Algebra_Lineal_-_7ma_Edicion_-_Stanley_l

532 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales (p. 530)

iiii) El sistema Ax 5 b tiene una solución única para cada n-vector b.
iiiv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad, In, de n 3 n.
iiiv) A se puede expresar como el producto de matrices elementales.
iivi) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.
ivii) Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes.
viii) det A Z 0.
i ix) n(A) 5 0.
ii x) r(A) 5 n.
i xi) La transformación lineal T de Rn en Rn definida por Tx 5 Ax es un isomorfismo.

• Sea T: V S W un isomorfismo:
i iii) Si v1, v2, . . . , vn genera a V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn genera a W.
iiii) Si v1, v2, . . . , vn son linealmente independientes en V, entonces Tv1, Tv2, . . . , Tvn son lineal-
mente independentes en W.
iiii) Si {v1, v2, . . . , vn} es una base en V, entonces {Tv1, Tv2, . . . , Tvn} es una base en W.
ii iv) Si V tiene dimensión finita, entonces W tiene dimensión finita y dim V 5 dim W.

A AUTOEVALUACIÓN 7.4

Indique si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos.
III) Una transformación lineal de Rn S Rm con n Z m no puede ser 1-1 y sobre a la vez.
III) Si dim V 5 5 y dim W 5 7, es posible encontrar un isomorfismo T de V en W.
III) Si T es 1-1, entonces nu T 5 {0}.
IV) Si T es un isomorfismo de un espacio vectorial V en R6, entonces r(T ) 5 6.
V) Si AT es una matriz de transformación de un isomorfismo de R6 en R6, entonces

det AT Z 0.

Respuestas a la autoevaluación
I) V II) F III) V IV) V V) V

Problemas 7.4

1. Demuestre que T: Mmn S Mnm definida por TA 5 A^ es un isomorfismo.
2. Demuestre que T: Rn S Rn es un isomorfismo si y sólo si AT es invertible.
*3. Sean V y W dos espacios vectoriales reales de dimensión n y sean B1 y B2 dos bases para

V y W, respectivamente. Sea AT la matriz de transformación relativa a las bases B1 y B2.
Demuestre que T: V S W es un isomorfismo si y sólo si det AT Z 0.
4. Encuentre un isomorfismo entre Dn, las matrices diagonales de n 3 n con elementos
reales, y Rn. [Sugerencia: Analice primero el caso n 5 2.]

7.4 Isomorfismos 533

5. ¿Para qué valor de m es isomorfo a Rm el conjunto de matrices simétricas de n 3 n? Transformación
inversa
6. Demuestre que el conjunto de matrices simétricas de n 3 n es isomorfo al conjunto de
matrices triangulares superiores de n 3 n.

7. Sea V 5 P4 y W 5 {p P P5: p(0) 5 0}. Demuestre que V _ W.

8. Defina T : Pn S Pn por Tp 5 p 1 p9. Demuestre que T es un isomorfismo.

9. Encuentre una condición sobre los números m, n, p, q tales que Mmn _ Mpq.

10. Demuestre que Dn _ Pn21.

11. Pruebe que cualesquiera espacios vectoriales complejos de dimensión finita V y W con
dim V 5 dim W son isomorfos.

12. Defina T: C [0, 1] S C [3, 4] por Tf (x) 5 f (x 2 3). Demuestre que T es un isomorfismo.

13. Sea B una matriz invertible de n 3 n. Demuestre que T: Mmn S Mnm definida por TA 5
AB es un isomorfismo.

14. Demuestre que la transformación Tp(x) 5 xp9(x) no es un isomorfismo de Pn en Pn.

15. Sea H un subespacio del espacio V de dimensión finita con producto interno. Demuestre
que T: V S H definida por T v 5 proyH v es sobre. ¿Bajo qué circunstancias será 1-1?

16. Demuestre que si T: V S W es un isomorfismo, entonces existe un isomorfismo S:
W S V tal que S(Tv) 5 v. Aquí S se llama transformación inversa de T y se denota
por T 21.

17. Demuestre que si T: Rn S Rn está definido por T x 5 Ax y si T es un isomorfismo, enton-
ces A es invertible y la transformación inversa T 21 está dada por T 21x 5 A21x.

18. Encuentre T 21 para el isomorfismo del problema 7.

*19. Considere el espacio C 5 {z 5 a 1 ib, donde a y b son números reales e i 2 521}. Demues-
tre que si los escalares se toman como reales, entonces C _ R2.

