Fisika Dasar 1 - Mikrajuddin Abdullah

Bab 12 Gas dan Termodinamika




tersebut dan Mtotal adalah massa perhiasan. Berapakah massa emas
saja dalam perhiasan emas 5 gram 18 karat?

73) Garam dapur disusun oleh atom Na dan atom Cl dalam jumlah yang
sangat banyak. Massa atom Na adalah 23 satuan massa atom (sma)
sedangkan massa atom Cl adalah 35,5 satuan massa atom (sma).
Dalam 100 gram garam dapur, berapa jumlah massa Cl.




























































1038

Bab 13 Solusi Numerik























Bab 13



SOLUSI NUMERIK






Pada bab terakhir ini kita akan medemonstrasikan penyelesaian
sejumlah persoalan fisika secara numerik. Hasil akhir dari solusi tersebut
umumnya berbentuk grafik. Kita tidak akan menggunakan program komputer
yang rumit. Kita cukup menggunakan Exel yang otomatis terinstall di dalam
kompouter kita ketika menginstall Microsoft Office.


13.1 Roda Menggelinding di Jalan


Ketika terjadi kecelakaan kendaraan, seperti tabrakan maka umumnya
roda mobil selip di jalan dari kecepatan yang sangat tinggi hingga berhenti.
Besarnya gaya gesekan antara roda dengan jalan memenuhi persamaan



f    k N (13.1)



Selama ini koefisien gaya gesekan kinetik pada persamaan (13.1) dianggap
konstan. Namun, kajian yang lebih mendalam oleh para ahli transportasi
menunjukkan bahwa koefieisn gesekan antara roda yang selip di jalan dengan
permukaan jalan bergantung pada laju roda saat itu. Data tersebut diperoleh
dari sejumlah kajian tentang kecepakaan kendaraan. Dalam buku yang



1039

Bab 13 Solusi Numerik



dikarang Lacy, diperoleh informasi bahwa kebergantungan koefieisn gesekan
kinetik antara permukaan roda dan jalan memenuhi persamaan empiris



 v , 2 24  3 / 1
  1   (13.2)

k
 202 


Persamaan (13.2) cukup baik untuk laju antara 2,24 m/s hingga 36 m/s atau
8 km/jam hingga 130 km/jam [G.W. Lancy, Scientific Automobile Accident
Reconstruction, NY: Bender (1977)].

Sekarang kita akan menghitung perubahan laju roda yang mengalami
gaya tersebut sebagai fungsi waktu. Gaya normal yang bekerja pada roda
memenuhi N  mg . Dengan demikian, gaya gesekan yang dialami roda adalah




  v  24  3 / 1 
2
,
f    1    mg (13.3)
k
   202  


Dengan hukum Newton II maka percepatan roda memenuhi f  ma sehingga
k


  v  24  3 / 1 
,
2
a    1   g  (13.4)
  202   



Mengingat



dv dv dx dv
a    v
dt dx dt dx



Maka persamaan (13.4) dapat ditulis menjadi








1040

Bab 13 Solusi Numerik



,
dv   v  24  3 / 1 
2
v    1   g 
dx   202  


atau
2
1   v  24  3 / 1 
,
dv   1    gdx (13.5)

v   202  



Persamaan (13.5) sulit diselesaikan secara analitik. Karena itulah
perlunya metode penyelesaian secara numerik. Kita dapat menyelesaikan
dengan mudah secara numerik menggunakan Excel. Dalam rangka
penyelesaian dengan metode numerik, langkah awal yang perlu kita tempuh
sebagai berikut. Kita ganti variabel kontinu menjadi variabel diskrit sebagai
berikut



dv  v  v
i1
i

dx  x
v  v
i
Substitusi ke dalam persamaan (1u.5) maka diperoleh



2
v i1  v i   1   v  24  3 / 1  g 
,
i

 1

 x v i   202   

atau
,
2
1   v  24  3 / 1 
v  v    1  i   g x
i1
i
v i   202   

atau
,
1   v  24  3 / 1 
2
v  v   1  i   g x (13.6)
i1
i
v i    202   





1041

Bab 13 Solusi Numerik



Pada perhitungan kita berikan nilai laju awal, v0 dan berikan nilai x
yang cukup kecil. Gambar 13.1 adalah tampilan layar komputer program
perhitungan.














































Gambar 13.1 Tampilan layar komputer (Excel) hasil perhitungan.



