เรขาคณิต

รายงาน เรื่อง เรขาคณิต เสนอ อาจารย์คมกริช ทองนาค จัดทำ โดย นางสาวชุติม ติ า อรรคศรี รหัสนักศึกษา 661790004033-3 สาขาคณิตศาสตร์ หมู่ 2 เลขที่ 1 รายงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชานวัตกรรม เทคโนโลยีสารสนเทศและสื่อสารการศึกษา [ED-002- 104] ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2566 คณะศึกษาศาสตร์และนวัตกรรมการศึกษา สาขา คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยกาฬสินธุ์

คำ นำ รายงานฉบับบันี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชวิานวัตวักรรมเทคโนโลยี สารสนเทศและสื่อสารการศึกษา [ED-002-104] การศึกษาตามหลักลั สูต สู ร ปริญริญาตรี คณะศึกษาศาสตร์แ ร์ ละนวัตวักรรมการศึกษา สาขาวิชวิา คณิตศาสตร์ เรื่อ รื่ ง เรขาคณิต ที่จัที่ดจัทำ ขึ้น ขึ้ เพื่อให้ผู้อ่ ผู้ าอ่นได้เด้รีย รี นรู้แรู้ละเกิดกิ ความเข้าข้ ใจเกี่ย กี่ วกับกัเรขาคณิตมากขึ้น ขึ้ ได้รู้ด้รู้ ถึรู้ง ถึ ความเป็นมา ประวัติวัขติอง เรขาคณิต โดยผู้จั ผู้ ดจัทำ ได้สืด้ สื บค้นข้อข้มูล มู เนื้อหาต่าต่งๆ มาจาก chatGPT Bard Bing เพื่อให้ได้ข้ด้อข้มูล มู ที่หที่ลากหลายมีค มี วามแม่นม่ยำ ขอขอบคุณท่าท่นอาจารย์ที่ ย์ เที่ป็นผู้ที่ ผู้ ใที่ห้ข้อข้เสนอแนะในการจัดจัทำ รายงานฉบับบันี้เป็นอย่าย่งสูง สู ไว้ ณ โอกาสนี้ ผู้จั ผู้ ดจัทำ หวังวัเป็นอย่าย่งยิ่งยิ่ว่าว่ รายงานเรื่อ รื่ งเรขาคณิตฉบับบันี้จะเป็นประโยชน์ต่อต่ผู้อ่ ผู้ าอ่นเป็นอย่าย่งดี หากมี ข้อข้ผิดผิพลาดประการใด ขออภัยภัมา ณ ที่นี้ที่ นี้

สารบัญ เรื่อรื่ ง หน้า คำ นำ กสารบัญบัขความเป็นมาของเรขาคณิต 1ประวัติวัขติองรูปเรขาคณิต 2องค์ประกอบของเรขาคณิต 4เรขาคณิต 2 มิติมิแติละ 3 มิติมิ ติ 5เรขาคณิต 2 มิติมิ ติ 5สูตสูรคำ นวณหาเรขาคณิต 2 มิติมิ ติ6เรขาคณิต 3 มิติมิ ติ 7สูตสูรคำ นวณหาเรขาคณิต 3 มิติมิ ติ 8ประเภทของเรขาคณิต 9บรรณานุกนุรม 10

เรขาคณิต ความเป็นมาของเรขาคณิต เรขาคณิต (Geometry) มาจากรากศัพท์ภท์าษากรีกรีว่าว่Geometrein (geo หมาย ถึงถึearth และ metrein หมายถึงถึto measure) แต่คต่วามหมายของเรขาคณิตใน ปัจจุบัจุนบัมีคมีวามแตกต่าต่งออกไปมากเพราะว่าว่วิชวิาเรขาคณิตได้รัด้บรัการพัฒนามาอย่าย่งต่อต่ เนื่องและแตกสาขาออกไปหลายสาขาและเรขาคณิตที่ศึที่ศึกษาในระดับดัมัธมัยมก็เ ก็ป็นเพียง เรขาคณิตของยูคยูลิดลิ (Euclidean Geometry) ซึ่งซึ่ถือถืว่าว่เป็นพื้นฐานที่ทำที่ทำให้มีวิมีวัวิฒวันาการ ไปสู่เสู่รขาคณิตแบบอื่นอื่ๆ จนเป็นที่ยที่อมรับรักันกัว่าว่ยูคยูลิดลิเป็นบิดบิาแห่งวิชวิา เรขาคณิต (Geometry) เรขาคณิตสมัยมัก่อก่นเป็นการศึกษาแบบลองผิดผิลองถูกถูอาศัยการสังเกต จากประสบการณ์ไม่ทม่ราบประวัติวัที่ติ สที่มบูรบูณ์ แต่ก็ต่พ ก็ อทราบจากแผ่นผ่ ศิลาจารึกรึว่าว่ชาวบา บิโบิลน (4000 B.C.) สามารถหาพื้นที่ขที่องสี่เหลียลีมผืนผืผ้าผ้ โดยใช้กช้ว้าว้งคูณยาว ชาวอียิอี ปยิต์ (2900 B.C.) สามารถสร้าร้งปิรามิดมิ ได้ซึ่ด้งซึ่ถือถื ได้ว่ด้าว่เป็นความสำ เร็จ ร็ ทางเรขาคณิตจนกลาย เป็นสิ่งมหัศจรรย์ขย์องโลก การศึกษาเรขาคณิตเริ่มริ่ชัดชัเจนขึ้นขึ้ โดยชาวบาบิโบิลน (2000 B.C.) ตามด้วด้ยชาวอียิอี ปยิต์ (1650 B.C.) ต่อต่มาได้พัด้ พัฒนาไปสู่กสู่รีกรี โดยทาลีสลี (Thales, 640 B.C.) ผ่าผ่นไปทางตอนใต้ขต้องอิตอิาลีโลีดยพีธากอรัสรั (Pythagorus, 584 B.C.) แล้วล้ ไปสู่ กรุงเอเธนส์ โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และก็ม ก็ าถึงถึนักคณิตศาสตร์ผู้ร์ยิ่ผู้ยิ่งยิ่ใหญ่ยูญ่คยูลิดลิ (Euclid, 300 B.C.) ซึ่งซึ่เขียขีนหนังสือ 13 เล่มล่ ในชื่อชื่ว่าว่Elements จนเป็นที่ยที่อมรับรัว่าว่เป็น ตำ ราเรียรีนเล่มล่แรกของโลกที่ใที่ช้กัช้นกัอย่าย่งแพร่หร่ลายและถือถื ได้ว่ด้าว่เป็นแบบฉบับบั ในการ เขียขีนตำ ราอื่นอื่ๆในสมัยมันั้นและนิวตันตั (Isaac Newton) ก็ไก็ ด้เด้ขียขีนหนังสือที่ยิ่ที่ ยิ่งยิ่ใหญ่อีญ่กอี เล่มล่หนึ่งคือ Principia ตามแบบ Elements จากสิ้นสุดสุยุคยุของยูคยูลิดลิ โรมันมัเริ่มริ่เรือรืง อำ นาจแต่ไต่ม่ไม่ด้พัด้ พัฒนาทางคณิตศาสตร์เร์ท่าท่ที่คที่วรจนกล่าล่วกันกัว่าว่เป็นยุคยุมืดมื (Dark ages) ของเรขาคณิต คณิตศาสตร์อร์ยู่ใยู่นสภาพเกือกืบคงที่ไที่ม่เม่ ปลี่ยลี่นแปลงเพิ่งจะมาเจริญริ รุ่งรุ่เรือรืงอีกอีครั้งรั้ ในศตวรรษที่1ที่ 4 ซึ่งซึ่เน้นไปทางดาราศาสตร์ และ ตรีโรีกณมิติมิ ติอย่าย่งไร ก็ต ก็ ามเรขาคณิตในแถบเอเชียชีเช่นช่จีนจีและ อินอิเดียดีก็มี ก็ คมีวามเจริญริรุ่งรุ่เรือรืงเช่นช่กันกัแต่ การจารึกรึหลักลัฐานไม่มั่ม่นมั่คงถาวรเหมือมืนทางยุโยุรปจึงจึยากที่ทที่ราบประวัติวัที่ติชัที่ดชัเจนใน ศตวรรษที่ 17-18 ได้มีด้กมีารนำ วิชวิาพีชคณิต (Algebra) เข้าข้มาบูรบูณาการร่วร่มกันกัจนได้ก่ด้อก่ กำ เนิดวิชวิาแคลคูลัสลัและ เรขาคณิตวิเวิคราะห์ (Calculus and Analytic Geometry) ขึ้นขึ้ โดยนักคณิตศาสตร์ที่ร์ที่ในยุคยุนี้ได้แด้ก่ Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ไร์ด้ทำด้ทำการศึกษาเรขาคณิตอย่าย่งจริงริจังจัอีกอี ครั้งรั้จนเกิดกิมีเมีรขาคณิต ที่แที่ตกต่าต่งจากเรขาคณิตของยูคยูลิดลิ (Non-Euclidean Geometry) เช่นช่Hyperbolic Geometry, Elliptic Geometry และ Spherical Geometryเป็นต้นต้แล้วล้พัฒนาไปสู่วิสู่ชวิา Topology ซึ่งซึ่ครอบคลุมลุเรขาคณิต ทุกทุชนิดใน ปัจจุบัจุนบั โดยนักคณิตศาสตร์ที่ร์ สที่มควรกล่าล่วถึงถึคือ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gaussและ Riemann อย่าย่งไรก็ต ก็ าม Euclidean Geometry ก็ยั ก็ งยัถือถืว่าว่เป็นต้นต้แบบของ เรขาคณิตอื่นอื่ๆ และมีคมีวามสำ คัญ ต่อต่ชีวิชีตวิ ประจำ วันวัเป็นอย่าย่งมาก และเนื่องจาก Elements เป็นตำ ราเล่มล่แรกจึงจึอาจมีจุมีดจุบกพร่อร่งเป็นธรรมดา จนทำ ให้นัก คณิตศาสตร์ส่ร์ ส่วนใหญ่เญ่ห็นว่าว่ควรจะมี

การเสริมริ สร้าร้งใหม่ใม่ห้มีคมีวามสมบูรบูณ์ยิ่งยิ่ขึ้นขึ้และนักคณิตศาสตร์ที่ร์ ไที่ด้รัด้บรัการยกย่อย่งว่าว่ ทำ ให้ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตยูคยูลิดลิมีคมีวามสมบูรบูณ์ขึ้นขึ้มาก็คื ก็ คือ David Hilbert (1862- 1943) ประวัติ วั ขติองรูปเรขาคณิต ประวัติวัเติรขาคณิตเท่าท่ที่ทที่ราบเริ่มริ่ตั้งตั้แต่สต่มัยมับาบิโบิลเนียเรือรืงอำ นาจ โดยพบจากแผ่นผ่ ดินดิเหนียวที่ชที่าวบาบิโบิลเนียจารึกรึ ไว้ เกี่ยกี่วกับกัวิธีวิหธีาพื้นที่รูที่รูปต่าต่งๆรวมทั้งทั้วงกลม และการ แบ่งบ่วงกลมออกเป็น 360 ส่วน แต่ยัต่งยั ไม่สม่มบูรบูณ์นัก ต่อต่มาถึงถึสมัยมัอียิอี ปยิต์ หลักลัฐานเก่าก่แก่ ที่สุที่ดสุที่ค้ที่ค้นได้นั้ด้ นั้น มีอมีายุปยุระมาณ 1,700 ปี ก่อก่นคริสริต์ศัต์ ศักราช เป็นบันบัทึกทึที่พที่ระรวบรวมไว้ มีกมีฏ ข้อข้ ปัญหา การแก้ข้ก้อข้ ปัญหาและคำ ตอบไว้ด้ว้วด้ย ชาวอียิอี ปยิต์สต์มัยมันั้นถือถืว่าว่วิชวิาเรขาคณิต เป็นศาสตร์อัร์นอัลึกลึลับลัซึ่งซึ่ตกทอดมาในหมู่พมู่ระนานนับพันปี ชาวอียิอี ปยิต์เต์ริ่มริ่ใช้วิช้ชวิา เรขาคณิตภาคปฏิบัฏิติบัก่ติอก่น