*20. Considere el espacio CnR 5 {(c1, c2, . . . , cn): ci P C y los escalares son reales}. Demuestre
que CnR _ R2n. [Sugerencia: Vea el problema 19.]

EJERCICIOS CON MATLAB 7.4

1. Sea T : R4 S R4 una transformación definida por T(vi) 5 wi para i 5 1, . . . , 4, donde

¯© ¹ © ¹ © 2 ¹ © ¹ ¿
°±²²²²ªªª«ª ²²
^Y Y Y Y ` 5 ºº ª ºº ª ºº ª ºº À
º ª º ª º ª º ²
»º ª »º ª »º ª »º ²Á
ª« ª« «ª

¯© ¹ © ¹ © 2 ¹ © ¹ ¿
²±²²²°ªª«ªª ²
^Z Z Z Z ` 5 ºº ª ºº ª 2 ºº ª ºº ²
º ª º ª 2 º ª º À
»º ª º» ª ª »º ²
ª« ª« »º «ª Á²

534 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

a) Verifique que el conjunto {v1, v2, v3, v4} es una base para R4 y, por lo tanto, que T está
bien definida.

b) Verifique que el conjunto {w1, w2, w3, w4} es una base para R4. ¿Por qué se puede con-
cluir que T es un isomorfismo?

c) Encuentre la representación matricial, A, de T respecto a la base canónica (vea el pro-
blema 6 de MATLAB 7.3). Utilice la representación matricial para encontrar una base
para el núcleo y la imagen de T y verifique así, que T es un isomorfismo. Verifique que
A es invertible.

d) Suponga que S: R4 S R4 es la transformación definida por S(wi) 5 vi, para i 5 1,
. . . , 4. Encuentre una representación matricial, B, de S y verifique que B 5 A21.

7.5 Isometrías

En esta sección se describe un tipo especial de transformación lineal entre espacios vectoriales.
Se comienza con un resultado sumamente útil.

T Teorema 7.5.1

Sea A una matriz de m 3 n con elementos reales.† Entonces para cualesquiera dos vec-
tores x P Rn y y P Rm:

(Ax) ? y 5 x ? (A^y) (7.5.1)

Ecuación (2.5.6) Teorema 2.5.1 ii) Ley asociativa para la Ecuación (2.5.6)

p. 129 p. 128 multiplicación de matrices p. 129

Ax ? y 5 (Ax)^y 5 (x^A^)y 5 x^(A^y) 5 x ? (A^y)

Recuerde que en el teorema 6.1.3 de la página 423, se demostró que la matriz Q con ele-
mentos reales es ortogonal si Q es invertible y Q 21 5 Q ^. En el mismo teorema se demostró
que Q es ortogonal si y sólo si las columnas de Q forman una base ortonormal para Rn. Ahora
sea Q una matriz ortogonal de n 3 n y sea T: Rn S Rn una transformación lineal definida por

Tx 5 Qx. Entonces, usando la ecuación (7.5.1), se calcula

(Tx ? Ty) 5 Qx ? Qy 5 x ? (Q^Qy) 5 x ? (Iy) 5 x ? y

En particular, si x 5 y, se ve que Tx ? Tx 5 x ? x, o sea

|Tx| 5 |x|

para todo x en Rn.

† Este resultado se puede extender fácilmente a matrices con componentes complejas. Vea el problema 21 de esta
sección.

7.5 Isometrías 535

D Definición 7.5.1

Isometría
Una transformación lineal T: Rn S Rn se denomina isometría si para cada x en Rn

|Tx| 5 |x| (7.5.2)

Debido a la ecuación (7.5.2) se puede decir que una isometría en Rn es una transformación
lineal que preserva la longitud en Rn. Note que (7.5.2) implica que

|Tx 2 Ty| 5 |x 2 y| (7.5.3)

ya que Tx 2 Ty 5 T (x 2 y).

T Teorema 7.5.2

Sea T una isometría de Rn S Rn y suponga que x y y están en Rn. Entonces

Tx ? Ty 5 x ? y (7.5.4)

Esto es, una isometría en Rn preserva el producto escalar.

