คณิต ม.4 บทที่ 01เซต

เซต 0

เซต

ชวนคดิ สมมติวา แจแปนมวี วั อยู 6 ตัว ถาเขาตองการลอมรวั้ 3 ร้วั ใหม ีเง่อื นไขดงั ตอไปน้ี

(i) มี 1 รัว้ ที่ลอ มวัวท้งั หมดไว (ii) มวี ัว 3 ตวั ที่มรี ้ัว 2 ร้ัวลอมไว

(iii) มีววั 2 ตัวท่มี รี ั้ว 3 ร้วั ลอ มไว

หากนกั เรียนเปนเจแปน นกั เรียนมวี ธิ ีการลอ มร้วั และจัดวางววั อยางไร

* สามารถสรา งรัว้ ทับซอนกนั บางสว นได

ในชว งปลายศตวรรษท่ี 19 นกั คณติ ศาสตรช าวเยอรมนั ชอ่ื (Georg Cantor)
เกออรก คันทอร (Georg Cantor) เปนผูร ิเร่ิมใชคําวา “เซต” จากนัน้ นักคณติ ศาสตร
จึงใชคํานกี้ ันอยา งแพรห ลาย โดยความรใู นเรื่องเซตสามารถนํามาเชื่อมโยงเน้อื หาคณติ ศาสตร
ในหลาย ๆ เรื่อง เชน ความสมั พันธแ ละฟง กช นั รวมถึงความนาจะเปน

เซตเปนคําอนิยามหมายถงึ กลมุ ของสิง่ ตา ง ๆ และตองทราบแนนอนวาสิ่งใดอยูในกลุม
และสิง่ ใดไมอยใู นกลมุ เชน เซตของจํานวนนับทน่ี อยกวา 4, เซตของสระในภาษาอังกฤษ
เปนตน และเซตจะไมใชก บั สิ่งทบ่ี อกถึงคุณภาพ เชน เซตของคนสวย เปนตน

เซตทเี่ ราควรรูจักไดแก  คอื เซตของจํานวนตรรกยะทง้ั หมด
 คือ เซตของจาํ นวนนบั ท้งั หมด
 คอื เซตของจาํ นวนจริงท้ังหมด   คือ เซตของจาํ นวนเต็มลบ
 คอื เซตของจาํ นวนเตม็ ท้งั หมด
  คือ เซตของจาํ นวนเต็มบวก
' คอื เซตของอตรรกยะทัง้ หมด

ขอ ตกลงเบื้องตน หนงั สือบางเลมอาจใชสญั ลักษณ  แทนเซตของจาํ นวนเตม็ ทั้งหมด ซึง่ มาจากคําวา
Integers ในภาษาองั กฤษ แทนการใช  ซึ่งมาจากคาํ วา Zahlen ในภาษาเยอรมัน แตในเอกสาร
ประกอบการเรยี นชดุ น้จี ะใช  แทนเซตของจํานวนเต็มท้งั หมด

เซต 1

การเขียนแสดงเซต
การเขียนแสดงเซตสามารถเขียนได 2 แบบคือ การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิก และการเขียนเซต

แบบบอกเงอื่ นไขของสมาชกิ
การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิก

- เขียนสมาชิกทุกตวั ของเซตลงในวงเล็บปกกาและใชเครอื่ งหมายจลุ ภาค , คน่ั ระหวา งสมชิกแตล ะ

ตัว เชน เซตของจาํ นวนนับที่นอ ยกวา 5 เขยี นไดดังนี้ 1,2,3,4
เซตของสระในภาษาองั กฤษ เขียนไดด งั น้ี ...........................................................
บางครง้ั อาจใช “...” เพอ่ื แสดงวา ยังมสี มาชกิ ตวั อ่ืน ๆ ในเซตน้นั ตอ ไปอีก เชน

เซตของจํานวนนับ เขยี นไดด งั นี้ 1,2,3,4,5,....

เซตของจํานวนเตม็ เขียนไดดงั น้ี ....,3,2,1,0,1,2,3,....
เซตของจาํ นวนเต็มท่ีมคี า ระหวาง -5 กบั 50 เขยี นไดด งั นี้ ...............................................................
เรานยิ มแทนเซตดวยตัวอักษรพมิ พใ หญใ นภาษาองั กฤษ เชน A, B,C และแทนสมาชกิ ในเซตดว ย

ตวั อักษรพิมพเ ล็กในภาษาอังกฤษ เชน a,b,c สัญลกั ษณ x A หมายความวา x เปนสมาชกิ ของ A
และถา x ไมเ ปนสมาชิกของ A เราใชส ัญลักษณ x  A และ nA แทนจํานวนสมาชิกของเซต A

ตัวอยา งเชน A1,2,3

เราจะไดว า 1 A , 2A และ 3A แต 4  A และ nA.......

