แบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชุดที่ 1 หน้า | 1 คณิตศาสตร์ By PhetCH sites.google.com/view/mathbyphetch แบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชุดที่ 1 ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 คำตอบที่ถูกที่สุด จำนวน 3 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน รวม 3 คะแนน 1. ถ้าผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 160 + 142 + 124 + ⋯ เท่ากับ 510 จงหาผลบวก 2 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ ก 1. −3030 2. −2324 3. 776 4. 1020 5. 3808 2. ลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่ง มีพจน์ที่ 9 เท่ากับ 68 และพจน์ที่ 4 มีค่าเป็น 3 เท่าของพจน์ที่ 13 จงหาผลบวกตั้งแต่พจน์ที่ 30 ถึงพจน์ที่ 50 ก 1. 480 2. 1120 3. −3200 4. −3680 5. −3780 3. อนุกรมเลขคณิต 50 + 43 + 36+ ⋯ จะต้องบวกไปอย่างน้อยกี่พจน์ จึงจะได้ผลบวกเป็นจำนวนลบ ก 1. 15 2. 16 3. 17 4. 18 5. 19 ตอนที่ 2 แบบเติมคำตอบ จำนวน 2 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน รวม 2 คะแนน 4. การปลูกต้นไม้ในสวนแห่งหนึ่ง แบ่งออกเป็น 3 ช่วง ช่วงละ 10 แถว ดังนี้ ช่วงที่ 1 แถวที่ 01 − 10 ∶ แถวที่ 1 ปลูกต้นไม้10 ต้น แถวถัดไปปลูกต้นไม้เพิ่มขึ้นจากแถวก่อนหน้า แถวละ 3 ต้น จนถึงแถวที่ 10 ช่วงที่ 2 แถวที่ 11 − 20 ∶ ในแต่ละแถว ปลูกต้นไม้เท่ากับจำนวนต้นไม้ในแถวที่ 10 ช่วงที่ 3 แถวที่ 21 − 30 ∶ แถวที่ 21 ปลูกต้นไม้เท่ากับจำนวนต้นไม้ในแถวที่ 20 และแถวถัดไป ปลูกต้นไม้ลดลงจากแถวก่อนหน้า แถวละ 2 ต้น จนถึงแถวที่ 30 จงหาจำนวนต้นไม้ทั้งหมดในสวนแห่งนี้ 5. จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 32 กับ 395 ที่หารด้วย 2 และ 3 ไม่ลงตัว มีผลบวกเท่ากับเท่าใด
แบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชุดที่ 1 หน้า | 2 คณิตศาสตร์ By PhetCH sites.google.com/view/mathbyphetch เฉลยรายข้อ แบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชุดที่ 1 ตอนที่ 1 1. 1 2. 5 3. 2 ก ตอนที่ 2 4. 885 5. 25,560 ก
แบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชุดที่ 1 หน้า | 3 คณิตศาสตร์ By PhetCH sites.google.com/view/mathbyphetch เฉลยละเอียด แบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชุดที่ 1 ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 คำตอบที่ถูกที่สุด จำนวน 3 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน รวม 3 คะแนน 1. ถ้าผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 160 + 142 + 124 + ⋯ เท่ากับ 510 จงหาผลบวก 2 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ ก 1. −3030 2. −2324 3. 