ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 1

เรื่อง ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส หน่วยท2ี่

ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 2

ทฤษฎบี ทปที าโกรสั

อรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ
โรงเรยี นพยคั ฆภมู วิ ทยาคาร

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์

เร่ือง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั
ชดุ ท่ี 2 เรือ่ งทฤษฎบี ทปที าโกรสั

นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ โรงเรยี นพยคั ฆภมู วิ ทิ ยาคาร

ช่ือ........................................นามสกุล..............................ช้ัน...................
โรงเรียน...........................................................................เลขท.่ี ...............

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 3

คานา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส สาหรับนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 2
เป็นส่วนหน่ึงของชุดการสอนแบบส่ือประสม จดั ทาข้ึนเพ่ือใหผ้ เู้ รียนไดฝ้ ึกทกั ษะทางคณิตศาสตร์
ซ่ึงจะทาใหผ้ เู้ รียนมีความรู้ที่คงทน เนื่องจากการไดฝ้ ึกบ่อย ๆ จะทาผเู้ รียนจดจาในสิ่งท่ีเรียนไปแลว้ ได้
นาน และจะส่งผลใหม้ ีผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนสูงข้ึน แบบฝึกทกั ษะมีท้งั หมด 4 หน่วยยอ่ ย สาหรับ
แบบฝึกทกั ษะเล่มน้ีเป็นแบบฝึกหน่วยที่ 2 เรื่องทฤษฎีบทปี ทาโกรัส

แบบฝึกทกั ษะเล่มน้ีจะเป็นประโยชนม์ หาศาลสาหรับผเู้ รียนท่ีมีความพยายาม มีความขยนั
จะทาใหผ้ ทู้ ี่เรียนชา้ สามารถฝึกไดบ้ ่อยๆ จนเกิดความชานา ผเู้ ขียนหวงั เป็ นอยา่ งยง่ิ วา่ แบบฝึกทกั ษะ
คณิตศาสตร์เล่มน้ีจะเกิดประโยชนก์ บั ผทู้ ่ีมีโอกาสไดศ้ ึกษาตามสมควร

(นางอรุณรัตน์ ทรงมีสิงหสกุล)

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 4

คาชี้แจงสาหรับนกั เรียน

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส หน่วยที่ 2 เร่ืองทฤษฎีบทปี ทาโกรัส
ใชเ้ วลาในการเรียนท้งั หมด 4 ชว่ั โมง ซ่ึงในแบบฝึกทกั ษะน้ี จะมีท้งั ใบความรู้ เอกสารแนะแนวทาง
แบบฝึกหดั และ แบบทดสอบเพ่อื วดั ความรู้ความสามารถ ความกา้ วหนา้ ในการเรียน ใหน้ กั เรียนเขียน
ช่ือ –นามสกลุ ช้นั เรียน และเลขที่ลงในแบบฝึกทกั ษะท่ีครูแจกให้ และทากิจกรรมหรือแบบฝึกหดั
ตามท่ีครูผสู้ อนแนะนาอยา่ งเคร่งครัด เม่ือเรียนจบเน้ือหาหน่วยท่ี 2 แลว้ ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบ
หนงั เรียนดว้ ยความต้งั ใจ

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 5

จุดประสงค์การเรียนรู้

เม่ือนกั เรียนเรียนจบเน้ือหาหน่วยท่ี 2 เร่ืองทฤษฎีบทปี ทาโกรัสแลว้ นกั เรียนสามารถ
1. หาพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสได้
2. หาพ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียมมุมฉากได้
3. บอกทฤษฎีบทปี ทาโกรัสได้
4. บอกความสัมพนั ธ์ของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้
5. นาความรู้เรื่องทฤษฎีบทปี ทาโกรัสไปใชใ้ นการแกป้ ั หาได้

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 6

ใบความรู้ที่ 2.1 เร่ือง ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ชวั่ โมงที่ 1

I

H

BD

A CE

FG

จากภาพ

สามเหล่ียม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ส่ีเหล่ียม ABHI เป็นส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก มีพ้ืนท่ี 25 ตารางหน่วย
ส่ีเหล่ียม BCED เป็นส่ีเหล่ียมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นประกอบมุมฉาก มีพ้ืนที่ 9 ตารางหน่วย
ส่ีเหลี่ยม ACGF เป็นส่ีเหล่ียมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นประกอบมุมฉาก มีพ้นื ท่ี 16 ตารางหน่วย

