- TRIGONOMETRI KELAS 11 -

TRIGONOMETRI

MATEMATIKA PEMINATAN SMA/MA

KELAS

XI
1

KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas berkat dan rahmat-Nya
penyusunan modul materi trigonometri sebagai pendukung pembelajaran matematika
di SMA/MA ini dapat diselesaikan.
Modul ini berisi materi trigonometri untuk membantu peserta didik agar mampu
belajar mandiri. Penyusun berharap modul ini dapat dijadikan sebagai panduan dalam
pembelajaran matematika khususnya materi trigonometri.
Terima kasih kepada pihak yang telah memberikan bantuan, dukungan serta doa
dalam proses penyusunan modul ini. Kami menyadari akan kekurangan modul ini
sehingga kritik dan saran sangat diperlukan untuk perbaikan modul ini di masa yang
akan datang. Akhir kata, semoga modul ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua

Gorontalo, Juli 2021
Penyusun

II

DAFTAR ISI
Halaman Sampul.......................................................................................................i
Kata Pengantar.........................................................................................................ii
Daftar Isi................................................................................................................. iii
Peta Konsep............................................................................................................ vi
Materi Pembelajaran................................................................................................ 1

PersamaanTrigonometri .................................................................................... 1
Rumus Jumlah dan Selish Dua Sudut.............................................................. 12
Identitas Trigonometri Sudut Rangkap............................................................ 20
Identitas Trigonometri Perkalian dan Penjumlahan/Selisih .....................27
Latihan Soal........................................................................................................... 33
Daftar Pustaka........................................................................................................ 45

III

PETA KONSEP

IV

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Penyelesaian persamaan trigonometri adalah nilai-nilai variabel yang memenuhi
persamaan trigonometri.

Untuk menyelesaikan suatu persamaan trigonometri, kamu diharuskan menemukan
nilai , dalam satuan radian maupun derajat, yang memenuhi persamaan tersebut.
Sebelum memasuki materi, ada materi prasyarat yang harus kamu kuasai yaitu sebagai
berikut.

Materi Prasyarat 1
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa

α 0° 30° 45° 60° 90°

Sin α 0 1 1 2 1 3 1
2 2 2

Cos α 1 1 3 1 2 1 0
2 2 2

Tan α 0 1 3 1 3∞
3

1

Materi Prasyarat 2
Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa di empat kuadran

Kuadran II ° Kuadran I

° ° − ° ° − ° °/ °
° − ° ° − °

Kuadran III Kuadran IV

°

Video Tutorial

Untuk melihat video tutorial tentang materi prasyarat persamaan trigonometri,
silakan putar video berikut ini :

2

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri
a. = °

Nilai sinus suatu sudut positif di kuadran 1 dan 2 sehingga untuk
persamaan sin x = sinα° penyelesaiannya adalah:
Sudut dalam satuan derajat

sin = sin
1 = ° + × 360°
2 = 180 − ° + × 360°
Dengan bilangan bulat

Sudut dalam satuan radian

sin = sin
1 = ° + × 2
2 = − ° + × 2
Dengan bilangan bulat

Contoh Soal :

Tentukan penyelesaian persamaan sin 2 + 1 = 0 untuk 0° ≤ ≤ 360°
2

Penyelesaian :

sin 2 + 1 = 0
2

⇔ sin 2 =− 1
2

⟺ sin 2 = sin ( − 30°)

⟺ 2 =− 30° + × 360° atau
2 = (180° − −30° ) + × 360°

3

⟺ 2 =− 30° + × 360° atau

2 = 210° + × 360°

⟺ =− 15° + × 360° atau

2 = 105° + × 360°

1) untuk =− 15° + × 360° = 180°
= 0 ⟹ =− 15° + 0 × 180° =− 15°
= 1 ⟹ =− 15° + 1 × 180° = 165°
= 2 ⟹ =− 15° + 2 × 180° = 345°

2) untuk = 105° + × 180°
= 0 ⟹ = 105° + 0 × 180° = 105°
= 1 ⟹ = 105° + 1 × 180° = 285°

Jadi, penyelesaian sin 2 + 1 = 0 untuk 0° ≤ ≤ 360° adalah 105°, 165°, 285°
2

dan 345°

Video Tutorial

Untuk melihat video tutorial tentang penyelesaian persamaan trigonometri bentuk
sinus, silakan putar video berikut ini :

4

b. =
Nilai cosinus suatu sudut positif di kuadran 1 dan 4 sehingga untuk
persamaan cos = cos ° penyelesaiannya adalah:
Sudut dalam satuan derajat

cos = cos
1 = ° + × 360°
2 =− ° + × 360°
Dengan bilangan bulat

Sudut dalam satuan radian

cos = cos
1 = ° + × 2
2 =− ° + × 2
Dengan bilangan bulat

Contoh Soal :

Tentukan penyelesaian persamaan cos + 1 = 0 untuk 0° ≤ ≤ 360°

Penyelesaian :
cos + 1 = 0

⇔ cos =− 1
⟺ cos = cos 180°

⟺ ± 180° + × 360° atau

⟺ =− 180° + × 360°

1) untuk = 180° + × 360° = 180°
= 0 ⟹ = 180° + 0 × 360° = 180°
= 1 ⟹ = 180° + 1 × 360° = 540°

