BAI 2 CHUONG 1 DAISO 9

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

BÀI 2: CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2  A

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn thức bậc hai

Định nghĩa: Với A là một biểu thức đại số thì A được gọi là căn thức bậc hai của A và A

gọi là biểu thức lấy căn hay là biểu thức dưới dấu căn

A có nghĩa ( hay xác định ) khi A ≥ 0  1 có nghĩa khi A > 0
A

2. Hằng đẳng thức : A2  A   A, nêuA  0
 A, nêuA<0

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa

Phương pháp giải :

A có nghĩa khi A  0 A có nghĩa khi B # 0
B

A có nghĩa khi B > 0 A có nghĩa khi  A  0
B B  B

B  0

A co nghia khi B # 0 và A  0 A co nghia khi B > 0 và A  0
B B

Chú ý: f (x)  a (a  0)  -a  f(x)  a

f (x)  a (a  0)   f (x)  a

 f ( x)  a

 x2  a2  x  a
   a
Với a là số dương, ta có:   x

 x2  a2  a  x  a


Bài 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa?

a. 5x b. 4  3x c. 3x  2 d. 3x

e. 2x 10 f. 3x  4 g. 3x 15 h. 5x  1
m)  5x l)  3x  7 2
0) 5x p) 4  x
n)  2x  3 r) 3x  7

q) x t) 2 3x  9
3

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

r) 5x  8 v) 2 x  1 w) 2
HD: 3 5 2x  9

a) 5x có nghĩa khi 5x  0  x  0

b) 4  3x có nghĩa khi 4  3x  0  x 4
3

c) 3x  2 có nghĩa khi 3x  2  0  x  2
3

d) 3x có nghĩa  x  0

e) 2x 10 có nghĩa  2x 10  0  x  5

f) 3x  4 có nghĩa  3x  4  0  x 4
3

g) 3x 15 có nghĩa  3x 15  0  x  5

h) 5x  1 có nghĩa  5x  1  0  x  1
2 2 10

n) Biểu thức 2x  3 có nghĩa khi 2x 3 0  x  3
2

m) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 5x  0  x  0

l) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 3x  7  0  x  7
3

r) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 3x  7  0  x  7
3

q) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x  0  x  0
3

o) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 5x  0  x  0

p) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 4  x  0  x  4

t)Biểu thức C xác định khi: 3x + 9  0  3x  - 9  x  -3

Vậy biệu thức C xác định khi: x  -3

r)Biểu thức D xác định khi: -5x – 8  0  -5x  8  x  -8/5

v) Biêu thức G xác định khi: 2 x  1  0  2 x  1  x  3
3 5 3 5 10

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

Vậy biểu thức G xác định khi: x  3
10

w)Biểu thức H xác định khi: 2x  9 0  2x  9  x  9
2

Vậy biểu thức H xác định khi: x  9
2

Xin phép AD. Hiện tại mình có các bộ tài liệu sau
1.Chuyên đề ôn luyện HSG Toán 6.7.8.9 + ĐỀ THI hsg (Có giải chi tiết).
2. Chuyên đề ôn thi vào 10 + Bộ đề ôn thi 10 (Có giải chi tiết).
3. Giáo án phát triển năng lực toán 6.7.8.9 (TẶNG Kèm)
4. Tài liệu dạy thêm Toán 6.7.8.9 (TẶNG kèm)
5. Sáng kiến (tặng kèm)

Bài 2:Tìm điều kiện xác định

a) A  x2  1 b) B  4x2  3 c) C  x2  4
f) F  2x  6  3  4x
d) D  x  2  x  3 e) E  5  x  x  2

g) G  9x2  6x 1
HD:

a) Vì x2  0 với mọi x, nên x2 1  0 với mọi x
Vậy biểu thức A xác định với mọi x

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

b) Vì 4x2  0 với mọi x, nên 4x2  3  0 với mọi x
Vậy biểu thức B xác định với mọi x

c)Biểu thức C xác định khi: x2 – 4   (x – 2)(x + 2)  0

x  2  0 x  2
x x
 xx  2  0  xx  2  x  2
 2  0  2 x  2
 2  0  2

Vậy biểu thức C xác định khi: x  2 hoặc x  -2
d)Biểu thức D xác định khi: x + 2  0 và x – 3  0

 x + 2  0  x  -2

x–3  0  x  3
Vậy biểu thức D xác định khi: x  3
e) Biểu thức E xác định khi: 5  x  0 va x  2  0
*5–x  0 x  5
*x–2  0 x  2
Vậy biểu thức E xác định khi: 2  x  5

m) F  2x  6  3  4x

Biểu thức F xác định khi: -2x + 6  0 và 3 – 4x  0

 -2x + 6  0  -2x  -6  x  3

 3 – 4x  0  -4x  -3  x  3/4
Vậy biểu thức F xác định khi: x  ¾
g) Biêu thức G xác định khi: 9x2 – 6x + 1  0  (3x – 1)2  0 với mọi x
Vậy biểu thức G xác định với mọi x

Bài 3:Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: Trang 4

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

a) 1  x2 b) 4  x2 c)  3x2 d) x2  2x 1
e) x2  2x  1 f) x2  8x  9
i) (x  1)(x  3) j) x(x  2) g) x2  4x  5 h) x2  2x  2

k) 5x2  3x  8 l) 2x2  4x  5

m) 4  x2 n) x2  2x 1
HD:

a) Biểu thức đã cho có nghĩa khi1 x2  0  x  R
b) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 4  x2  0  x  R
c) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 3x2  0  x  0

d) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x2  2x 1 0   x 12  0  x  R

e) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x2  2x 1 0   x 12  0   x 12  0  x  1

f) x2 8x  9 có nghĩa  x2 8x 9  0   x 1 x  9  0  x  9
  1
 x

g) Biểu thức đã cho có nghĩa khi

x2  4x  5  0  (x2  4x  5)  0   x  22 1  0  x 
vì ta luôn có  x  22 1  0,x

h) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x2  2x  2  0  x 12 1  0  x  R

i) Biểu thức đã cho có nghĩa khi: (x 1)(x  3)  0  x 1 0  x 1
 x 3 0  x 3

j) x(x  2)  x(x  2)  0  x  2
 x  0

X -2 0 +
X - │- 0 +
x+2 -0 + │ +
x(x+2) +-

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

x  1

k) 5x2  3x 8  5x2  3x  8  0  (x  1)(5x  8)  0  x  8
 5

l) 2x2  4x  5  2x2  4x  5  0  2(x 1)2  3  0 . Vậy biểu thức luôn có nghĩa

m) 4  x2  4  x2  0  x2  4  2  x  2

n) x2  2x 1  (x 1)2  0  x 1  0  x  1

Bài 4: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa?