Demostración

|Tx 2 Ty|2 5 (Tx 2 Ty) ? (Tx 2 Ty) 5 |Tx|2 2 2Tx ? Ty 1 |Ty|2 (7.5.5)

|x 2 y|2 5 (x 2 y) ? (x 2 y) 5 |x|2 2 2x ? y 1 |y|2 (7.5.6)

Como |Tx 2 Ty|2 5 |x 2 y|2, |Tx|2 5 |x|2 y |Ty|2 5 |y|2, las ecuaciones (7.5.5) y (7.5.6)
muestran que

22Tx ? Ty 5 22x ? y o Tx ? Ty 5 x ? y

Cuando se desarrolló la ecuación (7.5.2) se demostró que si la representación matricial de
T es una matriz ortogonal, entonces T es una isometría. Inversamente, suponga que T es una
isometría. Si A es la representación matricial de T, entonces para cualesquiera x y y en Rn

de (7.5.4) de (7.5.1)

x ? y 5 Tx ? Ty 5 Ax ? Ay 5 x ? A^Ay
x ? y 2 x ? A^Ay 5 0 o x ? (y 2 A^Ay) 5 0

Entonces (vea la página 426) y 2 A^Ay P (Rn)^ 5 {0}
Se ve que para toda y P Rn y 5 A^Ay

(7.5.6)

Esto implica que A^A 5 I, de manera que A es ortogonal.
Se ha demostrado el siguiente teorema:

536 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

T Teorema 7.5.3

Se dice que una transformación lineal T: Rn S Rn es una isometría si y sólo si la repre-
sentación matricial de T es ortogonal.

Isometrías de R2

Sea T una isometría de R2 S R2. Sea

u1 5T © 1¹ y u 2 5 T © 0 ¹
ª« 0»º ª« 1 º»

Entonces u1 y u2 son vectores unitarios (por la ecuación (7.5.2)) y
de (7.5.4)

u1 ? u 2 5 © 1 ¹ ? © 0¹ 5 0
«ª 0 º» ª« 1º»

Por lo tanto, u1 y u2 son ortogonales. De la ecuación 4.1.7 de la página 238, existe un número
u, con 0 # u , 2p tal que

© cos u¹
u1 5 ªª« sen uºº»

Como u1 y u2 son ortogonales,

Dirección de u2 5 dirección de u1 6 p
2

En el primer caso

u 2 5 © cos ª©«u 1 p2 ¹º» ¹ 5 © 2sen u ¹
ª sen ª«©u 1 p2 º»¹ º ª«ª cos u º»º
ª º
ª º
ª º
« »

En el segundo caso

u 2 5 © cos ©ª«u 2 p2 º»¹ ¹ 5 © sen u ¹
ª sen «ª©u 2 p2 ¹»º º ªª« 2cos u »ºº
ª º
ª º
ª º
« »

con lo que la representación matricial de T es

© cos u 2sen u¹ © cos u sen u¹
Q1 5 ªª« sen u cos uºº» o Q1 5 ªª« sen u 2cos uº»º

Del ejemplo 7.1.8 de la página 483, se ve que Q1 es la representación matricial de una transfor-
mación de rotación (un ángulo u en el sentido contrario al de las manecillas del reloj). Es fácil

verificar que

© cos u sen u¹ © cos u 2sen u¹ © 1 0¹
ªª« sen u 2cos uºº» 5 ª«ª sen u u ºº» ª 21»º
cos « 0

7.5 Isometrías 537

pero la transformación T: R2 S R2 dada por

T © x ¹ 5 © 1 0¹ © x¹ 5 © x¹
«ª y »º «ª 0 21º» «ª y»º ª 2y »º
«

es una reflexión de © x¹ respecto al eje x (vea el ejemplo 7.1.1, página 480). Entonces se tiene el
ǻ yȼ

siguiente teorema.

T Teorema 7.5.4

Sea T: R2 S R2 una isometría. Entonces T es

ii) una transformación de rotación, o bien

ii) una reflexión respecto al eje x seguida de una transformación de rotación.

Las isometrías tienen algunas propiedades interesantes.

T Teorema 7.5.5

Sea T: Rn S Rn una isometría. Entonces

ii) Si u1, u2, . . . , un es un conjunto ortogonal, entonces Tu1, Tu2, . . . , Tun es un conjunto
ortogonal.

ii) T es un isomorfismo.

Demostración

ii) Si i Z j y ui ? uj 5 0, entonces (Tui) ? (Tuj) 5 ui ? uj 5 0, lo que prueba i).
ii) Sea u1, u2, . . . , un una base ortonormal para Rn. Entonces por el inciso i) y el hecho

de que |Tui| 5 |ui| 5 1, se deduce que Tu1, Tu2, . . . , Tun es un conjunto ortonormal
en Rn. Por el teorema 6.1.1 de la página 419, estos vectores son linealmente indepen-
dientes y por lo tanto forman una base para Rn. Entonces im T 5 Rn, lo que prueba
que nu T 5 {0} [ya que n(T ) 1 r(T ) 5 n].