เนื่องมาจากสาเหตุที่ตุดิที่นดิแดนริมริ ฝั่งแม่น้ำม่ น้ำ ไนล์ถูล์กถูน้ำ ท่วท่ม ทำ ลายเขตที่ดิที่นดิทุกทุปีจึงจึต้อต้งมีกมีารรังรัวัดวัแบ่งบ่เขตกันกัอยู่เยู่ สมอ วิทวิยาการแขนงนี้จึงจึก่อก่รูป ขึ้นขึ้และเป็นที่ขึ้ที่ ขึ้นขึ้หน้าขึ้นขึ้ตามาก มีนัมี นักเรียรีนนักศึกษาจากประเทศต่าต่งๆเดินดิทางมาศึกษา ในประเทศอียิอี ปยิต์ ในจำ นวนคนเหล่าล่นี้ มีพมีวกกรีกรีที่สที่นใจในวิชวิานี้มาก คำ ว่าว่Geometry (เรขาคณิต) มีรมีากศัพท์มท์าจากภาษากรีกรีแปลว่าว่การวัดวัพื้นดินดิชาวกรีกรี สมัยมันั้นสนใจ การคิดแก้ปัก้ ปัญหาต่าต่งๆอยู่แยู่ล้วล้เมื่อมื่ ได้เด้รียรีนรู้เรู้รื่อรื่งการวัดวัและการสังเกตุรูตุ รูปชนิดต่าต่งๆแล้วล้ จึงจึนำ มาพิจารณาหาเหตุผตุลที่เที่กี่ยกี่วข้อข้งกับกัรูปนั้นๆ ได้มีด้กมีารเปิดโรงเรียรีนสอนวิชวิา เรขาคณิตขึ้นขึ้นักเรขาคณิตที่มีที่ชื่มีอชื่เสียงและพอทราบประวัติวั ติคือ ธาลีสลีเกิดกิที่เที่มือมืงมิเมิลตุสตุ เมื่อมื่ ประมาณ 640 ปี ก่อก่นคริสริต์ศัต์ ศักราช ธาลีสลีเป็นนักธุรกิจกิเที่ยที่วค้าขายไปในประเทศ อียิอี ปยิต์แต์ละประเทศต่าต่งๆ ได้สด้นใจศึกษาเรขาคณิต เมื่อมื่กลับลัมากรีกรีก็เ ก็ ลยเลิกลิการค้า อุทิศทิ ชีวิชีตวิ ให้แก่วิก่ชวิานี้ เปิดโรงเรียรีนสอนและค้นคว้าว้ต่อต่ ไป มีลูมีกลูศิษย์เย์อกชื่อชื่แอนแนกสิแมนเด อร์ ได้รด้วบรวมวิชวิาเรขาคณิตเป็นหมวดหมู่ขึ้มู่ขึ้นขึ้ ศิษย์ขย์องแอนแนกสิแมนเดอร์ชื่ร์อชื่ ไพธากอ รัสรั ได้ได้ปศึกษาในอียิอี ปยิต์ แล้วล้ ไปตั้งตั้รกรากอยู่ที่ยู่เที่มือมืงขึ้นขึ้ของกรีกรีทางใต้ขต้องอิตอิาลี และ เปิดโรงเรียรีนสอนวิชวิาเรขาคณิต ปรัชรัญา และศาสนา ไพธากอรัสรั ได้ค้ด้ ค้นคว้าว้เกี่ยกี่วกับกัรูป สามเหลี่ยลี่ม ที่รู้ที่รู้จัรู้กจักันกั ในนามทฤษฎีบฎีทไพธากอรัสรัต่อต่มาสมัยมัพระเจ้าจ้อเล็ก ล็ ซานเดอร์ มหาราช ตีอีตียิอี ปยิต์ไต์ด้ จึงจึได้สด้ร้าร้งเมือมืงอเล็ก ล็ ซานเดรียรีขึ้นขึ้ที่ปที่ากแม่น้ำม่ น้ำ ไนล์ ได้สด้ร้าร้ง มหาวิทวิยาลัยลัมีห้มี ห้องสมุดใหญ่ ใช้เช้ป็นศูนศูย์กย์ลางการศึกษามาหลายร้อร้ยปี ยูคยูลิดลิเป็น อาจารย์สย์อนวิชวิาคณิตศาสตร์อร์ยู่ใยู่นมหาวิทวิยาลัยลัแห่งนี้ ได้เด้ขียขีนตำ ราทางคณิตศาสตร์ไร์ว้ ถึงถึ18 เล่มล่ ในจำ นวนนี้เป็นวิชวิาเรขาคณิตถึงถึ8 เล่มล่ซึ่งซึ่เป็นรากฐานของตำ ราวิชวิา เรขาคณิตมาจนถึงถึปัจจุบัจุนบัรูปเรขาคณิตเกิดกิขึ้นขึ้ ในอียิอี ปยิต์โต์บราณเมื่อมื่ ประมาณ 700 ปี ก่อก่นคริสริต์ศัต์ ศักราชชาวอียิอี ปยิต์แต์ละชาวบาบิโบิลนต่าต่งสนใจเรขาคณิตในแง่กง่ารนำ ไปใช้ใช้ห้ เป็นประโยชน์แก่กก่ารดำ รงชีวิชีตวิเช่นช่การวัดวัพื้นที่กที่ารสร้าร้งที่อที่ยู่อยู่าศัย เป็นต้นต้เป็นความรู้ ที่ไที่ด้เด้ฉพาะจากการใช้สัช้ สัญชาตญาณ การทดลองและการคาดคะเนเท่าท่นั้น จึงจึทำ ให้ความรู้ เกี่ยกี่วกับกัเรขาคณิตจำ กัดกัอยู่ใยู่นวงแคบ ๆต่อต่มาราว 600 ถึงถึ 200 ปี ก่อก่นคริสริต์ศัต์ ศักราช ชาว กรีกรี ได้ใด้ห้ความสนใจเรขาคณิตแตกต่าต่งไปจากชาวอียิอี ปยิต์แต์ละชาวบาบิโบิลน โดยชาวกรีกรี สนใจศึกษาเรื่อรื่งราวปรากฏการณ์ธรรมชาติต้ติอต้งการที่จที่ะค้นคว้าว้หารูปแบบต่าต่ง ๆ ของ ธรรมชาติ เพราะเชื่อชื่ว่าว่เรขาคณิตเป็นแกนกลางของรูปแบบของธรรมชาติ วิธีวิกธีาร แสวงหาความจริงริเหล่าล่นั้นจึงจึอยู่ใยู่นรูปของการให้เหตุผตุล นักคณิตศาสตร์ชร์าวกรีกรีผู้มีผู้ชื่มีอชื่ เสียง และมีบมีทบาทสำ คัญในการพัฒนาเรขาคณิตทานหนึ่งคือ ยูคยูลิดลิ (Euclid) ได้รด้วบรวม เขียขีนตำ ราคณิตศาสตร์ขั้ร์นขั้ต้นต้ขึ้นขึ้มา