Keterangan dari gambar tersebut sebagai berikut:

1) Cell H1 adalah jumlah step perhitungan. Nilai ini kita masukkan sesuai
keinginan kita.
2) Cell H2 adalah laju awal yang kita berikan. Ini pun kita bebas memasukkan
laju awal.
3) Cell H3 adalah percepatan gravitasi g = 9,82 m/s .
2
4) Cell H4 adalah panjang lintasan, s
5) Cell H5 adalah panjang tiap elemen lintsan x = s/n
6) Kolom A adalah posisi tiap elemen lintasan
7) Kolom B adalah laju pada berbagai elemen lintasan.
8) Cara mendapatkan nili pada kolom A sebagai berikut
a) Tempatkan kursor pada Cell A1 lalu isi dengan angka 0.


1042

Bab 13 Solusi Numerik



b) Kemudian tempatkan kursor di Cell A2 lalu ketik =A1+$H$4
c) Lalu copy Cell A2 ke semua Cell di bawahnya hingga ke Cell A500
d) Cara mendapatkan nili pada kolom B sebagai berikut
e) Tempatkan kursor pada Cell B1 lalu ketik instruksi =$H$2.
f) Instruksi ini memiliki makna bahwa nilai B1 persis sama dengan nilai
H2.
g) Kemudian tempatkan kursor di Cell B2 lalu ketik =B1-(1/B1)*(1-((B1-
2.24)/202)^(1/3))*$H$3*$H$5
h) Lalu copy Cell B2 ke semua Cell di bawahnya hingga ke Cell B500
i) Lalu gambar grafik dengan sumbu datar kolom A dan sumbu tegak
kolom B.
j) Setelah itu kalian bebas mengubah laju awal di Cell H2



Gambar 13.2 adalah contoh grafil yang diperoleh pada berbagai nilai laju awal.


































Gambar 13.2 Grafik laju mobil selip hingga berhentipada berbagai laju awal.



13.2 Gerak Turun Melingkar dengan Gesekan

Gerak turun benda pada lintasan melingkar ditunjukkan pada
Gambar 13.3. Jika tidak ada gesekan antara benda dengan bidang lengkung
maka terpenuhi maka energi mekanik konstan. Dengan asumsi energi mekanik
pada posisi statr (puncak lintaran nol) dan menganggap bahwa laju awal benda
nol maka terpenuhi



1043

Bab 13 Solusi Numerik





1 mv  mgr sin  (13.7)
2
2





























Gambar 13.3 Benda bergerak menuruni lintasan seperempat lingkaran yang memiliki gaya gesekan.



Namun, karena ada gesekan maka laju yang dicapai lebih kecil dari itu. Tidak
semua perubahan energi potensial menjadi energi kinetik. Sebagian energi
potensial berubah menjadi kalor akibat adanya gaya gesekan. Persamaan
energi untuk gerakan dengan adanya gaya gesekan adalah


1 mv  mgrsin   W (13.8)
2
2 f


denga Wf adalah kerja yang dilakukan oleh gaya gesekan yang memenuhi




W f   f k ds (13.9)



Besarnya gaya gesekan kinetik memenuhi persamaan f   k N dengan
k
N adalag gaya normal yang dialami benda. Besarnya gaya normal berbeda-beda



1044

Bab 13 Solusi Numerik



pada posisi yang berbeda. Gaya normal dapat dihitung dari persamaan Newton
untuk gerak melingkar sebagai berikut



mv 2

N  mgsin 
r
atau

mv 2

N  mgsin  (13.10)
r


Dengan demikian, gaya yang dilakukan oleh gaya gesekan menjadi



 mv 2 
mgsin
W f     ds (13.11)

 r 


Akhirnya, laju benda setiap saat dihitung dengan persamaan



1 mv 2  mgrsin    mv 2  (13.12)
mgsin
ds
2  r 



Perhatikan persamaan (13.2). Kita ingin mencari laju tetapi melalui
integral besaran yang mengandung laju. Tentu sulit bukan? Dalam
mempelajari mekanika riil di lapangan kita sering berhadapan dengan kasus
seperti ini. Dan penyelesaian seringkali tidak dapat dilakukan dengan cara
biasa. Kita harus menggunakan cara numerik. Berikut adalah salah satu cara
numerik yang dapat dilakukan.