Se concluye esta sección con una descripción de cómo extender el concepto de isometría

a un espacio arbitrario con producto interno. Recuerde de la página 466 que un espacio V con

producto interno

1

||v|| 5 kv, vl2

(Recuerde que, con el fin de evitar confusiones, se usan dobles barras para denotar una norma.)

D Definición 7.5.2

Isometría

Sean V y W dos espacios vectoriales reales (o complejos) con producto interno y sea
T: V S W una transformación lineal. Entonces T es una isometría si para todo v P V

||v||V 5 ||Tv||W (7.5.7)

538 CAPÍTULO 7 Transformaciones lineales

Los siguientes dos hechos son consecuencia inmediata: primero, como T(v1 2 v2) 5 Tv1 2 Tv2,
se tiene que para todo v1 y v2 en V

||Tv1 2 Tv2||W 5 ||v1 2 v2||V

Segundo,

T Teorema 7.5.6

Sea T: V S W una isometría. Entonces para todo v1 y v2 en V

kTv1, Tv2l 5 kv1, v2l (7.5.8)

Es decir, una isometría preserva los productos internos.
Demostración

La demostración del teorema 7.5.6 es idéntica a la prueba del teorema 7.5.2 con produc-
tos internos en V y W en lugar de producto escalar en Rn.

D Definición 7.5.3

Espacios vectoriales isométricamente isomorfos

Se dice que dos espacios vectoriales V y W con el mismo conjunto de escalares son
isométricamente isomorfos si existe una transformación lineal T: V S W que sea tanto
isometría como isomorfismo.

T Teorema 7.5.7

Cualesquiera dos espacios reales de dimensión n con producto interno son isométri-
camente isomorfos.

Demostración

Sean {u1, u2, . . . , un} y {w1, w2, . . . , wn} dos bases ortonormales para V y W, respectiva-
mente. Sea T: V S W la transformación lineal definida por Tui 5 wi, i 5 1, 2, . . . , n. Si
se puede demostrar que T es una isometría, entonces la demostración queda completa,
ya que de acuerdo con el razonamiento del teorema 7.5.5 se llega a que T es también un
isomorfismo. Sean x y y en V. Entonces existen conjuntos de números reales c1, c2, . . . ,
cn, y d1, d2, . . . , dn tales que x 5 c1u1 1 c2u2 1 . . . 1 cnun y y 5 d1u1 1 d2u2 1 . . . 1 dnun.
Como los ui son ortonormales, kx, yl 5 k(c1u1 1 c2u2 1 . . . 1 cnun), (d1u1 1 d2u2 1 . . . 1
dnun)l 5 c1d1 1 c2d2 1 . . . 1 cndn. De manera similar, como Tx 5 c1Tu1 1 c2Tu2 1 . . . 1
cnTun 5 c1w1 1 c2w2 1 . . . 1 cnwn, se obtiene kTx, Tyl 5 k(c1w1 1 c2w2 1 . . . 1 cnwn), (d1w1
1 d2w2 1 . . . 1 dnwn)l 5 c1d1 1 c2d2 1 . . . 1 cndn, porque los wi son ortonormales. Esto
completa la prueba.

EJEMPLO 7.5.1 Una isometría entre R3 y P2[0, 1]

El teorema 7.5.7 se ilustra mostrando que R3 y P2[0, 1] son isométricamente isomorfos. En R3 se

`usala ¯© 1 ¹ , © 0¹ , © 0 ¹ ¿ 3 (2x 21), 5(6x2 2
base estándar °±²²ª«ª 0 º ª 1ºº ª 0 º ²À. En P2 se usa la base ortonormal 1,
0 º ª 0» ª 1 º Á²
» « « »

