Modul Ajar barisan arit PPL

MODUL
BARISAN DAN

DERET
ARITMETIKA

KELAS X SMK
SEMESTER 1

SMKN RAJAPOLAH

BY : UTARI RISMA MAHARANI, S.PD

Modul Ajar

Barisan dan Deret Aritmetika

Untuk Kelas X SMK Negeri Rajapolah
Oleh ; Utari Risma Maharani, S.Pd

Tujuan Pembelajaran

1. Peserta didik (A) melakukan pengamatan pada gambar dan slide yang ditayangkan oleh guru melalui
media interaktif berbasis Canva (TPACK) yang dapat dilihat peserta didik di layar dengan bantuan Proyektor.
Guru dan pesertadidik bersama-sama melakukandiskusi (C/Collaboration) tentang menemukan (C4) (B) pola

bilangan dari masalah kontektual barisan aritmetika dengan tepat (D) dan penuh rasa percaya diri (PPK).



2. Peserta didik (A) melakukan pengamatan dari gambar atau vidio yang ditayangkan oleh guru melalui
media interaktif berbasis canva (TPACK) yang dapat dilihat peserta didik dengan bantuan proyektor. Guru

dan peserta didik bersama – sama melakukan diskusi (C/Collaboration) tentang mengkontruksi (C6) (B)
konsep barisan Aritmetika dengan teliti (D) dan penuh percaya diri (PPK).



3. Peserta didik (A) melakukan pengamatan dari gambar dan video yang ditayangkan oleh guru melalui
media interaktif berbasis canva (TPACK) yang dapat dilihat peserta didik di layar dengan bantuan Proyektor.

Guru dan peserta didik bersama-sama melakukan diskusi (C/Collaboration) tentang memprediksi (C5) (B)
masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan aritmetika dengan penuh rasa tanggung jawab, percaya

diri (PPK) dan benar (D).



4. Peserta didik (A) melakukan pengamatan dari gambar dan slide pada media interaktif berbasis canva
(TPACK) yang dapat dilihat peserta didik di layar dengan bantuan Proyektor. Guru dan peserta didik
bersama-sama melakukan diskusi (C/Collaboration) tentang Menyajikan (P3) (B) pemecahan masalah

kontekstual yang berkaitan dengan barisandan deret aritmetikadengan penuh rasa tanggungjawab, percaya
diri (PPK) dan benar (D).

Modul Ajar

Barisan dan Deret Aritmetika

Untuk Kelas X SMK Negeri Rajapolah
Oleh ; Utari Risma Maharani, S.Pd

Peta Konsep Materi

Modul Ajar

Barisan dan Deret Aritmetika

Untuk Kelas X SMK Negeri Rajapolah
Oleh ; Utari Risma Maharani, S.Pd

Barisan Aritmetika

Pengertian Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika (Un) adalah barisan bilangan yang memiliki pola yang tetap.
Polanya dapat terbentuk berdasarkan operasi penjumlahan atau pengurangan. Jadi,
setiap urutan suku memiliki selisih atau beda yang sama. Selisih inilah yang
dinamakan beda. Biasa disimbolkan dengan b.

Misalnya :
Di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 2. Suku pertama disimbolkan dengan
U1 atau a. Lalu, di suku kedua (U2), yaitu 5. Suku ketiga (U3), yaitu 8, dan
seterusnya.
Berarti, barisan ini memiliki beda 3 pada setiap sukunya.

2, 5, 8, ... (setiap suku memiliki selisih atau beda, yaitu 3)

Barisan aritmetika terdiri dari 2 jenis, yaitu barisan naik dan barisan turun. Berikut
penjelasan masing-masing jenis.

1. 2, 5, 8, 11, 14,….. Jadi bedanya bernilai 3 (positif), maka baris ini adalah barisan
naik.
2. 45, 43, 41, 39,…… Jadi nilai beda merupakan -2 (negatif), maka barisan disebut
barisan turun.

Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki
beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap.

Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan barisan aritmetika naik.
Sebaliknya, Jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut barisan
arimetika turun.

barisan dan deret aritmetika

utari sensei

Barisan Aritmetika

Dalam matematika, barisan dan deret aritmetika atau dikenal sebagai barisan dan
deret hitung adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku
berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama)
pada barisan aritmetika diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah
bilangan tetap, misalnya:

4, 7, 10, 13, ....
barisan di atas memiliki pola tambah 3, atau dengan kata lainmemiliki nilai beda
positif 3.
(7-4) = (10-7) = (13-10) = 3
(u2 -u1) = (u3-u2)= (u4-u3) = (Un - Un-1) = b
Perhatikan kembali pola pada barisan 4, 7, 10, 13, ....
jika 4 adalah suku pertama dan disimbolkan a atau Un dan beda disimbolkan b,
maka kita bisa menuliskan polanya

4a U1
7 4+3 a+b U2
10 4 + 6 a + 2b U3
13 4 + 9 a + 3b U4

dari pola di atas bisa disimpulkan bahwa rumus suku ke - n barisan Aritmetika
adalah

Un = a + (n-1) b

barisan dan deret aritmetika utari sensei

Contoh Soal Barisan Aritmetika

Suku kedua dari suatu deret aritmatika adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 sama dengan 28,
suku ke-9 deret aritmatika adalah..
Jawabanya:
U2 = a + b = 5 pers 1
U4 + U6 = (a + 3b) + (a + 5b) = 2a + 8b = 28 => a + 4b = 14 pers 2

Eliminasi a di persamaan (i) ke pesamaan (ii)
a+ b = 5
a + 4b = 14
______________ -
b - 4b = 5 - 14
-3b = -9

b = -9/-3 =3
Substitusikan nilai b = 3 ke pers 1
a + b = 5 => a +3 = 5 => a = 5-3 =2

Suku ke-9:
Un = a = (n-1) b
U9 = 2 + (9-1) 3
U9 = 2 + 8 (3) = 26

Jadi nilai suku ke sembilannya adalah 26

Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1.000 yang habis dibagi 3 adalah..

Jawabannya:
Kita buat dulu pola barisan aritmetikanya :
Bilangan antara 101 dan 1.000 yang habis dibagi tiga adalah
102, 105, 108, …., 999
Berarti: a = 102, b = 3 dan Un = 999
Un = a + (n - 1)b
999 = 102 + (n - 1) 3
999 - 102 = (n-1) 3
897 = (n-1) 3
897 /3 = n-1
299 = n-1
299 + 1 =n
300 = n
Jadi ada 300 bilangan yang hasidibagi 3 diantara bilagan101 dan 1000

barisan dan deret aritmetika utari sensei

Soal Latihan Barisan Aritmetika

2,5,8,11, ..., maka nilai suku ke- 20 nya adalah ...

Hasil panen anggur pada hari pertama adalah 40 ton. HAsil panen
anggur setiap hari rata - rata bertamabah 5 ton darihari
sebelumnya. Tentukan hasil panen anggur pada hari ke - 12.

barisan dan deret aritmetika utari sensei

Soal Latihan Barisan Aritmetika

2,5,8,11, ..., 59 maka banypada barisan tersebut adalah ...

Ada berapasuku antara bilangan 1-150 yang habis dibagi 4

barisan dan deret aritmetika utari sensei

Soal Latihan Barisan Aritmetika

Sebuah barisan aritmetikasuku ke -7nya adalah -6 dan suku
ke -15 nya adalah -40. Tentukan nilai suku ke-20.

Ibu membagi uang jajan kepada 7 anaknya. anak kedua diberi jatah uangjajan
Rp 4000,00 dan anak kelima diberi jatah uang jajan Rp 7000,00. Jika selisih
setiap anak sama, berapa uang jajan yang ibu berikan pada anak ke -7

Barisan dan deret Aritmetika utari sensei

Deret Aritmetika

Apabila dilihat secara sekilas, deret aritmetika memiliki komponen rumus yang
sama dengan barisan aritmetika. Pembedanya adalah rumus barisan aritmetika
digunakan untuk mencari suku yang diinginkan, sedangkan deret aritmetika
mencari penjumlahan dari suku-suku tersebut.

Perhatikan barisan aritmetika berikut :

1+3+5+7+9=?
U1 U2 U3 U4 U5

S5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
S5 = 9 + 7 + 5 + 3 + 1
________________________________ +
2 S5 = 10 + 10 + 10 + 10 +10
2 S5 = 10 x 5

S5 = (10 x 5 ) / 2

Jika perhitungan di atas kita nyatakan dalam Un, maka :
Sn = U1 + U2 + ..... +Un-1 + Un
Sn = Un + Un-1 + ...... + U2 + U1
________________________________ +

2Sn= (U1 + Un) x n
Sn = n/ 2 (U1+ Un) = n/2 ( a + Un)

Jika kita masukan rumus Un nya maka ;
Sn = n/2 ( a + ( a + (n-1) b)
Sn = n/2 ( 2a + (n-1) b

Berdasarkan rumus tersebut, dapat ditemukan suku ke-n dengan cara berikut ini,
yaitu:

Un = Sn – Sn-1

Sn = n/2 (2a +( n-1 )b)

barisan dan deret Aritmetika utari sensei

Contoh Soal Deret Aritmetika

Seutas pita dibagi menjadi 10 bagian dengan panjang yang membentuk deret aritmatika. Jika pita
yang terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155 cm, panjang pita semula adalah..
Jawaban :
U1 = 20 cm dan U10 = 155 cm,
diperoleh: U10 = a + 9b 155 = 20 + 9b -> b= 15 cm
Panjang pita semula adalah
S10 = 5{2a + (n - 1)b}
S10 = 5{2.20 + (10 - 1)15}
S10 = 5{40 + (9) 15} S10
S10 = 5{40 + (9)15} S10
S10 = 5{40 + 135}
S10 = 5(175)
S10 = 875

Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi, baris paling depan terdapat 23 kursi, baris berikutnya 2
kursi lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah ....
Diketahui:
Banyak barisan kursi (n) =15
Banyak kursi baris pertama (a) = 23
Beda tiap baris kursi (b) = 2
Ditanyakan:
Jumlah kursi (S₁₅).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₅ = (15/2) (2.23 + (15 - 1)2)
S₁₅ = (15/2) (46 + 28)
S₁₅ = (15/2)(74)
S₁₅ = 15 . 37
S₁₅ = 555
Jadi, jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah 555 kursi.

Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang
dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n.
Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah .......
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U₁ = 50 + 25(1) = 75
U₁₀ = 50 + 25(10) = 300
Sn = n/2 (a + Un)
S₁₀ = 10/2 (75 + 300)

= 5(375)
= 1.875
Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah

Barisan dan deret Aritmetika Utari Sensei

Contoh Soal Deret Aritmetika

Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan
sampai bulan keempat 30ribu rupiah, dan sampai bulan kedelapan 172ribu rupiah, maka keuntungan
sampai bulan ke-18 adalah .....
Diketahui:
Keuntungan sampai bulan ke-4 (S₄) = 30ribu rupiah
Keuntungan sampai bulan ke-8 (S₈) = 172ribu rupiah
Ditanyakan:
Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)

Keuntungan sampai bulan keempat (S₄):
S₄ = 4/2 (2a + (4 - 1)b)
<=> 30.000 = 2(2a + 3b)
<=> 15.000 = 2a + 3b ........(1)
Keuntungan sampai bulan kedelapan (S₈):
S₈ = 8/2 (2a + (8 - 1)b)
<=> 172.000 = 4(2a + 7b)
<=> 43.000 = 2a + 7b ........(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 7b = 43.000 -
<=> -4b = -28.000
<=> b = -28.000/-4
<=> b = 7.000

Subtitusi nilai b = 7.000 ke persamaan (1) diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 3(7.000) = 15.000
2a + 21.000 = 15.000
2a = 15.000 - 21.000
2a = -6.000
a = -6.000/2
a = -3.000

Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈)
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₈ = 18/2 (2(-3.000) + (18 - 1).7000)
S₁₈ = 9(-6.000 + 119.000)
S₁₈ = 9(113.000)
S₁₈ = 1.017.000
Jadi, keuntungan sampai bulan ke-18 adalah 1.017 ribu rupiah.

Barisan dan deret Aritmetika Utari Sensei

Latihan Soal Deret Aritmetika

Diketahui deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + .... Tentukan jumalah 15 suku
pertamanya

Seorang pegawai mendapai gaji pertama sebesar Rp 1 000 000,00.
Pada bulan - bulan berikutnya gajinya bertambah Rp 200 000,00 dari

bulan sebelumnya. Berapa jumlah gaji pegawai selama satu tahun

Barisan dan deret Aritmetika Utari Sensei

Latihan Soal Deret Aritmetika

Deretaritmetika diketahui suku pertamanya 2 dan jumlah 10 suku
pertamanya - 115. Tentukan beda darideret aritmetika tersebut

Suatu deret aritmetika diketahui jumlah n suku pertamanya -115. jika
suku pertamanya 2 dan bedanya -3. Tentukan banyaknya suku pada
deret tersebut

Barisan dan deret Aritmetika Utari Sensei

Latihan Soal Deret Aritmetika

Sebuah deret aritmetika memenuhi rumus Sn= n (3-n). Tentukan nilai U7
dan bedanya

Suatu deret aritmetika, jika suku pertamanya 30 dan suku ke -7 nya
adalah 60.Tentukan jumalh 7 suku pertamanya