่อื หาค่าของจานวนตดิ รทู ไม่รู้จบได้

เช่น 2 2 2 2... หรือ 1 1 1 1 ...

ตัวอยา่ ง จงหาคา่ ของ 3 3 3 3... =✗

2 2

l )3 × = (×)

× 2- 3× 2

3× =×

=0

× ( X - 3) =0

× =☒ 3

,

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 6 6 6 6 ... =×

/2 =☒ำ

6 +× )

6 +× =×
=0
2-

× 6- ×

( × - 3) (× + 2) =๐
=3
×
,

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 1 6 =✗
6
1
1 ...

1+ 6 =× ×2- × -6

× 2
=×
× +6
=๐
(× - 3) ( × + 2)
= 3 -2
X
,

แบบ ก ด ญญา ฐสน . . ย าย

ตอบ ของ สมการ อไป /ม . 5 า เลข 12

จง หา เซต

= 4 +5 2. ×2+6×+1 = 6- × 2+6×-5
y yY1. 2 +2 + 3- 2

( % ( 5)y Y2 +2 + 3-2 2

4y + × 2+6 × + า = 6- × 2+6×-5

☒+/6 ×+1 ☒ /= 36 - 12 ×2+6 × -5 +
+6 × -5
1
t 3- 2 = 4 Y +5 = 31 - 12 ×2+6 × -5
Y Yy y2 +2 + 2 2 +2 3- 2
1-+12 ✗2+6 ✗-5 = 31
5+22 y +2 y3- 2 = 4 y +5
12 ×2+6×-5 = 30
2 21+2 Y3-2 = 4y
×2+6×-5 = 5
y y2 +2 3- 2 Y = 2
2
( 2 Yt2)(3--24) = 4 y 2
×2+6×-5 = 25
6 y -4 + 6- 4 y 2
+2 y +6 4
4- ± 4y
4×2+24×-20 = 25
= 4y 2
4×2+24×-45 = 0
8- +2 yt 6 =0
=0 (2×-3)(2×+15) = 0
8y 2- 2 y - 6

(4yt 3 ) ( y - 1) =0 X = -12,32

Y 3
1= _

,4

{ }อi. เซต ตอบ { ำ }อi. เซต ตอบ
1 -1 ☒
,
*

3. 3 ✗ +2+2 3 × t 1 + 3× +10+6 3×+1 = 14

3 ✗ +2+2 3 × t 1 + 3× +10+6 3×+1 = 14

ใ 3× + า = a

2

3×+1 = a

3✗ = 2- 1

a

ไจะ a2-1+2+2 at a2- 1 + า 0+6 a = 14
= 14
2+2a a +1 + 2 6 a +9
a+ = 14
= 14
(9+1)2 + (a + 3)3 = 14

9+1 + 9+3

29 +4

29 = 10
a= 5

าแทน a= 5

จาก 3 × = a 9- า

3 ✗ = 25 - 1

3 X = 24

×= 8

{ }อi. เซต ตอบ 8☒

ืคำค่ค้ด้หำทีธิวุ๋วืคำคืคำคุ้หุ้ทุ้หำทีธิวำทีธิว้ีน่ตำค่ีท้ฝุปัณักัหึฝ

* ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ลเปน็ ฟังกช์ นั 1-1 จาก ไปทั่วถึง + โดยสมบตั ขิ องฟงั กช์ นั 1-1 จะไดว้ า่
= ก็ต่อเมอื่ =

ซง่ึ เราจะนาสมบัตินไ้ี ปชว่ ยในการแก้สมการเอกซโ์ พเนนเชียลตอ่ ไป

แบบฝึกหดั

×✓
×✓
✓×
×✓

✓✓

✓×
✓✓
✓×

××

✓✓

✓ ×

i ✓
×
✗
✗
×
✓
×
×
เ ม o < ac า
ลด a > 1

µy = ✗ Y =3 × y= 2 ×

µ× d< c

ะ=

b< a

db < a < <c

4. ถ้า ( ) = 2− และ ( ) = 3 แลว้ จงหาคา่

1. (2) = 2- 2 = 1 2. (3) = 33 = 27
4

3. (0) + (0) = 1 + 1 = 0

4. (4) − (4) = น34- 2- 4=81 - = 15

80 16

5. (1) ∙ (1) = 2 ำ31[1
×
= × 3=

3
6. = (3) [ 1
32 1
(2) =
=
8× q
72

fcg7. ( ๐ )(1) = ) f(1) = [(3) = 31
=

8

8. ( ๐ )(1) = gcf (1)) = g C) =3 = 3

พ๋ว่ิ

5. จงหาเซตคาตอบของสมการหรืออสมการต่อไปน้ี

1. 10 = 100 2. 3 = 1 = {3
27 -3 }
{ }× =
2

3. 16 = 4 2✗ = 1 |4. (21) = 16
×= 1 2- × = 24
42✗ = 41 4×- =

× = -4

2 { }ะ × =

± }{i. × = -4

5. 4− = 1 6. (21)2 = 64
64

4-× = 4-3 262- 2✗ =

×= 3 -2X = 6

{ }• ะ × = 3 × =3

{ }i. × = 3

7. (32) = 81 8. 5 ≤ 125 f เ ม
64

③ §" 4 × 3
= <5
5
_

(B)× = § 4 × E3

× = -4

วง )× 33

9. (14)2 < 64 fลด 10. 27 < (53) ≤ 1 f เ ม
125
4-2 × < 43
⑤3 ×°
- 2× < 3 <
±( |
;× e.
P( ⑤× °
<ะ