2) untuk =− 180° + × 360° = 180°
= 0 ⟹ =− 180° + 0 × 360° =− 180°
= 1 ⟹ =− 180° + 1 × 360° = 180°

5

Jadi, penyelesaian cos + 1 = 0 untuk 0° ≤ ≤ 360° adalah 180°

Video Tutorial

Untuk melihat video tutorial tentang penyelesaian persamaan trigonometri bentuk
cosinus, silakan putar video berikut ini :

c. tan = tan °
Nilai tangen suatu sudut positif di kuadran 1 dan 3 sehingga untuk
persamaan cos = cos ° penyelesaiannya adalah:
Sudut dalam satuan derajat

tan = tan
= ° + × 180°
Dengan bilangan bulat

6

Sudut dalam satuan radian

tan = tan
= ° + ×
Dengan bilangan bulat

Contoh Soal :
Tentukan penyelesaian persamaan 3 tan 2 + 10° =− 1 untuk 0° ≤ ≤ 360°

Penyelesaian:

Untu3ktamnel2ih a+t v1i0de° o=tu−to1rial tentang penyelesaian persamaan trigonometri bentuk

cosinu⟺s, stialanka2n p+ut1a0r°vid=e−o 31be×riku33t ini :

⟺ tan 2 + 10° =− 1 × 3
3

⟺ tan 2 + 10° = tan 150°

⟺ 2 + 10° = 150° + × 180°
⟺ 2 = 140° + × 180°
⟺ = 70° + × 90°
= 0 ⟹ = 70° + 0 × 90° = 70°
= 1 ⟹ = 70° + 1 × 90° = 160°
= 2 ⟹ = 70° + 2 × 90° = 250°
= 3 ⟹ = 70° + 3 × 90° = 340°
= 4 ⟹ = 70° + 4 × 90° = 430°

Jadi, himpunan penyelesaian 3 tan 2 + 10° =− 1 untuk 0° ≤ ≤ 360°
adalah
70°, 160°, 250°, 340° .

7

Video Tutorial

Untuk melihat video tutorial tentang penyelesaian persamaan trigonometri bentuk
cosinus, silakan putar video berikut ini :

Uji Kompetensi 1

a. Pilihlah jawaban yang tepat!

1. Penyelesaian persamaan sin = 1 untuk 0° ≤ ≤ 360° adalah
2

a. = 45° , 135°

b. = 45° , 225°

c. = 45° , 315°

d. = 135° , 225°

e. = 225° , 135°

2. Penyelesaian persamaan 3 tan = 1 untuk 0 ≤ ≤ 3 adalah

8

a. = , , 7 , 4
6 3 6 3

b. = , 5 , 7
6 6 6

c. = , 4
3 3

d. = , 5 , 13
6 6 6

e. = , 7 , 13
6 6 6

3. Diketahui 1 dan 2 merupakan penyelesaian persamaan 2 2 cos = 2 = 0 untuk

0° ≤ ≤ 360°. Nilai 1 + 2 = …

a. 210°

b. 270°

c. 300°

d. 330°

e. 360°

4. Himpunan penyelesaian 3 sin 2 − 3 = 0 untuk 0° ≤ ≤ 3 adalah ...
2 4 2

a. , 2
6 3

b. ,
6 3

c. , , 7
6 3 3

d. , , 13 , 7
6 3 6 3

e. , , 7 , 4
6 3 6 3

5. Penyelesaian persamaan tan + 15° =− 1 untuk 180° ≤ ≤ 360° adalah ...

a. = 135°

b. = 225°

c. = 300°

d. = 315°

e. = 330°

6. Penyelesaian persamaan 2 cos − 30° = 3 untuk 0° ≤ ≤ 360° adalah ...
3

a. = 0° , 90°

b. = 0° , 180°

c. = 0° , 270°

d. = 90° , 180°

9

e. = 90° , 270°

7. Himpunan semua penyelesaian 2 + 3 tan = 1 untuk 0° ≤ ≤ 180° adalah ...

a. {0°}

b. 120°

c. 180°

d. 0°, 120°

e. {0°, 120°, 180°}

8. Diketahui persamaan tan − 6 an x − 5 = 0 untuk 90° ≤ ≤ 180°. Nilai x yang

memenuhi adalah ....

a. 90°

b. 120°

c. 135°

d. 150°

e. 180°

9. Jika 2 cos sin + 1 = 2 cos + sin dengan 0 ≤ ≤ 2 , jumlah semua nilai x yang

memenuhi persamaan tersebut adalah ...

a. 5
6

b. 13
6

c. 2

d. 5
2

e. 3

10. Himpunan penyelesaian 1+sin ° = 3 untuk 0° ≤ ≤ 360° adalah ...
1−sin °

a. {30° , 60°}

b. {30° , 120°}

c. {30° , 150°}

d. {60° , 120°}

e. {60° , 150°}

B. Kerjakan soal-soal berikut!
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut.

10

1. tan 2 − 35° = 1, 0° ≤ ≤ 360°

2. tan 3 − 180° =− 1, 0° ≤ ≤ 180°

3. 2 cos 2 − − 3 = 0, 0 ≤ ≤ 2
3

4. sin 3 = cos 2 , 0° ≤ ≤ 180°

5. sin 3 − 30° =− 1 , 0° ≤ ≤ 360°
2

11

JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

Untuk menyelesaikan suatu persamaan trigonometri, kamu diharuskan menemukan
nilai , dalam satuan radian maupun derajat, yang memenuhi persamaan tersebut.
Sebelum memasuki materi, ada materi prasyarat yang harus kamu kuasai yaitu sebagai
berikut.