1 4 c. 2 d) 5
a. 3  2x b. 2x  3 x 1 x2  6

e) 2 f) 1 g) 4 h) 4
x2 1 x x3 x3

n) 2  x m) x 1 l) x 1 r) x2
5x x2 x3 x2 1

k) x5
x7

HD:

1
a) 3  2x có nghĩa khi

3  2x  0   x  3  x  3  3  2 x  0  x  3
 1  0  2  2 2
 3
3  2x 1.
3 2x  0  2x  0

b) 4 có nghĩa khi 4. 2x  3  0  2x  3  0  x 3
2x 3 2
2 x 3 0

c) 2 có nghĩa khi 2 x 1  0  x 1 0  x  1
x 1
x 1  0

d) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 5 6  0
x2 

Mà x2  0,x  x2  6  6  0,x  5 6  0,x nên x
x2 

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

2 0
x2 
e) Biểu thức đã cho có nghĩa khi  x  0

 x2
  0

f) Biểu thức đã cho có nghĩa khi  1 x  0  x 1
 1

1 x  0

g) Biểu thức đã cho có nghĩa khi  x 4 3  0  x  3
 

x  3  0

h)Biểu thức đã cho có nghĩa khi:  x 4  0  x  3
 3

x  3  0

n) Biểu thức đã cho có nghĩa khi:  2  x  0  2  x  5  2  x5
 5  x x  5

5  x  0

 x 1  0 x 1 x 1
 x 2    x  2
m) Biểu thức đã cho có nghĩa khi:    x  2 

x  2  0  x  2


l) x 1 có nghĩa khi  x 1 x  3  0 , ta có các trường hợp sau
x3 
 x  3  0

Trường hợp 1: x 1 0  x 1 x 1
x 30 x  3 

Trường hợp 2: x 1 0  x  1  x 3
x 30 x  3

r) x2 có nghĩa khi x20 (do x2 1  0,x )  x  2
x2 1

k) x5 có nghĩa khi x  5  0  x  5
x7  x  7  0  x  7

Bài 5:Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:

a) 1 b) 1 c) 1 d) 1
x2  x 1 x2  8x 15 3x2  7x  20
4x2 12x  9

HD:

a) Biểu thức đã cho có nghĩa khi 4x2  12x  9  0  2x  32  0  x  3
2

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

b) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x2  x 1 0   x  1 2  3  0  x R
 2  4

c) Biểu thức đã cho có nghĩa khi x2  8x  15  0   x  5.(x  3)  0   x  3
 x  5

d) Biểu thức đã cho có nghĩa khi

3x2  7x  20  0  3. x2  7 x  20   0  3. x  7 2  191  0  x  R
3 3  6  12

Bài 6:Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:

a) x  3  x2  9 b) x  2  1 c) 2 9  5  2x
x5 x2 

d) 2x  4  8  x e) 4  x  9  x2 f) x2  4  2 x  2
x 1

g) x x 2  x2 h) x x 2  x2 x x2
  i) x2  4 

j) x 3  3x k) x 1  x2 l) 2x 1  x2
x x 2 x2

m) 2x  x 2 x2
x2 
4

HD:

a)Biểu thức đã cho có nghĩa khi

x 3 0  x  3  0  x  3  0  x  3  x  3
    3
 x 2  9  0  x  3 x  3  0  x  3 0  x

b) Biểu thức đã cho có nghĩa khi

 x  2  0  x  2
 x  5  0  x  5


c)Biểu thức đã cho có nghĩa khi

x2  9  0   x  3   x  3
5  2x  0  x  5   5
 2  x 2

g) x x 2  x2 có nghĩa  x  2  0  x  2  x2
 x  2  0  x  2

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

x x2 có nghĩa  x  2  0  x 2  x  2
h) x  2   x  2  0   2
 x

x x2 có nghĩa  x  2  x2
i) x2  4   x  2

3 x  3  0  x2  3  0 (voly)
x  x  x
j) x   3x có nghĩa     khongcogiatrinaocuax

3x  0 x  0

k) x 1  x2 có nghĩa khi x  2  0  x  2  x2
x2  x  2  0  x  2

l) 2x 1  x2 có nghĩa khi x  2  0  x  2  x2
x2  x  2  0  x  2

m) 2x  x2 x2 có nghĩa khi x 2  0  x  2  x  2
x2     2
4  x2  4  0  x

Bài 7: Tìm điều kiện xác định

a. x2  3x  4 b. 1 x2  5 4
c. 4x  2  3

1 e. x 1 3x  2 1
d. x2  4x  4 5 x f. (x 1)2 g.
HD:
x  2x 1

x 1 o

x2  3x  4  0 (x 1)(x  4)  0  x x 4  0  1  x  4
1 0 0
a) Điều kiện: x    x  
4 

b) Điều kiện: x2  5  0  (x  5)(x  5 )  0  x  5

x   5

Hoặc x2  5  0  x2  5  x  5  x  5

x   5

*) Chú ý: A  B(B  0)   A  B (bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối )
 A  B


Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

c) Điều kiện: 4x  2  0   x  1
 2 3   2
 4x   0  x 11
4

d) Điều kiện: x2  4x  4  0  x  2

x 1 x 1 0 x 1
5 x 5 
  0  5x x 0   x  5 1 x 5
 1 0
e) Điều kiện: 5  x  0 x 0  x  15 (loai)
 x 

 3x  2 0 3x  2  0 x  1
 0 x  1  2
f) Điều kiện:   ( x  1)2    x 3

(x 1)2

x  2x 1  0 x2  2x 1(dung) 1
2x 1  0  2
g)Điều kiện:   x 1  x 
 2

Bài 8: Tìm giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa

a. A  2x 1 b. B  3x  2  4
3 4x x 1 5  7x

c. C  x2 1 x  1 d. D  4x 1 6  2x2 x 1
 4x 3 9  x2 x2  x  x

HD:

a) Biểu thức có nghĩa  3 4x 0 x 3
4

x 1 0  x 1 5
5  7x  0  x 7
b)Biểu thức có nghĩa    5  x
7

1 x  0

c)Biểu thức có nghĩa   x 2  4x  3  0

9  x2  0

Ta có

1 x  0  x  1; x2  4x  3  0  x2  4x  4 1  0   x  22 1  0   x  3 x 1  0  x  1
  3
 x

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

9  x2  0  3 x3  x  0  x  3
  3
 x

Vậy x  1 là những giá trị cần tìm.
x  3

d) Biểu thức có nghĩa  x2  x  6  0
2x2  x 1  0

Ta có x2  x  6  0  x2  2. 1 x  1  25  0   x  1 2   5 2  0  x  3x  2  0
2 4 4  2   2 

x 3  0
 
   x  2  0  x  2 hoặc x3 0
 3 x  2  0
  x  3  0  x
  x  2  0 


Lại có

2x2  x 1  0  2  x2  2. 1 x  1   9  0   x  1 2   3 2  0   x  1   x 1  0  x  1
 4 16  8  4   4   2   2
x
1

Vậy x  3 hoặc x  2 là những giá trị cần tìm.

Bài 9: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có nghĩa với mọi x

a. A  x2  x 1  2 2 b. B  2x 1  2x2  x  2
x2  x2 1  x

HD:

a) Ta có x2  2  0 với mọi x và x2  x  1   x  1 2  3 0 với mọi x
 2  4

Do đó biểu thức đa cho luôn có nghĩa với mọi x.

b) Ta có 2x2  x  2  2  x  1 2  15 0 với mọi x.
 4  8

Lại có x2 1  0; x2 1  x  x2  x  x  x  0 với mọi x

Vậy biểu thức đã cho luôn xác định với mọi x.