B 2,4,6,8,10

เราจะไดวา 1......B, 2......B, 3......B และ 4B เปน ตน และ nB........
การเขยี นเซตแบบบอกเงือ่ นไขของสมาชิก

- เราจะใชตัวแปรแทนสมาชกิ แลว บรรยายสมบัตหิ รอื เงอื่ นไข เชน
F  {x | x เปนจํานวนนับที่นอ ยกวา 5}

อา นวา F เปนเซตซ่ึงประกอบดว ยสมาชิก x โดยที่ x เปนจํานวนนับท่ีนอยกวา 5

เครอื่ งหมาย “|” แทนคําวา “โดยท่ี” ซง่ึ อาจจะใชเคร่ืองหมาย “:” แทนก็ได
นอกจากนเ้ี ราอาจจะเขียนเซตแบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชกิ ไดโ ดย

A  {x   | x  5}

อา นวา A เปนเซตซ่ึงประกอบดวยสมาชิก x ที่เปน จํานวนนับ โดยท่ี x มีคา นอยกวา 5

ทบทวนความรูเ ดิมกันหนอ ย
จงเตมิ เครื่องหมาย หรือ  ลงในชอ งวา งใหถูกตอ ง

1) 3 ..........  2) 1 .......... 
3) 3.14 .......... 
5)  ..........  4)  .......... 

7) 300 ..........   5 .2
9) 8 .......... 
6)  5 ..........  

8) 3 .......... '
2

10) 2, 400 .......... 

เซต 2

เซตวา ง (Empty set / Null set)

เราเรยี กเซตที่ไมมีสมาชิกวา เซตวา ง (Empty set / Null set) เขียนแทนเซตวา งดวยสัญลกั ษณ

“ ” หรืออาจใชสัญลักษณ “ ” ซงึ่ สัญลักษณน้ีมตี นกําเนดิ มาจากอักษร  ในภาษาเดนมารก และ

ภาษานอรเวย ,André Weil (1906-1998)

ตวั อยา ง Ax   | 2x 1
จะเห็นไดวา หลกั จากทีเ่ ราแกสมการ 2x 1 จะไดคําตอบของสมการคือ x .........

ซึง่ 1   สงผลให ไมม ีจาํ นวนนับ x ใด ๆ ทสี่ อดคลอ งกับสมการ 2x 1
2

น่นั คอื A  

ตัวอยา ง จงเขยี นเซตตอไปนแ้ี บบแจกแจงสมาชิก

1) เซตของประเทศท่มี ีพรมแดนติดตอกบั ประเทศไทย

.........................................................................................................................................................................

2) เซตของจํานวนเฉพาะทม่ี ีคาตั้งแต 1 ถึง 20

.........................................................................................................................................................................

3) เซตของจาํ นวนคบี่ วก

.........................................................................................................................................................................

4) เซตของจาํ นวนนับท่ีมีคา นอยกวา -1

.........................................................................................................................................................................

5) {x | x  1 เม่ือ n  และ n  5}

n

.........................................................................................................................................................................

ตวั อยา ง จงเขียนเซตตอ ไปนแี้ บบบอกเง่อื นไขของสมาชกิ

1) A3,2,1,0,1,2,3
.........................................................................................................................................................................

2) B .....,4,3,2,1
.........................................................................................................................................................................

3) C 3,3
.........................................................................................................................................................................

4) D 1,4,9,16, 25,36,49,64,81,100
.........................................................................................................................................................................

5) E   
.........................................................................................................................................................................

เซต 3

แบบฝก หัดท่ี 1
1. จงเขียนเซตตอไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชิก

2. จงบอกจาํ นวนสมาชกิ ของเซตตอ ไปน้ี

3. จงเขยี นเซตตอไปนแี้ บบบอกเงอื่ นไขของสมาชกิ

เซตจํากดั และเซตอนนั ต
เราเรยี กเซต A วา เปน เซตจาํ กดั (finite set) กต็ อเม่ือ A  หรอื

A มจี าํ นวนสมาชกิ เปนจํานวนเตม็ บวกใด ๆ เชน
สว นเซตท่ไี มใชเ ซตจํากดั เราเรียกวา เซตอนนั ต (infinite set) เชน

เซต 4

ตัวอยาง จงพจิ ารณาวาเซตตอไปนเ้ี ปนเซตจาํ กดั หรอื เซตอนนั ต

1) 1,2,3,4,....,300 ตอบ ................................................................