Perbandingan Trigonometri pada segitiga siku-siku

sin α = sisi depan sudut = a
sisi miring c

c cos α = sisi samping sudut = b
a sisi miring c

tan α = sisi depan sudut = a
sisi samping sudut c
b

JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
1. Identitas Trigonometri Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut
a) Identitas Kosinus Penjumlahan/Selisih Dua Sudut

cos + = cos cos − sin sin

cos − = cos cos + sin sin

b) Identitas Sinus Penjumlahan/Selisih Dua Sudut

sin + = sin cos + cos sin

sin − = sin cos − cos sin

c) Identitas Tangen Penjumlahan/Selisih Dua Sudut

tan + = tan + tan
1 − tan tan

12

tan − = tan − tan
1 + tan tan

Contoh Soal :
1. Gunakan identitas trigonometri penjumlahan dan selisih dua sudut untuk

menentukan nilai trigonometri berikut.
a. cos 105°
b. sin 15°
c. tan 255°

Jawaban :

a. cos 105° = cos (60° + 45°)

= cos 60° cos 45° − sin 60° sin 45°

= 1 × 1 2 − 1 3 − 1 2
2 2 2 2

= 1 ( 2− 6)
4

Jadi, nilai cos 105° = 1 ( 2− 6)
4

b. sin 15° = sin (45° − 30°)

= sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30°

= 1 2 × 1 3 − 1 2 × 1
2 2 2 2

= 1 6 − 1 2
4 4

= 1 ( 6− 2)
4

Jadi nilai sin 15° = 1 ( 6− 2)
4

c. tan 225° = tan (180° + 75°)

= tan 75°

= tan 45° + 30°

= tan 45° + tan 30°
1 − tan 45° tan 30°

= 1 1+ 1 3 3
−1 3 1
× 3

13

= 1 + 1 3 × 1 + 1 3
1 − 3 3 1 + 3 3
1 1
3 3

= 1 + 1 3 + 1 3 + 1
3 3 3
1
1 − 3

= 4 + 2 3
3 3
2
3

=2+ 3

Jadi nilai tan 225° = 2 + 3

2. Diketahui cos =− 3 dan cos =− 15 . Jika sudut di kuadran II dan y sudut di
5 17

kuadran III, tentukan nilai :

a. sin ( + )

b. tan ( + )

Jawaban :

Dari cos =− 3 dan cos =− 15 dapat dibuat segitiga berikut.
5 17

5 4 17 8


3 15

Oleh karena sudut di kuadran II maka sin bernilai positif dan tan bernilai

negatif sehingga sin = 4 dan tan =− 4 dan tan = 8
5 3 15

a. sin + = sin cos + cos sin

= 4 × − 15 + − 3 × − 8
5 17 5 17

=− 60 + 24
85 85

=− 36
85

14

Jadi, nilai sin + =− 36
85

b. tan + = tan +tan
1−tan an y

= − 4 + 8
− 3 15
4
1 − 3 × 8
15

= − 20 + 8
15 15
32
1 + 45

= − 12
15
77
45

=− 36
77

Jadi, nilai tan + =− 36
77

3. Sederhanakan bentuk berikut.

a. cos 100° + cos 10° − + sin 100° + sin (10° − )

b. tan 95°+ +tan 85°+
1−tan 95°+ +tan 85°+

Jawaban :

a. Misalkan a = 100° + x dan = 10° − ,

cos 100° + cos 10° − + sin 100° + sin (10° − )

= cos a cos + sin a sin

= cos a − b

= cos ( 100° + − 10° − )

= cos 100° + − 10° +

= cos 90° + 2

=− sin 2

b. Misalkan = 95° + dan = 85° + .

tan 95° + + tan 85° +
1 − tan 95° + + tan 85° +

= tan + tan
1 − tan tan

15

= tan ( + )
= tan ( 95° + + 85° + )
= tan (180° + 2 )
= tan 2

Video Tutorial

Untuk melihat video tutorial tentang rumus jumlah dan selisih dua sudut, silakan
putar video berikut ini :

