MEDIA MENGAJAR KELAS X MADRASAH ALIYAH NEGERI 1 TUBAN Oleh : S. AHMAD MU’ADDIB, S.Pd MATEMATIKA
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT BAB 5 Sumber gambar: Shutterstock.com
5.1 Persamaan Kuadrat Definisi Persamaan Kuadrat: Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 2 + + = 0, , , ∈ ℝ dan ≠ 0. Contoh 2 2 + 5 − 3 = 0, maka = 2, = 5, dan = −3 −4 2 − 25 = 0, maka = −4, = 0, dan = −25 3 2 + 11 = 0, maka = 3, = 11, dan = 0 Contoh di atas menunjukkan bahwa persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk 2 + + = 0 di mana , , ∈ ℝ dan ≠ 0 , walaupun atau boleh nol.
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Nilai-nilai yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan akar-akar persamaan kuadrat atau penyelesaian persamaan kuadrat. Cara penyelesaian persamaan kuadrat: 1. dengan pemfaktoran, 2. dengan melengkapi kuadrat sempurna, 3. dengan rumus persamaan kuadrat, 4. dengan grafik fungsi kuadrat.
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran: Jika suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan dalam bentuk ℎ = 0, maka persamaan itu dapat diselesaikan dengan pemfaktoran. Misal: Persamaan kuadrat 2 + − 6 = 0 difaktorkan dalam bentuk ℎ = 0. ⟺ − 2 + 3 = 0 ⟺ − 2 = 0 atau + 3 = 0 = 2 atau = −3 Contoh Faktorkanlah. a) 2 + 10 + 21 Jawab: a) 2 + 10 + 21 = … + __ … + __ •Faktor 2 ialah ∙ •Faktor 21 yang jumlahnya 10 adalah 7 dan 3 = + 7 + 3 Jadi, faktor dari 2 + 10 + 21 = + 7 + 3 Faktor 21 Faktor 2
Contoh 1.Tentukan himpunan dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran a) 2 − 8 + 15 = 0 b) 4 2 − 12 − 7 Jawab: a) 2 − 8 + 15 = 0 − 3 − 5 = 0 − 3 = 0 atau − 5 = 0 = 3 atau = 5 Jadi, HP = 3, 5 b) 4 2 − 12 − 7 = 0 2 + 1 2 − 7 = 0 2 + 1 = 0 atau 2 − 7 = 0 = − 1 2 atau = 7 2 Jadi, HP = − 1 2 , 7 2 Catatan: Diskriminan = 2 − 4 dari kedua persamaan kuadrat pada Contoh adalah bilangan kuadrat sempurna sehingga persamaan kuadrat dapat difaktorkan.
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna: • Bentuk 2 + 2 + 2 adalah bentuk kuadrat sempurna, karena: 2 + 2 + 2 = + 2 , sedangkan bentuk 2 + 2 bukan kuadrat sempurna, karena 2 + 2 ≠ + 2 . • Suatu persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan pemfaktoran dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Contoh 2 + 6 + 2 = 0 2 + 6 = −2 2 + 6 + 3 2 = 3 2 − 2 + 3 2 = 7 + 3 = ± 7 + 3 = 7 atau + 3 = − 7 = −3 + 7 atau = −3 − 7 1 2 dari 6 adalah 3
Contoh Gunakan rumus untuk menentukan akar-akar persamaan 5 2 + 3 − 7 = 0, sampai dengan dua angka di belakang koma. Jawab: 5 2 + 3 − 7 = 0, dengan = 5, = 3, dan c = −7 = −± 2−4 2 , substitusi nilai , , ke rumus tersebut. = −3± 3 2−4 5 −7 2 5 = −3± 9+140 10 = −3± 149 10 Jawaban Eksak: = −3+ 149 10 ≈ −3+12,21 10 ≈ 9,21 10 ≈ 0,92 = −3− 149 10 ≈ −3−12,21 10 ≈ −15,21 10 ≈ −1,52 atau Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus: • Setiap persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk umum, 2 + + = 0, , , ∈ ℝ, dan ≠ 0, akar-akar persamaan kuadratnya dapat diselesaikan dengan rumus: = − ± 2 − 4 2