2) 1,1, 1,1,...... ตอบ ................................................................

3)   ตอบ ................................................................

4) 1, 1,1,1, 2,3,.....  ตอบ ................................................................

5) เซตของวงกลมทม่ี จี ุดศนู ยกลางรวมกนั ตอบ ................................................................

6) เซตของจํานวนคบู วกท่มี คี าไมเ กิน 10 ตอบ ................................................................

7) เซตของจํานวนคูท่มี ี 8 เปน หลักรอ ย ตอบ ................................................................

8) เซตของจาํ นวนเตม็ ทอ่ี ยรู ะหวา ง 2 กบั 5 ตอบ ................................................................

9) เซตของจํานวนท่ีอยรู ะหวาง 2 กบั 5 ตอบ ................................................................

10) x | x 4 ตอบ ................................................................

ลองทาํ ดู

เซตทก่ี าํ หนดใหต อ ไปน้ี เซตใดบางท่ีเปนเซตอนนั ต

(i) A1,2,3,....,999999 (ii) B  x   | x  0

(iii) C x |5x 5 (iv) D x   |5x 5

(v)  (vi) E  1, 2,3, 4,....

เซตทเ่ี ทากนั (Equal sets / Identical sets)

กาํ หนดให A 0,1,2,3 และ B 1,0,3,2 เซตทงั้ สองนีม้ ีสมาชกิ เหมือนกันทุกตวั แมล าํ ดับ
ของสมาชิกจะตา งกันกถ็ ือวา เซตท้ังสองคอื เซตเดยี วกนั หรือกลา วไดว า เซต A กบั เซต B เปน เซตท่เี ทากัน
(Equal sets / Identical sets) หรอื เซต A เทากบั เซต B เขียนแทนดวย AB
ขอสังเกต

1. เซต 1,2,1,2,3,1,2,1,2,1 เปน เซตท่ีไมตางจากเซต 1,2,3 เพื่อความสะดวกเราจะเขียนเซต

ทม่ี สี มาชกิ ในเซตเดยี วกนั ซํา้ กนั เพียงครง้ั เดยี ว เชน 1,2,1,2,3,1,2,1,2,1 เขียนแทนดวย 1,2,3
2. การสลบั ลําดบั ระหวา งสมาชิกภายในเซตเดยี วกนั ไมท าํ ใหเซตเปล่ยี นแปลง เชน

A  0,1, 2,3 และ B 1,0,3,2
3. การนาํ เซตบางเซตมาเขียนแบบบอกเงอื่ นไขของสมาชิก อาจเขยี นไดม ากกวา 1 แบบ เชน

1,2,3 อาจเขยี นไดเปน {x | x เปน จํานวนนับท่นี อ ยกวา 4} หรืออาจเขยี นเปน {x   | 0  x  4}

เซต 5

บทนิยาม
เซต A เทากับเซต B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เปน สมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของ
เซต B เปนสมาชิกของเซต A

เซต A ไมเทา กบั เซต B หมายถงึ มสี มาชิกอยางนอ ย 1 ตัวของเซต A ทไี่ มเปนสมาชกิ ของเซต
B หรือมสี มาชกิ อยา งนอย 1 ตัวของเซต B ทไี่ มเปนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว ย A B

เชน กาํ หนดให A0,1,2,3 และ B 1,2,3,4
จะเห็นไดว า 0 A แต 0  B และในทํานองเดียวกนั 4B แต 4  A
นั่นคือ A B

ตัวอยางที่ 1 จงพจิ ารณาวาเซตในขอใดบางเทากนั และเซตในขอ ใดบางไมเ ทา กัน

1) A1,2,3 และ B 3,2,1 ตอบ .....................................

2) C p,o,s,t และ D s,t,o, p ตอบ .....................................

3) E 1234 และ F  1,2,3, 4 ตอบ .....................................