Uji Kompetensi 2

A. Pilihlah jawaban yang tepat!

1. Nilai tan 15° adalah ...

a. −2 − 3

b. −2 + 3

c. 2 − 3

d. 3 − 2

e. 3 + 2

2. Nilai cos ( − 15)° = …

a. 1 6 + 1 2
4 2

b. 1 6 + 1 2
4 4

16

c. 1 6 − 1 2
4 4

d. 1 6 − 1 2
4 2

e. 1 2 + 1 6
4 4

3. Pernyataan berikut yang benar adalah ...

a. tan −a + 2b = tan a−tan
1+tan a tan 2

b. tan −a + 2b = tan a−tan
1−tan a tan 2

c. tan −a + 2b = −tan a−tan
1+tan a tan 2

d. tan −a + 2b = tan a−tan
1+tan 2a tan 2

e. tan −a + 2b = tan 2a−tan
1+ tan 2a tan 2

4. Bentuk sederhana dari sin 30° + + cos (60° + ) adalah ...

a. cos

b. sin

c. − sin

d. 3 sin

e. 3 cos

5. Jika tan a = 4 dan tan = 7 maka a + b = …
3

a. 45°

b. 135°

c. 150°

d. 225°

e. 330°

6. Diketahui sin cos = 1 dan + = 56 . Nilai sin − =…
3

a. − 5
6

b. − 1
2

c. − 1
6

d. 1
6

e. 1
2

17

7. Diketahui sin = 3 dan cos = 1132, x sudut tumpul dan y sudut lancip. Nilai
5

tan + = …

a. − 56
33

b. − 16
63

c. 8
63

d. 16
63

e. 56
33

8. Bentuk sederhana dari sin − sin − 120° − sin ( − 240°) adalah ...

a. sin

b. cos

c. sin 2

d. 2 sin

e. 2 cos

9. Diketahui segitiga ABC dengan A=300 cm, sudut CAB=60°, dan ABC=75°.

Panjang AC= ...

a. 150(1 + 3) cm

b. 150( 2 + 3) cm

c. 150(3 + 3) cm

d. 150( 2 + 6) cm

e. 150( 3 + 3) cm

10. Diketahui a dan b adalah sudut lancip yang memenuhi tan a+b = 1 dan
2

tan a−b = 1 . Nilai tan a adalah ...
3

a. 2 + 1

b. 2 − 1

c. − 2 − 1

d. 1
12

e. 5
12

Kerjakan soal-soal berikut ini dengan tepat dan benar.

1. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri, hitunglah nilai :

18

a. sin 105°
b. sin 195°

2. Hitunglah nilai dari sin 42° cos 18° + cos 42° sin 18° !

3. Diketahui sin = 4 dan cos = 5 ( dan β sudut lancip) . Tentukan nilai
5 13

sin ( − )!

4. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri, hitunglah nilai :

a. cos 105°

b. cos 195°

5. Hitunglah nilai dari cos 195° cos 75° + sin 195° sin 75° !

6. Diketahui cos = 3 dan cos = 12 ( dan sudut lancip). Tentukan cos −
5 13

!

7. Buktikan identitas : cos + = 1 − tan ∙ tan
cos ∙ cos

8. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri, hitunglah nilai :

a. tan 105°

b. tan 165°

9. Diketahui cos = 4 dan sin =− 15 , dengan A sudut di kuadran I dan B sudut di
5 17

kuadran III, tentukan nilai dari tan ( + )!

10. Buktikan identitas : tan + =− co an x
2

19

IDENTITAS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP

1. Identitas Trigonometri Sudut Rangkap

Sudut ganda dari  dinyatakan dengan 2. Rumus trigonometri sudut rangkap

dapat diperoleh dengan menggunakan rumus trigonometri jumlah dua sudut

a) Identitas Sinus Sudut Rangkap

sin 2 = sin +

= sin cos + cos sin

= sin cos + sin cos

= 2 sin cos

=

b) Identitas Kosinus Sudut Rangkap

cos 2 = cos ( + )

= cos cos − sin sin
= 2 − 2
= −

dengan menggunakan identitas sin2  + cos2  = 1, kita dapat menemukan

bentuk lain untuk cos 2, yaitu :

cos 2 = 2 − 2

= 2 − 1 − 2

= 2 2 − 1

= −
cos 2 = 2 − 2

= 1 − 2 − 2

= 1 − 2 2
= −

c) Identitas Tcngen Sudut Rangkap

tan 2 = tan +

= tan + tan
1 − tan tan

= 1 2 tan
− an 2

20

=
−

Contoh Soal :

1. Tentukan nilai trigonometri berikut.

a) 2 sin 15° cos 15°

b) 4 cos2 22,5° − 2

c) tan 112,5°
1−tan2112,5°

Jawaban :

1. a) Oleh karena sin 2x = 2 sin x cos x diperoleh :

2 sin 15° cos 15° = sin 2 × 15°

= sin 30° = 1
2

Jadi, nilai 2 sin 15° cos 15° = 1
2

b) Oleh karena cos 2x = 2 cos2x° − 1 diperoleh :

4 cos222,5° − 2 = 2 × (2cos222,5° − 1)

= 2 × cos (2 × 22,5°)