Bài 10: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có nghĩa với mọi x

a. A  x2  x 1  2 b. B  3x 5  x2  x 1
x2 1 x2  2x  3

HD:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

a) Ta có x2 1 0, x và x2  x 1   x  1 2  3  0,x
 2  4

Do đó biểu thức luôn có nghĩa với mọi x

b) Ta có x2  2x  3   x 12  2  0,x và x2  x  1   x  1 2  3  0,x
 2  4

Đo đó biểu thức đã cho luôn có nghĩa với mọi x.

Bài 11: Chứng minh biểu thức B  5x  2 luôn xác định với mọi x.
x  9x2 1

HD:

Biểu thức B có nghĩa khi x  9x2 1  0
9 x 2 1 0

Ta có 9x2  1  0, x và x  9x2 1  x  9x2  x  3 x  x  x  x  x  0,x

 x  9x2 1  0, x

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức

Cách giải: Sử dụng hằng đẳng thức: A2  A   A, nêu A  0
 A, nêu A<0

Bài 1: Tính

a)5 (2)4 b) 4 (3)6 c)5 (5)8 d)  0,4 (0,4)2

e) (0,1)2 f) (0,3)2 g)  (1,3)2 h)2 (2)4 + 3 (2)8
HD:

a) 5 (2)4  5.22  20 Trang 12

b) 4 (3)6  4. 33  4.27  108
c) 5 (5)8  5. 54  5.52  125

d) 0, 4 (0, 4)2  0, 4. 0, 4  0,16
e) (0,1)2  0,1

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

f) (0,3)2  0,3  0,3
g)  (1, 3)2   1,3  1, 3
h) 2 (2)4  3 (2)8  2.4  3.16  56

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau

a. 144.  49 . 0, 01 b. B   0, 25  152  2, 25  : 169
64 d. D  75 : 32  42  3 52  32

c.  0, 04  1, 22  121  81

HD:

a. A  144.  49 . 0, 01  122 .  7 2 . 0,12  1, 05
64  8 

b. B   0, 25  152  2, 25  : 169   0, 52  152  1, 52  : 132  1

c. C   0, 04  1, 22  121  81  C  90

d. D  75 : 32  42  3 52  32  D  3

Bài 3: Thực hiện phéo tính

2 2

2 23 0,1 0,1
 a. A   b. B 

   c. C  2 2  3 2  2 2  3 2    d. D  2 6  5 2  2 6  5 2

HD:

 a) Ta có A  2 2  3 2  2 2  3  3  2 2

2

0,1 0,1  0,1 0,1  0,1  0,1
 b)Ta có B 

2 2

2 2 3  2 23  2 23  2 2 3 6
   c)Ta có C 

   d) Ta có D  2 6  5 2  2 6  5 2  2 6  5  2 6  5  4 6

Bài 4: Rút gọn biểu thức:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

a) (4  3 2)2 b) (2  5)2 c) (4  2 )2
f) (2  5)2
d) 2 3  (2  3)2 e) (2  3)2 h) (2  5)2  ( 5  1)2

g) ( 3  1)2  ( 3  2)2

HD:

a) Ta có:
(4  3 2)2  4  3 2  3 2  4

b) Ta có:
(2  5)2  2  5  2  5

c) Ta có:
(4  2)2  4  2

d) Ta có:
2 3  (2  3)2  2 3  2  3  2  3

e) Ta có:

(2  3)2  2  3

f) Ta có:

(2  5)2  5  2

g) Ta có:

( 3 1)2  ( 3  2)2  3 1 2  3  1

h) Ta có:

 (2  5)2  ( 5 1)2  5  2  5 1  1

Bài 5: Thực hiện phép tính b) A  2015  36  25
a) A  2(5 16  4 25)  64

HD:

a) A  2(5 42  4 52 )  82  2(5.4  4.5)  8  2(20  20)  8  8
b) A  2015  62  52 = 2015 + 6 – 5 = 2016

Các dạng bài tập
Dạng m  2. n

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

Phương pháp giải:
Cách 1: Nhẩm hai số a và b sao cho a.b = n và a + b = m
Sử dụng các hằng đẳng thức: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Cách 2: Dùng máy tính:
Nhấn Mode/5/3: Nhập a = 1; b = -m ; c = n sẽ cho được hai số a và b cần tìm
Sử dụng các hằng đẳng thức như cách 1.
Chú ý: Sử dụng công thức: a.b  a. b Với a, b không âm.

Bài tập mẫu: Rút gọn

a) 3  2 2
HD: Bấm máy Mode/5/3: nhập a = 1, b = -3; c = 2 ta được a = 2; b = 1

3  2 2  3  2 2.1  3  2 2 1  2 2  2 2. 1  12  ( 2  1)2

 2  1  2 1

b) 8  2 15
HD: Bấm máy Mode/5/3: nhập a = 1, b = -8; c = 15 ta được a = 5; b = 3

8  2 15  8  2 5.3  8  2 5 3  52  2 5. 3  32  ( 5  3)2

 5 3  5 3

c) 23  2 120
HD: Bấm máy Mode/5/3: nhập a = 1, b = -23; c = 120 ta được a = 15; b = 8

23  2 120  23  2 15.8  23  2 15. 8  152  2 15. 8  82  ( 15  8)2

 15  8  15  8  15  2 2

Bài tập tự luyện: Rút gọn (bài tập tự luyện)

a) 5  2 6 b) 4  2 3 c) 11 2 30 d) 12  2 27
e) 23  2 120 f) 2 84  20 g) 7  2 10 h) 8  2 15
n) 10  2 21 m) 11 2 18 l) 12  2 35 r) 14  2 33
t) 16  2 55
Trang 15
Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

Dạng m  k n
Trường hợp: Nếu k là số chẵn thì tách sao cho k = 2k’.
Đưa k’ vào căn bậc hai bằng công thức: k '  k '2
Bài toán về dạng 2.

Chú ý: Sử dụng công thức đưa vào căn bậc hai: a = a2 với a là một số không âm
Bài tập mẫu: Rút gọn

a) 27 10 2 25 2  2 25 2  2 2  ( 25  2)2
HD: Ta tách số 10 = 2.5 và đưa số 5 = 52  25

27 10 2  27  2.5. 2  27  2. 25 2 

 25  2  25  2  5  2

Nhận xét: Ta thấy 25 + 2 = 27 vậy a = 25 và b = 27

b) 36 12 5

HD: Ta tách số 12 = 2.6 và đưa số 6 = 62  36

36 12 5  36  2.6. 5  36  2. 36. 5  36  2 180  36  2 30. 6

 36  2 30. 6  30  2 30. 6  6  ( 30  6)2  30  6)  30  6

Nhận xét: Ta thấy 36 + 5 # 36 nên ta phải nhân 36.5 = 180 để đưa bài toán về dạng m  2. n
Bài tập tự luyện: Rút gọn

a) 11 4 7 b) 49  20 6 c) 21 6 6 d) 17 12 2
e) 14  8 3 f) 13  4 10 g) 12  6 3 h) 15  216
n) 25  4 6 m) 21 6 6 l) 33  20 2 r) 38 12 5
q) 46  6 5 w) 29 12 5 u) 27 12 2