4) A10,20,30,40,.... ตอบ .....................................
และ B  {x | x เปน จาํ นวนเต็มท่ีหารดวย 10 ลงตัว}

ตวั อยา งที่ 2 ให S 2,4,6,....,16 และ T  {x | x เปนจาํ นวนคบู วกทม่ี คี า นอยวา 20}
จงพจิ ารณาวาเซต S เทากับเซต T หรือไม
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

เซต 6

แบบฝกหัดที่ 2
1. เซตตอ ไปน้ีเซตใดเปน เซตจํากดั เซตใดเปน เซตอนนั ต
2. เซตตอ ไปน้เี ซตใดเปน เซตวาง
3. จงพิจารณาวา เซตในขอ ใดบา งเทา กนั และเซตในขอ ใดบา งไมเ ทากนั

เซต 7

สบั เซต (Subsets)

คําถามชวนคดิ

กาํ หนดเซต Aa,b,c มาให เพื่อน ๆ คิดวาจะมเี ซตใดบางทเ่ี ปน เซตท่ไี มม สี มาชกิ หรือมีสมาชกิ จํานวน
ไมม ากกวาจํานวนสมาชิกในเซตA โดยท่ีสมาชิกในเซตเหลา นีจ้ ะตองเปนสมาชกิ ในเซต A ดว ย
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

กาํ หนดให Aa,b,c และ B a,b จะเห็นวา สมาชกิ ท้งั หมดของเซต ............ ตางกเ็ ปน
สมาชกิ ในเซต ............. ในกรณดี ังกลา วนี้ กลา วไดว า เซต B เปนสบั เซต (Subset) ของเซต A
เขยี นแทนดว ยสญั ลกั ษณ B  A

บทนยิ าม
เซต A เปนสบั เซตของเซต B กต็ อเมอ่ื สมาชิกทุกตวั ของเซต A เปน สมาชิกของเซต B

กรณี เซต A เปนสบั เซตแทของเซต B
ถา A  B และ AB แลว เซต A เปน สบั เซตแทของเซต B

ตวั อยา งเชน กําหนดให Aa,b และ B a,b,c
จะไดวา A  B และ A B
น่นั คอื เซต A เปนสบั เซตแทข องเซต B

กรณี เซต A ไมเ ปนสบั เซตของเซต B
เซต A ไมเปนสับเซตของเซต B กต็ อเม่อื มีสมาชกิ อยา งนอ ย 1 ตัวในเซต A ท่ไี มเ ปนสมาชิกของเซต B

ตัวอยางเชน กาํ หนดให Aa,b,c และ B a,b,1
จะเหน็ ไดว า c  B จะได A  B
น่นั คือ เซต A ไมเ ปนสับเซตของเซต B

หมายเหตุ 1) เซตทุกเซตเปน สบั เซตของตวั มนั เอง น่ันคือ ถาเซต A เปน เซตใด ๆ แลว A  A
2) เซตวา งเปน สับเซตของทกุ ๆ เซต นน่ั คอื ถาเซต A เปน เซตใด ๆ แลว   A
3) ถา A  B และ B C แลว A C
4) เซต A เทากบั เซต B กต็ อ เม่ือ สมาชกิ ทุกตัวของเซต A เปน สมาชกิ ของเซต B และ
สมาชิกทุกตัวของเซต B เปน สมาชกิ ของเซต A
นน่ั คือ A  B ก็ตอเม่ือ A  B และ B  A

เซต 8

ตวั อยางท่ี 1 : จงหาสบั เซตท้ังหมดของเซตท่ีกําหนดใหต อไปนี้

1) A1,2 2) A1,2,3

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

3) A7,8,9 4) A  x   | x 2  2

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

5) A1,1 6) A  ,

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

………………………………………………………………. ……………………………………………………………….

ลองทําดู : ให A2,4,6,8 จงพจิ ารณาวา ขอ ความตอไปนถี้ ูกหรอื ผิด

.............. 1) 6A .............. 2) 6A

.............. 3) 8 A .............. 4)   A

.............. 5) 2,4A .............. 6) 8,4A

แบบฝกหัดที่ 3

1. ให A2,4,5,4 จงพจิ ารณาวา ขอ ความตอ ไปน้ีถูกหรือผิด

2. จงหาสับเซตทั้งหมดของเซตทกี่ ําหนดใหต อ ไปน้ี

1) 4,5 2) 4,5

3) x   | 1x 1 4) 4,5

5) 0, 6) 1,1,1,1

3. ใหเ ซต A เปน เซตจาํ กัดใด ๆ และเซต B เปนเซตอนนั ตใด ๆ ขอ ความตอไปนถี้ ูกหรือผิด

และยกตวั อยา งประกอบ

1) มเี ซตจาํ กดั ท่เี ปน สบั เซตของ A 2) มีเซตจาํ กัดท่ีเปน สบั เซตของ B

3) มเี ซตอนันตท เี่ ปนสับเซตของ A 4) มเี ซตอนนั ตท ่ีเปน สับเซตของ B

เซต 9

เพาเวอรเซต (Power Set)

ชวนคดิ : กําหนดใหเซต As,t และเซต B X | X A จงเขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชกิ
.......................................................................................................................................................................

