MTG MCQ

110  JEE MAIN CHAPTERWISE EXPLORER 

28.  (*)  :  sin –1x    =  2  sin– 1 a s-a s-b s-c
<<
Þ  DD D

p p  éQ sin-1 x = 2sin -1 a  ù
Þ  - 2 £  2  sin–  1a  £  2 êú Þ  a  >  b  >  c 
êand - p £ sin -1 x £ p ú
pp ë2 2 û p 
Þ  - £  sin –1 a £  30.  (a)  :  Using  tan –1q  +  cot– 1q  =  =  x

44 2
p 
Þ  sin çèæ - p ö £  a £  sin çèæ p ö \  sin  x  =  sin  =  1 
4 ÷ø 4 ÷ø 2

Þ  - 1  £  a £  1  31.  (b) :  tan  x  +  sec  x  =  2  cos  x 
22
1  +  sin  x  =  2  cos 2 x  sin 150° = ½  sin 30° = ½ 
1  +  sin  x  =  2(1  –  sin 2 x)

1  Þ  2  sin2 x    +  sin  x  –  1  =  0
Þ  |a| £  No  choice  is  matched. 
Þ  (2  sin  x  –  1)  (1  +  sin  x)  =  0
2 

29.  (a)  : As  r 1  >  r 2  >  r3  1  sin 270° = – 1
Þ  D > D > D Þ  sin  x  =  ,  sin  x  =  –1 
s - a s - b s - c
2 

so  there  are  three  solution  like x  =  30°,  150°,  270°

Mathematical  Logic  111 

CHAPTER  MATHEMATICAL LOGIC 

18 

1.  Consider :  (a)  There is a rational number x Î S such that x £  0. 

Statement­1  :  (p Ù  ~ q) Ù  (~ p Ù q) is  a  fallacy.  (b)  There is no rational number x Î S  such  that x £  0. 

Statement­2 : (p ® q) « (~ q ® ~ p) is a  tautology.  (c)  Every rational number x Î S satisfies x £  0. 

(a)  Statement­1  is  true,  Statement­2  is  true,  Statement­2  is  (d) x Î S  and x £  0 Þ x is not rational.  (2010) 

not  a  correct  explanation  for  Statement­1.  5.  Statement­1  : ~  (p « ~q) is equivalent to p «  q. 

(b)  Statement­1  is  true,  Statement­2  is  false. 

(c)  Statement­1  is  false,  Statement­2  is  true.  Statement­2  : ~ (p « ~q) is  a tautology. 

(d)  Statement­1 is true, Statement­2 is true, Statement­2 is a  (a)  Statement­1  is  true,  Statement­2  is  true;  Statement­2  is 

correct  explanation  for  Statement­1.  (2013)  not  a  correct  explanation  for  Statement­1 

2.  The negation of the statement “If I become a teacher, then I  (b)  Statement­  1  is  true,  Statement­2  is  false 

will  open  a  school”,  is  (c)  Statement­1  is  false,  Statement­2  is  true 

(a)  Neither I will become a teacher nor I will open a school.  (d)  Statement­1  is  true,  Statement­2  is  true;  Statement­2  is 

(b)  I  will  not  become  a  teacher  or  I  will  open  a  school.  correct  explanation  for  Statement­1  (2009) 

(c)  I  will  become  a  teacher  and  I  will  not  open  a  school.  6.  The statement  p ® (q ®  p) is equivalent to 

(d)  Either  I  will  not  become  a  teacher  or  I  will  not  open  a  (a)  p ®  (  p «  q)  (b)  p ®  (  p ®  q) 

school.  (2012)  (c)  p ®  (  p Ú  q)  (d)  p ®  (  p Ù  q) 

3.  Consider the  following  statements (2008) 

P  :  Suman  is  brilliant 7.  Let p be the statement “x is an irrational number”, q be the 
statement “y is a transcendental number”, and r be the statement 
Q : Suman  is rich “x  is a rational number iff y  is a transcendental number”. 
R  :  Suman  is  hones t 
The negation of the statement “Suman is brilliant and dishonest  Statement­1 :  r  is equivalent to either  q  or  p. 
Statement­2 :  r is equivalent to ~ ( p «  ~ q). 
if and only if Suman is  rich” can be expressed  as  (a)  Statement­1  is  true,  Statement­2  is  false 
(b)  Statemen­1  is  false,  Statement­2  is  true 
(a)  ~ Q « ~  P Ù  R  (b)  ~  (P Ù  ~  R) «  Q  (c)  Statement­1 is true, Statement­2 is true; Statement­2 is a 