13 เล่มล่รู้จัรู้กจักันกั ในชื่อชื่เอลเลเมนทส์ ( Elements) ในจำ นวนนี้มีถึมีงถึ 7 เล่มล่เป็นตำ ราที่ วางพื้นฐานการเรียรีนเรขาคณิตที่ใที่ช้ใช้นการพิสูจสูน์อย่าย่งมีเมีหตุผตุลจากสัจพจน์ (axiomหรือรืpostulate) จากนั้นเรขาคณิตจึงจึมีวิมีวัวิฒวันาการต่อต่มาเรื่อรื่ย ๆปัจจุบัจุนบัความรู้ เกี่ยกี่วกับกัเรขาคณิตมีส่มี ส่วนเกี่ยกี่วข้อข้งสัมพันธ์กัธ์บกัชีวิชีตวิ ประจำ วันวัของมนุษนุย์เย์ราอย่าย่งมาก เรา ใช้เช้รขาคณิตเพื่อทำ ความเข้าข้ ใจหรือรือธิบธิายสิ่งต่าต่ง ๆ รอบตัวตัเช่นช่ ใช้เช้รขาคณิตในการ สำ รวจพื้นที่ สร้าร้งผังผัเมือมืง สร้าร้งถนนหนทาง สิ่งก่อก่ สร้าร้งต่าต่ง ๆ การสำ รวจโลกและ อวกาศเรขาคณิตช่วช่ยพัฒนาทักทัษะที่สำที่สำคัญหลายประการ เช่นช่การคิด การให้เหตุผตุล การคิดสร้าร้งสรรค์ทักทัษะเชิงชิมิติมิ สัติ สัมพันธ์ หรือรืความรู้สึรู้ สึกเชิงชิปริภูริมิภูมิ(Spatial sense) ซึ่งซึ่ ทักทัษะเหล่าล่นี้เป็นพื้นฐานการเรียรีนรู้ครู้ณิตศาสตร์เร์รื่อรื่งอื่นอื่ๆ เช่นช่จำ นวน การวัดวัตลอด จนเนื้อหาคณิตศาสตร์ชั้ร์นชั้ สูงสูต่อต่ ไป นอกจากนี้ยังยัเป็นพื้นฐานในการเชื่อชื่มโยงความรู้ทรู้าง คณิตศาสตร์กัร์บกัความรู้แรู้ขนงอื่นอื่ๆ อีกอีด้วด้ย จากหลักลัฐานที่พที่บบอกเราว่าว่เรขาคณิตเกิดกิ ขึ้นขึ้ ในอียิอี ปยิต์โต์บราณ เมื่อมื่ ประมาณ 1,700 ปี ก่อก่นคริสริต์ศัต์ ศักราช ชาวอียิอี ปยิต์แต์ละชาวบาบิโบิลน ต่าต่งก็สก็ นใจเรขาคณิตในแง่กง่ารนำ ไปใช้ใช้ห้เป็นประโยชน์แก่กก่ารดำ รงชีวิชีตวิเช่นช่การหา พื้นที่ เป็นต้นต้จึงจึทำ ให้ความรู้เรู้กี่ยกี่วกับกัเรขาคณิตสมัยมัอียิอี ปยิต์แต์ละบาบิโบิลนจำ กัดกัวงแคบ เป็นความรู้ที่รู้ ไที่ด้เด้ฉพาะจากการใช้สัช้ สัญชาตญาณ การทดลองและการคาดคะเนเท่าท่นั้น ต่อต่ มาราว 600 ถึงถึ 200 ปี ก่อก่นคริสริต์ศัต์ ศักราช ชาวกรีกรี ให้ความสนใจเรขาคณิตแตกต่าต่งไป จากชาวอียิอี ปยิต์แต์ละชาวบาบิโบิลนโดยสิ้นเชิงชิชาวกรีกรี สนใจศึกษาเรื่อรื่งราวและ ปรากฏการณ์ของธรรมชาติ นักคณิตศาสตร์ชร์าวกรีกรี ในขณะเดียดีวกันกัก็เ ก็ป็นนักปรัชรัญา ด้วด้ย มีคมีวามต้อต้งการที่จที่ะค้นหารูปแบบต่าต่ง ๆ ของธรรมชาติ เพราะเชื่อชื่ว่าว่เรขาคณิตเป็น แกนกลางของรูปแบบของธรรมชาติ และในฐานะที่เที่ป็นนักปรัชรัญาด้วด้ย วิธีวิกธีารแสวงหา ความจริงริเหล่าล่นั้นจึงจึอยู่ใยู่นรูปของการใช้เช้หตุผตุล เรขาคณิตมีวิมีวัวิฒวันาการต่อต่มาเรื่อรื่ยๆ เริ่มริ่ จากการกำ เนิดของเรขาคณิตโพรเจคทีฟที ( projective geometry ) และ เรขาคณิตวิเวิคราะห์ ( analytic geometry ) จนถึงถึทุกทุวันวันี้มีเมีรขาคณิตเกิดกิขึ้นขึ้หลายแขนง เช่นช่ โทโพโลยี ( topology ) ซึ่งซึ่เป็นเรขาคณิตที่เที่อื้ออื้ ให้รูปเรขาคณิตสามารถเปลี่ยลี่นแปลง รูปร่าร่งได้เด้มื่อมื่ ได้รัด้บรัการกระทำ เช่นช่การบิดบิการบีบบีหรือรืการยืดยื ได้มีด้กมีารจำ แนก เรขาคณิตออกเป็น 2 ระบบ คือ เรขาคณิตระบบยูคยูลิดลิ ( Euclidean geometry ) และ เรขาคณิตนอกระบบยูคยูลิดลิ ( non-Euclidean geometry ) เรขาคณิตทั้งทั้2 ระบบนี้ เป็น ผลงานที่แที่สดงถึงถึความพยายามของนักคณิตศาสตร์ที่ร์จที่ะอธิบธิายเรื่อรื่งราวของธรรมชาติ