3- < × Z0

⃝?ุ๋งุ๋ง⃝?่ิพ่ิพ้ว

× ×

y= a y= a

2 1 = a- 1

q= a 5

2 51 = a- 1

3= a yi. ×

× =5

i. y =3

× ✗

y =a y= a

1 2 8 = a- 3
=a

16

µำ (E)3 a- 3
- =

14a = ±a =

y µi. - × ⑦yi. = ×
-

ห้

(ค) (ก ) (จ )
( ข) (ง)

Y = 5×-3

y = 5×+1 4
_

×

Y =5

y = 5×+3

สมการและอสมการเอกซโ์ พเนนเชียล
1. สมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

2C × + 2) 3C × - 2)

2 =2

2 × +4 = 3×-6
= 10
×

ตวั อย่าง จงแก้สมการ

✗ _ 5 + 2× × = -20 t 8 ✗

22 =4

2[ 22 C- 5 t 2 ✗ ) 20 = 7✗

=

X = -10+4 × X= 20

2 7

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ 22x 1 17(2x) 8 0

" × "
=2
ำ2 2. 1 า (E) +8 = o {2 =

2. (E) 2- 17C 2 × ) t 8 = 0 × = -1 ✓

ใ× 23×
a- 2
_ 2=
292-179+8 = 0 8=

(29-1)(9-8) = 0 × =3 ✓

a= 8

,

หูว้

แบบฝึ กหดั
1. ถา้ 4 − = 128 และ 32 + = 81 แลว้ คา่ ของ เทา่ กบั เทา่ ใด

2722C ×- 4)
=

2×-2 y =7 ①

32× tY = 34

2 \/ ty =4 ②

;① - ② -3 y =3

y = -1 *

2. ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ โดยท่ี a › 0 และ b › 1 ถา้ ab ba และ b ab3a

แลว้ 20a + 14b เทา่ กบั เทา่ ใด

ab = ba จาก ab = b 2

baa = -1 fb าb= b

=

แทน a ; b = ba - 1. b 3 a b= 2 b

b b 4a- า b= 4
=
b2- 4b = 0
1 = 4a- 1 bc b- 4) = 0
4a = 2

12a =

☒b = 4

|i. 20 a +14 b = 20C t 14 (4)

= 66 *

คุ่ว้ทำ

3. จงแกส้ มการ 2 +2 = 5 − 1

(22)

:)× +1 = 0 ×2

4. 2 -5 ( 2 µ |2 =

ใ =a × = (2-2) 2 = 2-4

[ ฤ2 2 2
2 =a
× = -4

× 2 2012×
a
2= 2=

=

492-5 a +1 = 0

✗= 0

( 4 a-1) ( a- 1) = 0

a = 14,1

กำาง3เกง 4. จงแกส้ มการ 5 −3 + 52− = 6
5

✗ 5-3+52. 5 - × E ×

5. = 5 = 25

5 ✗= 2

× ณ ตลอด ×

5.5 5 = 125

( 5-25 . 53 × × =3

+ = 6.5

52 ณ ตลอด

(✗

5 + 3 1 25 = 150.5

ใ× -150 a + 3 1 25 = 0

5 = aj

( d-2 5)( a- 125) =0

a = 25,125

้ห้หุ้ทูคำนุ้ทูคำน๋ัห้ห

5. จงแกส้ มการ 23 +1 − 17(22 ) + 2 +3 = 0

3-2.( × ) 2 8.2 × =๐

2 17 ( 2× ) +

2. (2ำ 2- 1 7. (E) + 8 =0 ×

2 a2- 17 a + 8 ( 2 = a)

=0

( 2 a- 1) ( a- 8) =o

a = 1,8
2
12× 2-1 23×
2 8= =
2= =

1× = - ×= 3

6.

32 × %า "

3- + 81 ""

" 13,8ำ1a =

3A + 81 244 =0 2 X = 1-

-

a า✗ = -

392-2449+81 = 0

(39 - 1) ( a- 8 1) = 0 92×

9 = 81 =

X =2

11 11

-{1- 24

ป่ื

2. อสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

pf ลด

1. ( 2 1)x (3 2 2)x 2
( 1)× × +2

2- { ( 2+1 - 2 2)

× 2 × +2

C 2- 1) c 2- 1)
[ }E

× 7 2 ✗ +4

×- ะ 4

× < -4

9x 8
2. 22 x 1 81

32 ✗ >8 2 × > -4

2. z × 81 24 × > -2
→
(2) " > ตอบ ( -2,8 )
16
(2) 2× 34
81
→

4

> ( ;)

( ;)2× > ( ;)"

3. f ลด µ ๆ - × -5

155

pA"

i. 5×2-23 + 3 < - × -5 tg< ่ it
12
5×2-22×+8 < ๐ 4 4

(5×-2) (×← 4) 2 0

+- +

i .° >

<

24

5

4.

