เวกเตอร์ 3 มิติ

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 1 เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) 1. ระบบพิกัดฉากสามมิติ ตัวอย่าง จงเขียนจุด A (2 , 2 , –1), B (1 , –3 , 2 ), C (–1 , 3 , 3 ) ลงในระบบพิกดัฉากสามมิติ

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 2 แบบฝึ กหัด 3.1 1. จากรูป จงหาพิกดัของจุด B, C, D, E, F และ G เมื่อกา หนดจุด A(3,5,4) 2. จงเขียนจุด A (3 , 1 , –1), B (2 , –1 , 1), C (–2 , 1, 3 ) ลงในระบบพิกดัฉากสามมิติ

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 3 2. สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์การบวกเวกเตอร์การลบเวกเตอร์และ การคูณด ้ วยสเกลลาร ์ ขอ้แตกต่างของเวกเตอร์กบัสเกลาร์คือ ............................................................... ………………………………………………………………………………………………………… สัญลักษณ์แทนเวกเตอร์

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 4 ตัวอย่าง นิยามเบื้องต้นของเวกเตอร์ นิยาม 1 u และ v จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ……………………………………………………….. นิยาม 2 u และ v จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ ……………………………………………………….. นิยาม 3 นิเสธของ u คือ ………………………………………………………………………

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 5 โปรดสังเกต 1. …………………………………………………………………………………………………………… 2. …………………………………………………………………………………………………………… 3. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. 4. u จะขนานกบั v ก็ต่อเมื่อ.......................................................................................................................... แบบฝึ กหัด 3.2 1. 2.

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 6 3. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… การบวกเวกเตอร์ บทนิยาม ถ้าจุดปลายของ u เป็ นจุดเดียวกบัจุดต้งัตน ้ ของ v แล้ว u v คือเวกเตอร์ซึ่ง มีจุดต้งัตน ้ เป็ นจุดเดียวกบัจุดต้งัตน ้ ของ u และมีจุดสิ้นสุดเป็ นจุดจุดเดียวกบัจุดสิ้นสุดของ v ตัวอย่าง

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 7 การลบเวกเตอร์ บทนิยาม ให้ u และ v เป็ นเวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ ผลลบของ u และ v เขียนแทนด้วย u v และ u (v) จะเห ็ นวา่การลบ กค ็ือการบวกดว ้ ยนิเสธนนั่เอง ตัวอย่าง

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 8 แบบฝึ กหัด 3.3 1. 2. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 9 3. พร้อมให้เหตุผลประกอบ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. พร้อมให้เหตุผลประกอบ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 10 การคูณเวกเตอร ์ ด้วยสเกลลาร ์ บทนิยาม ให้a เป็ นจ านวนจริงและ u เป็ นเวกเตอร์ผลคูณระหวา่ง a และ u เป็ นเวกเตอร์ที่เขียนแทนด้วย a u โดยที่ 1) ถ้าa > 0 แล้ว a u จะมีขนาดเท่ากบั a u และมีทิศทางเดียวกบั u 2) ถ้าa < 0 แล้ว a u จะมีขนาดเท่ากบั a u และมีทิศตรงกนัขา้มกบั u 3) ถ้า a = 0 แล้ว a u 0

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 11 แบบฝึ กหัด 3.4 1. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก กรณีสองมิติ

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 12 ตัวอย่าง จงวาดรูปคร่าวๆ ของเวกเตอร์ต่อไปน้ี 1. 2. กา หนด A (1 , 2) และ B = (3 , 4) จงหา AB , BA ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึ กหัด 3.5 1. จงวาดรูปคร่าวๆของเวกเตอร์ต่อไปน้ี 1. 2 1 2. 2 3 3. 2 2