เราเรยี กเซตของสับเซตทัง้ หมดของเซต A วา เพาเวอรเ ซต (Power Set) ของเซต A
เขียนแทนดวย PA
ตัวอยา งท่ี 1 กําหนดให A   จงหา PA
สับเซตทัง้ หมดของเซต A คือ ...........................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ดงั น้ัน P A………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวั อยางท่ี 2 กําหนดให B  1 จงหา PB
สับเซตท้ังหมดของเซต B คอื ...........................................................................................................................
ดงั นนั้ PB………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตัวอยางท่ี 3 กาํ หนดให C 1,2 จงหา PC
สบั เซตท้งั หมดของเซต C คือ ...........................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ดังนน้ั PC ………………………………………………………………………………………………………………………………….
.............................................................................................................................................................................

ตัวอยา งที่ 4 กาํ หนดให D  1,2,3 จงหา PD
สับเซตทั้งหมดของเซต D คอื ...........................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ดังนน้ั PD………………………………………………………………………………………………………………………………….
.............................................................................................................................................................................

ตวั อยา งท่ี 5 กําหนดให E 1,1 จงหา PE

สบั เซตทง้ั หมดของเซต E คอื ...........................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
ดังน้ัน PE………………………………………………………………………………………………………………………………….
.............................................................................................................................................................................

เซต 10

ชวนคดิ

ลองพิจารณาตัวอยางท่ี 1 – 3 พบวา
nA................ n P A  ................ ซง่ึ เขยี นไดในรูป 2........
n B  ................ nP B ................ ซง่ึ เขยี นไดใ นรปู 2........

n C   ................ nP C  ................ ซง่ึ เขยี นไดในรูป 2........
nD ................ nP D  ................ ซง่ึ เขียนไดในรูป 2........
n E  ................ nP E  ................ ซง่ึ เขียนไดใ นรปู 2........
เพอ่ื น ๆ คิดวา ถา เซต S มจี ํานวนสมาชิกเทากับ k ตัว
แลวจาํ นวนสมาชกิ ของ PS จะเทากับ ............. ตวั

ขอสังเกตเพิ่มเติมเกี่ยวกับเพาเวอรเซต

1. ถาเซต A เปนเซตใด ๆ แลว PA

2. ถา เซต A เปน เซตใด ๆ แลว PA

3. ถา เซต A เปนเซตใด ๆ แลว APA

แบบฝกหดั ท่ี 4

1. จงหาเพาเวอรเ ซตของเซตท่กี าํ หนดใหต อ ไปนี้

1) A 4 2) B a,b,c

3) P 4) A1,2,

2. กําหนดให A,1,2,3 ขอความตอไปนถ้ี ูกหรือผิด

1) PA 2) PA

3) APA 4) 2,3PA

5) 2PA 6) PA

7) ,1P A 8) n P A  16

3. กาํ หนดให A , B เปนเซตใด ๆ ขอ ความตอไปนี้ถกู หรือผิด

1) PA 2) PA

3) APA 4) ถา A  B แลว PAPB

5) มเี ซต A ทท่ี ําให PA 6) มเี ซต A ท่ที าํ ให PA 

7) มเี ซต A ทท่ี ําให n P A  32 8) มเี ซต A ทท่ี าํ ให n P A  300

4. จงยกตวั อยา งเซต A และเซต B ทท่ี ําให A  B และ APB

เซต 11

สรปุ
การเขยี นเซตโดยทัว่ ไปเขียนได 2 แบบ คือ แบบแจกแจงสมาชกิ และแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก
แบบแจกแจงสมาชิก เชน
..........................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
แบบบอกเง่อื นไขของสมาชกิ เชน
..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................
เซตทมี่ ีจาํ นวนสมาชิกเทากับศูนยห รอื เซตทม่ี จี ํานวนสมาชิกเปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ เรียกวา เซตจาํ กัด
เซตทไี่ มใชเซตจาํ กดั เรยี กวา เซตอนันต
เซตจํากัด เชน ........................................................................................................................................
เซตอนันต เชน ........................................................................................................................................

เซตจํากดั ที่มีจาํ นวนสมาชกิ เทากบั ศูนย เรียกวา เซตวาง เขียนแทนดว ยสญั ลักษณ ...........................................

เซตวา ง เชน ........................................................................................................................................