15 9

pA"

[ × +5

a =3
32 ](3.3×+5)( Xt 5)
- 4.
+ 27 <0

2- 12 a + 27 E0 32× t 5

a E0 3=
q=

( a- 9) (9 - 3)

a= q 9 =3 × = -3

× +5 =

3

+- + 4X =
••
>
<| -

|

4- -3 [ -4 -3]
,

ว่

32 2.22× × b= ×
+
×× × a =3 , 2

3 2. _ =๐

+372( ( )3 2 ab -2 b2
× × 2 a+

- 2. 2 = ๐

(✗ ×) 3×-2 * ) =0 Ca +2 b) ( a- b)
3 +2.2 =๐
(

3×+2.2× 3×-2 × =๐

หา าไ ไ ✗ ✗

3 =2

+ เสมอ

ำ• X = 0

2 -5 ab + 3 b 2 E0

b2 g2

2. (E) 2- 5C 3 × ) ( 2 × ) +3 ' ( × ) 2 × ③ ° § ¥ §"
a-- ะ
3 2๐ ±
b×
f ลด
=3

2 ( 22× ) 5( ) (2 × ) + 3 1 32× ) <°

_

32 × 32× 32 × 7๐ × > - 1
_

[ [× (3) × E tา-× 0

ก2. 5 +3 <o *

( µ 3) (ะ - × ③ 1)× Eo
-
-

+ - +

• • ③า ± ×

i ± Z?

2

๊ัว๊ืฐำค้ด่ม่คุ้ท

สมการและอสมการเอกซโ์ พเนนเชียล ชดุ ที่ 3 ออนไลน์

1. จงหาคา่ x จากสมการ 32x 3x 1 4

ตอบ 32× × " kt( t +4 - 1) = o

+3 =4 ☒t =

- 1
,
×
×× =4 × / 3× = 4
3 3. × = หา
3 3. + 3 =1

ใ t =3 × × =o าไ ไ

ไจะ t 2 + 3t =4 i. X = 0 ☒

-| 2+3 t -4 = 0

2. ผลบวกของคาตอบของสมการ 16x 16 x 17
4

ตอบ
16×+1 6- × | µ41T 2+4 - 17 t = ๐
17 × × 4

= 16 = 16 =

4 41- %16 = 14 ✓

ใ t× 41-2-171- + 4) = 0 i. X = 1 ✓ ×=

จะไ 16 = 2

t+ 1 = 17 14+-1 kt 4) = o
-
+ 4
+=

-¥ ¥t + =อ

°

. . ผล บวก ตอบ = ๐

3. ถ้า 2x 2y 12 และ x + y = 5 แล้ว x2 y2 เทา่ กบั เท่าไร
ตอบ
2 +3 = 5

Y× = 12 22+322 2

2 +2 i. × + y =

23 = 4+ 9
2 t2
= 12 = 13 *

4 +8 = 12

2 x2 3x 1 3 x2 3x 1 13

4. ผลบวกของคาตอบ 3 2 6 เท่ากับเท่าใด

ตอบ ใ t = ✗ 2- 3 × + า § {A = ; 2-3×+1t = -1
A. × = -1
จะไ +t
③± ? × 2-3× +2 = ๐
(g) §+
= 13g ⑤ }๋ ex - า ×× - 2) = o
=
X = 1,2
t =1 t = -1

1A + 1 =0 t 1 × 2-3×+1 1
=
-

a j = i. ผลบวก ตอบ
= Ot 1+2 + 3 = 6
6A 2- 13A t 6 = 0 × 2- 3 × = 0
☒
✗ ( ✗ - 3) =o

(3A - 2) (2A - 3) = 0 × = 0,3

A= ,{

ุ้วำคู้ฎ้ด้หำค้ด้หุ่ว๋ัร้ด้ด่ม่ค้ห

5. ถ้า 5 2 6 X 3 2 แลว้ x มคี ่าเทา่ ไร

ตอบ × น + TE 1095.2รอ ( F)( 5-2 รอ = log 5- ( น + 2)

( 5- 2 6) =

( × = 3+ 2

3- ร2)

(F- F)2× (= 3 + )1

" = (น 1

⑤ + F) + ร2)

2- ✗ =1
×
{= - *

6. ให้ A เป็นเซตของจานวนจรงิ x ท้ังหมด ที่สอดคล้องกับสมการ

( √ ) ( √ ) แล้วผลบวกของสมาชกิ

ท้ังหมดในเซต A เท่ากบั เท่าใด ✗ 2-5 ✗ +4 = o

F) E)× A = 4B × = 4,1✗

4 - 4 (4 : 4X• =
= 3 ( 2× t F)×
)( )
2=
F)22× 4 (2
-
4 ( 22 = 3 (E) ( 2 E) F)×

2
= 22 ( 2

ใ A= 2✗ B= 22× +

ไจะ , 2=

A 2- 2 3A B ✗ = 2+

4B = × 2-4 × +4 = ✗

A 2- 3A B- 2 0

4B =

( A + B) ( A- 4 B) = 0

BA- - 2 x(1 x) 9
_ 34

7. จงห2า×เซ= ต-ค2าFตอบเ ขนอเงอจสมการ

1. ( ) ( ) 2. (

3. ( ) ( ) 4. ( )( )

③ µ" "" ะ × 2- × + ะ >o
>
"" " (× + แ >o

2 1-

×" 2_ + +-

(G) >§ 2--0 0

ll

× ( 1- × ) 2 2- 1- 2

2 2- 2 × = ( -8 , - 1) U ( 2,8 )