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 13 2. กา หนด P (–5 , 1) และ Q = (3 , –2) จงหา PQ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. กา หนด C(–2 , –3) และ D(5 , 6) จงหา CD และ DC ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. กา หนด T(1 , –3) และ G(-3 , 4) จงหา TG และ GT ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 5. กา หนด A(1 , 2) , B(2 , 3) และ C(5 , 6) จงหา AB BC ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 6. กา หนด A(2 , 2) , B(1 , 3) และ C(7, 6) จงหา AB BC ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 7. (มช 36) จงหาเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มตน้ที่ (0 , 0) มีความยาว4 หน่วยและท ามุม 30 กบัแกน x ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 14 กรณีสามมิติ ตัวอย่าง ให้P มีพิกดัเป็น (3 , 4 , –4 ) และ Q มีพิกดัเป็น (5 , 0 ,7 ) จงหาค่า PQ ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึ กหัด 3.6 1. ให้A(2, 1,–3 ) และ B(1, 1, 1), C(2, 3, -2), D(3, 3, 3)จงหาค่า 1. AB 2. CD ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 15 3. AB CD 4. AB CD ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. จงหาเวกเตอร์ต่อไปน้ี 3. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 16 4. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย(Unit Vector) ตัวอย่าง 1. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 17 2. AB มีจุดเริ่มตน้ที่A (1 , 2 , 0) และจุดปลายที่B (–2 , 3 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึ กหัด 3.7 1. จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปน้ีในรูป i และ j 1. 2 1 2. 2 3 3. 2 2 4. 0 5 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. AB มีจุดเริ่มตน้ที่A (3 , 2 , 1) และจุดปลายที่B (–1 , -1 , 1) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. AB มีจุดเริ่มตน้ที่A (0 , -2 , -1) และจุดปลายที่B (1 , 4 , 3) จงหา AB ในรูปของ i , j และ k ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 5. เวกเตอร์ที่ขนานกัน

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 18 ตัวอย่าง เวกเตอร์ต่อไปน้ีเวกเตอร์ใดบา้งที่ขนานกนั 1. 1 2 , 4 8 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. 1 2 , 2 1 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. 2 4 2 , 1 2 1 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึ กหัด 3.8 เวกเตอร์ต่อไปน้ีเวกเตอร์ใดบา้งที่ขนานกนั 1. 0 8 , 0 7 2. 3 1 , 3 9 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. 2 4 2 , 1 2 1 4. 5 4 3 , 0 2 1 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 19 6. ขนาดของเวกเตอร์ ตัวอย่าง ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 20 3. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... เรื่องนี้ชอบออกข้อสอบเข้ามหาลัย!!!!!! ให้นักเรียนไปศึกษา แล้วน ามาเสนอในชั้นเรียนนะครับ

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 21 7. ผลคูณเชิงสเกลลาร ์ ตัวอย่าง 1. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3.

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 22 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึ กหัด 3.9 1. ถ้า u 3i 4 j , u 2i 5 j และ w i 3 j จงหา u v, v w, u w ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. ให้ 2 2 1 a , 2 4 0 b และ 1 2 3 c จงหา a b, b c, a c ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 23 3. ให้ 2 1 u , 1 3 v และ 1 1 w จงหาค่าของ 1. u v ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. v u ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. u u ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 4. u v w ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 5. (u v) w ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 6. (u v)w ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 24 เรื่องนี้ชอบออกข้อสอบเข้ามหาลัย!!!!!!

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 25 ตัวอย่าง 1. 2. 8. ผลคูณเชิงเวกเตอร ์ ตัวอย่าง ตัวอย่าง

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 26 ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... แบบฝึ กหัด 3.10 จงหา u v เมื่อกา หนด 1. u 3i 4 j , v i 2 j ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 2. u i j , v i 2 j ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... 3. u 2i 4 j , v 3i 2 j ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………...... ……………………………………………………………………………………………………………......

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 27

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector In Three-Space) อ.ภานุวัฒน์ เกียรตินฤมล 28 ตารางการส่งงานเรื่องเวกเตอร์ในสามมิติ วัน/เดือน/ปี งาน ลายเซ็นผู้ปกครอง ลายเซ็นครู แบบฝึ กหัดที่ 3.1 แบบฝึ กหัดที่ 3.2 แบบฝึ กหัดที่ 3.3 แบบฝึ กหัดที่ 3.4 แบบฝึ กหัดที่ 3.5 แบบฝึ กหัดที่ 3.6 แบบฝึ กหัดที่ 3.7 แบบฝึ กหัดที่ 3.8 แบบฝึ กหัดที่ 3.9 แบบฝึ กหัดที่ 3.10 ประโยชน์ของการตรงต่อเวลา 1.ทา ใหเ้รามีนิสัยขยนัขนัแขง็เอาการเอางานอยา่งจริงจงั 2.ฝึ กให้เราเป็ นคนกระตือรือร้นมี่ชีวิตชีวา 3.ทา ใหเ้รามีความซื่อตรงต่อตวัเองรักษาเกียรติยศของตนเอง 4.ท าให้เราท างานได้สะดวกรวดเร็วเรียบร้อยและมีผลดี 5.หนา้ที่การงานประสบความสา เร็จชีวิตกา้วหนา้ 6.สามารถกา หนดกิจกรรมต่างๆ ที่เราจะกระทา ไดใ้นแต่ละวนัทา ใหช้ีวติมีระเบียบและมีวนิยักบัตนเอง 7.เป็ นที่เชื่อถือและไว้ใจของคนอื่น