776 4. 1020 5. 3808 ตอบ 1 แนวคิด จากอนุกรมเลขคณิต 160 +142 + 124 + ⋯ มี1 = 160 , = −18 และ = 510 จากสูตรอนุกรมเลขคณิต = 2 [21 + ( − 1)] จะได้ว่า 2 [2(160) + ( − 1)(−18)] = 510 ก [ 160 + ( − 1)(−9) ] = 510 ก [ 160 − 9 +9 ] = 510 ก −9 2 + 169 = 510 ก 9 2 − 169 + 510 = 0 ก ( −15)(9 − 34) = 0 ก = 15 , 34 9 เนื่องจาก ∈ ℤ + จะได้ว่า = 15 และจะได้2 = 2(15) = 30 ดังนั้น ผลบวก 2 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ เท่ากับ ก 2= 30 ก = 30 2 [2(160) + (30 − 1)(−18)] ก = −3,030 ❏ 2. ลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่ง มีพจน์ที่ 9 เท่ากับ 68 และพจน์ที่ 4 มีค่าเป็น 3 เท่าของพจน์ที่ 13 จงหาผลบวกตั้งแต่พจน์ที่ 30 ถึงพจน์ที่ 50 ก 1. 480 2. 1120 3. −3200 4. −3680 5. −3780 ตอบ 5 แนวคิด ให้ เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมี9 = 68 และ 4 = 313 จากสูตรลำดับเลขคณิต = 1 + ( − 1) จะได้ว่า 1 + 8 = 68 ก 1 = 68 − 8 … (1) ก และ 1 + 3 = 3(1 + 12) ก 1 + 3 = 31 + 36 ก −21 = 33 … (2) แทน 1 = 68 − 8 ใน (2) ก −2(68 − 8) = 33 ก −136 +16 = 33 ก −136 = 17 ก = −8 แทน = −8 ใน (1) ก 1 = 68 −8(−8) = 68+ 64 = 132 เนื่องจาก ผลบวกตั้งแต่พจน์ที่ 30 ถึงพจน์ที่ 50 เท่ากับ
แบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชุดที่ 1 หน้า | 4 คณิตศาสตร์ By PhetCH sites.google.com/view/mathbyphetch ก 30 + 31 + 32 + ⋯ + 50 = (1 + 2 + ⋯ 29 + 30 + ⋯ + 50)− (1 + 2 + ⋯ + 29) ก = 50 − 29 จากสูตรอนุกรมเลขคณิต = 2 [21 + ( − 1)] โดยที่ 1 = 132 และ = −8 จะได้ว่า 50 = 50 2 [2(132) +(50 − 1)(−8)] = −3200 และ 29 = 29 2 [2(132) + (29 −1)(−8)] = 580 ดังนั้น 30 +31 + 32 + ⋯ + 50 = 50 − 29 = −3200 − 580 = −3780 ❏ 3. อนุกรมเลขคณิต 50 + 43 + 36+ ⋯ จะต้องบวกไปอย่างน้อยกี่พจน์ จึงจะได้ผลบวกเป็นจำนวนลบ ก 1. 15 2. 16 3. 17 4. 18 5. 19 ตอบ 2 แนวคิด จากอนุกรมเลขคณิต 50 +43 + 36 + ⋯ มี1 = 50 และ = −7 และโจทย์ต้องการผลบวกเป็นจำนวนลบ นั่นคือ < 0 จากสูตรอนุกรมเลขคณิต = 2 [21 + ( − 1)] จะได้ว่า 2 [2(50) + ( − 1)(−7)] < 0 ก (100 − 7 + 7) < 0 ก (107 − 7) < 0 ก (7 − 107) > 0 (นำ −1 คูณทั้งสองข้าง) เนื่องจาก ∈ ℤ + จะได้ว่า ที่น้อยที่สุด คือ = 16 ❏ ตอนที่ 2 แบบเติมคำตอบ จำนวน 2 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน รวม 2 คะแนน 