Dạng: m  k n

Trường hơp: Nếu k là số lẻ thì nhân cả tử và mẫu của m  k n cho 2

Sử dụng công thức: a  a Với a là một số không âm, b là một số dương.
b b

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

Bài toán về dạng 2
Bài tập mẫu: Rút gọn

a) 5  21
HD: Ta nhân vào trong căn thức cả tử và mẫu cho 2

5 21  2(5  21)  10  2 21  10  2 21  10  2 7. 3  72  2 7. 3  32
2 2 2 2 2

 ( 7 3)2 7 3 7 3
 2 2
2

Bài tập tự luyện: Rút gọn

a) 8  35 b) 2  3 c) 7  33 d) 7  3 5
g) 21 3 48 h) 4  15
e) 6  35 f) 3  5

n) 8  55 m) 23  3 5

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau

a) 8  2 15  6  2 5 b) 17  2 72  19  2 18

c) 12  2 32  9  4 2 d) 29  2 180  9  4 5

e) 4  7  4  7  2 f) 6  11  6  11  3 2

g) 8  2 15  7  2 10 h) 10  2 21  9  2 14

i) 8  3 7  4  7 j) 5  21  5  21

k) 9  3 5  9  3 5 l) ( 10  2) 4  6  2 5
HD:

a) 8  2 15  6  2 5  3  2 3. 5  5  5  2 5.11 .

   2 2

 3  5  5 1  3  5  5 1 3 1.

b) 17  2 72  19  2 18  9  2. 9. 8  8  18  2 18.11 . Trang 17

    3  2 2 2  18 1 2  3  2 2  18 1  4  2 2  18 .

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

c) 12  2 32  9  4 2  8  2 8. 4  4  8  2.2. 2.11 .

   2 2

 2 2  2  2 2 1  2 2  2  2 2 1  4 2 1.

d) 29  2 180  9  4 5  20  2. 20. 9  9  5  4 5  4 .

      20  3 2  5  2 2  20  3  5  2  5 1 5 .

e) 4  7  4  7  2 .
Ta có:

    2
4  7  4  7  4  7  4  7  2 4  7 4  7  8  2 16  7
82 9 862
Do đó 4  7  4  7   2

vì 4  7  4  7 .

Suy ra 4  7  4  7  2   2  2  0 .
f) 6  11  6  11  3 2 .
Ta có:

    2
6  11  6  11  6  11  6  11  2 6  7 6  11 .

 12  2 36 11  12  2 25  12 10  2 .
Do đó

6  11  6  11  2
vì 6  11  6  11 .
Suy ra 6  11  6  11  3 2  2  3 2  4 2 .

g) 8  2 15  7  2 10  5  2 5. 3  3  5  2 5. 2  2

2 2

5 3  2
    5 5 3 5 2 2 3.

h) 10  2 21  9  2 14  7  2 7. 3  3  7  2 7. 2  2 . Trang 18

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

   2 2

 7 3  7 2  7 3 7 2 2 3.

i) 8  3 7  4  7 .
Ta có:

 2
8  3 7  4  7 12  4 7  2 8  3 7 . 4  7
.
12  4 7  2 53  20 7

   2

 12  4 7  2 2 7  5  12  4 7  2 2 7  5  12 10  2 .

Do đó 8  3 7  4  7  2 (vì 8  3 7  4  7  0 ).
j) 5  21  5  21 .
Ta có:

 2
5  21  5  21  5  21  5  21  2 5  21. 5  21 .

 10  2 25  21  10  4  6

Suy ra 5  21  5  21  6
vì 5  21  5  21 .
k) 9  3 5  9  3 5 .
Ta có:

 2
93 5  93 5 93 5 93 5 2 93 5. 93 5 .

 18  2 81 45  18 12  6

Suy ra 9  3 5  9  3 5   6
vì 9  3 5  9  3 5 .

       l) 10  2 4  6  2 5  10  2 4  5  2 5.11  10  2 4  5 1 2 .

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

    10  2 4  5 1  2 5 1 3  5 .

Bài 4:Rút gọn các biểu thức sau    b. B  2  3 2  1 3 2

 a. A  4  15 2  15

c. C  49 12 5  49 12 5 d. D  29 12 5  29 12 5
HD:

   a. A  4  15 2  15  4  15  15  4 4  15

   b. B  2  3 2  1 3 2  2  3  1 3  1

2 23 5 2 C 4
   c. C  49 12 5  49 12 5 
23 5 

2 32 5 2  D 6
   d. D  29 12 5  29 12 5  5
3 2 

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau

a. 6  4 2  22 12 2 b. ( 3  2)2  2

c. 3 5  (1 5)2 d. 17 12 2  9  4 2

e. 6  2 5  6  2 5 f. 3  2 2  6  4 2

g. 24  8 5  9  4 5 h) 4112 5  4112 5
HD:

a. 6  4 2  22 12 2  (2  2 )2  (3 2  2)2  2 2

b. ( 3  2)2  2  3  2  2  3

c. 3 5  (1 5)2  3 5  1 5  3 5  1 5  3 5  ( 5 1)  2 5 1

d. 17 12 2  9  4 2  (3  2 2)2  (2 2 1)2  4
e. 6  2 5  6  2 5  ( 5 1)2  ( 5 1) 2  2 5
f. 3  2 2  6  4 2  ( 2 1)2  (2  2)2  3
g. 24  8 5  9  4 5  4(6  2 5)  ( 5  2)2  2 5 1  5  2  3 5

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

22

   h) 4112 5  4112 5  6  5  6  5  2 5

Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) 6  2 5 b) 7  4 3 c) 12  6 3

d) 17  12 2 e) 22 12 2 f) 10  4 6

g) 2  11 6 2 h) 3  5  3  5
62 5  5 3 5 3 5

HD:

2

5 1  5 1
 a) 6  2 5 

 2

b) 7  4 3  3  2  3  2

 c) 12  6 3  3  3 2  3  3
 d) 17 12 2  2 2  3 2  2 2  3

 e) 22 12 2  3 2  2 2  3 2  2
 f) 10  4 6  6  2 2  6  2

2 3 22 2 2 3 22
   3
       g)
2  11 6 2  2  22 12 2
62 5  5
2  1 5 2 5  2. 1 5  5 2





3 5  3 5  2 3 5 2 3 5 2  5 1 4  2  5 1  4
  
h) 3  5 3 5 62 5 62 5 5 1 5 1

 2  4 2   2  4 2  2 2  10  2 2  10
5 1 5 1

Ta có: Trang 21

 2
2 2  10  2 2  10  2 2  2 10

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

 3  5  3  5  2 2  2 10

3 5 3 5

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) 4  2 3  3 b) 11  6 2  3  2 c) 11  6 2  6  4 2

d) 11  6 3  13  4 3 e) ( 3  4) 19  8 3 f) 8  2 7 4  7
2

g) 2  11  6 2 h) 3  5  3  5
62 5  5 3 5 3 5

HD:

 2

a) 4  2 3  3  3 1  3  3 1 3  1

 b) 11  6 2  3  2  3  2 2  3  2  3  2  3  2  2 2

22

       c) 11 6 2  6  4 2  3  2  2  2  3  2  2  2  1
 2

d ) 11 6 3  13  4 3  11 6 3  12 1  11 6 3  2 3 1

2

      e)( 3  4) 19  8 3  3  4 4  3  3  4 4  3 16  3 13

 f) 4 7 72 82 7
82 7 2  1 4

       1 7 .7 121 7 7 1
2  2
 6  3
2

       g) 2
2 3 2 2 3 2
2  11 6 2  1  1 5 5  3  3
62 5  5 1
5 2 5

h) 3  5  3  5  23 5 23 5
3 5 3 5 
62 5 62 5

   2 5 1 4
 5 1  2  5 1 4

5 1

 2 4 2   2 4 2  2 2 10  2 2 10
5 1 5 1

Có: Trang 22

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

 2
2 2  10  2 2  10  2 2  2 10

 3  5  3  5  2 2  2 10

3 5 3 5

Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) 6  2 4  2 3 b) 6  2 3  13  4 3

c) 3  48 10 7  4 3 d) 23  6 10  4 3  2 2
HD:

22

     a) 6  2 4  2 3  6  2 1 3  6  2 3 1  4  2 3  3 1  3 1

2

   b) 6  2 3 13 4 3  6  2 3  1 2 3  6  2 3  1 2 3  6  2 4  2 3
      6  2 1 3 2  6  2. 1 3  4  2 3  3 1 2  3 1

   c) 3  48 10 7  4 3  3  48 10 2  3 2  3  48 10 2  3
  3  28 10 3  3  5  3 2  3  5  3  5

   d) 23  6 10  4 3  2 2  23  6 10  4 2 1 2  23  6 10  4 2 1

    23  6 6  4 2  23  6 2  2 2  23  6 2  2  11 6 2  3  2

Bài 9:Thực hiện các phép tính sau

a. ( 3  2) 5  2 6 b.  42 3 2  42 3 2  ( 3 1)2 2   ( 3 1)2 2
 3 1    1 3   3 1   
   3 1 

c. 5  9  29 12 5 d. 13  30 2  9  4 2  13  30 2  (2 2 1)2
HD:

a. ( 3  2) 5  2 6  ( 3  2)( 3  2)  1

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

b.  42 3 2  42 3 2  ( 3 1)2 2   ( 3 1)2 2  ( 3 1)2  ( 3 1)2  4 3
 3 1    1 3   3 1   3 1 
   

5  9  29 12 5  5  9  20 12 5  9  5  9  (2 5  3)2
c. 5  6  2 5  5  ( 5 1)2  5  ( 5 1)  1  1

 5  9  (2 5  3) 

d.

13  30 2  9  4 2  13  30 2  (2 2 1)2  13  30 2  (2 2 1)  13  30 3  2 2

 13  30 ( 2 1)2  13  30( 2 1)  43  30 2  25  2.5.3 2 18  (5  3 2)2  5  3 2

Bài 10:Chứng minh rằng

 a. 11 6 2  3  2 2 b. 11 6 2  11 6 2  6

 c. 8  2 7  7 1 2 d. 8  2 7  8  2 7  2

HD:

 2

a) Ta có:11 6 2  9  2.3 2  2  3  2  VP  dpcm

b) Ta có: 11 6 2  11 6 2  2  3  2  3  6  VP  dpcm

 c) Ta có :8  2 7  7 1 2

   d. 8  2 7  8  2 7  7 1 2  7 1 2  2  VP  dpcm

Bài 11: Chứng minh rằng: b) 9  4 5  5  2
a) 9  4 5  ( 5  2)2

c) 23  8 7  (4  7)2 d) 17 12 2  2 2  3

HD:

a) Ta có:

 9  4 5  2 5.2  22  ( 5  2)2

5  2.

b) Thật vậy:

 9  4 5  5  5  2 2  5  5  2  5  5  2  5  2

c) Ta có: Trang 24
23  8 7  16  2.4. 7  7  (4  7)2

d) Ta có:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

 17 12 2  2 2  3  2 2 2  2 2  3  2 2  2 2  3  2 2  2 2  3

Bài 12: Thực hiện phép tính:
a) A  12  3 7  12  3 7

b) B  7  5  7  5  3  2 2

7  2 11

c) C  8  2 10  2 5  8  2 10  2 5
HD:

a) A  12  3 7  12  3 7

  Ta có A2  12  3 7  2 12  3 7 12  3 7 12  3 7  6

Vì 12  3 7  12  3 7  A  0

A 6

b) B  7  5  7  5  3  2 2

7  2 11

Ta có  7 5 7 5 2  14  2 44  2  7 5 7 5 2
 
 7  2 11  7  2 11
7  2 11

  B  2  3  2 2  2  2 1 2  2  2 1  1

c) C  8  2 10  2 5  8  2 10  2 5

 Ta có C2  5 2 5 24  8 5
  8  2 10  2 5 8  2 10  2   16  2 64  4 10  2  16  2

        16  2 4 6  2 5  16  4 5 1 2  16  4 5  4  12  4 5  2 6  2 5  2 5 1 2

    C  2 5 1 2  2 5 1

Bài 13: Rút gọn biểu thức

a) x2  5 x2  2 2x  2
x 5 b) x2  2

HD:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

a) Ta có: x2  5  x  5
x 5

    b)x22 2x  2 x 22  x 2
Ta có: x2 2  x 2 x x 2
2

Dạng 3: Rút gọn các biểu thức chứa biến

Cách giải: Sử dụng hằng đẳng thức: A2  A   A, nêuA  0
 A, nêuA<0

Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau

a. 64a2  2a(a  0) b. 5 25a2  25a(a  0)

c. 16a4  6a2 ( với a bất kỳ ) d. 3 9a6  6a3 (với a bất kỳ )

e. A  a2  6a  9  a2  6a  9 với a bất kỳ
HD:

a. 64a2  2a(a  0)  8a  2a  10a

b. 5 25a2  25a(a  0)  5. 5a  25a  50a

c. 16a4  6a2  4a2  6a2  10a2 ( với a bất kỳ )

d. 3 9a6  6a3  3 3a3  6a3 (với a bất kỳ )

+) a < 0  3. 3a3  6a3  3.(3a3 )  6a3  15a3

+) a ≥ 0  3. 3a3  6a3  9a3  6a3  3a3

e. ( khó ). A  a2  6a  9  a2  6a  9 với a bất kỳ

A  a2  6a  9  a2  6a  9  a  3  a  3

+) Nếu a < 3  a  3  a  3  a  3  3  a  2a

+) Nếu -3 ≤ a ≤ 3 thì a  3  a  3  a  3  3  a  6

+) Nếu a > 3 thì a  3  a  3  a  3  a  3  2a

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):

a) 9x2  2x với x < 0 b) 2 x2 với x  0 c) 3 (x  2)2 với x < 2

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

d) 2 x2  5x với x < 0 e) 25x2  3x với x  0 f) 9x4  3x2 với x bất kỳ

g) x  4  16  8x  x2 với x > 4

HD:
a) Ta có:
9x2  2x  3 x  2x  3x  2x  5x
b) Ta có:
2 x2  2 x  2x
c) Ta có:

3 (x  2)2  3. x  2  3.2  x  6  2x

d) Ta có:
2 x2  5x  2 x  5x  2x  5x  7x

e) Ta có:
25x2  3x  5 x  3x  5x  3x  8x

f) Ta có:
9x4  3x2  3x2  3x2  6x2

g) Ta có:

x  4  16  8x  x2  x  4   x  42  x  4  x  4  x  4  x  4  2x  8

Bài 3: Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):

a) A = 1  4a  4a2  2a b) B = 4x2  12x  9  2x  1 c)C = 5x

x2  10x  25

d) D = (x  1)2  x  1 e) E = x2  6x  9 f)F = x2  x4  8x2  16
x2  2x  1 x3

HD:
a) Ta có:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

A  1 4a  4a2  2a  2a 1  2a

a  1  A  2a 1 2a  1
2

a  1  A  1 2a  2a 1 4a
2

b) Ta có:

4x2 12x  9  2x 1  2x  3  2x 1

x  3  A  2x 3 2x 1  4x 4
2

x  3  A  2x+3  2x 1  2
2

c) Ta có: đkxđ:

x5

C x2 5 x  5 x
10x  25 5 x

x  5  C  5 x  1
x 5

x  5  C  5  x  1
5  x

d) Ta có:đkxđ:

x 1

D (x 1)2  x 1  x 1  x 1
x2  2x 1 x 1

x 1 D  x 1 x 1  x 11  x
x 1

x  1  D  x 1  x 1  x 1 1   x
x 1

e) Ta có:đkxđ:

x3

E x2  6x  9  x3
x3 x3

x  3 E  x3 1
x3

x  3  E  x3  1
x 3

f) Ta có:

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

 F  x2  x4  8x2 16  x2  x2  4  x2  x2  4  4

Bài 4: Chứng tỏ: x  2 2x  4  ( 2  x  2 )2 với x  2

Áp dụng rút gọn biểu thức sau: x  2 2x  4  x  2 2x  4 với x  2

HD:

Thật vậy

2

x  2  x  2 2x  4  VT
 VP  ( 2  x  2)2  2  2. 2. x  2 

 Ta có: x  2 2x  4  x  2 2x  4  2  x  2  2  x  2  2 2  x  2

Bài 5: Rút gọn biểu thức sau (loại bỏ dấu căn và dấu trị tuyệt đối):

a) x  4 x  4 với x  4

b) x  2  2 x  3 với x  3

c) x  2 x  1  x  2 x  1 với x  1

d) x  2 x 1  x  2 x 1 với x  0
HD:

a) Ta có:

 x  4 x  4  x  4  4 x  4  4  x  4  2 2  x  4  2

b) Ta có:

 2

x  2 2 x 3  x 3 1  x 3 1  x 3 1

c) Ta có

22

   C  x  2 x 1  x  2 x 1  x 1 1  x 1 1  x 1  1  x 1 1

x  2  C  x 1  1 x 1 1  2. x 1
1 x  2  C  x 1 1 x 11 2
d) Ta có

   2 2

D  x  2 x 1  x  2 x 1  x 1  x 1  x 1  x 1

x 1 D  x 1 x 1 2 x
0  x 1 D   x 1 x 1 2
Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

  x  6 x  9 x  3 b. B  9x2 12x  4  x  2 
3x  2  3 
a. A  4 x  x  9 0  x; x  9

HD:

2

x 3 x 3
 A3

x 3 x 3
    a) Ta có: A  4 x  x 1 0  x  9

b) Ta có: B  9x2 12x  4  3x  2  1 x  2 
3x  2 3x  2  x 3 
1
 2 
3 

Bài 7: Thực hiện các phép tính

a. A  5 x    x 10 x  25 x  5 0  x  25 b. B  4x2  4x 1  x  1 
2x 1  2 
x  25

HD:

a) Ta có: A  4 x  50  x  25

4x2  4x 1 1 x  1 
2x 1  2 
b) Ta có: B   1 1
2 
x 

Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau

a. A  a  2 a 1  a  2 a 1(1  a  2) b. B  4x  x2  4x  4(x  2)

c. C  x2  4x  4 (x  2) d. D  2x 1 x2 10x  25
x2 x5

e. E  4 x  (x  6 x  9)( x  3) (0  x  9)
x9

HD:

a. A  a  2 a 1  a  2 a 1(1  a  2)  a 1 1  a 1 1

Với 1  a  2  a 1 1  0; a 1 1  0
Ta được: A  a 1 1  a 1 1  a 1 1 a 1 1  2

b. B  4x  x2  4x  4(x  2)  4x  x  2  4x  (x  2)  3x  2

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

c. C  x2  4x  4 ( x  2)  x2
x2 x2

+) Nếu x < -2 thì A = -1

+) Nếu x > -2 thì A = 1.

d. D  2x 1 x2 10x  25  2x 1 x5
x5 x5

+) Nếu x  5  0  x  5  A  2x 11  2x

+) Nếu x  5  A  2x  2

e. E  4 x  (x 6 x  9)( x  3) (0  x  9)
x9

E4 x  (x 6 x  9)( x  3)  4 x  ( x  3)2 ( x  3)  3( x 1)(0  x  9)
x9 ( x  3)( x  3)

Bài 9: Cho biểu thức A  x2  2 x2 1  x2  2 x2 1
a. Với giá trị nào của x thì A có nghĩa
b. Tính A nếu x  2

HD:

A  x2  2 x2 1  x2  2 x2 1  ( x2 1 1)2  ( x2 1 1)2
a.

 x2 1 1  x2 1 1

A có nghĩa  x2 1 0  x2 1 x  1
 x 1

b. x  2  x2  2  x2 1  1  x2 1  1  x2 1 1  0
 A  x2 1 1 x2 1 1 2 x2 1

Bài 10: Với giá trị nào của a và b thì:

a) 1 1 ? b) a2 (b2  2b  1)  a(1  b) ?
a2  2ab  b2 ba

HD:

a) Điều kiện a  b

1 1 11
a2  2ab  b2  b  a  (a  b)2  b  a
 ab ba ab0a b

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

a  0
b
b) a2 (b2  2b  1)  a (1  b) | a(b 1) | a(1 b)  a(b 1)  0  ab 1
0
1

Bài 11 : Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) A  9x2 12x  4  1  3x tại x  1
3

b) B  2x2  6x 2  9 tại x  3 2

HD:

a) A  9x2 12x  4  1 3x  (3x  2)2  1  3x | 3x  2 | 1  3x

Thay x  1 vào biểu thức A ta được:
3

A | 3. 1  2 | 1  3. 1 11 1  1
3 3

Vậy A 1 tại x  1
3

b) B  2x2  6x 2  9  (x 2  3)2 | x 2  3 |

Thay x  3 2 vào biểu thức B ta được

B | 3 2. 2  3 | 3

Vậy B  3 tại x  3 2

Bài 12: Phân tích thành hân tử:

a) x2 – 7 b) x2 3 c) x2 – 2 13 x + 13

d) x2 – 3 e) x2 – 2 2 x + 2 f) x2 + 2 5 x + 5

HD:
a) x2 – 7 = (x  7 ).(x  7)

b) x2 – 3 = (x  3).(x  3)

c) x2 – 2 13 x + 13= (x  13)2

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

d) x2 – 3 = (x  3 ).(x  3 ) b) ( x  2)(x  2 x  4)
e) x2 – 2 2 x + 2 = (x  2)2 d) (x  y )(x2  y  x y )
f) x2 + 2 5 x + 5 = (x  5)2 b) (2 x  y )(3 x  2 y )
Bài 13: Rút gọn các biểu thức sau:
a) (1  x )(1  x  x)
c) ( x  y )(x  y  xy )
a) (4 x  2x )( x  2x )
HD:

   a) 1 x . 1 x  x  1 x x

   b) x  2 . x  2 x  4  x x  8

   c) x  y . x  y  xy  x x  y y

   d) x  y . x2  y  x y  x3  y y

   a) 4 x  2x . x  2x  4x  x 2  4x 2  2x  6x  5x 2

   b) 2 x  y . 3 x  2 y  6x  4 xy  3 xy  2y  6x  xy  2y

Bài 14: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1

Tính: A  x (1  y2 )(1 z2)  y (1  z2 )(1 x2)  z (1 x2 )(1 y2 )
1 x2 1 y2 1 z2

HD:
Ta có:
1 y2  (xy  yz  zx)  y2  (x  y)( y  z);1 z2  ( y  z)(z  x);1 x2  (x  z)(x  y)