Untuk memulainya, mari kita bagi lintasan seperempat lingkaran atas n
buah litantasan-lintasan kecil yang panjangnya sama seperti ditunjukkan pada
Gambar 13.4. Besar sudut tiap elemen adalah



 2 /
   (13.13)
n




1045

Bab 13 Solusi Numerik



Panjang satu elemen adalah



s  r   (13.14)




























Gambar 13.4 Lintasan kita bagi atas elemen-elemen kecil yang sama panjang.



Gaya gesekan arah menyinggung lintasan ke arah atas yang dialami
benda ketika berada pada posisi yang membentuk sudut  adalah f   k N .

k
Karena menda mendapat komponen gaya gravitasi yang menyinggung lintasan
ke arah bawah sebesar mg cos  maka gaya netto meninggung lintasan ke arah
bawah yang dialami benda adalah



f tan  mgcos    k N (13.15)



Dengan memasukkan ungkapan untuk gaya normal dari persamaan
(13.10) ke dalam persamaan (14.15) maka kita dapat menulis



 mv 2 
f tan  mgcos   k mgsin   (13.16)


 r 
Percepatan ke arah bawah yang dialami benda adalah a  f tan / m atau



1046

Bab 13 Solusi Numerik





 v 2 
a  g cos   k  g sin   (13.17)


 r 


Dari persamaan ini kita hitung laju benda secara numerik. Kita telah
membagi lintasan atas n buah elemen. Kita beri indeks elemen-elemen
tersebut dari indeks i = 0 sampai indeks i = n.

Indeks i = 0 adalah posisi awal di mana  0  0 dan kita anggap laju awal v 0  0 .


Indeks i = 1 memiliki     , indeks i = 2 memiliki   2   dan setersunya.
2
1
Secara umum indeks i sembarang memiliki sudut   i   .
i
Perhitungan untuk laju pada berbagai indeks dilakukan sebagai berikut

v 0  0


   
1
 v 2 
a 1  g cos 1   k  gsin 1  0 


 r 
2
v 1 2  v 0 2  a 1 s  v 0 2  a 1 r  
2
atau

v 1  v 0 2  a 1  r 
2

  2  
2
 v 2 
a 2  g cos 2   k  g sin 2  1 


 r 
2
v 2  v 1 2  a 2 r  


dan seterusnya.

Secara umum, persamaan numerik yang kita gunakan adalah



  i  
i
1047

Bab 13 Solusi Numerik



 v 2 
a i  g cos i   k  gsin i   i 1  (13.18)


 r 
v i  v 2  i 1  a i r   (13.19)
2


Gambar 13.5 adalah tampilan Excel hasil perhitungan.



















































Gambar 13.5 Contoh hasil perhitungan dengan Excel.



Penjelasan tiap kolom sebagai berikut:

Cell H1 adalah jumlah eleman yang dibuat, yaitu n = 500



1048

Bab 13 Solusi Numerik



Cell H2 adalah ukuran sudut tiap eleman, yaitu  =(/2)/500

Cell H3 adalah percapatan gravitasi g = 9,82 m/s .
2
Cell H4 adalah jari-jari lintasan r = 1

Kolom A adalah sudut tiap elemen, mulai dari 0 = 0 hingga 500 = /2

Kolom B adalah percepatan pada berbagai elemen yang dihitung dengan
persamaan (14.16). Untuk menentukan nilai perepatan pada tiap Cell,
tempatkan kursor pada Cell A1 lalu ketik persamaan

=$H$3*COS(A1)-$H$4*($H$3*SIN(A1)+C1^2/$H$5)

Kemudian copy Cell A1 ke seluruh Cell di bawahnya hingga Cell A500

Kolom C adalah laju benda yang dihitung dengan persamaan (14.17). Mula-
mula diberikan laju awal nol yaitu mengisi Cell B1 dengan 0. Untuk
menentukan laju lainnya, tempatkan kursor pada Cell B2 lalu ketik persamaan

=SQRT(C1^2+2*B1*$H$2)

Lalu copy Cell B2 ke cell di bawahnya hingga Cell B500
Setelah itu buat grafik percepatan dengan sumbu datar adalah Kolom A dan
sumbu vertikal adalah kolom B (percepatan)

Buat juga grafik laju dengan sumbu datar adalah kolom A (sudut) dan sumbu
vertikal adalam kolom C (laju)


Gambar 13.6 memperlihatkan laju benda pada berbagai nilai koefisien
gesekan kinetik. Tampak jelas bahwa laju benda makin kecil jika koefisein
gesekan kinetik maakin besar. Bahkan untuk koefisien gesekan kinetik 0,75
benda bergenti di tengah jalan.




