4. การปลูกต้นไม้ในสวนแห่งหนึ่ง แบ่งออกเป็น 3 ช่วง ช่วงละ 10 แถว ดังนี้ ช่วงที่ 1 แถวที่ 01 − 10 ∶ แถวที่ 1 ปลูกต้นไม้ 10 ต้น แถวถัดไปปลูกต้นไม้เพิ่มขึ้นจากแถวก่อนหน้า แถวละ 3 ต้น จนถึงแถวที่ 10 ช่วงที่ 2 แถวที่ 11 − 20 ∶ ในแต่ละแถว ปลูกต้นไม้เท่ากับจำนวนต้นไม้ในแถวที่ 10 ช่วงที่ 3 แถวที่ 21 − 30 ∶ แถวที่ 21 ปลูกต้นไม้เท่ากับจำนวนต้นไม้ในแถวที่ 20 และแถวถัดไป ปลูกต้นไม้ลดลงจากแถวก่อนหน้า แถวละ 2 ต้น จนถึงแถวที่ 30 จงหาจำนวนต้นไม้ทั้งหมดในสวนแห่งนี้ ตอบ 885 แนวคิด จากโจทย์ สามารถวาดภาพประกอบได้ดังนี้ 0 107 7 ≈ 15.29 + − + เหตุผลที่นำ −1 คูณทั้งสองข้าง เพราะจะทำให้ สัมประสิทธิ์หน้า เป็นบวกทุกตัว แล้วสามารถ เติม + − + จากขวาไปซ้ายได้ตามปกติ (ถ้ามีสัมประสิทธิ์เป็นลบเพียง 1 ตัว ต้องเติมเป็น − + − จากขวาไปซ้าย) ช่วงที่ 1 แถวที่ 01 − 10 แถวที่ 01 ⋯ แถวที่ 10 ⋮ แถวที่ 11 แถวที่ 20 ⋮ แถวที่ 21 แถวที่ 30 ⋮ ⋯ เพิ่มขึ้นแถวละ 3 ต้น ช่วงที่ 2 แถวที่ 11 − 20 ช่วงที่ 3 แถวที่ 21 − 30 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⇐ เท่ากับแถวที่ 10 ⇐ เท่ากับแถวที่ 20 ⇐ 10 ต้น เท่ากันทุกแถว ลดลงแถวละ 2 ต้น
แบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชุดที่ 1 หน้า | 5 คณิตศาสตร์ By PhetCH sites.google.com/view/mathbyphetch จะเห็นว่าในแต่ละช่วง จำนวนต้นไม้ในแต่ละแถวเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต จำนวนต้นไม้ทั้งหมดในแต่ละช่วง จึงสามารถหาได้จากอนุกรมเลขคณิต = 2 [21 + ( − 1)] [1] หาจำนวนต้นไม้ในช่วงที่ 1 • ช่วงที่ 1 ปลูกต้นไม้10 แถว นั่นคือ = 10 • แถวที่ 1 ปลูกต้นไม้ 10 ต้น นั่นคือ 1 = 10 • แถวถัดไปปลูกต้นไม้เพิ่มขึ้นจากแถวก่อนหน้าแถวละ 3 ต้น นั่นคือ 1 = 3 จะได้ว่า จำนวนต้นไม้ในช่วงที่ 1 ทั้งหมด 10 2 [2(10) + (10 − 1)(3)] = 235 ต้น [2] หาจำนวนต้นไม้ในช่วงที่ 2 • ช่วงที่ 2 ปลูกต้นไม้10 แถว นั่นคือ = 10 • ในทุก ๆ แถว ปลูกต้นไม้เท่ากับจำนวนต้นไม้ในแถวที่ 10 หาจำนวนต้นไม้ในแถวที่ 10 จากสูตรลำดับเลขคณิต = 1 + ( − 1) โดยมี 1 = 10 และ 1 = 3 จะได้ 10 = 10 +(10 − 1)(3) = 37 แสดงว่า ในช่วงที่ 2 แต่ละแถวปลูกต้นไม้37 ต้น (11 = 12 = ⋯ = 20 = 37) จะได้ว่า จำนวนต้นไม้ในช่วงที่ 2 ทั้งหมด 37(10) = 370 ต้น [3] หาจำนวนต้นไม้ในช่วงที่ 3 • ช่วงที่ 3 ปลูกต้นไม้10 แถว นั่นคือ = 10 • แถวที่ 21 ปลูกต้นไม้เท่ากับจำนวนต้นไม้ในแถวที่ 20 นั่นคือ 21 = 20 = 37 • แถวถัดไปปลูกต้นไม้ลดลงจากแถวก่อนหน้า แถวละ 2 ต้น นั่นคือ 3 = −2 จะได้ว่า จำนวนต้นไม้ในช่วงที่ 3 ทั้งหมด 10 2 [2(37) + (10 − 