 A  x( y  z)  y(z  x)  z(x  y)  2(xy  yz  zx)  2

Dạng 4: giải phương trình
Phương pháp giải: Chú ý một số cách biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai

1) A  B  B  O 2) A2  B  A  B
  B2
 A

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 33

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

3) A B  A  0(hayB  0) 4) A2  B2  A  B  A  B
  B
 A

5) A2  B2  A  B

6) A  B  B  0
  B2
 A , nếu B < 0 phương trình vô nghiệm

B  0
7) A  B   A  B

 A  B

8) A  B  A  B
 B
 A 

9) A  B  0 A 0

 B  0

10) A B  0  A  0
B  0

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 2x  5  3  x b) 1 x2  x 1 c) x2  x 1  2x
4

d) 3x 1  x  3 e) x  5  x2  25  0 f) (x 1)2  x2

HD:

a) 2x 5  3 x  3  x  0   x  3 (t / m)
2x  5  3    2
x  x 3

b) 1 x2  x 1 x 1 0  x 1  x2  2x 1 x 1
1 x2  (x 1)2 1 x2 x  0(l0ai)
x  1(t / m)

2x  0 x  0
 
c) x2  x  1  2x  x 1  2x  x  1  2x  x  1 (t / m)
4 2 x  2  2x x  2
1
2 1 (loai)
6

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

d) 3x 1  x  3  3x 1  x3  x  1
3x 1  x 3  x  1

x  5
e) x  5  x2  25  0  x  5  x  5

 x  5

x 1  x 0  1(vn)
 x 1  x 
f) (x 1)2  x2   x  1
 2

Bài 2: Giải phương trình:

a) 9x2 = 2x + 1 b) x4  7 c) x2  6x  9  3x  1

d) x2  7 e) x2   8 f) 1  4x  4x2  5
g) x4  9 h) (x  2)2  2x  1 i) x2  6x  9  5

j) 4x2 12x  9  x  3 k) 4x2  4x  1  x2  2x  1

l) 4x2 12x  9  9x2  24x 16
HD:

a) 9x2  2x 1  3 | x | 2x 1

TH1: x  0 , phương trình trở thành:

3x  2x 1  x  1 (TM x  0 )

TH2: x  0 , phương trình trở thành:

3x  2x 1  x   1 (TM x  0)
5

Vậy S  { 1 ;1}
5

b) x4  7  x2  7  x   7

c) x2  6x  9  3x 1 | x  3 | 3x 1 Trang 35

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !!

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

Cách 1:

 (x  3)2  3x 1
 x  3  3x 1

TH 1: Nếu x  3 TH 2: Nếu x < -3

Ta có x + 3 = 3x – 1 Ta có: -x-3 = 3x – 1

 x – 3x = -1 - 3  -x – 3x = -1 + 3

 -2x = -4  - 4x = 2

 x = 2 (TMĐK) x= 1 ( Loại vì không TMĐK)
2

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x =2

Cách 2: ĐK : x  1 . Bình phương hai vế ta có;
3

(x  3)2  (3x 1)2

 (x  3)2  (3x 1)2  0

 (x  3  3x  1).(x  3  3x 1)  0

 (4  2x).(4x  2)  0

4  2x  0  x  2(TM )

 4x  2  0  x   1 (khôngTM )
 2

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x =2

d) x2  7  x  7  x  7

Vậy pt có hai nghiệm x =  7

e) x2   8  x  8  x  8

Vậy pt có hai nghiệm x =  8

f) 1  4x  4x2  5  (1  2x)2  5  1  2x  5

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

 1  2x  5 x  2
1  2x  5  x3

Vậy PT đã cho có hai nghiệm x = -2 ; x = 3

g) x4  9  x2  9  x  3

Vậy pt có hai nghiệm x =  3

h) (x  2)2  2x 1 ( ĐK: x 1 )
2

 (x  2)2  (2x  1)2  0  (x  2  2x 1).(x  2  2x  1)  0  (1  x).(3x  3)  0

 1  x 0 x  1(TMĐM) )
3x  3 0 x  1(khôngTM

Vậy pt có một nghiệm x = 1

i) x2  6x  9  5  (x  3)2  5  x  3  5

 x  3  5 x8
x  3  5  x  2

Vậy PT đã cho có hai nghiệm x = -2 ; x = 8

j) 4x2  12x  9  x  3 (ĐK: x  3)

 (2x  3)2  x  3  (2x  3)2  (x  3)2  0  (2x  3  x  3).(2x  3  x  3)  0

 x.(3x  6)  0  x  0(KhôngTM ) )
3x  6  0  x  2(khôngTM

Vậy PT vô nghiệm

k) 4x2  4x 1  x2  2x  1

 (2x  1)2  (x 1)2  (2x 1)2  (x 1)2  0  (2x  1  x  1).(2x 1  x  1)  0

x  0

 x.(3x  2)  0  3x  2  0  x  2
 3

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

Vậy PT có hai nghiệm x = 0; x = 2
3

l) 4x2 12x  9  9x2  24x 16

 (2x  3)2  (3x  4)2  (2x  3)2  (3x  4)2  0  (2x  3  3x  4).(2x  3  3x  4)  0

1  x  0  x  1

 (1  x).(5x  7)  0  5x  7  0  x  7
 5

Vậy PT có hai nghiệm x = 1; x = 7
5

Bài 3:Giải các phương trình sau b. x  2 x 1  2
a. x2  2x  4  2x  2

c. 2x2  2x 1  2x 1 d. x  4 x  4  2

HD:

a) x2  2x  4  2x  2  2x  2  0  x  2

 x2  2x  4  2x  22

b) Cách 1: Ta có

x2 x 1  2  x  2 x 1  22  2 x 1  4  4 x0  4  x 2  x  2
4
 x 1 

Cách 2:Ta có x  2 x 1  2  x 1 1  2  x  2

c) 2x2  2x 1  2x 1  2x 1  0  2x  12  x 1
2x2  2x 1

d) x  4 x  4  2  x  4
Bài 4:Giải các phương trình sau

a. x2  3x  2  x 1 b. x2  4x  4  4x2 12x  9

HD:

a) Ta có x2  3x  2  x 1   x 1 0 2  x 1   x  1
 x2  3x   x  3
 

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 38

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

x 1

b) x2  4x  4  4x2 12x  9  x2  2x 3   x  5
3


Bài 5:Giải các phương trình sau

a. (x  3)2  3  x b. 4x2  20x  25  2x  5

c. (3  2x)2  4 d. x  2 x 1  2(x  1)