= 2 × cos 45°

= 2 × 1 2= 2
2

Jadi, nilai 4 cos222,5 − 2 = 2

c) Oleh karena tan 2x = 2 tan x diperoleh :
1−tan2x

1 tan 112,5° = 1 × 1 2 tan 112,5°
− tan2112,5° 2 − tan2112,5°

= 1 × tan (2 × 112,5°)
2

= 1 × tan 225°
2

= 1 × tan (180° + 45° )
2

= 1 × tan 45°
2

= 1 × 1 = 1
2 2

21

Jadi, nilai1−tatann121121,52°,5° = 1
2

2. Identitas Trigonometri Sudut Pertengahan

sin 1 α =± 1 − cos α
2 2

cos 1 α =± 1 + cos α
2 2

tan 1 α =± 1 − cos α
2 1 + cos α

Contoh Soal :

1. Diketahui nilai sin a = 5 dan 0 ≤ a ≤ 2. Tentukan nilai sin 2a dan sin 1 a
3 2

Jawaban :

Dari sin a = 5 dapat dibuat segitiga siku-siku
3
seperti gambar disamping dan diperoleh
2 3
cos a = 3 5 a

sin 2a = 2 sin a cos a 2

=2× 5 × 2 = 4 5
3 3 9

sin 1 a = 1 − cos a
2 2

= 1 − 2 = 1
2 3 3
2

= 1 × 6
6 6

22

= 1 6
6

Jadi, nilai sin 2a = 4 5 dan sin 1 a = 1 6
9 2 6

Video Tutorial

Untuk melihat video tutorial tentang identitas trigonometri sudut rangkap, silakan
putar video berikut ini :

Uji Kompetensi 3

A. Pilihlah jawaban yang tepat!

1. Nilai dari 4 sin 22,5° cos 22,5° adalah ...

a. 4 2

b. 2 2

c. 2
1
d. 21 2
e. 2 2

2. Nilai dari 2 2 15° − 1) × (2 2 15° − 1) = …

a. − 3
4

b. − 1
2

c. − 1
4

23

d. 1
4

e. 3
4

3. Nilai dari 1− an2 52,5° = …
2 tan 52,5°

a. 2 3 − 4

b. 2 3 − 2

c. 3 − 2

d. 3 − 1

e. 1 3−1
2

4. Jika sin =− a dan x sudut di kuadran III, maka tentukan nilai sin 2 cos 2 =

…

a. 2a(1 − a2)12

b. 2a(1 − a2)32

c. (2 − 2a) 1 − a2

d. (2 − 4a2) 1 − a2

e. (2 − 4a3) 1 − a2

5. Nilai cos 1 adalah ...
8

a. − 1 2+ 2
2

b. − 1 2+ 2
4

c. 1 2+ 2
4

d. 1 2− 2
4

e. 1 2+ 2
2

6. Nilai dari cos jika sin 2 = 1 5 dan 90° ≤ 2 ≤ 180° adalah ...
3

a. 1 2
2

b. 1 2
3

c. 1 6
6

d. − 1 6
6

24

e. − 1 2
3

7. Diketahui 1 − tan sin 2 =− 5 . Nilai cos 4 = …
13

a. − 219
169

b. − 119
169

c. 119
169

d. 139
169

e. 219
169

8. Himpunan penyelesaian persamaan 22 − 2 sin cos − 2 = 0, untuk 0° ≤

≤ 360° adalah ...

a. {45° , 135°}

b. 45° , 225°

c. 135° , 180°

d. 135° , 315°

e. {135° , 225°}

9. Jika tan a > 0, tan 2a =− 3 dan tan a−b = 1 ,nilai an2a − an2 = …
4 2

a. −40

b. −20

c. 8

d. 20

e. 60

10. Jika 1 dan 2 adalah penyelesaian dari persamaan 2 sin cos 2 − 5 tan + 5 = 0,
cos sin 2

nilai tan = …

a. − 5
7

b. − 5
3

c. 5
7

d. 5
3

e. 5
3

25

B. Kerjakan soal-soal berikut!

1. Tentukan nilai bentuk trigonometri tan 15°−tan 15°tan222,5°
tan 22,5°− a 2 15°tan222,5°

2. Tentukan nilai sin 2 , cos 2 , tan 2 , jika diketahui tan = 4 , di kuadran II
3

3. Tentukan nilai sin , cos , an tan jika diketahui cos = 1 , di kuadran IV
2 2 2 4

4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan

22 − 2 sin − 2 = 0 untuk 0° ≤ ≤ 360°

5. Buktikan identitas trigonometri 1− an212 = cos
1+ an221

26

Identitas Trigonometri Perkalian dan Penjumlahan/Selisih Sinus dan Cosinus

Identitas Perkalian Sinus dan Cosinus

sin cos = 1 sin + + sin −
2

cos sin = 1 sin + − sin −
2

cos cos = 1 cos + + cos −
2

sin sin = 1 cos + − cos −
2

Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus dan Cosinus

1) Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus

sin + sin = 2 sin 1 + cos 1 −
2 2

sin − sin = 2 cos 1 + sin 1 −
2 2

2) Identitas Penjumlahan/Selisih Kosinus

cos + cos = 2 cos 1 + cos 1 −
2 2

cos − cos = 2 sin 1 + sin 1 −
2 2

Contoh Soal :
1. Nyatakan bentuk perkalian trigonometri berikut ke bentuk

penjumlahan/selisih trigonometri dan sebaliknya.
a. 2 sin 7 sin 3
b. 2 cos 2 cos 6
c. sin 3 − sin 5
d. cos + cos 5