1049

Bab 13 Solusi Numerik






































Gambar 13.6 Laju benda pada berbagai nilai koefisien gesekan kinetik.



13.3 Bandul Simpangan Besar

Bandul yang kita bahas pada bab osilasi adalah bandunl simpangan
kecil. Dengan simpangan kecil maka fungsi sinus sudut simpangan dapat
didekati dengan sudut simpangan. Akibatnya gerak benda menjadi gerak
harmonik sederhana karena gaya sebanding dengan simpangan. Bagaimana
jika simpangan osilasor sangat besar? Tentuk pendekatan harmonik sederhana
tidak dapat dilakukan dan persamaan yang diperoleh menjadi sulit
diselesaikan secara analitik. Kita akan membahas fenomena ini secara
numerik.

Persamaan gerak bandung yang memiliki massa m dan panjang tali L
adalah



d 2 
mL   mg sin  (13.20)
dt 2

atau

d 2    g sin  (13.21)

dt 2 L

1050

Bab 13 Solusi Numerik





Kita tulis kecepatan sudut

d
 
dt

Sehingga kita dapat menulis



2
d   d
dt 2 dt



Untuk mencari persamaan yang dapat dihitung secara numerik maka
kita diskritisasi persamaan di atas sebagai berikt


 
  i i1
i
t 
d   i1 
i
dt t 

     
 i1 i    i i1 
  t    t  
t 

  2 
 i 1 i i 1
t  2



Dengan demikian, persamaan (13.21) dapat ditulis menjadi


 i 1   2   i 1   g


i
i
t  2 L sin 
atau

 g 

2


  2  1  sin  t  (13.22)
i
i
i
1
 L i 

1051

Bab 13 Solusi Numerik



Pada persamaan diskrit (13.22) kita mulai dengan menghitung 2. Tetapi
untuk menghitung 2 kita perlu mengetahui 0 dan 1. Nilai 0 adalah sudut
awal osilasi dan nilai tersebut diberikan. Nilai 1 dihitung berdaarkan nilai awal
kecepatan sudut, menurut persamaan



  0  0 t  (13.23)
1


Gambar 13.7 adalah instruksi Excel yang dapat digunakan. Penjelasan
untuk instruksi tersebut sebagai berikut.

Cell H1 adalah percepatan gravitasi

Cell H2 adalah panjang tali bandul

Cel H3 adalah kecepatan sudut awal bandul

Cel H4 adalah sudut awal simpangan bandul dalam satuan radian
Cell H5 adalah lama waktu osilasi

Cell H6 adalah jumlah step waktu perhitungan

Cell H7 adalah delta waktu tiap step







































1052

Bab 13 Solusi Numerik



















































Gambar 13.7 Tampilan Excel data yang diperoleh



Cell H8 adalah posisi sudut setelah selawang waktu t, yaitu 1 yang dihitung
dengan persamaan (13.23)

Kolom A adalah kolom waktu.
Kolom B adalah kolom sudut.

Untuk mengisi kolom A kita mulai dengan mengisi angka 0 pada Cell A1 (waktu
mula-mula). Lalu tempatkan kursor pada Cell A2 dab ketik instruksi
=A1+$H$7

Kemudian copy Cell A2 ke seluruh Cell di bawahnya hingga Cell A500
Untuk menghitung kolom B kita isi dulu 0 di Cell B1 dan 1 di Cell B2.
Tempatkan kursor pada Cell B1 laku ketik instruksi =$H$4



1053

Bab 13 Solusi Numerik



Kemudian tempatkan kursor pada Cell B2 kalu ketik instruksi =$H$8

Kemudian tempatkan kursor di Cell B3 lalu ketik instruksi =2*B2-B1-
(($H$1/$H$2)*SIN(B2))*($H$7)^2
Lanjutkan dengan mencopy Cell B3 ke seluruh Cell di bawahnya hingga Cell
B500

Kemudian buat kurva. Setelah kurva didapat, kalian benas mengubah-ubang
sudut awal, kecepatan sudut awal, atau panjang tali.