จะได้ 25 = 16 + 9

สาหรับรูปสามเหลยี่ มมุมฉากใด ๆ พนื้ ทขี่ องรูปส่ีเหลยี่ มจตั ุรัส บนด้าน
ตรงข้ามมุมฉาก มคี ่าเท่ากบั ผลบวกของพนื้ ท่ขี องรูปทเ่ี หลย่ี มจัตุรัส

บนด้านประกอบมมุ ฉาก

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 7

ใบความรู้ท่ี 2.2 เรื่อง การพสิ ูจน์ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

วธิ ีพสิ ูจน์ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส ทาได้ดงั นี้ C a

กาหนดให้ ABC เป็น มุมฉาก มีมุมฉากท่ี A b
ให้ a, b, c เป็ นความยาวของ ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ ตามลาดบั

Ac B

ดงั น้นั พ้ืนที่ของสี่เหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ น a, b, c คือ a2, b2 , c2 ตามลาดบั
ตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ a2 = b2 + c2
วธิ ีพสิ ูจน์

สร้าง จตั ุรัส KLMN ใหม้ ีความยาวดา้ นละ
b + c โดยมีจุด P, Q, R, S เป็ นจุดแบง่ บนแต่ละดา้ น
และกาหนด สามเหล่ียมมุมฉากเป็น (1), (2), (3), (4)
และ PQRS เป็น (5) ดงั รูป

ABC (1) (2) (3) (4) (ดา้ น – มุม – ดา้ น)
a = PQ = QR = RS = SP (ความยาวของดา้ นท่ีสมนยั กนั )
เนื่องจากพ้นื ท่ีของ จตั ุรัส KLMN = พ้นื ท่ี (5) + พ้นื ท่ี ท้งั 4 รูป

= a2 + 4 ( ฐาน สูง )

= a2 + 4 ( )

= a2 + 2bc -----------------------------(1)

เนื่องจากพ้ืนท่ี จตั ุรัส KLMN = (ดา้ น ดา้ น ) = (ดา้ น)2

จาก (1) = (2) = (b + c)2
จะได้
= b2 + 2bc + c2 ------------------------(2)

a2 + 2bc = b2 + 2bc + c2

a2 = b2 + c2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 8

เอกสารแนะแนวทางที่ 2.1 เรื่อง ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

คาชี้แจง จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ีกาหนดให้ ใหน้ กั เรียนหาพ้นื ที่ของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก พร้อม
ท้งั สร้างรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นท้งั สามของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก และหาพ้นื ที่ของรูป
สี่เหลี่ยมจตั ุรัสท้งั สามรูป พร้อมหาความสัมพนั ธ์ของพ้ืนที่ท้งั สามรูป

รูปสามเหลยี่ มท่กี าหนด รายการคานวณ
1. 1. หาพ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียม ABC
จากสูตรและหาพ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียม
A

35 ×ฐาน×สูง หรือ
จะได้ × 4 × 3 = 6

B4 C หาพ้นื ที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = 6 ตารางหน่วย

สร้างรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นท้งั สามของรูป 2. หาพ้นื ท่ีของรูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นตรงขา้ ม

สามเหลี่ยมมุมฉาก มุมฉาก และดา้ นประกอบมุมฉาก

จากรูป

รูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นประกอบมุมฉากคือ

1 รูปท่ี 2 และรูปท่ี 3 และ รูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ น
ตรงขา้ มมุมฉากคือ รูปท่ี 1
A

23 5 จะได้ พนื้ ทขี่ องส่ีเหลย่ี มบนด้านประกอบมุมฉาก คือ
3 × 3 = 9 ตารางหน่วย

B4 C พนื้ ทขี่ องสี่เหล่ยี มบนด้านประกอบมุมฉาก คือ

4 × 4 = 16 ตารางหน่วย
3 พนื้ ทข่ี องรูปส่ีเหลยี่ มบนด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ

5 × 5 = 25 ตารางหน่วย

ความสัมพนั ธ์ของพ้นื ที่ของรูปส่ีเหลี่ยมท้งั สามรูป คือ

จะได้ 25 = 9 + 16

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 9

รูปสามเหลย่ี มที่กาหนด รายการคานวณ
2. 1. หาพ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ียม ABC
จากสูตรและหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียม
C

6.5
6

A

2.5 B

สร้างรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นท้งั สามของรูป 2. หาพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นตรงขา้ ม