× ×- 20

2-× - × 2

็ท็ป้ด๋ิบ้ห้ข้ขัข

8. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 42x2 4x 5 1
32

1. [ ] 2×2-4 X -5 [ำ °
5-
(22) < 2- 5 1
24×2-8×-10 z 2-5 _
2. [ ] _
2
2

3. [ ] ะ < -5 [ % ะ]*
4. [ ]
4 × _ sxno _

4×2-8×-5 < 0

_

(2×-1) (2×+5) ? 0

{ ±-
2

9. ให้ A เป็นเซตคาตอบของอสมการ ( ) ( ) เมอ่ื

htikแล้ว A เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

✓✗ 0× 0 ✗

2,22+2(×-× × t 10
(< × _
2) + +
0 >
×2+2 < 2×+10 -
<1
× 2-2×+2-10 <0 0
<0
× 2-2×-8 1

2- 4

(× + 2) (✗ - 4) < 0 [ 2,4 ) ✗✗

2- 4

10. ถ้า x และ y เป็นจานวนจริงทีส่ อดคล้องกบั ( ) ( ) ()

และ แล้ว มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใด

1. 2 2. 3.5 3. 6 4. 7.5

53×-2 Y -3 31 8- 2× ) ( ✗ +Y) ✗ 4Y = 55 (128-37) ×
=ๆ 4 = 384 ( q Y )
4. 3-

53 × -ZY +3 =5 °

(3 8. )3- 2 × (4×+47) = 384 ( 97)

Y3 ✗ -2 +3 = 0 7)Y× -32✗

4 4.
= 128 /(3) (32

×Y 387
4 4 =
128 ( 32.34) - (32.3× )
-

37

Y×4 = ( )128.3Y ☒

4. 3-

3T

ง้ัวุ๋

ฟงั ก์ชันลอการิทึม (Logarithmic function)

ฟงั ก์ชันลอการทิ ึมจะเป็นผกผนั (inverse) ของฟังก์ชันเอกซโ์ พเนนเชียล จากนิยามของฟงั ก์ชันเอกซโ์ พเนนเชยี ลคือ

เนอื่ งจากฟังก์ชนั ลอการิทึมเป็นผกผนั ของฟังกช์ ันเอกซโ์ พเนนเชยี ล จงึ ไดน้ ยิ ามของฟังก์ชันลอการิทึมคือ

แตเ่ น่อื งจากการเขียนเง่ือนไข ไมน่ ิยมเขียนจงึ มีขอ้ ตกลงกันวา่ กาหนดให้ y = log@ ✗
-

อา่ นว่า วายเทา่ กบั ล็อกเอ็กซ์ฐานเอ

ดังน้ันเราจงึ ได้ นิยามของฟังก์ชนั ลอการิทมึ คือ Y× = a

00

กราฟของฟังกช์ นั ลอการิทมึ Y× = a

จะผา่ นจดุ (1,0) เสมอ ดงั รูป

f ลด

-

้

fเ ม

ข้อสงั เกต จากกราฟ และ จะผา่ นจดุ เสมอเพราะวา่
1. กราฟของฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชนั เพ่มิ เ°
2. ถา้ แล้ว
เปน็ ฟงั ก์ชันลด 1 =a
ถ้า แล้ว

พ่ิ

3. ฟังก์ชนั ลอการิทึมเปน็ ฟังก์ชนั 1-1 จาก ไปถงึ

4. โดยอาศยั สมบัตขิ องฟังกช์ ัน 1-1 จะได้วา่

5. เนอ่ื งจาก กาง

ก็ต่อเม่ือ

.. ..

ก็ตอ่ เม่ือ

เม่ือเราแทน ด้วย ในสมการหลังจะได้

เมอ่ื เราแทน ด้วย ในสมการแรกจะได้ 21 09 25
เราจงึ มีสมบตั ิของลอการทิ ึมเพ่ือใชง้ านคือ =5

| 0g 33 = 1 552/> 109 =2

ylogaa y=

Y (1) = y

1 09 52 × 109 55 = 10g 510

๐→ = logz 8 = 10g 223

ะ = 3 1 09

=3

r เป ยนฐาน log

ส่ีลำทํ

แบบฝึกหดั × = a Y y = loga ×

× /Y Iog 16 = 2
4
มa
/ 09,9 = -2
Y×
5
a
kg 28 =
64
/ 09,10,000 = 2-
1 00

µ p64 =

3327 =

"

4 = (1)

°

1 = 10

3. จงหาค่าของลอการิทึมโดยใชส้ มบัติ

ไง= 1
f.= / og 33 ! = / ง=

=0

= 109g 8¥ ¥=

=×

10g 25 = 5

=z
ogt= logjz 35 = 5./
= -5

2- 2

÷ = 109,372 = { logf" = Z

= 1093 ( 10g 223) = / og33 = 1

p 32

= logz C 10g ( Iogz 29 1) = logzllog , 9) = 10g 22 = 1

,

4.

= 109,32+ 109226

= 2t 6 = 8 กา ไ ยม เ ยน

5.

10g= llogz 23) ( log 334) + 10 10

4004- log 256

tlog= (3)(4) µ |ฐํ๋06 g 4 % % %× 4
×4 ×4
= 12 tlog 10 8
10 #× 4/× 4/× 4/

= 12 + 8 = 20 *

มืษีขิน่

×÷

.

6.

ะ= ะ

[ 8)= 1096102 = log 636 = log 662= 2

น

×
÷

7. 10 10 70
8.
9. | |= 10g
28 × 325 =
91

24 52 3332 3

G) (3) (G)= e 4) 1- 2) -
1- 3) + +

} }= -8 + 2 + +

= -5

10g> ¥ = 109 4
เอ
/ เอา เ

☐

= 102 + 109104 = 102.10109104 = 10 4 ะ 20

10. - 22

= 1092 (5+10922-1) = 10g 2 (5-1) = 10924 = 2

1

93 5 lo g3 5

11. จงหาคา่ ของ

จารณา 1 = log 53 ( )3 q 3 9

=

10g 35

i. 5 10 95 3 = 3

วิพิก้

12.