Gambar 13.8 adalah simpangan sundut bandunl pada berbagai waktu
dengan menggunakan berbagai simpangan awal. Jelas terlihat bahwa periode
osilasi berbeda dan bergantung pada sudut awal. Sedangkan untuk bandul
dengan simpangan kecil, periode osilasi hanya bergantung pada panjang tali.































Gambar 13.8 Simpangan pada berbagai waktu dengan menggunakan sejumlah sudut awal.



13.4 Shuttlecock

Peastel, Lynch, dan Armeni melakukan pengukuran posisi shuttlecock
sebagai fungsi waktu [ M. Peastel, R. Lynch, and A. Armeni, Jr., American
Journal of Physics 48, 511 (1980)]. Berdasarkan posisi tersebut mereka
menyimpulkan bahwa gaya gesek pada shuttlecock bergantung secara
kuadratik terhadap laju, atau



2
f   kmv (13.24)

1054

Bab 13 Solusi Numerik





Dengan demikian gaya total yang dialami shuttlecock adalah mg-kmv . Dengan
2
menggunakan hukum II Newton kita peroleh



dv
mg  kmv  m
2
dt
atau

dv  g  kv 2
dt

 k 
 g  1  v 2 
 g 




 v 2 
 g  1  2  (13.25)
 v T 



di mana kita definisikan



g
v  (13.26)
T
k


Untuk melakukan perhitungan secara Excel kita ganti sebagai berikut



dv  v i1  v i
dt t 



 v 2   v 2 
g  1    g  1  i 
 v T 2   v T 2 




Dengan penggantian ini maka persamaan (13.25) menjadi

1055

Bab 13 Solusi Numerik





v i 1  v i  g  1  v i 2 

t   v T 2 

atau

 v 
2
v i1  v  g  i  t  (13.27)
1

i
2
 v T 

Gambar 13.9 adalah tampilah data excel di layar komputer.

















































Gambar 13.9 Tampilan data Excel di layar komputer.
Penjelasan dari instruksi pada Gambar 14.9 sebagai berikut.



1056

Bab 13 Solusi Numerik



Cell G1 adalah percepatan gravitasi

Cell G2 adalah laju terminal

Cell G3 adalah lama waktu

Cell G4 adalah jumlah step waktu

Cell G5 adalag stel waktu

Cell G6 adalah laju awal
Kolom A adalah waktu. Untuk mengisi kolom A tempatkan kuroisr pada Cell A1
lalu isi angka 0. Kemudian tempatkan kursor pada Cell A2 lalu ketik perintah
=A1+$G$5
Kemudian compy Cell A2 ke seluruh cell di bawahnya hingga Cell A500

Untuk menentukan nilai kolom B, tempatkan kursor di Cell B1 kalu ketik
instruksi =$G$6

Kemudian tempatkan kursor di Cell A2 laku ketik instruksi =B1+$G$1*(1-
B1*B1/($G$2)^2)*$G$5
Lalu copy Cell B2 ke seluruh Cell di bawahnya hingga Cell B500.

Kemudian gambar kurva.



13.5 Dinamika Rantai Jatuh

Sebuah rantai yang memiliki panjang L dan massa per satuan panjang
konstan . Satu ujung rantai dikaitkan ke dinding dan ujung lainnya dapat
lepas secara bebas. Mula-mula ujung bebas diposisikan sejajar dengan ujung
tetap kemudian dilepaskan. Kita ingin menghitung perubahan posisi ujung
rantai sebagai fungsi waktu.

Perhatikan kondisi ketika ujung bebas rantai telah turun sejauh x
seperti ditunjukkan pada Gambar 13.10. Ketika ujung bebas rantai tutun
sejauh x maka panjang total dari ujung tetap rantai ke lokasi sejajar ujung
tetal menjadi L+x. Dengan demikian, panjang dari ujung tetap ke ujung
lekukan paling bawah rantai adalah (L+x)/2 dan panjang ujung bebas ke ujung
lekukan bawah rangai adalah (L+x)/2 – x = (L-x)/2.













1057

Bab 13 Solusi Numerik






x






(L+x)/2

(L-x)/2












Gambar 13.10 Koordinat ujung rantai yang jatuh.