สับเซต

บทนยิ าม

เซต A เปนสับเซตของเซต B กต็ อ เม่ือ สมาชกิ ทุกตัวของเซต A เปน สมาชิกของเซต B

ตัวอยา ง A เปน สบั เซตของเซต B

..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

ตัวอยา ง A ไมเ ปน สบั เซตของเซต B

..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

เพาเวอรเ ซตของเซต A เขยี นแทนดว ย P A หมายถงึ

เซตที่ประกอบดว ยสมาชิกที่เปนสับเซตของเซต A

ถา เซต A มีสมาชิก n ตวั แลว P Aจะมีจํานวนสมาชิก 2n ตวั

กําหนด A  …………………………………………………………………………………………………………………….

จะได P A …………………………………………………………………………………………………………………….

จะไดว า n P A  ……………………………..

เซต 12

แบบฝก ทกั ษะ

1. กําหนด A, B เปน เซตท่ีมีลกั ษณะ A  B และ AB ถา x Aและ y  B แลว ขอความตอ ไปนถ้ี กู

หรือผิด

1) xB 2) yA

3) AB 4) A  B

2. ให A,a,b,a,a,b ขอ ความตอไปนถ้ี กู หรือผิด

1)   A 2) a,b A

3) A 4) a,b A แต a,bA

3. ให S 1,2,3,4,5,6,7 และกําหนด X {APS|1Aและ 7  A}
และ Y  {A  X | ผลบวกของสมาชกิ ภายใน A ไมเ กิน 6} จงหา nXและ nY

เอกภพสัมพัทธ

เราเรียกเซตที่กาํ หนดขอบเขตของสิง่ ทเ่ี ราจะพจิ ารณาวา เอกภพสมั พัทธ (relative universe) เขยี น

แทนดว ยสญั ลกั ษณ U โดยมขี อตกลงวา เม่ือกลาวถงึ สมาชกิ ของเซตใด ๆ เราจะไมก ลาวถึงสง่ิ อน่ื ที่

นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสมั พัทธ ในกรณที ่ีพดู ถึงเซตของจํานวน
ตวั อยา งที่ 1 และไมไดร ะบุเอกภพสมั พทั ธ

ในบทน้ใี หถือวาเอกภพสัมพทั ธค ือ

เซตของจาํ นวนจริง

ตัวอยา งท่ี 2 จงเขยี นเซต A ในแตล ะขอ ตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1) Ax |5x 5 เมอื่ U 2,1,0,1,2
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
2) Ax |x 5 เมือ่ U  4,5,6,7,.....,100
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
3) Ax |x 3 เมือ่ U  
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

เซต 13

แผนภาพเวนน- ออยเลอร (Venn-Euler Diagrams)
แผนภาพออยเลอร เปน แผนภาพทใี่ ชใ นการอธบิ ายความสัมพนั ธข องเซตตาง ๆ

โดยใหรูปวงกลม รปู วงรี หรือรูปปด ใด ๆ แตละรปู แทนแตล ะเซต
และแสดงความสัมพันธข องแตล ะเซตดว ย การครอบซ่ึงแสดงความเปนสบั เซต
การทับซอนกัน หรือการไมทับซอนกนั ซง่ึ แสดงวา ทั้งสองเซตไมม ีความสัมพนั ธก นั
ลกั ษณะแผนภาพวงกลมเชนนีเ้ ช่ือวา ถกู ใชค ร้งั แรกโดยนกั คณิตศาสตรช าวสวิสนาม
วา เลออนฮารด ออยเลอร

แผนภาพเวนน จอหน เวนนไ ดร ับแรงบันดาลใจจากนักคณิตศาสตร
และนกั ตรรกศาสตรชาวสวสิ แหง ศตวรรษท่ี 18 ที่ชื่อเลออนฮารด ออยเลอร
ซง่ึ ใชแ นวทางท่ีคลา ยกนั จัดระเบยี บขอมลู ดวยวงกลม และเวนนเ รียกสิ่งทเี่ ขาคิดคน ข้ึนมาวา
"วงกลมออยเลอรเ รยี น" ประมาณ 30 ปต อมา ช่อื แผนภาพเวนนถ ึงไดร ับการบญั ญตั ขิ นึ้ มา