สามเหลี่ยมมุมฉาก มุมฉาก และดา้ นประกอบมุมฉาก

จากรูป

รูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นประกอบมุมฉาก

และ บนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก จะได้

C

6.5 6 พนื้ ทขี่ องรูปส่ีเหลย่ี มจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก
คือ
A B

2.5

พนื้ ทข่ี องรูปส่ีเหลย่ี มจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

รูปสามเหลย่ี มท่ีกาหนด หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 10
3.
รายการคานวณ
1. หาพ้ืนที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC
จากสูตรและหาพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียม

สร้างรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นท้งั สามของ 2. หาพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นตรงขา้ ม
รูปสามเหล่ียมมุมฉาก มุมฉาก และดา้ นประกอบมุมฉาก
จากรูป

พนื้ ทขี่ องรูปสี่เหลย่ี มจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก
คือ

พนื้ ทข่ี องรูปสี่เหลยี่ มจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 11

เอกสารแนะแนวทางท่ี 2.2 ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัสชวั่ โมงที่ 2

ใหน้ กั เรียนหาความยาวของดา้ นที่เหลือ และพ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

รูปทกี่ าหนด ส่ิงทต่ี ้องการหา

1. หาความยาวของดา้ นที่เหลือ (AC)

A ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส

จะได้ (AC)2 =

12 =
=

B5 C AC = 13
พ้ืนที่ของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

13 × 13 = 169

พ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก

12 × 12 = 144 และ 5 × 5 = 25

จะไดค้ วามสมั พนั ธ์ของรูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสคือ

169 = 144 + 25

2. หาความยาวของดา้ นที่เหลือ (AB)

ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส

C 12 จะได้

B

15

A

พ้นื ท่ีของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

พ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก

จะได้

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 12

รูปทกี่ าหนด ส่ิงทตี่ ้องการหา
3.
หาความยาวของดา้ นท่ีเหลือ (AB)
BA ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส
จะได้ 392 =

36 พ้นื ที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก
39
พ้นื ท่ีของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก
C
จะไดค้ วามสมั พนั ธ์ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสคือ
4. M
หาความยาวของดา้ นที่เหลือ (AB)
K 2.4 ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส
จะได้ NK2 =

3.2

พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

N

พ้นื ที่ของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก

จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ของรูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสคือ
16 = 10.34 + 5.76

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 13

รูปทกี่ าหนด ส่ิงทตี่ ้องการหา
5.
หาความยาวของดา้ นท่ีเหลือ (AB)
ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส
จะได้ 292 =

29 21

A AC = 20
พ้ืนท่ีของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสบนดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

C

พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก

จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสคือ

จากเอกสารแนะแนวทางท้งั 5 ข้อ
สรุปความสัมพนั ธ์ของพืน้ ทข่ี องรูป
สี่เหลยี่ มจัตุรัสท้งั สามรูปได้อย่างไร

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 14

แบบฝึ กหัดท่ี 2.1 ทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

จงหาความยาวของด้านทเ่ี หลอื และหาพนื้ ทข่ี องรูปส่ีเหล่ยี มจัตุรัสทอี่ ยู่บนด้านท้งั สามของรูป
สามเหลย่ี มมุมฉาก

รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก สิ่งทต่ี ้องการหา
1. 1.1 หาความยาวดา้ น BC

BC = 8
1.2 หาพ้ืนท่ีของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นท้งั สามของรูป
สี่เหล่ียมจตั ุรัส

สี่เหล่ียมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

สี่เหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นประกอบมุมฉาก

1.3 ความสมั พนั ธ์ของพ้นื ที่ของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสท้งั สามรูป

2. 2.1 หาความยาวดา้ น BC

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 15

รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก สิ่งทต่ี ้องการหา

2.2 หาพ้นื ท่ีของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นท้งั สามของรูป
สี่เหลี่ยมจตั ุรัส

สี่เหลี่ยมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

สี่เหล่ียมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นประกอบมุมฉาก

2.3 ความสัมพนั ธ์ของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสท้งั สามรูป

3. 3.1 หาความยาวดา้ น BC
(AB)2 =

3.2 หาพ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นท้งั สามของรูป
ส่ีเหล่ียมจตั ุรัส

ส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

ส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นประกอบมุมฉาก

3.3 ความสมั พนั ธ์ของพ้นื ที่ของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสท้งั สามรูป