Iogz 3° + logz 2- log (ง )3 logz %5)

2+

| ฦ= 1092%30 × × ✗ "5 = logz 8 23 3

=

52 ำ2 25
×
×
3
32

13.

{1094 }2 1093 [1 + 1 09 24 ]

1094 { 21 09 33 }

109 42 log= 2 = 2☒

22 109,514

g

14.

log 2 2
.
log 16
i ¥ togtt14.gl/-_log/1093
.. . log 16

10g 15

109 1442=
2 = l 09 =☒
แ 2

15.

logba = 2 logabd = logab + logad

1 =2 {= +3

logab { { *= = 3

{i. 109 ab =

16. (512) 1°95256 51°952ไ56 | og 2 q 109g 32

/ 0g 2 /0g2,22 สฐ = 25

1 09 z 4 " 2 log 25 1 09 5 2 56 1g 232
µ 2 56
=2 241 ° ะ =5
2
ตอบ 2+4 - 5 = 1
=4

ึกึกำโึว๋ํน⃝?

ค าย บ อ 15

17.

logdabe = logda +109 db +109 d ° / ogdc = 2 1
1 50
=

75

% +1091
=

15
1 dC logcdi. ะ 75
*
+
50

109 dc = 1 1 1

- -

15 30 50

= 10-5-3

150

18. g เป ยนฐาน 1093
y = Iog 2
log931 ° 4
log 3
= ×
10g 4
l ° 92 log 3

2

35 9.to/✗ 32 ✗ 4 .=! o3fg3 5 .1 o / 6 .7 Y. log82Xy ะ1,0/3 2 t 5 X= 3 1 o g 2 1 o g 3 / l o g / 4 1 o f 1 g f l 0 g 7 f '
.
2×21- 5× -3 = g 0

(2×-1)( × +3) = 0 y = 1098 = log 28 23

×= {,* log 2

Y =3 Y 3

ตอบ × = =

19.

Y 109y = × ya2 ✗ =

×= a a 2✗ = (1092 b)9

" logya = 2× × = { Clogz b) "

y2 × = y = logzb

2Y = b

ูวัว่ีล้ขัก้ล

20. * ☒

ogzb2. 2 "-21 = 2 1092 b- 4 logzb3.2 92 ำ logzb = 29. + 41 09 zb

log 1092" b- 2 b"

2- 3. 2
b- = 4 10 92

2_

" = 210g zb b)"
3ะ2 = 2 (21092
2 +2

แทน า a ; 4+2 = 2. logzb " = 2 (29+2)

3. 2

3 = / 092 b 29 = 4

b238 = =

a =2

b2 2
i. a + = 4 + 64=68

ค่

แบบฝึ กทกั ษะ เรื่องสมบัตขิ องลอการิทมึ

คำสงั่ จงแสดงวิธีทำ

1. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log6 3 8 7 2 58 log6 3 8 7 2 58
log2 (log 3125) log2 (log 5)

0g| 3

18 7- 2 58) (857+2558)
6

963/ 0 า 63216 =

448-232

66/ 0g = 1

109 [ |/og 3 125 5
ะ g-
og 5

1092 ( log 53125

logz 5

° 1 = / 0g 52
••

109 25 7 3 4 log 5 2 3
4
2/ . จงหาค่าสาเรจ็ ของ log 7 3 3 77 5400

ดป 7- 3× 7 +โ ปด 77 + 23 = 50+27+2 50×27
7 +ร3
54ออ

4 = กอ + 2

น)

= 7-3 " 2

= ( ร> + โ3) = (552 + 355)

4 (ก + 3) 1

5 ร2- 3 ร3 552+3 โ3 = 50-27,5
×
2/3 ( 5 Tzt 3 3)
9i. \ ° -1 23 5 2+3โ3

เรา + ร3)

รา + ง j1

= 1 5 52 +3โ3

1= - 2=-8อ

.. .
41552 +3 ร3)

ก ง(5 +3

หาร

ตอบ C- 1) + C- 8) = -9

­า้ว้ข้ข้ขัขูรัจูรัจุวึด

3. จงหาค่าสาเรจ็ ของ A= 729 log 138 จงหาค่า log3 A

2 1 log 0.0529 1 log 216
2 3

+10g0g 0g| /100 + 3 A= 7 2 91 09 1 38
อ . 0529
โ2า16

Iog (100 × 0.23×6) log 138

/ 0g 138 1093 172 9) ง 36

< / 093 ๆ2g วา

2

G. 109 33 = 3

1 = logba
logab
\^ log3 12 log3 972
4. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log4 3
Olog324 3

= / 0g 312.1093324 - 109392 7. log 34 3 4)

า ไทคยน

Clojpng= ( log 33 + 10934 ) ( 1093324) -

Oggflt /= ( 1093324 + 109 34 /'
10g- 3 4- / 093324 . /og 34

[ |44log 32 37

=

3

/ 0g 8ๆ มา

= 3

4=

ด้

63

y

" →%

44 82
ญื๊ 933
5. 109 24 log16 216 log 3 6 108 log81 324 log 33+10936=109318
2 log2 9 อ2 log6 3
จงหาค่าสาเรจ็ ของ \ ๐1 log3 6 ปล