ความแตกตางระหวา งแผนภาพเวนน และ แผนภาพออยเลอร
ทงั้ สองแผนภาพนมี้ กั เปนทีน่ ิยมใชใ นเรื่องเซต รวมถงึ การใหเหตุผล แตมสี ่งิ ทแ่ี ผนภาพทั้ง 2 ชนดิ
แตกตา งกันเลก็ นอยคือ แผนภาพเวนน จะแสดงบรเิ วณที่สามารถเกดิ ข้นึ ไดทง้ั หมดของความสัมพันธร ะหวา ง
เซตตา ง ๆ ในขณะที่ แผนภาพออยเลอร จะแสดงเฉพาะความสมั พนั ธระหวา งเซตตา ง ๆ ที่เรามอี ยู
ตวั อยา งเชน A 1,3,5,7 , B 2,4,6,8และ C  5
เขยี นเปน แผนภาพเวนน และแผนภาพออยเลอร ไดดงั นี้

แผนภาพเวนน แผนภาพออยเลอร

ขอสังเกต แผนภาพเวนนจ ะยังมีสว นทเี่ ซต A และเซต B ซอ นทับกัน ถงึ แมว า จะไมมสี มาชกิ รวมกันกต็ าม

แตแ ผนภาพออยเลอรจะแสดงเฉพาะความสัมพนั ธระหวา งเซต ท่ีเรามีอยูเ ทา นัน้ และเรยี กความสัมพันธ

ระหวา งเซต A กับเซต B วา เปน เซตท่ไี มมีสว นรวม (Disjoint sets)

การเขยี นแผนภาพแสดงเซตมักจะแทนเอกภพสัมพทั ธ U

ดว ยรปู ส่เี หลย่ี มผนื ผา หรอื รปู ปดใด ๆ สาํ หรบั ในเนอื้ หาในเอกสาร
ประกอบการเรยี นนี้
สวนเซตอน่ื ๆ ซ่งึ เปน สบั เซตของ U น้นั เราจะเรยี ก แผนภาพเวนน- ออย
อาจเขียนแทนดวยวงกลม วงรี หรือรปู ปด ใด ๆ

เลอร หรอื แผนภาพ นะครับ

เซต 14

พิจารณาแผนภาพเวนน- ออยเลอร และความสัมพันธระหวางเซตตอ ไปนี้

จากรูป เซต A และเซต B เปน เซตท่ไี มม สี มาชกิ เซต A และเซต B มสี มาชิกบางสวนรว มกนั

รว มกนั แต A  B และ B  A

สมาชิกทุกตวั ในเซต B เปนสมาชิกในเซต A สมาชิกทกุ ตัวในเซต A เปนสมาชกิ ในเซตB
จะไดวา ........... ............ และสมาชกิ ทุกตวั ในเซต B เปน สมาชกิ ในเซต A
จะไดวา ......................................

ตัวอยา ง กําหนดให U 1,2,3,4,5,6,7,8 จงเขียนแผนภาพตามเงอ่ื นไขที่กาํ หนดในแตล ะขอ ตอไปน้ี

1) A1,3,5 2) A1,3,8 U
B  2, 4,6 U B 2,4,6,8

3) A1,2,3,4,5 4) A 1, 2,3, 4 U
B 3,4,5 B 1,3,4
U

5) A 5,7 U
B 4,5,6,7

เซต 15

6) A1,3,5 7) A1,2,3,4,5 U
B  2, 4,6 U B 1,2,3
C  8
C  1

8) A1,2 9) A2,3,5,6
B 3,4,6,7
B 2,3 U U
C 3,4,5,6 C 5,6,7,8

10) A1,2,3,5,7 U
B 4,5,6,7

C 2,3,5,7

ลองทําดู

กาํ หนดให U 1,2,3,4,5,6,7,8 จงเขียนแผนภาพตามเง่อื นไขที่กําหนดในแตล ะขอ ตอ ไปนี้

1) A1,2 ,B  2, 4,6 และ 2) A1,3,8 ,B 2,4,6,8

C 7,8 C 7,8 และ D  1,5,6,8

(ขอ 1 ใหล องเขียนเปน แผนภาพออยเลอร)

UU

3) กาํ หนดให U x | 0x 16 U
A  1, 2, 5, 8, 9,12,13,15
B  2,3,10,11,12,13,14,15
C 6,7,8,9,10,11,12,13
D 4,5,7,8,11,12,14,15

เซต 16

แบบฝก หดั ท่ี 5
1. กําหนดให U 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10

A  2, 4,6
B  1,3,5,9
จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร แสดงเซต A และ B

2. จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอร แสดงเซตตอไปน้ี เมอ่ื U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

3. จากแผนภาพทก่ี าํ หนดให

4. สมมติวาแจแปนมีวัวอยู 10 ตัว (หมายเลข 1 ถึง 10) ถา เขาตองการลอ มรว้ั 4 ร้ัว คือ A, B, C และ D