7.5  Isometrías          539

∫ ∫∫ ∫ ∫ R∫∫∫ ∫{∫∫∫  ∫R∫} e∫∫ s∫∫∫∫∫∫u{{ me∫ n 7∫.∫5∫∫∫∫∫ ∫}∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫{∫∫∫∫∫∫ ∫{∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫}{}{∫∫∫ { ∫ ∫ ∫∫ ∫ } }∫ ∫ }}∫ }∫ ∫∫∫ { ∫ }A552x5111x5aa//Ba2255)dbax3cTxzy[33dcq12,(11211sxoaa)x61i(((2l2254,2231A50Te,1111,baa22s/x5//55255n11T3c2311303y11113uT2212c001)1bc(3bu0l21522a66221222i2d5iid520b51x22xT01611171,1x1101x(1215001pc6b26001122x1TT3TT122ykkAAAA1(2(3b1TT3TT3255x2abakkAAAA00x12c0Ti655111x2/p23TTT//3210252112646[pTT5512(0x1c[00x13,y55111cb//a)aa)[[0012x6,2a22111155abxaac1A2yz0qq2]511a22201,551ab1x13c1.yzc6q226)6x12x,.11)A)aa((TBdb(((2l2112,23A12aa2T43)66122(((l2112,263123yD Aj1tx(cbaa6122T/11x52/32011/515buaa122iT5o/0b305B25/2311i/15231i5x053y1111AAx33T)222[13b116i30c003y11111q2b3cen221nxb(1c100101l1bc1125Td2abx••••210l322f12u15i,t22aiic)21d55)22i 0ib522iix2152oTd351]0nsb1c13x51A,íe20111(52T011x1111x1,yz1p0e1x1(o2bdsA3aiSUSUiITpsTx(1oTb22y20(6)6n21(3bii1x13222ys1baaxs(exs2c001c203(3b1ei2)3))221ab11arx(0012x2T3xx50o53enn)111o22 x uu1e20.51146[322x3a031113t12TT(xc222a]1 0346[TnSnc(bm//a),(c2saao23s12()c1b//a1A112xxT0q2hy211y2201T1ai132V1A12.0qcx1221u)2nu0c,x1eo.113e1.))ctyet22(T)xB)bo001x35.lu11A2211))002152(T66:B2222bsr112er)to11A23.xr(sc1512566221220r213)x(cr(a211a51iTT62a0b052tR220i121i522)1ruA1,iTA20br)052)[416ubíi1i15212i5o22121A5nn2x)/5[bmx]iaó//1Bx1u21]n5)d/n3eTxxd5[/21331/dnc123g1122s54(5s,3d333)2a1l1bc5s,xd2aocx)S?5x6f3)a1ifo2t2001543,2A250x1(501e311,i1oos3oxei,201(ys1xl(s2;nA5325.0iene11T(c(.1T22jrA3r(5s6s1o2u1(2T1T52exm(2s2nca.6BRc)113(12)m53mPoxus2c(cuTx5322)e5m2mTT3TTo662(20kkAAAA3l.Txx520131e2x3d6u5o55212200om23nx.0np31(1T2ax22ax2ax0sy0,n( 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e2s2o22d020111iT56)20besn1011A152ix2TxTT0q20b20niy5211221x1i5(2ce(i21011x2021Asia51uA3n6)13nAB212).[cb0i)(522l[u2)bu1Tci1q1x2sx]21.(0b02x6u2)1)x1s2151(Tx1)Blbxa00A13u115nux115s1211AcT)x215[ncb132512550d12)T66)2236du3a)2u1u]25u11e23(3x(5c,1Tx5x11051,1Te1l)21o]201)y20p13x(2)1215d0i31T1a6x220b520352x3x2ysm5,2i1321105i2255),13)eAn(2A031())1)2024[611(bx1is22,5ax25x3/511xx5Txy]|x2e(y//2B132(A,321(uiA13e12)d25113T(y001xd1511[T33d2c2(2u121u1122a13c(T2r612(1s(151,5n65100(112122x3112)x00s12nc351xc1)s23csx2xn(5c2)21o3zyTa52x)52)x6o(31i((6)225)4Tx5(//31AT/ex5T2501t2(0e1oxes2c1,i201oc5323x221200131213)(x26,2510a31216x2Ps22(xx0o1(s5mT2x22221220n)11(A532e5naAn(2]btc21o)1/|T24(162sc51x/21T/21s22(5xx6]x1o122xx124Tx/3u2/5101y1xxT5oT]/21223/ny3//(Bnx22s22c222a2)22cb2c1i433()dd23s2)T33c3ux2u3[3c3dc1u2uu21(eca00x1bcTx152[d3(s2m5e1c22x20016od6311x522000211c003s1325x1120so131xx5222u22uocx5)d25tx)21161o1i0122s)2;514no(|xx1A0500e12105eex2x2,1s20orT;(21565,61720(,2s51e11x1x)6xT12s2e21yx222()211m21225)A515n25sB)20011snAí4161,21)T2c51461u2cu(622c562n2125Bx6tu/50011xa]uyxy2/552)//T1xB1]0011//23B5x2)u12)d61()31T6(x52)d[r333dTc]21x365uT2[x)33d1c12ux2e/5(1x]2c(2i|5236|u161622y11)dí3ssx(2/ x11251so[sx6/dxc)21/xo61di)252tx26120y515i54(22)21212y6a254AA5u5)0Ae512e144612,0x1011eix5xs,x02r5oy,)61x76xs,1/515x2x)1]s[1//xB(65252151n05121e5)d1001T,35nT1íxc1511T[dyc33dc25]11c62,ys2y2s(6xu,00T11511au6221T62526x12n1)11211xs(1x()c1oiyzA3()|x(631uied(x22 u54ux//22TxxA/5yz22Tc5i.1s2054362e26)62,(e6)612(//26/6,26pdfs5u/x1dx5221035ó25122665)a2nbc61|651nTix122xB0xc10x22xxu0x61y7ax2dbc5A16x1x17u1aT1nT)x1;([16T215(6222lx210051)21x(2x00133c0363c(25]21u126222162ox23001162223351r(22T200111R362p5i61262x612006x11121,1(232c11x(26Ad5x(2)ód56x2a001x12c2ix2c16i243x)2x26o10(]./6ss6c/17x/An/61x/x1151/221105x(x12261203c5215126x0061TTTT31yz2?,105x1eic12Bxkk0xAA1AAt6dory.x/d2xy6A,x00)155115[2 TT2)126[612206To1126)(xn6l2]5xT2(.p2]51ox1TsT12)x62[cl2i6T6a6666x1x6556x11/xd2Ax/o2]5[005/1(A2x)d,2(),105u111ud55111262saax2y160431T)1241x10x21a2243)x]556ba]xycA6syz6c(xoqArd1461)1x5[T13,2x161131)x)5yztB15v2e62]5Bexo216daaAxx51xATx(((l36xT26T6a2,2316x16,205T6)un1xAeyp((11x1d11(b1xaxas1221222/11T50/0611243T/x)52n21125x162cn13x522613(1153)1r1)0x5y31111)3uu5325)11)221Txx5102e1TBc00121tt]2]bcsx]ec)xAAsecx1x)2bA5T10l5165222111x1oon)2zyx21ae2yz11]22eso(scd1x1isod12]ii2/TT?d5x5T/12x/020b5,,6)1120n2r22e1e46)23Tno1yd3)31xs1511,1xasbcR2d0111ux100c12e20221126)ynn]001xspcxxA55)11x55sb11u)u5111suu)511xox10x1sTzyT1n1021yeT]xo];dnt2(3b1)302e22uTbaua11005122)2201011156) s)na111]2x22e213xesn3B]x/2c211554x6[/12)/,,x(uc22c4y35n3s)y33ucub//a)5112a11obcx0021d101112T2c200123611u21221]211i20011A2y50q1510111y)11113ós1.00)1)cuoTxn22)T2xR.55;))2(T0Beb2x15)112A221115,2T221n21566sn225jy2223x(c12n]2B/11]20031u52/52110/125/2215112/12/1iT220b403u525224i313213i5.3A3]ab)cmxd)a[bcbyz/cT2dicnc36u(100221//001/x32111a111Eb5sc1121y221d151osxc6odox32001t;55,;0a2b]eac11/0)e1s5/21/oxo52sx2x2554nn32s35223323n022eB2ta02b1c(n1dB335c511351s001u3ur12--(2.11nA31soxox5(zy136Tu21236(u(iu61;2//1/0ex2s2yccc3yr52)6su222(52Tx55neBa2bc,oyi5t203x01312xux5250an(o2222651133s136u3511112511xxT32y12l2yg2x51zyxxu2uyzc2(15(//////xd14001352o26526(5)/11a2bca12bc,511e16(215-x62x22)1a22bcA2)x22421633yz63332(35xx//3/5/1]231//B12222)d336Txx[33dc12(2)a2bc142112sxox)x61i225422A1520,e2,33,3,s3x12525n116Tc6uT122)16(x3xu252)14,662412xd52116x2x06171x11(1215001xc62600112121((41112((1(xppx2p)p1c1i)6///2105..126)..120x1xy)[1556552]52)66336x133A(d243)6557661x35B))))xAxT6(112Tx12)52]scxA15xzy1eodT206)n1xsx5)uu511101T]1)x,y