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 16

รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก ส่ิงทตี่ ้องการหา
4. 4.1 หาความยาวดา้ น BC

4.2 หาพ้นื ท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นท้งั สามของรูป
สี่เหล่ียมจตั ุรัส

สี่เหล่ียมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

สี่เหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นประกอบมุมฉาก

4.3 ความสัมพนั ธ์ของพ้ืนที่ของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสท้งั สามรูป

5. 5.1 หาความยาวดา้ น BC

5.2 หาพ้ืนท่ีของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นท้งั สามของรูป
สี่เหล่ียมจตั ุรัส

ส่ีเหล่ียมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก
สี่เหลี่ยมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นประกอบมุมฉาก
5.3 ความสมั พนั ธ์ของพ้ืนท่ีของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัสท้งั สามรูป

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 17

เอกสารแนะแนวทางท่ี 2.3 เรื่องทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ชว่ั โมงที่ 3

การหาความยาวของด้านท้งั สามของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก สามารถหาได้จากสูตรของพลาโต (Plato)

2n , n2-1 , n2+1 เมอ่ื n เป็ นจานวนเตม็ ต้งั แต่ 2 ขนึ้ ไป

(โดย 2n, n2-1 เป็ นด้านประกอบมุมฉาก และ และ n2+1 เป็ นด้านตรงข้ามมุมฉาก)
จากสูตรให้นักเรียนเติมข้อความให้ถูกต้อง

n 2n n2 - 1 n2 + 1 (n2 + 1)2 = (2n)2 + (n2 - 1)2
2 2×2 = 4 22 – 1 = 3 22 + 1 = 5 52 = 42 + 32
25 = 16 + 9
3

4

5

6

7

8

9

10

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 18

เอกสารแนะแนวทางที่ 2.4 เร่ืองทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

การหาความยาวของด้านท้งั สามของรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก จากสูตรของปี ทาโกรัส (pythagorus)

n, , มอ่ื n เป็ นจานวนคต่ี ้ังแต่ 3 ขนึ้ ไป

(โดย n, เป็ นด้านประกอบมุมฉาก และ เป็ นด้านตรงข้ามมุมฉาก)

จากสูตรให้นักเรียนเติมข้อความให้ถูกต้อง 2 = +( )

n 52 = 32 + 42
25 = 9 + 16
3 =4 =5
5

7

9

11

13

15

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 19

เอกสารแนะแนวทางที่ 2.5 เรื่องทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ในกรณีที่ทราบความยาวของดา้ นท้งั สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ แลว้ ยงั สามารถหา
ความยาวของดา้ นท้งั สามของสามเหลี่ยมมุมฉากในชุดอ่ืน ๆ ไดอ้ ีก โดยการนาจานวนจริงใด ๆ ท่ีไม่
เท่ากบั ศนู ย์ ไปคูณหรือหารความยาวของดา้ นท้งั สามของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ซ่ึงผลลพั ธ์ท่ีไดก้ ็ยงั
เป็นความยาวของดา้ นท้งั สามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่

จากความหมายดงั กล่าว จงหาความยาวของดา้ นท้งั สามของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อทราบความ
ยาวของดา้ นท้งั สามคือ 3, 4, 5 หน่วย

ใหน้ กั เรียนเติมตวั เลขลงในตารางใหถ้ ูกตอ้ ง

3 4 5 52 = 32 + 42
2 คูณ 3 × 2 = 6 4×2 = 8 5 × 2 = 10 102 = 62 + 82
100 = 36 + 64
2 หาร 3 ÷ 2 = 1.5 4÷2 = 2 5 ÷ 2 = 2.5 (2.5)2 = (1.5)2 + 22
6.25 = 2.25 + 4
3 คูณ

4 หาร

5 คูณ

6 คูณ

7 หาร

8 หาร

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 20

แบบฝึ กหดั ท่ี 2.2 เรื่องทฤษฎบี ทปี ทาโกรัส

ชวั่ โมงท่ี 4

ให้นักเรียนแสดงวธิ ีทาให้ถูกต้อง

1. ชายผหู้ น่ึงเดินทางไปทางทิศเหนือ 4 กิโลเมตร แลว้ เดินทางไปทางทิศตะวนั ตกอีก 3 กิโลเมตร
อยากทราบวา่ เขาอยหู่ ่างจากจุดเริ่มตน้ เทา่ ไร