(c)  ~  P Ù  (Q «  ~  R)  (d)  ~  (Q «  (P Ù  ~  R))  correct  explanation  for  Statement­1 
(d)  Statement­1  is  true,  Statement­2  is  true;  Statement­2  is 
(2011) 
not  a  correct  explanation  for  Statement­1  (2008) 
4.  Let S  be  a  non­empty  subset  of R.  Consider  the  following 
statement:
P  : There  is a rational number x Î S  such that x  >  0. 
Which  of  the  following  statements  is  the  negation  of  the 
statement P  ? 

Answer  Key 

1.  (a)  2.  (c)  3.  (d)  4.  (c)  5.  (b)  6.  (c) 
7.  (a)

112  JEE MAIN CHAPTERWISE EXPLORER 

1.  (a) : 1 st solution : Let's prepare the truth table for the statements.  3.  (d) : The  statement can be written  as P Ù ~R Û  Q 

p  q  ~p  ~q  p Ù ~q  ~p Ù q  (p Ù  ~q) Ù (~p Ù  q)  Thus the  negation is  ~ (Q «  P Ù  ~  R) 

T  T  F  F  F  F  F  4.  (c) : The given statement is 
F  P : at  least one  rational  x ΠS  such that  x >  0. 
T  F  F  T  T  F  F  The  negation  would  be  :  There  is  no  rational  number 
F  x ΠS  such that  x  >  0 
F  T  T  F  F  T  which  is  equivalent  to  all  rational  numbers  x Π S  satisfy 
x £  0. 
F  F  T  T  F  F 

Then  Statement­1  is  fallacy. 

p  q  ~ p  ~ q  p ®  q  ~ q ®  p  (p ®  q) ®  (~  q ®  p)  5.  (b) : Let’s  prepare  the  truth  table 

T  T  F  F  T  T  T  p  q  ~q  p «  q  p «  ~q  ~(p «  ~q) 

T  T  F  T  F  T 

T  F  F  T  F  F  T  T  F  T  F  T  F 

F  T  T  F  T  T  T  F  T  F  F  T  F 

F  F  T  T  T  T  T  F  F  T  T  F  T 

Then Statement­2  is  tautology.  As the column for ~(p « ~q) and (p « q) is the same, we conclude 

that  ~(p «  ~q)  is  equivalent  to  (p «  q). 

2 nd  solution :  ~  (~  p Ú  q) Ù  ~ (~  q Ú  p) ~(p « ~q) is NOT a tautology because it’s statement value is not 

º ~ ((~ p Ú q) Ú (~  q Ú p)) º ~ ((p ®  q) Ú (q ® p)) º ~ T  always  true. 

Thus  Statement­1  is  true  because  its  negation  is  false.  6.  (c) :  Let’s simplify the  statement 
((p ®  q) ® (~  q ®  ~  p) Ù  ((~  q ®  ~  p) ® (p ®  q))  p ® (q ® p) = ~  p Ú (q ® p) = ~  p Ú  (~  q Ú  p) 
= ((~  p Ú q) ®  (q Ú  ~  p) Ù  ((q Ú ~  p) ®  (~  p Ú  q)) = – p Ú  p Ú  ~  q = p ® (p Ú  q) 

º T Ù  T º  T.  Then  Statement­2  is  true.  7.  (a) : The given statement  r º ~  p «  q 
The Statement­1 is  r 1 º (p Ù  ~  q) Ú  (~  p Ù  q) 
2.  (c) : The given statement is  The  Statement­2  is 
‘‘If I become a teacher,  then I  will  open a  school’’  r2  º ~ (p « ~ q) = (p Ù q) Ú (~ q Ù ~ p) 
Negation of the given  statement is  we can establish that  r =  r 1 
‘‘ I will become a  teacher  and  I  will not  open a  school’’  Thus  Statement­1  is  true  but  Statement­2  is  false.
(.  . . ~  (p ®  q) =  p Ù ~  q)