ฟังก์ชัน

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 0 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” ม.3/..... เอกสารประกอบการเรียน เรือง ่ ฟังก ์ชันกําลังสอง m.3

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 1 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” เอกสารประกอบการเรียน กราฟของฟงกชันกำลังสอง กราฟของฟงกชันกำลังสอง เปนกราฟที่มีลักษณะเปนเสนโคงที่ เรียกวา พาราโบลา ซึ่งบทเรียนนี้จะศึกษา เกี่ยวกับ สมการของพาราโบลา 1. สมการของพาราโบลา บทนิยาม พาราโบลา (Parabola) เปนชื่อเรียกวา กราฟของสมการ 2 y ax bx c = ++ เมื่อ x เปนตัวแปรที่เปนจำนวนจริง a, b และ c เปนคาคงตัว โดยที่ a ≠ 0 และเรียกสมการดังกลาววา สมการพาราโบลา (Parabola Equation) หมายเหตุ สมการของพาราโบลา 2 y ax bx c = ++ คาของ a ≠ 0 เพราะ ถา a = 0 จะไดรูปสมการเปน y bx c = + ซึ่งเปนสมการของเสนตรง ลักษณะของกราฟพาราโบลา จากสมการพาราโบลา 2 y ax bx c = ++ เมื่อ a ≠ 0 จะมีลักษณะเปนรูปพาราโบลาหงายหรือ พาราโบลาคว่ำ ขึ้นอยูกับคาของ a ซึ่งพิจารณาได 2 กรณี ดังนี้ ขั้นตอนการเขียนกราฟของพาราโบลา 1. สรางตารางแสดงคาของ xและ y ที่สอดคลองกับสมการอยางนอยประมาณ 5 ถึง 7 คา และเพื่อใหได กราฟที่สมบูรณ ควรหาคากึ่งกลางของ x จากสมการ 2 y ax bx c = ++ จะไดคากึ่งกลางของ 2 b x a = − (ซึ่งเปนแกนสมมาตร) เมื่อหาคากึ่งกลางของ x ไดแลว ควรกำหนดคา x ที่มากกวาและนอยกวาคากึ่งกลางนั้น อยางละประมาณ 3 คา 2. กำหนดคูอันดับ (x,y)จากคา x และ y ในตาราง 3. ลากเสนโคงผานจุดเหลานั้น จะไดกราฟของพาราโบลาตามตองการ

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 2 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” 2. พาราโบลาที่กำหนดดวยสมการ 2 y ax = ตัวอยาง 1. จงเขียนกราฟของสมการตอไปนี้ ลงบนแกนคูเดียวกัน X Y

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 3 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” จากกราฟขางตน จงตอบคำถามตอไปนี้ สมการ ลักษณะ ของกราฟ จุดสูงสุด จุดต่ำสุด คาของ y สมการแกน สมมาตร จุดตัด สูงสุด ต่ำสุด แกน x 2 y x = 2 2 y x = −4 1 2 2 y x = 1 2 3 y x = − จากสมการของกราฟทั้งสี่ คาของ a มีผลอยางไรตอกราฟ ..................................................................................... .................................................................................................................................................................................... 2. จงเติมขอความตอไปนี้ ลงในชองวาง (1) แกนสมมาตรของกราฟ 2 y x = −100 คือ (2) จุดสูงสุดของกราฟ 1 2 100 y x = − คือ (3) จากสมการ 2 y x = 10 คาของ x = ……………………………………………….……………….... ทำให y มีคาต่ำสุด (4) จากสมการ 2 y x = −7 คาของ x = ……………………………………………….……………….... ทำให y มีคาสูงสุด (5) ถา (a, 27) เปนจุดที่อยูบนกราฟ 2 y x = 9 แลว คาของ a คือ (6) ถา (2, b) เปนจุดที่อยูบนกราฟ 1 2 2 y x = − แลว คาของ b คือ (7) ผลตางของคาต่ำสุดของกราฟ 2 y x = 5 กับคาสูงสุดของกราฟ 2 y x = −5 คือ ....................................................................................................................................................................... สรุปไดวา 1. เมื่อ a > 0 กราฟของฟงกชันเปนพาราโบลาหงายและมีจุดต่ำสุด เมื่อ a < 0 กราฟของฟงกชันเปนพาราโบลาคว่ำและมีจุดสูงสุด 2. ถาคา a ลดลง กราฟของฟงกชันของขยายเพิ่มมากขึ้น 3. แกนสมมาตรของกราฟของฟงกชันจะผานจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟของฟงกชัน 4. กราฟของฟงกชันมีจุดตัดแกน x เทากับ 1 จุด หรือ 2 จุด หรือไมมีเลยก็ได แตมีจุดตัดแกน y เพียง 1 จุด

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 4 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” 3. พาราโบลาที่กำหนดดวยสมการ 2 y ax k = + เมื่อ a > 0 เมื่อ a < 0 ตัวอยาง 1. จงเขียนกราฟของสมการตอไปนี้ ลงบนแกนคูเดียวกัน

