เซตและสับเซต

M A T H E M
A T I C S
เ ซ ต แ ล ะ

สับ เ ซ ต

น้องคะน้า

นางสาวกุลจิรา อุทัยพันธ์ุ
มัธยมศึกษาปีที่4
โรงเรียนมารีวิทย์ พัทยา

เซต

เซต (Set) หมายถึงลักษณะนามที่เราใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ เช่น กลุ่มของคน สัตว์
สิ่งของ หรือสิ่งต่าง ๆ ที่อยู่รวมกัน เป็นกลุ่ม โดยจะทราบอย่างแน่ชัดว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม


สัญลักษณ์ของชื่อเซตต่าง ๆ ที่ควรทราบ

การเป็นสมาชิกของเซต

การเป็นสมาชิกของเซต กำหนดให้ A = {1, 2, 3} 1 เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนได้ว่า

∈ ∉1 A (อ่านว่า 1 เป็นสมาชิกของ A) 4 ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนได้ว่า 4 A

(อ่านว่า 4 ไม่เป็นสมาชิกของ A)

ความสัมพันธ์ระหว่างเซต

เซตที่เท่ากัน คือ สมาชิกทุกตัวมีจำนวนเท่ากันและเหมือนกันทุกตัว
เซตที่เทียบเท่ากัน คือ มีแค่จำนวนที่เท่ากันแต่จะเหมือนกันทุกตัวหรือไม่เหมือนก็ได้

สับเซต (SUBSET)

⊂ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B เขียนว่า

เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B
ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B

⊄เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A B

สมบัติของสับเซต

⊂1) A A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
⊂2) A U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
⊂3) ø A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂4) ถ้า A ø แล้ว A = ø
⊂ ⊂ ⊂5) ถ้า A B และ B C แล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6) A = B ก็ต่อเมื่อ A B และ B A

7) ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต

เพาเวอร์เซต ( POWER SET )

เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เมื่อ A เป็นเซตจำกัดเพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทน
ด้วย P(A)

เอกภพสัมพัทธ์และแผนภาพเวนน์

เอกภพสัมพัทธ์ (Relatively Universe)
คือ เซตที่กำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึง สมาชิกของเซตนี้เท่านั้น
แผนภาพเวนน์
คือ แผนภาพที่ใช้เพื่อให้การศึกษาเกี่ยวกับเซตง่ายและเข้าใจขึ้นเราจะแทนเอกภพสัมพัทธ์
ด้วยสี่เหลี่ยมมุมฉาก และแทนเซตอื่น ๆ ด้วยวงกลมหรือรูปเรขาคณิต อื่น ๆ สมาชิกของ
เอกภพสัมพัทธ์อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยม และสมาชิกของ A อยู่ภายในวงกลม

อินเตอร์เซกชัน ยูเนียน คอมพลีเมนต์

อินเตอร์เซกชัน คือ นับตัวที่ทับกันในแผนภาพ
ยูเนี่ยน คือ รวมทั้งหมด
คอมพลีเมนต์ คือ ถ้าเจอตัวนี้ถือว่าไม่เอาตัวนั้น

ตัวอย่างแผนภาพเซต

การประยุกต์เกี่ยวกับจำนวนสมาชิกของเซตในการแก้โจทย์ปั ญหา

การแก้ปัญหาที่เราพบในชีวิตประจำวัน ข้อมูลต่าง ๆ ที่โจทย์กำหนดอาจกล่าวถึงจำนวนหรือ
กลุ่ม ของจำนวนที่มีความสัมพัทธ์กันอย่างซับซ้อน การแก้ปัญหาอาจต้องอาศัยรูปภาพและ
สัญลักษณ์เข้าช่วยกรณีของเซตเช่น การใช้แผนภาพเวนน์ก็อาจทำให้เรามองเห็นภาพ หรือ
คลี่คลายสถานการณ์ต่าง ๆ ที่มีความซับซ้อนให้ชัดเจนขึ้นโดยเราจะใช้การแทนตัวแปรลงไป
ทีละส่วนในแผนภาพ

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัดจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด A ใด ๆ จะแทนด้วย n(A) สูตร
การหาจำนวนสมาชิกของเซต เมื่อ A, B และ C เป็นสับเซตของ U (เอกภพสัมพัทธ์) คือ

∩n(AUB) = n(A)+n(B)-n(A B)
∩n(A-B) = n(A)-n(A B)
∩n[(A-B)U(B-A)] = n(A)+n(B)-2n(A B)
∩ ∩ ∩ ∩ ∩n(AUBUC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)-n(A C)-n(B C)+n(A B C)