Jawaban :
a. 2 sin 7 cos 3 = sin (7 + 3 ) + sin (7 − 3 )

= sin 10 + sin 4

27

Jadi bentuk penjumlahan/selisih trigonometri dari 2 sin 7 sin 3 adalah
sin 10 + sin 4

b. 2 cos 2 cos 6 = cos (2 + 6 ) + cos (2 − 6 )
= cos 8 + cos ( − 4 )
= cos 8 + cos 4

Jadi bentuk penjumlahan/selisih trigonometri dari 2 cos 2 cos 6 adalah
cos 8 + cos 4

c. sin 3 − sin 5

= 2 cos 1 (3 + 5 ) sin 1 (3 − 5 )
2 2

= 2 cos 4 sin ( − )

=− 2 cos 4 sin

Jadi bentuk perkalian trigonometri dari sin 3 − sin 5 adalah −2 cos 4 sin

d. cos + cos 5

= 2 cos 1 + 5 cos 1 ( − 5 )
2 2

= 2 cos 3 cos ( − 2 )

= 2 cos 3 cos 2

jadi bentuk perkalian trigonometri dari cos + cos 5 adalah 2 cos 3 cos 2

2. Tanpa menggunakan tabel/kalkulator tentukan nilai bentuk trigonometri

berikut.

a. sin 75° sin 15°
b. cos 75° + cos 15°

Jawaban :

a. sin 75° sin 15°

= 1 × ( − 2 sin 75° sin 15°)
2

= 1 ( cos 75° + 15° − cos (75° − 15°))
2

= 1 ( cos 90° − cos 60°)
2

28

= 1 0 − 1 = 1
2 2 4

jadi nilai sin 75° sin 15° adalah 1
4

b. cos 75° + cos 15°

= 2 cos 1 (75° + 15°) cos 1 (75° − 15°)
2 2

= 2 cos 45° cos 30°

= 2 × 1 2 × 1 3
2 2

= 1 6
2

Jadi nilai cos 75° + cos 15° adalah 1 6
2

Video Tutorial

Untuk melihat video tutorial tentang identitas trigonometri perkalian dan
penjumlahan/selisih sinus dan cosinus, silakan putar video berikut ini :

29

Uji Kompetensi 4

A. Pilihlah jawaban yang tepat!

1. Nilai dari cos 105° sin 15° adalah ...

a. 1 + 1 3
2 4

b. 1 − 1 3
2 4

c. 1 3 − 1
4 2

d. 1 3 − 1
4 4

e. 1 3 − 1
2 4

2. Nilai 6 sin 7,5° sin 127,5° adalah ...

a. 3 2−3
2

b. 3 2 − 3
2 2

c. 3 3 − 1
2 2

d. 3 2 + 1
2 2

e. 3 2 + 3
2

3. Pernyataan berikut yang benar adalah ...

a. sin 2a + sin 4 = 2 sin 2a + 4b cos (2a − 4b)

b. sin 2a − sin 4 = 2 sin 2a + 4b cos (2a − 4b)

c. sin 2a − sin 4 = 2 cos a + 2b sin (a − 2b)

d. cos 2a + cos 4 = 2 cos 2a + 4b cos (2a − 4b)

e. cos 2a + cos 4 = 2 cos a + 2b sin (a − 2b)

4. Nilai dari cos 75° − cos 165° adalah ...

a. − 1 6
4

b. 1
4

c. 1 3
2

d. 1 6
2

e. 1 6
4

30

5. Nilai dari sin 40°−sin 20° adalah ...
cos 40°−cos 20°

a. − 3

b. − 1 3
3

c. 1 3
3

d. 2

e. 3

6. Nilai dari sin 100°+sin 20° adalah ...
cos 250°+cos 190°

a. − 2

b. −1

c. 1 2
2

d. 1

e. 2

7. Nilai tan 195° + tan 105° adalah ...

a. 2 3

b. 3
1
c. 2 3

d. − 1 3
2

e. −2 3

8. sin 20° sin 40° sin 80° = …
1 1
a. − 2 − 8 3

b. − 1 − 1 3
4 8
1
c. − 8 3

d. − 1 + 1 3
4 8
1
e. 8 3

9. Diketahui p dan q sudut pada segitiga. Jika sin + sin = 1 2 dan cos +
2
1
cos = 2 6, nilai cos − =…

a. −1
1
b. − 2

c. 0
1
d. 2

e. 1

31

10. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin + 60° sin − 60° = 1 untuk
4
0° ≤ ≤ 360° adalah ...