องค์ประกอบของเรขาคณิต(Geometry) เรขาคณิตเป็นการกล่าล่วถึงถึการศึกษาสมบัติบัขติองรูปร่าร่งและสิ่งที่อที่ยู่รยู่อบตัวตัเรา จากรูปสามเหลี่ยลี่มง่าง่ยๆ จนถึงถึทรงตันตัที่ยุ่ที่งยุ่ยากที่สุที่ดสุ จุด จุ (Point) ตำ แหน่งซึ่งซึ่อธิบธิายได้โด้ดยกำ หนดพิกัดกัของมันมัจุดจุไม่มีม่คมีวามยาว ความกว้าว้ง หรือรืความหนา โดยปกติจติะแสดงบนแผนผังผัด้วด้ยจุดจุเล็ก ล็ ๆ หรือรืจุดจุตัดตัของ เส้นสองเส้น ส่วนของเส้นตรง(Line segment) ส่วนของเส้นตรงระหว่าว่งจุดจุสองจุดจุส่วนของ เส้นตรงมีคมีวามยาวคงที่ และเส้นตรงเส้นหนึ่งจะต่อต่ออกไปทั้งทั้ สองข้าข้งโดยไม่จำม่ จำกัดกั ส่วนของเส้นตรงและเส้นตรงเป็นหนึ่งมิติมิ ติทั้งทั้ สองเส้นมีคมีวามยาว และไม่มีม่คมีวามกว้าว้ง หรือรืความหนา เส้นตัด ตั ขวาง(Transversal) เส้นตรงซึ่งซึ่ตัดตัเส้นตรงสองเส้น หรือรืมากกว่าว่ สอง เส้น แนวนอน(HoriZontal) วิธีวิกธีารหนึ่งซึ่งซึ่จะอธิบธิายว่าว่เส้นตรงหรือรืระนาบซึ่ีงอยู่ใยู่น แนวนอน หรือรืทำ มุม 90° กับกัแนวดิ่งดิ่ แนวดิ่งดิ่หรือ รื แนวยืน ยื (Vertical) วิธีวิกธีารหนึ่งซึ่งซึ่อธิบธิายว่าว่เส้นตรงหรือรืระนาบทำ มุม 90° กับกัแนวนอน ตั้ง ตั้ ฉาก(Perpendicular) วิธีวิกธีารหนึ่งซึ่งซึ่จะอธิบธิายว่าว่เส้นตรงหรือรืระนาบทำ มุมมุ 90° กับกัอีกอีเส้นหนึ่งหรือรือีกอีระนาบหนึ่ง ขนาน(Parallel) วิธีวิกธีารหนึ่งซึ่งซึ่จะอธิบธิายว่าว่เซตของเส้นตรงต่าต่งๆ หรือรืเส้นโค้ง จะไม่พม่บกันกั ไม่ว่ม่าว่จะต่อต่ออกไปเท่าท่ ใด เส้นตรงหรือรืเส้นโค้งเหล่าล่นั้นก็จ ก็ ะมีรมีะยะห่างเท่าท่ เดิมดิเสมอ เส้นขนาน คำ ว่าว่คู่ขนานเป็นสื่อถึงถึสิ่งสองสิ่งที่ไที่ม่บม่รรจบกันกันั้นหมายความว่าว่ เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันกัก็ต่ ก็ อต่เมื่อมื่ ไม่ว่ม่าว่เราจะต่อต่ความยาวออกไปเท่าท่ ใดเส้นสองเส้น นี้ต้อต้งไม่บม่รรจบกันกันอกจากนี้เรายังยัพบข้อข้ สังเกตว่าว่เส้นตรงสองเส้นที่ขที่นาดกันกัระยะ ห่างระหว่าว่งเส้นจะต้อต้งเป็นค่าคงที่ เรานำ แนวคิดนี้มาสร้าร้งเส้นให้ขนานกับกัเส้นตรง เส้นหนึ่งโดยอาศัยหลักลัการสร้าร้งรูปเรขาคณิต

เรขาคณิต 2 มิติมิแติละ 3 มิติมิ ติ สูตสูรของเรขาคณิต “เรขาคณิต” คือ อธิบธิายง่าง่ยๆว่าว่เรขาคณิตเป็นบทเรียรีนหนึ่งในวิชวิา คณิตศาสตร์ที่ร์ทำที่ทำการศึกษาขนาด รูปร่าร่งและตำ แหน่งของรูปทรงทั้งทั้ สองมิติมิแติละสาม มิติมิ ติเรขาคณิตถูกถูใช้ใช้นงานศิลปะ งานสถาปัตยกรรม งานวิศวิวกรรม รวมถึงถึในชีวิชีตวิ ประจำ วันวัด้วด้ย ตั้งตั้แต่ตื่ต่นตื่นอนตอนเช้าช้จนเข้าข้นอนในตอนกลางคืน เราสำ รวจสิ่งต่าต่งๆ รอบตัวตัเราในเชิงชิพื้นที่แที่ละใช้เช้หตุผตุลทางเรขาคณิตอยู่ตยู่ลอดเวลาโดยที่เที่ราไม่รู้ม่รู้ตัรู้วตั เรขาคณิตเบื้อ บื้ งต้น ต้ ที่เที่ราได้เด้รียรีนกันกั ไปแล้วล้ ในระดับดั ประถมศึกษา ตั้งตั้แต่เต่รื่อรื่ง จุดจุระนาบ เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังรั สี เส้นโค้งและมุมมุ จุด จุ : เราใช้จุช้ดจุแสดงตำ แหน่งของสิ่งต่าต่งๆ และเพื่อความเข้าข้ ใจตรงกันกัเรา สามารถตั้งตั้ชื่อชื่จุดจุโดยใช้ตัช้วตัอักอัษรภาษาไทยหรือรืภาษาอังอักฤษ ระนาบ : หมายถึงถึพื้นที่ผิที่วผิแบนและเรียรีบที่แที่ผ่ขผ่ยายออกไปไม่สิ้ม่สิ้นสุดสุส่วนที่เที่รา เห็นขอบเขตจะเป็นเพียง “ส่วนของระนาบ” เท่าท่นั้น การกำ หนดระนาบต้อต้งใช้จุช้ดจุ อย่าย่งน้อยสามจุดจุขึ้นขึ้ ไปโดยที่สที่ามจุดจุนั้นต้อต้งไม่อม่ยู่ร่ยู่วร่มบนเส้นตรงเดียดีวกันกั เส้นตรง : เป็นเส้นตรงที่มีที่คมีวามยาวไม่สิ้ม่สิ้นสุดสุ ส่วนของเส้นตรง : เกิดกิจากการกำ หนดจุดจุสองจุดจุแล้วล้ลากเส้นตรงจากจุดจุ หนึ่งไปอีกอีจุดจุหนึ่ง โดยจุดจุทั้งทั้ สองมีชื่มีอชื่เรียรีกว่าว่ “จุดจุปลาย” รัง รั สี : การลากเส้นตรงจากจุดจุ ๆ หนึ่ง (สมมติใติห้ชื่อชื่ว่าว่A) ต่อต่ ไปเรื่อรื่ยๆ เส้นที่ เกิดกิขึ้นขึ้ขึ้นขึ้เรียรีกว่าว่ “รังรั สี” ถ้าถ้เราลากเส้นตรงต่อต่ ไปเรื่อรื่ยผ่าผ่นจุดจุB เราจะเรียรีกรังรั สีนี้ว่าว่ รังรั สี AB เส้นโค้ง : ถ้าถ้เราลากเส้นบนกระดาษลักลัษณะใดก็ต ก็ าม เส้นที่เที่กิดกิขึ้นขึ้จะเรียรีกว่าว่ เส้นโค้ง ซึ่งซึ่ไม่จำม่ จำเป็นต้อต้งโค้งตามความหมายในภาษาไทยก็ไก็ ด้ มุม มุ : เกิดกิจากรังรั สีสองเส้นที่มีที่จุมีดจุปลายเป็นจุดจุเดียดีวกันกัเรียรีกจุดจุนั้นว่าว่ “จุดจุยอด มุม” ส่วนรังรั สีแต่ลต่ะเส้นเรียรีกว่าว่ “แขนของมุมมุ” เส้นขนาน : เส้นตรงสองเส้นบนระนาบเดียดีวกันกัจะขนานกันกัต่อต่เมื่อมื่ สองเส้นนี้ ไม่ตัม่ดตักันกั เรขาคณิต 2 มิติมิ ติคือ รูปเรขาคณิตที่แที่สดงความกว้าว้งและความยาวของรูป มีอมียู่ ด้วด้ยกันกั4 ชนิด ได้แด้ก่ 1.รูปสี่เหลี่ย ลี่ ม รูปปิดสองมิติมิที่ติมีที่สี่มีสี่ด้าด้น สี่มุม และมุมมุภายในทั้งทั้หมดรวมกันกั ได้ 360 องศา เช่นช่รูปสี่เหลี่ยลี่มมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยลี่มจัตุจัรัตุสรัรูปสี่เหลี่ยลี่มผืนผืผ้าผ้รูปสี่เหลี่ยลี่ม ด้าด้นขนาน รูปสี่เหลี่ยลี่มขนมเปียกปูนปูรูปสี่เหลี่ยลี่มรูปว่าว่ว รูปสี่เหลี่ยลี่มคางหมู 2. รูปสามเหลี่ย ลี่ ม รูปปิดสองมิติมิที่ติมีที่สมีามด้าด้น 3 มุมมุโดยมุมมุภายในรวมกันกั ได้ 180 องศา แบ่งบ่ ได้ 2 ลักลัษณะคือ แบ่งบ่ตามลักลัษณะของด้าด้น และแบ่งบ่ตามลักลัษณะของ มุม

2.1 แบ่งบ่ตามลัก ลั ษณะของด้า ด้ น รูปสามเหลี่ย ลี่ มด้า ด้ นเท่าท่รูปสามเหลี่ยลี่มที่มีที่ด้มีาด้นเท่าท่กันกัทั้งทั้ สามด้าด้น รูปสามเหลี่ย ลี่ มด้า ด้ นไม่เม่ท่าท่รูปสามเหลี่ยลี่มที่มีที่สมีามด้าด้นยาวไม่เม่ท่าท่กันกัเลย รูปสามเหลี่ย ลี่ มหน้าจั่ว จั่ รูปสามเหลี่ยลี่มที่มีที่ด้มีาด้นเท่าท่กันกั สองด้าด้น 2.2 แบ่งบ่ตามลัก ลั ษณะของมุม มุ รูปสามเหลี่ย ลี่ มมุม มุ แหลม รูปสามเหลี่ยลี่มที่มีที่มุมีมทุกทุ มุมเป็นมุมมุแหลม(มุมมุขนาดมากกว่าว่0 แต่น้ต่ น้อยกว่าว่90 องศา) รูปสามเหลี่ย ลี่ มมุม มุ ฉาก รูปสามเหลี่ยลี่มที่มีที่มุมีมหนึ่งมุมเป็นมุมมุฉาก รูปสามเหลี่ย ลี่ มมุม มุ ป้าน รูปสามเหลี่ยลี่มที่มีที่มุมีมหนึ่งมุมเป็นมุมมุป้าน(มุมมุที่น้ที่น้อยกว่าว่180 แต่มต่ากกว่าว่90 องศา) 3. รูปวงกลม เป็นรูปปิดที่ไที่ม่มีม่มุมีม วาดโดยการกำ หนดจุดจุศูนศูย์กย์ลางขึ้นขึ้มาหนึ่ง จุดจุจากนั้นลากเส้นโค้งให้ มีรมีะยะห่างจากจุดจุนั้นเท่าท่กันกั โดยตลอด วาดวนไปรอบ จุดจุศูนศูย์กย์ลางจนกระทั่งทั่กลับลัมายังยัจุดจุเริ่มริ่ต้นต้ โดยมี ส่วนประกอบดังดัต่อต่ ไปนี้ จุดจุศูนศูย์กย์ลาง เส้นผ่าผ่นศูนศูย์กย์ลาง เส้นรอบวง รัศรัมี คอร์ดร์ (chord) เซกเตอร์ (segter) เซกเมนต์ (segment) อาร์คร์ (arc) 4. รูปหลายเหลี่ย ลี่ ม เป็นรูปปิดบนระนาบที่เที่กิดกิจากส่วนของเส้นตรงตั้งตั้แต่สต่าม เส้นขึ้นขึ้ ไป มีจำมี จำนวนด้าด้น เท่าท่กับกัจำ นวนมุมมุและส่วนของเส้นตรงที่ลที่ากเชื่อชื่มจุดจุยอดที่ ไม่ใม่ช่ปช่ลายของส่วนของเส้นตรงเดียดีวกันกัเราจะเรียรีกว่าว่ “เส้นทแยงมุมมุ” ตัวตัอย่าย่งของ รูปหลายเหลี่ยลี่ม ได้แด้ก่ รูปสามเหลี่ยลี่ม รูปสี่เหลี่ยลี่ม รูปเจ็ด จ็ เหลี่ยลี่ม ฯลฯ สูต สู รคำ นวณหาเรขาคณิต 2 มิติมิ ติ สูต สู รรูปสามเหลี่ย ลี่ ม การหาพื้นที่รูที่รูปสามเหลี่ยลี่ม จะต้อต้งดูรูดู รูปให้ออกและทำ ความ เข้าข้ ใจว่าว่ ส่วนใด คือ ด้าด้น ความสูงสูหรือรืฐาน ความยาวรอบรูป = ผลบวกของด้าด้นทุกทุด้าด้น พื้นที่สที่ ามเหลี่ย ลี่ มใดๆ = ½ x ฐาน x สูงสู พื้นที่สที่ ามเหลี่ย ลี่ มแบบเฮรอน พื้นที่รูที่รูปสามเหลี่ยลี่ม (A) = s (s-a)(s-b)(s-c) - ใช้สำช้ สำหรับรัหาพื้นที่สที่ามเหลี่ยลี่มเมื่อมื่รู้ครู้วามยาวของด้าด้นทั้งทั้ สาม - กำ หนดให้ a, b, c เป็นความยาวของด้าด้นทั้งทั้ สาม - s = ความยาวครึ่งรึ่หนึ่งของเส้นรอบรูป = ½ x (a+b+c) พื้นที่รู ที่ รู ปสามเหลี่ย ลี่ มด้า ด้ นเท่าท่= root3 / 4 x ด้าด้น2