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jumlah akar-akar: 1 + 2 = − Hasil kali akar: 1 ∙ 2 = Akar-akar persamaan kuadrat 2 + + = 0 sangat berhubungan erat dengan koefisiennya. Misal akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah sehingga diperoleh: 1 = −+ 2−4 2 dan 2 = −− 2−4 2
Contoh Jika 1 dan 2 akar-akar persamaan kuadrat 2 2 − 5 + 6 = 0, tentukan nilai: a) 1 2 + 2 2 c) 1 2 + 2 1 b) 1 − 2 2 d) 1 − 1 2 + 2 − 1 2 b) 1 − 2 2 = 1 2 + 2 2 − 212 = 1 4 − 2 3 = − 23 4 c) 1 2 + 2 1 = 1 2+2 2 12 = 1 4 4 = 1 16 d) 1 − 1 2 + 2 − 1 2 = 1 2 − 21 + 1 + 2 2 − 22 + 1 = 1 2 + 2 2 − 2 1 + 2 + 2 = 1 4 − 2 5 2 + 2 = 1 4 − 3 = − 11 4 Jawab: 2 2 − 5 + 6 = 0; = 2; = −5; = 6. 1 + 2 = − = 5 2 dan 1 ∙ 2 = = 6 2 = 3 Jadi, a) 1 2 + 2 2 = 1 + 2 2 − 212 = 5 2 2 − 2 3 = 25 4 − 6 = 1 4
Diskriminan dan Penggunaannya Akar-akar persamaan kuadrat 2 + + = 0 dapat dicari dengan rumus berikut: 1 = −+ 2−4 2 dan 2 = −− 2−4 2 Sifat dari kedua akar tersebut sangat dipengaruhi oleh nilai Diskriminan ( = 2 − 4). Diskriminan menunjukkan jenis akar persamaan kuadrat sebagai berikut: 1. Jika = 0, kedua akarnya sama dan real, 2. Jika < 0, kedua akar imajiner, 3. Jika > 0, kedua akarnya real dan berbeda.
5.2 Fungsi Definisi Fungsi: 1. Fungsi sebagai pemetaan. Fungsi dalam himpunan A (domain) ke B (range) adalah suatu aturan yang memetakan setiap anggota di A dengan tepat satu anggota dalam B. 2. Fungsi sebagai pasangan dua bilangan real x dan y adalah himpunan , di mana x paling banyak muncul satu kali dalam setiap pemetaan. Syarat keanggotaan himpunan fungsi f biasanya ditentukan oleh pemetaan x ke y, dan pada umumnya dinyatakan suatu aturan − (), dimana: Domain : = | , ∈ Range : = | , ∈ Fungsi : = , | , 1 dan , 2 ∈ → 1 − 2 Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi sedemikian sehingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B. f = = = =
Domain, Range, dan Notasi suatu Fungsi Pada suatu fungsi : → , disebut domain , disebut kodomain, dan himpunan yang mempunyai pasangan di disebut range (daerah hasil). Domain : = = , , , Kodomain : = , , , , , dan Range : = , , ⊂ f Notasi Fungsi 1. Tanda fungsi boleh dinotasikan sebagai : . Misal = 3 + 5 dinyatakan sebagai : → 3 + 5. 2. Jika = 3 + 5, maka dikatakan adalah fungsi bagi .
5.3 Sifat-Sifat Fungsi 1. Fungsi Onto (Surjektif) Fungsi : → disebut fungsi onto apabila setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. : → surjektif jika untuk setiap ∈ B maka akan ada ∈ sehingga = . 2. Fungsi Satu-satu (Injektif) Fungsi : → disebut fungsi satu-satu apabila setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu saja pada anggota B. 3. Fungsi Korespondensi Satu (Bijektif) Fungsi : → disebut korespondensi satu-satu apabila fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif dan sekaligus fungsi injektif.