②+ log 29

1092 4 + 1 09 29 = logz 36 3%36" " Iogiog

3 logz 6 ไป า= { / ogyog งง t า=

4 =

62 #' % 1 og 62 + 1 09 63 8109 6f1 °t
/ 09 2 36 → เ

34 /ไป62 า 12 น3+4+4 =
+ +=
21ใ09 น26 g

34 2 3g= × =

6. ถา้ logxy x 2 จงหาคา่ logxy 4 y logxy 5 x3y2 log xy 3 y #{ ÷
3 x
logxy
log Y× =3 | |y4. 3 %= 5+10 - 8 =
× 20
=
•

I £1g Iog× + × = ¥ y× . 2 13 [_ - -14
×
=

5 15

G-log × = 1
×
logxy logxyyนะ14 ÷
_
1 ° "5 = +109 ×

×. ×y

2

logyi. ✗ = 2 = ÷ (3) + (- ¥5) (E)

จาก logyxy = logf + logjy =3

109 xy Y =
%

ง•

ุ๋ฎุ๋ท๋วุ้ฑฺร่ว้ัยํ่วุฑ่ืส๋ํส๋ํร

7. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 128log3 2 7 25 12 3
4 log5 8 4 log7 8

}ล 25 12 / oggfg 23 31 09 gzg 23
>
091 4 4
25 4 1 09 2 7
> 44/0925
32 }
2 มา 2

28 109 25 8

3/09225 3 =5 221 09 27 2
"
2 = 25
..
=ๆ

390,625 49

15,6 2 5

15,625 + 390,625 - 49 = 409,201

OO8. 2 3 log xyz x3y2
กาหนดให้ logxyz x 3 , logxyz xy 4 จงหาค่า z4

/ 09 × × +109 xyz Y =2 จาก logxy [YZ = 109× × +109 ×yz Ytlogxyzz

yz 4 yz

}- +109 × Y = ฐ1 = - + +109 ×yzz

yz

} } ¥109×yzY = • ำ 109×yz 2 = 1+ #-1

+=
2

= 12 + 8 - 1 7
12

ะ

1 09•3 × + 2 1 09 ×yz Y - 4 1 09 × yz =

•• × yz

(3 - ) +2 ( ¥2) -4 ( 14)

ุ้งุ่ภุ้งุ้ว๋ัร

9. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log 1 3 4096 log3{1621 log100 (1 log2 512)}
64

436×4log µ (1+1092512)
log % 4 4096

{/ 0g , อ ๐ (1 + 9) = / 094-3 (4096×4) ง 4 1024

1093 (1621 + 12) " 4 256

/ 09 81 = 4 = 464hr
3 ☐44- 109
416L

4

-

10. กาหนดให้ loga x 3 , log b x 3 , logc x 3 , logd x 3
2 4 5 8

จงหาค่า logx abcd logabc x

logxa = } , Iogxb = , logxc = , logxd §=

logxabcd = logxa + logxb + logxc + logxd

§= + § §+ + 1

=

1 09 abc ✗ =1 = 1

logxabc logxa +109 × b + logxc

-1L = 3

=

} §+ + 11

• 19 3 = 209 + 9 218
••
๋ 33 =

3 11 33

ุ๋งุ๋งุ๋งุ๋รุ้งุ้รุ่งู่ว

641 log4 5 81 log2 5
11. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 271 log3 5 216 log6 5

" 1 09 25 " l °935 " 6- 91° 5

/ °945 g 2ๆ 6

64 • 64 g. 2ๆ • 2 ๆ

3/0945-1 " 3312 ๆ • ° 935 "

64 • 4 g. 2310925 6- 310g 65

64 • 5-3 8 • 5- 3 27 • 5- 3 5- 3

3- 72 =
28
5 (64+8) 7

=
=

5- 3 (27+1)

2

12. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 41 log16 25 81log2 27

271 log3 2

41.41 °91625 34 ' 2 1092 2 1 l °932
า
2ๆ = 2ๆ
น
92,28I4 o 4 1° 3/093 2
/ 09 4 25
3 27 . 3

} 10g 3 2 8 27 × 8

4. (5) 3 2 16

= 20 = ( 2 8) }

= 43 4 ~ 6.35

° 20 + 6.35 0.1 2
•• 2 16
=

ห้ึขึกฺ

ลอการทิ ึมสามญั (Common Logarithm) i. 10g "

10 = n

10g 1.21 ทศ ยม แห ง 2

_. .

่ีท่นำติน

☐ ☐ ☐
☐
☐

ตวั อย่าง 1 จงหาค่าลอการทิ ึมต่อไปนี้

1. log 5760 = / 0g (5.76×103) 2. log 0.00648 = Iog (6.48×1 3)
= | og 5.76+109103 -
= 1 og 6.48 +1091 3
= 0.7604+3 = 0.811Gt C- 3)

/ 0g 5 7 60 = 3. 7 6 04 ☒ = - 2. 1 8 84 ☒

โN ค

ตัวอย่าง 2 กาหนดให้ log N = 3.7566 จงหาคา่ N log logN = 5 7 10

/ 0g N = 3. 7 5 66 N = 5 7 10

= 0.7566 t 3 *

= 10g 5.71 + / og 103

= / 0g (5.71 × 103)

ตวั อยา่ ง 3 กาหนดให้ log N = -0.5918 จงหาคา่ N

10g N = -0.5918 log/ og N = ( 2.56×1 )
= 0.4082 t C- 1)
= / 0g 2.56 + | og 1 log= 0.256