สูต สู รรูปสี่เหลี่ย ลี่ ม สิ่งที่ต้ที่อต้งระวังวั ในการหาพื้นที่ขที่องรูป 2 มิติมิต่ติาต่งๆ คือ ต้อต้ง ทำ ความเข้าข้ ใจความหมายของ คำ ต่าต่งๆให้ดี เช่นช่เส้นทแยงมุมมุความสูงสูเส้นกิ่งกิ่เพื่อ ให้มั่นมั่ ใจว่าว่นำ ตัวตัเลขที่ถูที่กถูต้อต้งมาคำ นวณ ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ย ลี่ มใดๆ = ผลบวกของด้าด้นรวมกันกัทุกทุด้าด้น พื้นที่สี่ที่สี่เหลี่ย ลี่ มผืน ผื ผ้า ผ้= กว้าว้ง x ยาว พื้นที่สี่ที่สี่เหลี่ย ลี่ มจัตุ จั รั ตุ สรั= ด้าด้น x ด้าด้น พื้นที่สี่ที่สี่เหลี่ย ลี่ มด้า ด้ นขนาน = ฐาน x สูงสู พื้นที่สี่ที่สี่เหลี่ย ลี่ มคางหมู = ½ x ผลบวกของด้าด้นคู่ขนาน x สูงสู พื้นที่สี่ที่สี่เหลี่ย ลี่ มขนมเปียกปูน ปู= ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม พื้นที่สี่ที่สี่เหลี่ย ลี่ มใดๆ = ½ x เส้นทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่งกิ่ พื้นที่สี่ที่สี่เหลี่ย ลี่ มรูปว่าว่ว = ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม สูต สู รรูปวงกลม สำ หรับรัการหาพื้นที่แที่ละความยาวรอบรูปวงกลมจะมีสัมี สัญลักลัษณ์ “π” อ่าอ่นว่าว่ “pi” ซึ่งซึ่ เป็นค่าคงที่ค่ที่ค่าหนึ่ง ซึ่งซึ่มา จากอัตอัราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงต่อต่ความยาว ของเส้นผ่าผ่นศูนศูย์กย์ลางของวงกลม โชคดีที่ดีเที่ราไม่ต้ม่อต้งไปหา เองว่าว่คือเท่าท่ ไหร่ เพราะ มีกมีารคำ นวณไว้แว้ล้วล้ว่าว่มีค่มี ค่าประมาณ 3.14 หรือรื 22/7 เราสามารถแทนค่านี้ลงไปได้ เลย ความยาวเส้นรอบวง = 2πr = d พื้นที่รูที่รูปวงกลม = πr² = d24 โดยที่ r คือ รัศรัมี และ d คือ เส้นผ่าผ่นศูนศูย์กย์ลาง พื้นที่รูที่รูปวงแหวน = (R2-r2) โดย R คือ รัศรัมีวมีงกลม ใหญ่ และ r คือรัศรัมีวมีงกลมเล็ก ล็ เรขาคณิต 3 มิติมิ ติหรือรืเรียรีกอีกอีอย่าย่งว่าว่ “รูปทรง” หมายถึงถึรูปที่มีที่ลัมีกลัษณะเป็น สามมิติมิ ติคือ มีทั้มีงทั้ความกว้าว้ง ความยาว และความลึกลึหรือรืความหนา นูนนูด้วด้ย ให้ความ รู้สึรู้ สึกถึงถึความหนาแน่นและปริมริาตร รูปทรงเรขาคณิตสาม มิติมิมีติหมีลายแบบ 1.ปริซึริ ซึ ม เป็นเรขาคณิตสามมิติมิที่ติมีที่ฐมีานทั้งทั้ สองเป็นรูปเหลี่ยลี่มที่มีที่คมีวามเท่าท่กันกั ทุกทุประการ โดยฐานทั้งทั้ สองอยู่ บนระนาบที่ขที่นานกันกัและด้าด้นข้าข้งแต่ลต่ะด้าด้นจะเห็น เป็นรูปสี่เหลี่ยลี่มด้าด้นขนาน การเรียรีกชื่อชื่ปริซึริมซึจะเรียรีกตาม ลักลัษณะของรูปหลาย เหลี่ยลี่มที่ปที่รากฎบนหน้าตัดตัของปริซึริมซึเช่นช่ ปริซึริมซึสามเหลี่ยลี่ม ปริซึริมซึสี่เหลี่ยลี่ม ปริซึริมซึ ห้าเหลี่ยลี่ม เป็นต้นต้ 2. ทรงกระบอก เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติมิที่ติมีที่หมีน้าตัดตัหรือรืฐานทั้งทั้ สอง เป็นรูปวงกลมที่เที่ท่าท่กันกัทุกทุประการ และอยู่บยู่นระนาบที่ขที่นานกันกัมีสมีองแบบ คือ ทรงกระบอกตรงและทรงกระบอกเอียอีง