5.4 Operasi Aljabar pada Fungsi Jika dan adalah dua fungsi terdefinisi pada himpunan , dimana dan merupakan domain dari dan , maka: ➢ Jumlah dan , ditulis + , didefinisikan dengan: + = + , dan ∈ ∩ ➢ Selisih dan , ditulis − , didefisinikan dengan: − = − , dan ∈ ∩ ➢ Hasil kali dengan scalar , ditulis , didefinisikan dengan: = , dan ∈ ➢ Hasil kali dan , ditulis ∙ , didefinisikan dengan: ∙ = ∙ , dan ∈ ∩ ➢ Hasil bagi dan , ditulis didefinisikan dengan: = , ≠ 0 dan ∈ ∩ D
5.5 Fungsi Kuadrat Definisi Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk = 2 + + ; , , ∈ ℝ; ≠ 0. Melukis Grafik Fungsi Kuadrat = dan ± = Jika = 2 ditranslasikan vertikal sejauh ke atas menjadi − = 2 , maka koordinat titik balik (0,0) untuk = 2 ditranslasikan ke titik (0, ), yang dinotasikan dengan = 2 0 − = 2 Melukis Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Ciri khas kurva berbentuk parabola adalah: • Kurva mulus, • Memiliki sumbu simetri, • Memiliki titik balik, yaitu titik balik maksimum atau minimum.
Melukis Grafik Fungsi Kuadrat = dan = ( ± ) Jika = 2 ditranslasikan horizontal sejauh ℎ ke kanan menjadi = ( − ℎ) 2 , maka koordinat titik balik (0, 0) untuk = 2 ditranslasikan ke titik (, 0), yang dinotasikan dengan = 2 ℎ 0 = − ℎ 2 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat = + + , ≠ Hal-hal yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat adalah: a. Titik potong parabola dengan sumbu diperoleh jika = 0. = 0 2 + 0 + = Titik potong dengan sumbu = (0, ). b. Titik potong dengan sumbu diperoleh jika = 0; 2 + + = 0, Kemudian faktorkan persamaan kuadrat tersebut, menggunakan rumus kuadrat, melengkapkan kuadrat sempurna, atau dengan memfaktorkannya. Diskriminan persamaan kuadrat tersebut dapat memberikan keterangan tentang titik potong sumbu . > 0 ⟺ dua titik potong berlainan, = 0 ⟺ grafik menyinggung sumbu , < 0 ⟺ tidak ada titik potong.
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat = + + , ≠ c. Koordinat titik balik, gunakan hubungan: 2 + + = − ℎ 2 + 2 + + = 2 − 2ℎ + (ℎ 2 + ) Dengan membandingkan persamaan di sebelah kiri dan kanan, diperoleh: = −2ℎ atau ℎ = − 2 = ℎ 2 + ⟺ = − ℎ 2 atau = − 2 − 4 4 = − 4 Jadi, sumbu simetrinya = − 2 . Titik balik = − 2 , − 4 . Sumbu simetri fungsi = 2 + + akan sejajar atau berimpit dengan sumbu .
Menyusun Fungsi Kuadrat Suatu fungsi kuadrat dapat disusun jika diketahui hal-hal berikut: 1. Koordinat titik balik (ℎ, ). Bentuk persamaannya − = − ℎ 2 . 2. Titik potong dengan sumbu di titik (, 0) dan (, 0). Bentuk persamaannya = ( − )( − ). 3. Kurva parabola melalui tiga titik sebarang. Bentuk persamaannya = 2 + + . Masalah yang Melibatkan Fungsi Kuadrat Berikut ini ada beberapa hal yang perlu diingat pada grafik fungsi: = 2 + + ; , , ∈ ℝ dan ≠ 0 1. Titik stasioner = − 4 → ቊ minimum, jika a > 0 maksimum, jika a < 0 tercapai apabila = − 2 . Jadi, titik stasioner = − 2 , − 4 . 2. Definit positif atau negatif Jika < 0 dan → ቐ > 0 → ∪ , selalu positif untuk setiap x (definit positif) < 0 → ∩ , selalu negatif untuk setiap x (definit negatif)