1 N = 0.256
☒

อ้อ๋อัอ้

N 10g 36.2 = 10g (3.62×101)

- ะ / og 3. 62 +10g 101

N = 0.5587+1

Lzetlttttto → 1 og 36.2 = 1. 5 5 87

× = antilog A erglog × = A

จงหาค่าของ a-

10/09 าอ X

X

101= = 10

_

10^5✗ = 10 = 1 ๐๐๐ = 10 10
=
เอง า อ=3
mn ps

onlnn 2 + log 3 2 log 3 = 100 ✗ 3 = 300

= 10 = 10 ✗ 10

3+109510g µ log= 103 5
10 = 3×5 = 15
= ๆอ ×

5)

09/ 442 = 2. 6 4 54
/ 0g (44.2×10) = 2. 6 4 54

/ og 44.2+109101 = 2. 6 4 54

log 44.2 = 2.6454 - 1

☒= 1. 6 4 54

ว่ิ

6)

ปด log 25 E- log 64} + log 2

log 5- log 4 + log 9
log [5 ] = Iog ( ก

อ antilog ( log ( ก ) = 45 *
.. 4

7) จงหาแอนติลอการทิ มึ ของจานวนจรงิ ในขอ้ ต่อไปนี้

1. log 8 + log 2 – log 4

2. 2log x + log y – 3log z

วิธที ำ

ปด Iog 8+109 2- log 4 2. 21 ogxtlogy -3 logz
10g (8×42)=10g 4
log ×2+1 ogy - Iogz 3

อ antilog ( log 4) = 4 ).
..
.

i. antilogclog ! 1)

2 *

y= ×

3
z

ู๋ญุ๊ฑูรัจ๋ิห๋ัถูรัจ

ลอกำริทึมธรรมชำติ (Natural Logarithm) 109 ฐาน e

นอกจากลอการทิ มึ สามัญท่เี ป็นท่รี ูจ้ ักแลว้ ยังมีลอการิทมึ อกี ฐานหน่ึงทมี่ ีทใี่ ช้และมีประโยชน์

มากต่อการศกึ ษาในระดับสงู โดยเฉพาะดา้ นสาขาวทิ ยาศาสตร์ คอื ลอการทิ ึมทมี่ ีฐานเท่ากับ
Zn × = logex
0e (จานวนตรรกยะมีคา่ ประมาณ 2.71828)
เรยี กลอการทิ มึ ฐาน e น้ีวา่ ลอการทิ ึมธรรมชาติ หรอื ลอการิทึมแบบเนเปียร์(Napierian

logarithm) ในการเขยี นลอการิทมึ ฐาน e นิยมเขียน ln x แทน logex

ตัวอยำ่ ง (1) ln e = logee = 1

(2) ln =1 Zn e- 1 = -1 Ine = -1
e

(3) ln e2 = 2

(4) ln e = ±

การหาคา่ ln x เมอื่ x เป็นจานวนจริงบวก หาไดโ้ ดยอาศยั ลอการิทึมสามญั ดงั น้ี
-

ln x = logex

log/ oge = 2.7 18 = log x → เป ยน เ น าอ
log e ฐาน

= 0.4343 = log x
log 2.718

= log x
0.4343

= 2.3026 log x

ดงั นั้น ln x = log x = 2.3026 log x

0.4343

ตวั อยำ่ ง จงหาคา่ ของ ln 728 ตวั อยำ่ ง จงหาค่าของ loge 0.163
วิธที ำ ln 728 = loge 728
วธิ ที ำ loge 0.163 = loge 0.163

= log 728 = log 0.163

Ioge ง Ioge

= 10g (7.28×102) / 091.63+1 og 10-1 10g 1. 63 + C- 1)
86"
log e = 0.4343
hnอ .
Ce
log= 7.28+2
อ 2122

.

0.4343 = - 0.7878

0.4343

= 2. 8 6 21 = 6.59 = - 1.81
0.4343

ล่ส็ป่ี

1. อง

CO2. เ น + เสมอ

log/ og 2 36 × logz 13- × ) = / 092C 2 ✗ )
( × + 8) =
,

× 2+8 = 6 ✗ logz 3- × = / 09 12 ✗ )
2

× 2-6×+8 = 0 ( )3- × 22
( )= 2 ×

(× - 4) ( ✗ - 2) =0 3- × 2

× = นI = 4×

4×2 + × -3 =0

(4×-3)( × + 1) =0

× ¥ ☒=
,

3. 4. heedh.gsเลข ง

10931094 ° logzxologzx = 1
( × + 1) = 2 = 1

1094 ( × + 1) = 31 ( logzx 2 = 1

× +1 = 43 )

× = 63 •ำ logzx = ± า

logzx = 1 / 92/ y° t = _
× = 2- 1
X=2 ±=

ัลำก้ีชุว็ป้ต

5. 6.