วธิ ีทา จากคาถามสามารถเขียนเป็นเส้นทางในการเดินไดค้ ร่าว ๆ ดงั น้ี

B3 C

4

A

2. บนั ไดยาว 65 ฟุต พาดอยกู่ บั กาแพง ถา้ หวั บนั ไดอยสู่ ูงจากพ้นื ดิน 63 ฟุต จงหาวา่ บนั ไดอยู่
กาแพงเทา่ ไร

วธิ ีทา จากโจทย์ เขียนเป็ นรูปอยา่ งคร่าว ๆ ไดด้ งั น้ี
กาหนดให้ AB เป็นความสูงของกาแพง
AC เป็นความยาวของบนั ได
BC เป็นระยะห่างระหวา่ งบนั ไดกบั กาแพง

ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

3. จงหาพนื้ ทขี่ องรูปต่อไปนี้ หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 21

รูปทก่ี าหนด ส่ิงทต่ี ้องการหา
3.1 1. จงหาความยาวของดา้ น BD, CD

2. หาพ้ืนท่ีของรูป ABD
จากสูตรและหาพ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
3. หาพ้นื ท่ีของรูป ACD
จากสูตรการหาพ้ืนที่ = × ฐาน × สูง หรือ

4. หาพ้นื ท่ีของรูป ABC

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

รูปทก่ี าหนด หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 22
3.2
สิ่งทตี่ ้องการหา
1. จงหาความยาวของดา้ น BC, CE

2. หาความยาวของดา้ น DE (x)

3. หาพ้นื ท่ีของรูป ABED
ABED เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู

3.3 1. หาพ้ืนที่ของรูป ABD
ABD เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

หาความสูงของรูปสี่เหลี่ยม ซ่ึง AB = CD
(BD)2 =

หาพ้ืนท่ีของรูป ABD

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

รูปทกี่ าหนด หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 23

สิ่งทต่ี ้องการหา
2. หาพ้นื ที่ของรูป BCD
พ้นื ท่ีของรูป BCD = พ้นื ที่ของรูป ABD

3. หาพ้ืนที่ของรูป ABCD

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 24

แบบทดสอบหนว่ ยท่ี 2 เรอ่ื งทฤษฎบี ทปที าโกรสั

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนเลือกขอ้ ท่ีถูกที่สุดเพียงขอ้ เดียว

1. ทฤษฎีบทปี ทาโกรัสกล่าวถึงเรื่องใด

ก พ้นื ที่ของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

ข ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

ค พ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสที่อยบู่ นดา้ นของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

ง ความยาวของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัส

2. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวของแต่ละดา้ นเป็น 6, 8, 10 จงหาพ้ืนที่

ของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสท่ีอยบู่ นดา้ นตรงขา้ มมุมฉากของรูปสามเหล่ียม

ก 24 ตร. ซม. ค 64 ตร. ซม.

ข 36 ตร. ซม. ง 100 ตร. ซม.

3. จากโจทยใ์ นขอ้ 2 จงหาผลบวกของพ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัส ท่ีอยบู่ น

ดา้ นประกอบมุมฉาก

ก 100 ตร. ซม. ค 136 ตร. ซม.

ข 124 ตร. ซม. ง 164 ตร. ซม.

4. โทรทศั น์เคร่ืองหน่ึงมีความยาวตามเส้นทแยงมุมยาว 20 นิ้ว จอโทรทศั น์

สูง 12 นิ้ว อยากทราบวา่ โทรทศั น์ยาวก่ีนิ้ว

ก 12 นิ้ว ค 18 นิ้ว

ข 16 นิ้ว ง 32 นิ้ว

5. รูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่ มีฐานยาว 16 นิ้ว ดา้ นประกอบมุมยอดยาวดา้ นละ

10 นิ้ว จงหาความสูงของสามเหลี่ยมน้ี A
ก 6 นิ้ว

ข 7 นิ้ว

ค 8 นิ้ว 10 \ / 10

ง 9 นิ้ว

B DC

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยที่ 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 25

6. จงหาส่วนสูงของรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า ซ่ึงมีดา้ นยาวดา้ นละ 6 ซม.

(กาหนด 3 = 1.73)

ก 18 ซม. ค 6.19 ซม.

ข 12 ซม. ง 5.19 ซม.

7. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก มีมุม ACB เป็นมุมฉาก กาหนด AC ยาว 15

หน่วย และ BC ยาว 8 หน่วย จงหาความยาวของ AB

ก 16 หน่วย C

ข 17 หน่วย

ค 18 หน่วย

ง 19 หน่วย

A DB

8. จากโจทยข์ อ้ 7 จงหาความยาวของ CD

ก ประมาณ 6.06 หน่วย

ข ประมาณ 7.06 หน่วย

ค ประมาณ 8.06 หน่วย

ง ประมาณ 9.06 หน่วย

9. บนั ไดยาว 6.5 เมตร วางพิงผนงั ตึกใหเ้ ชิงบนั ไดห่างจากผนงั 2.5 เมตร จงหาวา่

ปลายบนั ไดอยสู่ ูงจากพ้นื ก่ีเมตร

ก 6 หน่วย ค 8 หน่วย

ข 7 หน่วย ง 9 หน่วย

10. ผชู้ ายคนหน่ึงเดินไปทางทิศใต้ 27 กิโลเมตร แลว้ เดินไปทางทิศตะวนั ตกอีก 12 กิโลเมตร จากน้นั

จึงเดินไปทางทิศเหนืออีก 18 กิโลเมตร จงหาวา่ ชายผนู้ ้นั อยหู่ ่างจากจุดเร่ิมตน้ ก่ีกิโลเมตร

ก 12 กิโลเมตร

ข 13 กิโลเมตร

ค 44 กิโลเมตร

ง 15 กิโลเมตร

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 26

จากรูปใช้ตอบคาถามข้อ 11-12

11. จงหาความยาวจากจุด B ถึงจุด D

ก 12 หน่วย D
ข 13 หน่วย
ค 14 หน่วย 12 5

BC

ง 15 หน่วย

12. จงหาความยาวจากจุด A ถึงจุด D 11

ก 16 หน่วย

ข 18 หน่วย A

ค 20 หน่วย

ง 22 หน่วย

13. รูปสามเหล่ียมมุมฉากรูปหน่ึงมีดา้ นหน่ึงยาว 7 เซนติเมตร และดา้ นตรงขา้ มมุมฉากยาว 25

เซนติเมตร จงหาความยาวของดา้ นประกอบมุมฉากอีกดา้ นหน่ึง

ก 14 เซนติเมตร ค 16 เซนติเมตร

ข 24 เซนติเมตร ง 26 เซนติเมตร

14. จากคาถามในขอ้ 13 จงหาพ้ืนท่ีของสามเหล่ียมมุมฉากรูปน้ี

ก 175 ตารางเซนติเมตร ค 57 ตารางเซนติเมตร

ข 156 ตารางเซนติเมตร ง 84 ตารางเซนติเมตร

15. เสาธงตน้ หน่ึงต้งั ตรงอยดู่ ว้ ยเสาขา้ งสองตน้ ซ่ึงมีนอ้ ตยดึ ติดอยู่ 2 ตวั โดยนอ้ ตตวั บนอยสู่ ูงจากพ้นื 9

ฟุต นายตน้ ตอ้ งการทาสีเสาธง เขาจึงถอดนอ้ ตตวั ล่างแลว้ หมุนเสาธงดงั รูป โดยเสาธงอยหู่ ่างจากโคน

เสา 12 ฟุต จงหาวา่ เสาธงตน้ น้ีเมื่อต้งั ตรง ยอดเสาธงจะอยหู่ ่างจากพ้นื ดินเท่าไร

ก 24 ฟุต
ข 21 ฟุต
ค 15 ฟุต
ง 13 ฟุต

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ

หนว่ ยท่ี 2 ทฤษฎบี ทปที าโกรสั 27

หนังสืออ้างองิ

เลิศ เกษรคา. คู่สร้างคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 2. เล่ม 2. กรุงเทพฯ :
โรงพมิ พไ์ ทยร่มเกลา้ , 2549.

ศึกษาธิการ, กระทรวง. หนงั สือเรียนสาระการเรียนคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน
คณิตศาสตร์ เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรีย รู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษา
ปี ท่ี 2. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรุสภาลาดพร้าว, 2544.

สมยั เล่าวานิช. คณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพบั ริชชิง จากดั , 2535.
สุพล สุวรรณนพ และคณะ. สื่อการเรียนรู้และเสริมสร้างทกั ษะมาตรฐานการเรียนรู้

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ 4. กรุงเทพฯ : สานกั พิมพน์ ิยมวทิ ยา,
2547.

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ทฤษฎบี ทปที าโกรสั โดย นางอรณุ รตั น์ ทรงมสี งิ หสกลุ