HD:

a. (x  3)2  3  x  x  3  3  x  x  3  0  x  3

4x2  20x  25  2x  5  (5  2x)2  5  2x

b.  5 2x  5 2x  5  2x  0  x  5
2

c. (3  2x)2  4  3 2x  4 3  2x  4 x  1,5
3  2x  4    3,5
 x

x  2 x 1  2(x  1)  x 1 2 x 1 1  2  ( x 1 1)2  2

d.  x 1 1  2

 x 1  3  x 1  9  x  10

 x 1  1(loai)

Bài 6: Giải các phương trình sau

a. x2  2x 1  x2  6x  9  1 b. 2x2  3  4x  3

c. 1 x2  x 1
HD:

a. x2  2x 1  x2  6x  9  1  (x 1)2  (x  3)2  1  x 1  x  3  1(1)

+) Với x < 1  x 1 0; x  3  0  (1) 1 x  3  x  1  x  3 (loai)
2

+) 1  x  3  x 1  0; x  3  0  (1)  x 1 3  x  1  0x  1(loai)

+) Với x > 3  x 1  0; x 3  0  (1)  x 1 x  3  1  x  5 (loai)
2

Vậy phương trình vô nghiệm

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 39

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

4x  3  0 x  3
2x2  3  4x 4
2x2 3  4x  3   
b.  3 x  0(loai)
x  2(t / m)

x 1

x 1 0  x  1
 c.  1
1 x2  x 1  x 2 1  ( x2 1)2   x    x  1;  2
 x
(t / m)
2

Bài 7: Giải các phương trình sau

a. x2  2x 1  x2 1 b. x2  3  x  3 c. x2  4  x2  4x  4  0

d. ( Khó ). 3x2 18x  28  4x2  24x  45  5  x2  6x
HD:

a.

x2  2x 1  x2 1

 (x 1)2  x2 1  x 1  x2 1

x2 1 0 x2 1
 
  x 1  x2 1   x2  x  0

x 1  (x2 1) (x 1)(x  2)  0

x 1

  x  1  x 1;2
x  0(loai)

 x  1(t / m)

x  2(t / m)

b) x2  3  x  3  x2 3 x 3  (x  3)(x  3) (x  3)  0
  3  (x   3)(x  3)  (x  3)  0
 x2 3) (x 

x 3  0 x  3

x  3 1 0 x  1 3
  x  3 0   x  3

x  3 1  0 x  1 3

c. x2  4  x2  4x  4  0   x 2  40  x  2  x  2
  4x  4 x  2
 x2  0 x  2

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 40

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

d. ( Khó ).

3x2 18x  28  4x2  24x  45  5  x2  6x
 3(x  3)2 1  4(x  3)2  9  4  (x  3)2(1)

Ta có: VT (1) ≥ 4 ; VP(1) ≤ 4 . Vậy phương trình có nghiệm khi hai vế đều = 4
 (x  3)2  0  x  3

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức: A  B  A  B , dấu “=”  A.B  0

Bài 1:Tìm GTNN của các biểu thức sau

a. A  x2  2x 1  x2  2x 1 b) B  2x 1  3  2x

c. C  4x2  4x 1  4x2 12x  9 d) 49x2  42x  9  49x2  42x  9
HD:

a. A  x2  2x 1  x2  2x 1  A  x 1  x 1

Cách 1:
+) Nếu x  1  A  x 1 x 1  2x  2(1)

+) Nếu 1  x  1  A  x 1 x 1  2(2)

+) Nếu x  1  A  x 1 x 1  2x  2(3)

Từ (1)(2)(3)  MinA  2  1  x  1

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức A  B  A  B

A  x 1  x 1  x 1  1 x  x 11 x  2

Vậy MinA  2  (x 1)(1 x)  0  1  x  1

b. B  2x 1  3 2x  MinB  2 1  x 3
2 2

c. C  4x2  4x 1  4x2 12x  9  2x 1  3  2x  (2x 1)  (3  2x)  2

 (2x 1)(3  2x)  0  1  x  3
2 2

d) Dmin  6  3  x  3
7 7

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: Tính

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 41

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

a) A  49. 144  256 : 64 b) B  72 : 22.36.32  225
HD: b. B  ( 7  2 2)2  (3  2 2)2

a) A  49. 144  256 : 64  A  86
b) B  72 : 22.36.32  225  B  13
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức

a. A  (2  5)2  (2 2  5)2

c. C  11 6 2  11 6 2 d. D  17 12 2  17 12 2
HD:

a) A  (2  5)2  (2 2  5)2  A  2 2  2

b) B  ( 7  2 2)2  (3  2 2)2  B  3  7

c) C  11 6 2  11 6 2  C  2 2

d) D  17 12 2  17 12 2  D  6
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

a. A  64a2  2a b. B  3 9a6  6a3
HD:

a) A  64a2  2a  A  10a  0
  6a a  0
 A

b) B  3 9a6  6a3  B  15a3 a  0
   0
 B 3a3 a

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau

a. A  a2  6a  9  a2  6a  9(3  a  3)

b. B  a  2 a 1  a  2 a 1(1  a  2)
HD:

a) A  a2  6a  9  a2  6a  9(3  a  3)  a  3  a  3  a  3  3  a  6

b) B  a  2 a 1  a  2 a 1(1  a  2)  2
Bài 5: Giải các phương trình sau

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 42

DẠY THÊM – ĐẠI SỐ 9 – CHƯƠNG I
facebook: [email protected]

a) x2  6x  9  4  x b) x2  2x 1  x2  4x  4  3

c) 2x  2  2 2x  3  2x 13  8 2x  3  5 d) x2  9  x2  6x  9  0

HD:

a. Cách 1: x2  6x 9  4 x  4  x  0  x  7
 2
 x2  6x  9  (4  x)2

Cách 2: x2 6x 9 4x  x3  4 x  x  7
2

b. x2  2x 1  x2  4x  4  3  x 1  x  2  3

+) Nếu 1 < x < 2 , ta được: x – 1 + 2 – x = 3 ( vô nghiệm )

+) Nếu x > 2 , ta được : x – 1 + x – 2 = 3  x  3

+) Nếu x < 1, ta được : 1 – x + 2 – x = 3  x  0

Vậy x = 0 hoặc x = 3.

c. 2x  2 2 2x 3  2x 13  8 2x  3  5  2x 3 1  2x  3  4  5  x  3
2

d) x2 9  x2  6x  9  0   x2 9  0
 x3

 x  32  0

Bài 6: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn đẳng thức: x  y  z  8  2 x 1  4 y  2  6 z  3

HD:
Cách 1:

x  y  z  8  2 x 1  4 y  2  6 z  3  ( x 1 1)2  ( y  2  2)2  ( z  3  3)2  0
 x  2; y  6; z  12

Cách 2:

Ta có : x  (x 1) 1  2 x 1; y  2  ( y  2)  4  4 y  2; z  6  (z  3)  9  6 z  3

Vậy : x = 2 ; y = 6 ; z = 12

Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 43