0เกาะ aเ 2)( า ×- 2

÷109 3 × + 1 = Iogz logC- 3 × ) = 1 09 22 + ,
10 93 ×
loga-_ ;× 10g/ 09 2 C- 3 × ) = 2C 1- × 2)

3 z

ณ ;39
ตลอด a +1 ÷=
_
a = 10 a 2)3 ×- = 2 ( 1- ×

392 + 3 2×2-3×-2 = 0

3 -109+3 = 0 (2×+1) (× -2) = 0

×= - ☒

(39-1) (9-3) = 0 ,

}a = 3
,

}9310 × = log × =3
3
}× = × = 27
3
Aะ { ง }
7. B = { ¥}

2 2

/ 093C 932 3 10 ( (1)× + 1)× -
1)X - - ( × - 1) = ๆ = 2-

/ 093 ( × - 1) 2- 3 /× +1 ☒44=
/ og 3C - × -1 + -1
1)
x- =1

| |log าำ( × - 2- = -4 X -1
3 ( × -1,3
=1

( - 1)2=(-2 2

× -1)

1 = =3
× y-
1 = 41 × - 1)
3 × -3 =1 4 × -4 = 1

×= ✗ =5
4

{ } (F)AUB = ( ) = 5*
ง ตอบ 3

ุ๋งุ๋งุ้กุ้ฐ่งุ่ว้หูคุ่ฏ

8. ๐° Expo

p1 ☐ 1

Qะ

y× = 1 =4
,

logzy 2- 210g 2 × ะ 4 :) 4×+2(" ""

2_
q 2. =o

logz 2) =4 2 % 22-9.2×+2 =o

2 4. ( 2 ×) 2- 9.2×+2 = 0

| = 24 ะ 16 (4.2×-1) (2×-2) =0

y =4 14× I2 ×
=
2= = 2 =2
y = 4×
_ × =1

☒×

า ห ง log วย

0 0

= _

1. ยhไำ จารณา ห ง log

f ลด log 3C× + 1) >0

109g [ ]1 09 31 × + 1) > 109 × +1 °

9310 ( ×+ 1) < 2 >3 = 1
32× + 1 2
× >o

× <8 ( 0g 8)*

o o

21 1s
8
0

ุ้ยัลิพ้ดัล่คูดุ๋ฐู้ห่ํก

HW Y× , สอดค อง บสมการ
-.

Y ×- = และ start

( xty ) . 3

2 10 92 < × + y ) "

y= × -

หา า 22 = 22 + = 4*

× +y

( xty ) . 1 2 2

Y× - = logz Cxty ) y= × -

3 9 2×72

( ×+ y ) =

×+ y ะ l
.
y× + 9. y× -

=2

=

y× + ①= 2- ฅํ๋ . 32×-2 y Y× -
②= 2- qx - y
y× - y✗ - =2
2
×= 2 = 81
( 4
y=0
= (ำำ

ๆ× - =2

๊ิหุ้ยุ๋ฑ์ิรู่ห้วุ่ย้อ่คุรัก้ล

2. ☐

log [ logx . ]( 9- log ×2) > 1 log × = 5
_
loglogx 19- - ×2) 7 เอา 2

¥× = 10

9 logx - 2 ( logx 2 2 10 log × = 2

) X = 102

;ณ1- 21 logx )2- 9 logx +า 0210 t - • +
>
e • 1

2 a 2- qa +10 เ ¥10

1 02

E0 [ 102,10 ]

( 2 a- 5) (9-2) E0 } นะ

a= 2 •ำ ab = 102.10 *= 10
,

3. ° ☐o

p

1093 (4×+137) < 10939 + 1093 (1+2×+2)

1093 (4×+137) 1093 ]< }[ ×+ + +-
q . ( 1+2
(E)2+137 <ำ ำ>
22< ×
9+9.2 . 25

(2 - 36.2×+128 2 0 ตอบ ( 2,5 )

(2×-4) (2×-32) < 0

× ×

2 =4 2 = 32
X= 2 X= 5

ุ้ท๊ัญัก๋ัว๋ัร๋ัวูค

-

5.

6°

p

จาก C 2- 3) 12 + ร3) = 1 × 2-2×-16 > -1
× 2-2×-15 > ๐
2- 5 = 1
2- ง = ( × - 5)(× + 3) > 0
2+☐
( 2 + ร3) "

logz( ×2-2×-1 6) logz
C2 " + - t

+ ร3) < (2+5) ←< o ->
>
C-×2+2×+1 6) logz (2tFJLlog212I.GE)
3' 5

2+2×- 85,8C-
- 3) UC )*
า
× +16 <ๆ

lPrATr1 ปnี 256t3 เ ม ตอบ

zjlog.fr?-98g"9 × → 1092 ☒

/ 092 ( /°

+ (2 × , 4- =

แ ง 41× °98 =F

+_ /= 2

( 2✗) "9 × = q /098

log (2× )"9× = log 141°98g

logx . logc2×) = log 8. log 4

t

log 23. / og 22

่ท๊ํฟ๋ับำคิตำเ้ข้ข้ืก

→ logx . [log 2+1 og × ] =3 Iog 2.21g 2

En

+10gllogx2 2 ^ / ogx = 3 1 09 2. 2 1092

)

ab

elogx ำ+1092 tgf -31cg 2kg2 = o

+ a b- 6 b 2 =o

ea +3 b) (a- 2 b) =0

9 =-3 b ba = 2

logx = -310g 2 logx = 2 log 2

logx = log 2- 3 Iogx = log 4

น× = 2- 3 = ×= 4

น {i. 4✗ = = 0.5 *

logx ologezx ) = log 8. 10g 4
Iogx . [ log 2 + logx] = log 8. log 4

llogx ำ + lgtelogx -1g 8. log 4 = o log 8- log 4

( logx + log 8) ( logx -1g 4) ะ 0 log ( ก = 1092

logx = - log 8 log × = 10g 4 log 8. Iogx - log 4. logx

10g × = log " 4× = logxclog 8- log 4)

8

น× ะ

ห้