1)(−2)] = 280 ต้น ดังนั้น จำนวนต้นไม้ทั้งหมดในสวนแห่งนี้เท่ากับ 235 + 370 + 280 = 885 ต้น ❏ 5. จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 32 กับ 395 ที่หารด้วย 2 และ 3 ไม่ลงตัว มีผลบวกเท่ากับเท่าใด ตอบ 25,560 แนวคิด จากข้อความ “หารด้วย 2 และ 3 ไม่ลงตัว” หมายถึง “หารด้วย 2 ไม่ลงตัว และ หารด้วย 3 ไม่ลงตัว” พิจารณาโดยใช้เซต ดังนี้ ให้ = {33, 34, 35, … , 394} ก = { | หารด้วย 2 ลงตัว } = {34, 36, 38, … , 394} ก และ = { | หารด้วย 3 ลงตัว } = {33, 36, 39, … , 393} จะได้ว่า ′ = { | หารด้วย 2 ไม่ลงตัว } = {33, 35, 37, … , 393} และ ′ = { | หารด้วย 3 ไม่ลงตัว } จากโจทย์ แสดงว่าต้องหา ′ ∩ ′ ก่อน แล้วหาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดภายในเซต ′ ∩ ′ ซึ่ง ′ ∩ ′ = ′ − ก = {33, 35, 37, … , 393} − {33, 36, 39, … , 393} ก = {33, 35, 37, … , 393} − {33, 39, 45, … , 393} จะเห็นว่า {33, 39, 45, … , 393} ⊂ {33, 35, 37, … , 393} ในการหาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดภายในเซต ′ ∩ ′ สามารถทำได้โดย “หาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดภายในเซต {33, 35, 37, … , 393} ลบด้วย ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดภายในเซต {33, 39, 45, … , 393}” จะเห็นว่า ทั้งเซต {33, 35, 37, … , 393} และเซต {33, 39, 45, … , 393} สมาชิกของทั้งสองเซตต่างก็เรียงกัน เป็นลำดับเลขคณิต นั่นหมายความว่า • การหาจำนวนสมาชิกทั้งหมดภายในเซต สามารถใช้สูตรลำดับเลขคณิต = 1 + ( − 1) ได้ (หรือถ้าจัดรูปสูตรใหม่ ก็จะสามารถหาจำนวนสมาชิกได้จาก = − 1 + 1) • การหาผลรวมของสมาชิกทั้งหมดภายในเซต สามารถใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต = 2 (1 + ) ได้
แบบทดสอบ เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ชุดที่ 1 หน้า | 6 คณิตศาสตร์ By PhetCH sites.google.com/view/mathbyphetch [1] หาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดภายในเซต {33, 35, 37, … , 393} เนื่องจาก = 393 − 33 2 + 1 = 181 , 1 = 33 และ 181 = 393 จะได้ว่า 33 + 35 +37 + ⋯ + 393 = 181 2 (33 + 393) = 38,553 [2] หาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดภายในเซต {33, 39, 45, … , 393} เนื่องจาก = 393 − 33 6 + 1 = 61 , 1 = 33 และ 61 = 393 จะได้ว่า 33 + 39 +45 + ⋯ + 393 = 61 2 (33 +393) = 12,993 ดังนั้น จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 32 กับ 395 ที่หารด้วย 2 และ 3 ไม่ลงตัว มีผลบวกเท่ากับ 38,553 −12,993 = 25,560 ❏