Massa bagian rantai di sisi kiri adalah



1
m  (L   ) x (13.28)
1
2


Massa bagian rantai di sisi kanan adalah

1
m  (L   ) x (13.29)
2
2


Jarak pusat massa bagian kiri ke tempat ujung tetap adalah (L+x)/4 dan jarak
pusat massa bagian kanan ke ujung tetap adalah (L-x)/4 + x = (L+3x)/4.

Energi potensial saat ujung rantai turun sejauh x adalah




U (x )  m 1 gx pm 1  m 2 gx pm 2

1 (L  ) x 1 (L  3x )
  (L  x ) g  (L  x ) g


2 4 2 4
1058

Bab 13 Solusi Numerik





1
2
   L  2Lx x 2  (13.30)
g
4


Ketika rantai belum dilepas dan ujung bebas sejajar dengan ujung tetap (x = 0)
maka energi potensialnya adalah

1
2
U ) 0 (    gL (13.31)
4
Selisih energi potensial awal terhadap energi potensial ketika ujung bebas
turun sejauh x menjadi




 U (x ) U ) 0 (  U (x )

1
  2Lx  x 2  (13.32)
g
4
Yang bergerak turun hanya ujung sebelah kiri rantai. Kelajuan turun adalah
dx/dt. Dengan demikian, energi kinetik rantai adalah




1  dx  2 1  dx  2
K  m 2    (  x )    (13.33)
L
2  dt  4  dt 


Energi kinetik ini berasal dari perubahan energi potensial. Dengan demikian



1
1 (L  ) x    dx  2   g 2Lx x 2 

4  dt  4

atau

dx  g 2Lx  x 2 
dt (L  ) x

atau


dt  L   x (13.34)
dx g 2 ( Lx  x 2 )

1059

Bab 13 Solusi Numerik





Persamaan di atas dapat diselesaikan secara numerik menggunakan
Excel dengan terlebih dahulu melakukan diskritisasi berikut ini



dt  t i1 t  i
dx  x



L   x  L  x i 
g 2 ( Lx  x 2 ) g 2 ( Lx  x i 2 )
i


Substitusi ke dalam persamaan (14.32) menghasilkan



t i 1  t i  L  x i 
 x g 2 ( Lx  x i 2 )
i
atau

L  x 
t  t   x i (13.35)
i
i
1
g 2 ( Lx  x i 2 )
i
di mana
x  i x
i
dan

t 0  0



Gambar 13.11 adalah program Excel serta kurva x sebagai fungsi waktu.

Cell F1 adalah percepatan gravitasi

Cell F2 adalah panjang rantai

Cell F3 adalah jumlah pembagian rantai atas elemen yang sama panjang

Cell F4 adalah panjang tiap elemen rantai




1060

Bab 13 Solusi Numerik























































Gambar 13.11 Tampilan excel untuk simulai rantai jatuh.



Kolom A adalah posisi ujung bebas rantai. Posisi mula-mula 0. Untuk mengisi
kolom tersebut langkahnya sebagai berikut. Simpan kursor di Cell A1 lalu isi
dengan angka 0 (posisi awal ujung rantai). Lalu simpan kursor di Cell A2 dan
ketik perintah =A1+$F$4.

Copy Cell A2 ke seluruh cell di bawahnya hingga Cell A500
Kolom B adalah waktu yang diperlukan. Unutk menghiutng kolom B,
tempatkan korsor pada Cell B1 lalu masukkan angka 0 (waktu awal adalah
nol).
Lalu tempatkan kursor di Cell B2 lalu ketik perintah =B1+$F$4*SQRT(($F$2-
A2)/($F$1*(2*$F$2*A2-A2^2)))

1061

Bab 13 Solusi Numerik



Kemudian copy Cell B2 ke seluruh cell di bawahnya hingga Cell B500

Buat kurva antara kolom A dengan kolom B

Setelahj kurva didapat, kalian bebas mengubah-ubah panjang rantai pada Cell
F2.