a. 180°

b. {90°, 180°}

c. {90°, 270°}

d. {180°, 270°}

e. {180°, 360°}

B. Kerjakan soal-soal berikut!

1. Tentukan nilai bentuk trigonometri berikut.

a. 2 cos 127.5° cos 97,5°

b. −12 cos 82,5° sin 37,5°

c. 4 cos 20° cos 40° cos 70°

2. Buktikan identitas trigonometri berikut.

a. sin2 6x − sin2 4x = sin 2x sin 10x

b. sin 30+sin 50+sin 70+sin 90 = tan 60
cos 30+cos 50+cos 70+cos 90

3. Buktikan kesamaan trigonometri cos 24° − cos 84° + cos 36° = 5+1
2

4. Buktikan identitas cos5θ = 1 10 cos θ + 5 cos 3θ + cos 5θ
16

5. Diketahui A, B dan C adalah sudut-sudut pada segitiga ABC. Jika sin +

sin = 2 sin A, tentukan nilai dari tan tan
2 2

32

LATIHAN SOAL

1. Penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 2 ° = 3 adalah ...
A. x = 30 + k.360
B. x = 30 + k.90
C. x = 60 + k.90
D. x = 15 + k.90
E. x = 45 + k.90

2. Dalam interval 0o ≤ x ≤ 360o. Nilai terkecil dari y = 5 cos (x + 60o) + 16 terjadi saat
x=…
A. 60o
B. 95o
C. 150o
D. 240o
E. 120o

3. Untuk 0 ≤ x ≤ 360 himpunan penyelesaian dari persamaan √2 Sin x - 1 = 0
adalah …(6)
A. 45
B. 45,120
C. 45,135
D. 45,120,150
E. 45,120,300

4. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 3 cos2xo – 2 sin xo cos xo – 1 – 3 = 0, untuk 0 ≤
x ≤ 360 adalah . . .
A. 45, 105, 225, 285
B. 45, 135, 225, 315
C. 15, 105, 195, 285
D. 15, 135, 195, 315
E. 15, 225, 295, 315

33

5. Himpunan penyelesaian persamaan 2 cos 2(x + 75°) = 3 dengan 0° ≤ x ≤ 180°

adalah …

A. 45° , 60°

B. 30° , 45°

C. 90° , 120°

D. 60° , 150°

E. 30° , 45°

6. Jika 0 < < dan 2 2 − 5 + 2 = 0, maka nilai dari 2 Sin x Cos x adalah ...
2

A. 0,4

B. 0,6

C. 0,8

D. 0,9

E. 1,0

7. Himpunan penyelesaian persamaan 3 cos 2x + 5 sin x + 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2

adalah . . .

A. 7 , 11
5 6

B. 5 , 11
6 6

C. , 7
6 6

D. , 5
5 6

E. 5 , 7
6 6

8. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2xo – sin xo – 1 = 0 pada interval 0 ≤ x ≤

360 adalah …

A.{0, 180, 240, 300}

B.{0, 180, 210, 240}

C. {0, 180, 210, 330}

D.{0, 180, 240, 330}

E. {0, 210, 240, 330}

9. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin xo – sin 3xo = 0 dengan 0 ≤ x ≤ 180

adalah . . .

A. {0, 45, 135, 180}

B. {0, 90, 150, 180}

34

C. {0, 45, 90, 135}

D. {0, 90, 135, 180}

E. {0, 45, 90, 180}

10. Himpunan penyelesaian dari sin 1 = sin adalah ...
2 4

A. ,
2

B. , 3
2 2

C. 2 , 3

D. . 4 , 5
3 2

E. 4 ,
3 2

11. Nilai eksak dari cos 105 adalah ….

A. 1 2 1− 3
4

B. 1 2 1+ 3
4

C. 1 2 3−1
4

D. 1 2 3+1
4

E. 1 2 1− 3
2

12. Nilai dari cos 75 adalah ....

A. 1 2 − 1 6
4 4

B. 1 2
2

C. 1

D. 1 6 − 1 2
4 4

E. 1 6 + 1 2
4 4

13. Jika dan merupakan sudut-sudut lancip dan sin = 4 dan sin = 1132, nilai dari
5

cos + = ….

A. − 33
65

35

B. 0

C. 33
65

D. 63
65

E. 1

14. Nilai dari cos 63 ⋅ cos 87 − sin 63 ⋅ sin 87 = ….

A. − 1 3
2

B. − 1
2

C. 0

D. 1
2

E. 1 3
2

15. Nilai eksak dari sin 105 adalah ….

A. 1 2 1− 3
4

B. 1 2 1+ 3
4

C. 1 2 3−1
4

D. 1 2 3+1
4

E. 1 2 1− 3
2

16. Nilai dari sin 75 adalah ….

A. 1 2 − 1 6
4 4

B. 1 2
2

C. 1

D. 1 6 − 1 2
4 4

E. 1 6 + 1 2
4 4

36

17. Jika dan merupakan sudut-sudut lancip dan sin = 4 dan sin = 1123, nilai dari
5

sin + = ….