3. พีระมิดมิรูปเรขาคณิตสามมิติมิที่ติมีที่ฐมีานด้าด้นหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยลี่ม อีกอี ด้าด้นหนึ่งเป็นยอดแหลมซึ่งซึ่อยู่คยู่น ละระนาบกับกัฐาน และมีหมีน้าด้าด้นข้าข้งเป็นรูป สามเหลี่ยลี่ม การเรียรีกชื่อชื่พีระมิดมินั้นจะเรียรีกตามลักลัษณะของรูปหลาย เหลี่ยลี่ม ตรงส่วนฐาน เช่นช่พีระมิดมิฐานสี่เหลี่ยลี่ม จะหมายถึงถึพีระมิดมิที่มีที่ฐมีานเป็นรูป สี่เหลี่ยลี่ม 4. กรวย เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติมิที่ติมีที่ฐมีานเป็นวงกลมและมียมีอดแหลมที่ ไม่อม่ยู่ใยู่นระนาบเดียดีวกันกักับกัฐาน 5. ทรงกลม เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติมิที่ติมีที่ผิมีวผิโค้งเรียรีบ และทุกทุ ๆจุดจุบนผิวผิ โค้งอยู่ห่ยู่ ห่าง จากจุดจุศูนศูย์กย์ลางเท่าท่กันกั สูต สู รคำ นวณหาเรขาคณิต 3 มิติมิ ติมีพื้มี พื้นฐานมาจากสูตสูรเรขาคณิตสองมิติมิ ติ สูต สู รรูปทรงปริซึริ ซึ ม ปริมริาตรปริซึริมซึ= พื้นที่ฐที่าน x สูงสู พื้นที่ผิที่วผิข้าข้งปริซึริมซึ= ความยาวรอบรูปฐาน x สูงสู พื้นที่ผิที่วผิปริซึริมซึ= 2(พื้นที่หที่น้าตัดตั ) x พื้นที่ผิที่วผิข้าข้ง สูต สู รลูก ลู บาศก์ ปริมริาตรลูกลูบาศก์ = ด้าด้น x ด้าด้น x ด้าด้น พื้นที่ผิที่วผิทั้งทั้หมด = ด้าด้น x ด้าด้น x 6 สูต สู รรูปทรงกระบอกตัน ตั ปริมริาตรทรงกระบอก = πr²h พื้นที่ผิที่วผิข้าข้ง = πr²h พื้นที่ผิที่วผิทั้งทั้หมด = πr²h + 2r² โดยที่ r คือ รัศรัมี และ h คือ ความสูงสู สูต สู รรูปทรงพีระมิดมิ ปริมริาตรพีระมิดมิ= ⅓ x พื้นที่ฐที่าน x สูงสูตรง พื้นที่ผิที่วผิข้าข้งแต่ลต่ะหน้า = ½ x ฐาน x สูงสูเอียอีง พื้นที่ผิที่วผิข้าข้งทั้งทั้หมด = ½ x ฐาน x สูงสูเอียอีง x จำ นวนหน้า พื้นที่ผิที่วผิพีระมิดมิทั้งทั้หมด = พื้นที่ผิที่วผิข้าข้ง + พื้นที่ฐที่าน สูต สู รรูปทรงกรวย ปริมริาตรทรงกรวย = ⅓ πr²h พื้นที่ผิที่วผิข้าข้ง = rl พื้นที่ผิที่วผิทั้งทั้หมด = r2+ rl โดยกำ หนดให้ r คือ รัศรัมี,มี l คือ ความยาวของสูงสูเอียอีง, h คือ ความสูงสูตรง

สูต สู รรูปทรงกลม ปริมริาตรทรงกลม = 4/3 πr3 พื้นที่ผิที่วผิทรงกลม = 4 πr2 ประเภทของเรขาคณิต เรขาคณิตเป็นสาขาวิชวิาคณิตศาสตร์ที่ร์ ศึที่ศึกษาเกี่ยกี่วกับกัรูปทรง รูปร่าร่ง ขนาด และ ตำ แหน่งของวัตวัถุใถุนปริภูริมิภูมิแบ่งบ่ออกเป็น 2 ประเภทหลักลัๆ คือ 1. เรขาคณิตแบบยูค ยู ลิดลิเป็นเรขาคณิตแบบดั้งดั้เดิมดิที่ศึที่ศึกษาคุณสมบัติบั ติ ของรูปทรงต่าต่งๆ บนระนาบสองมิติมิ ติและในปริภูริมิภูสมิามมิติมิ ติเช่นช่เส้นตรง มุมมุรูป สามเหลี่ยลี่ม รูปสี่เหลี่ยลี่ม วงกลม ทรงกลม ฯลฯ เรขาคณิตแบบยุคยุลิดลิ ใช้ หลักลั การของทฤษฎีบฎีท พิสูจสูน์ และสัจพจน์ เช่นช่ทฤษฎีบฎีทพีทาโกรัสรัทฤษฎีบฎีท มุมตรง 2. เรขาคณิตแบบไม่ยูม่ค ยู ลิดลิเป็นเรขาคณิตที่ศึที่ศึกษาคุณสมบัติบัขติองรูปทรง บนพื้นผิวผิโค้ง เช่นช่พื้นผิวผิทรงกลม พื้นผิวผิไฮเปอร์โร์บลิกลิเรขาคณิตแบบไม่ยุม่คยุ ลิดลิมีบมีทบาทสำ คัญในฟิสิกส์ทฤษฎี โดยเฉพาะทฤษฎีสัฎี สัมพัทธภาพทั่วทั่ ไป ประโยชน์ของเรขาคณิต - เรขาคณิตมีบมีทบาทสำ คัญในหลายสาขาวิชวิา เช่นช่วิศวิวกรรมศาสตร์ สถาปัตยกรรม ดาราศาสตร์ ฟิสิกส์ ภูมิภูศมิาสตร์ การออกแบบ - เรขาคณิตช่วช่ยพัฒนาทักทัษะการคิดวิเวิคราะห์ การคิดเชิงชิตรรกะ การแก้ปัก้ ปัญหา และการจินจิตนาการ - เรขาคณิตช่วช่ยให้เข้าข้ ใจโลกธรรมชาติแติละสิ่งแวดล้อล้มรอบตัวตัเรา

บรรณานุก นุ รม https://gemini.google.com https://chat.openai.com https://www.bing.com https://tuemaster.com https://www.athometh.com