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 5 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” จากกราฟขางตน จงตอบคำถามตอไปนี้ สมการ ลักษณะ ของกราฟ จุดสูงสุด จุดต่ำสุด คาของ y สมการแกน สมมาตร จุดตัด สูงสุด ต่ำสุด แกน x 2 y x = + 2 1 2 y x =− − 4 2 1 2 3 2 y x = − 1 1 2 3 2 y x =− + จากสมการของกราฟทั้งสี่ คาของ a มีผลอยางไรตอกราฟ ..................................................................................... 2. จากรูปเปนกราฟของสมการพาราโบลา (1) – (4) ที่กำหนดใหตอไปนี้ จงเขียนเลขตามที่กำหนดใหตรงกับกราฟ X Y 2 2 2 2 1 1. 3 3 1 2. 4 2 3. 2 4 4. 3 y x y x y x y x =− + = − = − =− +

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 6 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” 3. จงเติมขอความตอไปนี้ ลงในชองวาง (1) แกนสมมาตรของกราฟ 2 y x =− + 100 100 คือ ………………………………………………………. (2) จุดสูงสุดของกราฟ 1 2 50 100 y x =− − คือ .................................................................................. (3) จากสมการ 2 y x = + 10 20 คาของ x = .................................................... ทำให y มีคาต่ำสุด (4) จากสมการ 2 y x =− − 7 25 คาของ x = ……………………………………… ทำใหy มีคาสูงสุด (5) ถา ( ,27) a เปนจุดที่อยูบนกราฟ 2 y x = + 9 1 แลว คาของ a คือ ............................................ (6) ถา (2, ) b เปนจุดที่อยูบนกราฟ 1 2 4 2 y x =− − แลว คาของ b คือ ......................................... (7) ผลตางของคาต่ำสุดของกราฟ 2 y x = + 5 5 กับคาสูงสุดของกราฟ 2 y x =− − 5 25 คือ ......... 4. จงหาสมการของพาราโบลา 2 y ax = +2 ซึ่งกราฟผานจุด (-3,-2) และวาดกราฟของสมการนี้ X Y

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 7 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” 5. จากรูป เปนกราฟของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ (0, 4) − และตัดแกน x ที่จุด ( 1,0) − และ (1,0) จงหาสมการของกราฟดังกลาว 4. พาราโบลาที่กำหนดดวยสมการ 2 y ax h = − ( )

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 8 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” ตัวอยาง จงเขียนกราฟชองสมการตอไปนี้ ลงบนแกนคูเดียวกัน (1) 2 y x =− + ( 3) (2) 2 y x =− − 2( 2) (3) 2 y x = + 4( 1) (4) 1 2 ( 3) 2 y x =− − x (1) 2 y x =− + ( 3) (2) 2 y x =− − 2( 2) (3) 2 y x = + 4( 1) (4) 1 2 ( 3) 2 y x =− − X Y

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 9 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” จากกราฟขางตน จงตอบคำถามตอไปนี้ สมการ ลักษณะ ของกราฟ จุดสูงสุด จุดต่ำสุด คาของ y สมการแกน สมมาตร จุดตัด สูงสุด ต่ำสุด แกน x (1) 2 y x =− + ( 3) (2) 2 y x =− − 2( 2) (3) 2 y x = + 4( 1) (4) 1 2 ( 3) 2 y x =− − 2. จงตอบคำถามตอไปนี้ X Y

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 10 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” 5. พาราโบลาที่กำหนดดวยสมการ 2 y ax h k = −+ ( )

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 11 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” X Y

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 12 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” 2. จากรูป เปนกราฟของสมการ 2 y ax h k = −+ ( ) จงหา (1) คาของ h และ k (2) คาของ a (3) จุด A และจุด B

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 13 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 14 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” สรุปลักษณะของกราฟพาราโบลา

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 15 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” แบบฝกหัดทักษะที่ 1 จากกราฟขางตน จงตอบคำถามตอไปนี้

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 16 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 17 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 18 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 19 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” แบบฝกทักษะที่ 2

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 20 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 21 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 22 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 23 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” แบบฝกทักษะที่ 3

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 24 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 25 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 26 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 27 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” 5. ถากราฟของสมการ 2 y ax = −+ ( 2) 1 ผานจุด ( 1,5) − แลว a มีคาเทาไร 6. ถากราฟของสมการ 2 y xh = −− 3( ) 1 ผานจุด (2,2) แลว h มีคาเทาไร 7. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ 2 y xh =− − − 2( ) 3 ซึ่งผานจุด (0, 5) − เทากับเทาไร

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 28 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑” แบบฝกทักษะที่ 4

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 29 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”

คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาปีที่ 3 หน้า 30 จัดทำโดย นางสาวจันทนา กิ่งพุฒิ ครูกลุมสาระคณิตศาสตร โรงเรียนบางปะอิน “ราชานุเคราะห ๑”