A. − 33
65

B. 0

C. 33
65

D. 56
65

E. 1

18. Nilai dari sin 63 ⋅ cos 87 + cos 63 ⋅ sin 87 = ….

A. − 1 3
2

B. − 1
2

C. 0

D. 1
2

E. 1 3
2

19. Nilai eksak dari cos 15 adalah ….

A. 1 2 1− 3
4

B. 1 2 1+ 3
4

C. 1 2 3−1
4

D. 1 2 3+1
4

E. 1 2 1− 3
2

20. Nilai dari cos −15 adalah ….

A. 1 2 − 1 6
4 4

B. 1 2
2

37

C. 1

D. 1 6 − 1 2
4 4

E. 1 6 + 1 2
4 4

21. Jika dan merupakan sudut-sudut lancip dan sin = 4 dan sin = 1132, nilai dari
5

cos − = ….

A. − 33
65

B. 0

C. 33
65

D. 63
65

E. 1

22. Nilai dari cos 70 ⋅ 25 + 70 ⋅ 25 = ….

A. − 1 2
2

B. − 1
2

C. 0

D. 1
2

E. 1 2
2

23. Nilai eksak dari 15adalah ....

A. 1 2 1− 3
4

B. 1 2 1+ 3
4

C. 1 2 3−1
4

D. 1 2 3+1
4

E. 1 2 1− 3
2

38

24. Nilai dari −15 adalah ....

A. 1 2 − 1 6
4 4

B. 1 2
2

C. 1

D. 1 6 − 1 2
4 4

E. 1 6 + 1 2
4 4

25. Jika dan merupakan sudut-sudut lancip dan = 4 dan = 1132, nilai dari
5

− = ….

A. − 33
65

B. − 16
65

C. 0

D. 33
65

E. 56
65

26. Nilai dari 105 adalah ....

A. − 2 − 3

B. − 2 + 3

C. 1

D. 1 6 − 1 2
4 4

E. 2 + 3

27. Jika dan merupakan sudut-sudut lancip dan = 4 dan = 1132, nilai dari
5

+ = ….

A. − 33
56

B. − 56
33

39

C. 33
56

D. 56
33

E. 1

28. Nilai dari 15 adalah ....

A. − 2 − 3

B. − 2 + 3

C. 1

D. 1 6 − 1 2
4 4

E. 2 + 3

29. Jika dan merupakan sudut-sudut lancip dan = 4 dan = 1123, nilai dari
5

− = ….

A. − 16
63

B. − 56
33

C. 16
63

D. 56
33

E. 1

30. Jika merupakan sudut lancip dan = 3 , maka nilai dari 2 = ….
5

A. − 24
25

B. − 7
25

C. 7
25

D. 24
25

E. 24
7

40

31. Jika merupakan sudut lancip dan = 3 , maka nilai dari 2 = ….
5

A. − 24
25

B. − 7
25

C. 7
25

D. 24
25

E. 24
7

32. Jika merupakan sudut lancip dan = 3 , maka nilai dari 2 = . . . .
5

A. − 24
25

B. − 7
25

C. 7
25

D. 24
25

E. 24
7

33. Jika dan merupakan sudut lancip dan = 1 dan = 31, maka nilai dari
2

+ 2 = . . . .

A. −2

B. − 9
13

C. 9
13

D. 1

E. 2

34. Jika dan merupakan sudut lancip dan = 1 dan = 13, maka nilai dari
2

2 − = . . . .

A. −2

41

B. − 9
13

C. 9
13

D. 1

E. 2

35. Jika 150 = maka nilai dari 75 = . . . .

A. − 1+
2

B. − 1−
2

C. 1−
2

D. 1+
2

E. 1−
1+

36. Jika cos 150 = maka nilai dari cos 75 = . . . .

A. − 1+
2

B. − 1−
2

C. 1−
2

D. 1+
2

E. 1−
1+

37. Jika 150 = maka nilai dari 75 = . . . .

A. − 1+
1−

B. − 1−
1+

42

C. 1−
2

D. 1+
1−

E. 1−
1+

38. Nilai dari 4 45 15 = . …

A. − 3 + 1

B. − 1 3−1
2

C. 1 3 − 1
2 2

D. 1 3 + 1
2 2

E. 3 + 1

39. Nilai dari 2 2 = . . . .

A. + 2 + − 2

B. + 2 − − 2

C. − 2 − + 2

D. + 2 + − 2

E. + 2 − − 2

40. Jika − = 1 3dan = 1 maka nilai dari + = ....
2 2

A. 1 3
4

B. 1 − 1 3
2 2

C. 1 + 1 3
2 2

D. 1 − 1 3
2

E. 1 + 1 3
2

43

DAFTAR PUSTAKA
Lestari, Siti dan Santosa. 2014. Matematika Peminatan untuk SMA/MA Kelas X.

Surakarta: Graha Pustaka
Sukino. 2018. Seri Kinomatika The Best Prestasi Matematika Ipa. Bandung : Yrama

Widya
Yuni Astuti, Anna, Dkk. 2018. Matematika Untuk SMA/MA Kelas 10 Semester 2.

Yogyakarta : PT. Penerbit Intan Pariwara
Yuni Astuti, Anna, Dkk. 2019. Matematika Untuk SMA/MA (Peminatan Matematika Dan

Ilmu-Ilmu Alam) Kelas 11 Semester 1. Yogyakarta : PT. Penerbit Intan Pariwara

44

45