13.6 Persoalan Dua Benda


Salah satu fenomena yang menarik dalam kaitannya dengan gaya tarik
antara dua benda adalah persoalan dua benda (two body problem). Misalkan
dua benda dengan massa m1 dan m2 didekatkan. Maka benda pertama ditarik
benda kedua dengan gaya gravitasi yang arahnya sejajar dengan vektor
penguhubng dua benda. Pada saat bersamaan benda kedua ditarik benda
pertama dengan arah sama dengan vektor penguhung dua benda. Besar gaya
tarik yang diamali benda sama. Akibat tarikan tersebut maka dua benda
mendapat percapatan yang berbanding terbalik dengan massa sehingga benda
tersebut masing-masing bergerak. Akibat gerakan maka terjadi perubahan
posisi dan kecepatan. Akibat perubahan posisi maka gaya tarik yang dialami
benda menjadi berubah baik besar maupun arah sehingga percapatan yang
dialami benda berubah. Akibatnya kedua benda mengubah arag gerakannya.
Begitu seterusnya sehingga kalau kita ikuti terus maka akar gerak benda akan
berbentuk kurva-kurva yang menarik yang bergaantung pana posisi awal,
kecepatan awal dan massa masing-masing beda. Sekarang kita coba bahas
contoh sederhana persoalan dua benda dan melakukan perhitungan lintasan
dengan Excel.
 
Misalkan benda m1 dan m2 berada pada posisi r dan r . Gaya gravitasi
2
1
yang dialami benda pertama dan benda kedua masing-masing


 m m  
F   G 1 2 (r  r )
12
3
r 12 1 2
 m m  
F   G 1 2 (r  ) r
21
3
r 12 2 1
Dengan demikian, percepatan benda m1 dan m2 masing-masing

 F m  
a  12   G 2 (r  r )
12
3
m 1 r 12 1 2

 F m  
a  21   G 1 (r  ) r
21
3
m 2 r 12 2 1


1062

Bab 13 Solusi Numerik



Dengan adanya percepatan ini maka kecepatan benda pada saat berikutnya
(setelah selang t) adalah


  

v ( t  t  v ( t  a ( t) t 
)
)
1
1
12

  

)
)
v ( t  t  v ( t  a ( t) t 
21
2
2
   1
2




r (t  ) t  r (t ) v (t ) t  a (t ) t
1
1
1
2 12
   1



2

r (t  ) t  r (t ) v (t ) t  a (t ) t
2
2
2
2 21

Untuk melakukan perhitungan kita uraikan persamaan dalam
komponen-komponennya sebagai berikut

2
r  (x  x 1 )  (y  y 1 ) 2
12
2
2

Gm
a   2 (x  x )
1x
(x  x 1 )  (y  y 1 ) 2 1 2
2
2
2

Gm
a   2 (y  y 2 )
1y
1
2
(x  x 1 )  (y  y 1 ) 2
2
2

Gm
a   1 (x  x )
2x
(x  x 1 )  (y  y 1 ) 2 2 1
2
2
2

Gm
a 2y   1 (y  y 1 )
2
(x  x 1 )  (y  y 1 ) 2
2
2
2

1063

Bab 13 Solusi Numerik




v ( t  t  v ( t  a x 1 t) ( t 
)
)
x 1
x 1

v ( t   t  v ( t  a ( t) t 
)
)
1
1
y
1
y
y


)
)
v ( t  t  v ( t  a 2 x t) ( t 
x
x
2
2

)
v ( t   t  v ( t  a ( t) t 
)
2
y
2
y
y
2

1




x (t  ) t  x (t ) v (t ) t  a (t ) t 2
1
1x
1
2 1x

1

y (t  ) t  y ) (t  v ) (t  t  a ) (t  t 2
1
1y
1
2 1y

1




x 2 (t  ) t  x 2 (t ) v 2x (t ) t  a 2x (t ) t 2
2

1


2
y 2 (t  ) t  y 2 ) (t  v 2y ) (t  t  a 2y (t ) t
2

Berikut ini adalah contoh program yang dapat kita gunakan. Nilai awal
yang perlu kita berikan adalah x10, y10, x20, x20, v1x0, v1y0, v2x0, v2y0. Kita juga
perlu informasi massa m1, m2, kontanta gravitasi G, dan selang waktu t. Pada
Gambar 13.12 kita simpan semua data tersebur di kolom R.
Program yang kita gunakan sebagai berikut
Isi kolom 1 dengan waktu. Step waktu kita isi di Cell R12
Cara mengisi kolom A sebagai berikut: isi kolom A1 dengan 0. Lalu tempatkan
mouse pada Cell A2. Kemudian tulis persamaan =A1+$R$12. Kemudian copy
Cell A2 ke Cell-Cells di bawahnya hingga batas waktu yang diinginkan.
Isi kolom B1 dengan nilai awal x1 dengan persamaan =$R$1

1064

Bab 13 Solusi Numerik



Isi kolom C1 dengan nilai awal y1 dengan persamaan = $R$2

Isi kolom D1 dengan nilai awal x2 dengan persamaan =$R$5

Isi kolom E1 dengan nilai awal y2 dengan persamaan = $R$6

Isi kolom F1 dengan nilai awal v1x dengan persamaan =$R$3

Isi kolom G1 dengan nilai awal v1y dengan persamaan = $R$4

Isi kolom H1 dengan nilai awal v2x dengan persamaan =$R$7
Isi kolom I1 dengan nilai awal v2y dengan persamaan = $R$8



































Gambar 13.12 Tampilan layar Excel program perhitungan


Isi kolom J1 dengan jarak dua benda dengan persamaan =SQRT((D1-
B1)^2+(E1-C1)^2)

Isi kolom K1 dengan percepatan a1x dengan persamaan =-$R$11*$R$10*(B1-
D1)/J1^3
Isi kolom L1 dengan percepatan a1y dengan persamaan =-$R$11*$R$10*(C1-
E1)/J1^3

Isi kolom M1 dengan percepatan a2x dengan persamaan =-$R$11*$R$9*(D1-
B1)/J1^3



1065

Bab 13 Solusi Numerik



Isi kolom N1 dengan percepatan a2y dengan persamaan =-$R$11*$R$9*(E1-
C1)/J1^3

Kemudian kita hitung nilai t berikutnya dengan persamaan berikut ini

Tempatkan kursor pada Cell B2 lalu ketik persamaan
=B1+F1*$R$12+0.5*K1*($R$12)^2

Tempatkan kursor pada Cell C2 lalu ketik persamaan
=C1+G1*$R$12+0.5*L1*($R$12)^2

Tempatkan kursor pada Cell D2 lalu ketik persamaan
=D1+H1*$R$12+0.5*M1*($R$12)^2

Tempatkan kursor pada Cell E2 lalu ketik persamaan
=E1+I1*$R$12+0.5*N1*($R$12)^2
Tempatkan kursor pada Cell F2 lalu ketik persamaan =F1+K1*$R$12

Tempatkan kursor pada Cell G2 lalu ketik persamaan =G1+L1*$R$12

Tempatkan kursor pada Cell H2 lalu ketik persamaan =H1+M1*$R$12

Tempatkan kursor pada Cell I2 lalu ketik persamaan =I1+N1*$R$12

Tempatkan kursor pada Cell K2 lalu ketik persamaan =-$R$11*$R$10*(B2-
D2)/J2^3
Tempatkan kursor pada Cell L2 lalu ketik persamaan =-$R$11*$R$10*(C2-
E2)/J2^3

Tempatkan kursor pada Cell M2 lalu ketik persamaan =-$R$11*$R$9*(D2-
B2)/J2^3

Tempatkan kursor pada Cell N2 lalu ketik persamaan =-$R$11*$R$9*(E2-
C2)/J2^3

Copy Cell A2, B2, C2, E2, F2, G2, H2, I2,K2, L2, M2, dan N2 ke bawah hingga
batas waktu yang diinginkan
Copy Cell J1 ke bahwan hingga batas waktu yang diinginkan

Plot kurva dari data di kolom B dan C. Kurva yanng diperoleh adalan lintasan
benda m1

Plot kurva dari data di kolom D dan E. Kurva yanng diperoleh adalan lintasan
benda m2

Ubah-ubah nilai posisi awal, kecepatan awal maupun massa benda pada kolom
R dan lihat perubahan kurva lintasan.






1066

Bab 13 Solusi Numerik



Gambar 13.13 adalah kurva perhitungan menggunakan data awal di
kolom R. Kurva yang diperoleh akan berbeda jika menggunakan data awal yang
berbeda.







































Gambar 13.13 Kurva perhitungan posisi benda pada berbagai waktu menggunakan data awal yang tertera di kolom
R.






















1067

Bab 13 Solusi Numerik


















































































1068