(แตล ะรว้ั วางซอ นทบั กันได) และมเี ง่อื นไขดังตอไปนี้

(i) รัว้ A ลอมววั ทั้ง 10 ตัว (ii) ววั หมายเลข 1 และ 4 อยูรั้ว B แตไมอ ยรู ้วั D

(iii) ในรัว้ C มีววั หมายเลข 2, 4, 7, 5, 10 (iv) วัวหมายเลข 3 อยูในรวั้ A, D แตไ มอยูในร้วั B, C

(v) ววั หมายเลข 4, 5, 6 ถูกร้ัว 3 ร้วั ลอ มเอาไว

(vi) วัวหมายเลข 7 ถูกรวั้ ท้ัง 4 ร้วั ลอ มเอาไว

จงเขยี นแผนภาพจากเง่ือนไขท่กี ําหนดให

5. จงเขยี นแผนภาพเวนน- ออยเลอรของเซตท่ีมีความสัมพันธตามทก่ี ําหนดให 17
1) A  B  C โดยที่ A  B, A  C และ B  C
2) A, B,C ตา งเปนเซตท่ีมีสมาชิกบางตัวเหมอื นกนั
3) A  B และ C  B แต A กบั C ไมมสี มาชิกรว มกันเลย และมสี มาชิกบางตวั ของ B
ท่ไี มอยใู น A กับ C

เซต

การดําเนินการระหวางเซต

ตงั เมรสู กึ สงสยั เหมอื นเราไหมวา ออ เรอ่ื งเซต ก็มกี ารดาํ เนนิ การ ออ งน้ั เหรอ
ระหวา งเซตเหมือนกนั นะ
ทําไมเรยี นเรอื่ ง เซต ไมเหมอื น แตไมใ ชก ารบวก ลบ คณู หาร
คณิตศาสตรบทอื่น ๆ เลยละ เฉยๆ

ทําไมเหรอ?

กต็ อน ม. ตน เราเรยี น การบวก
ลบ คูณ หาร เยอะแยะ ทําไมพอ
มาเรยี น ม.4 ไมเ หน็ จะเจออะไร
แบบนน้ั เลยละ

เราจะสามารถสรางเซตใหมจ ากเซตที่กาํ หนดให ซงึ่ มีเอกภพสมั พัทธเดียวกันไดดงั นี้

1) อนิ เตอรเ ซกชัน (Intersection) 2) ยูเนียน (Union)

3) คอมพลเี มนต (Complement) 4) ผลตางระหวา งเซต (Difference of sets)

1) อินเตอรเ ซกชนั (Intersection)
อนิ เตอรเซกชนั ของเซต A และเซต B คอื เซตที่ประกอบดวยสมาชิกซึ่งเปนสมาชิกของท้งั เซตA

และเซต B ซึ่งอนิ เตอรเซกชนั ของเซต A และเซต B เขียนแทนดว ย AB

บทนยิ าม
A  B  {x | x A และ x  B }

ตวั อยา งที่ 1 กาํ หนด U 1,2,3,.....,11,12 , A1,3,5,7,9 และ B 7,8,9,10
จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรแ สดงเซต พรอ มแรเงาบรเิ วณเซต AB

จะได : AB 7,9

ตวั อยางท่ี 2 กาํ หนด U 1,2,3,4,5 , A1,3,5 , B 2,4
จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรแสดงเซต พรอ มแรเงาบรเิ วณเซต AB

จะได : AB  ............................

เซต 18

2) ยูเนียน (Union)
ยเู นยี นของเซต A และเซต B คือ เซตทีป่ ระกอบดว ยสมาชิกของเซต A หรอื สมาชิกของเซต B

ซง่ึ ยเู นยี นของเซต A และเซต B เขียนแทนดว ย AB
บทนิยาม

A  B  {x | x A หรอื x  B }
ตวั อยางท่ี 1 กําหนด U 1,2,3,.....,11,12 , A1,3,5,7,9 และ B 7,8,9,10
จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรแ สดงเซต พรอมแรเงาบริเวณเซต AB

จะได : AB  ............................

ตัวอยา งที่ 2 กําหนด U 1,2,3,4,5 , A1,3,5 , B 2,4
จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรแสดงเซต พรอมแรเงาบริเวณเซต AB

จะได : AB  ............................
ตวั อยางที่ 3 กําหนด U 1,2,3,.....,11,12 , A1,3,5,7,9 ,B  7,8,9,10 และ
C 1,5,6,11 จงตอบคําถามตอไปน้ี
1) เขยี นแผนภาพเวนน-ออยเลอรแสดงเซต และแรเงาบรเิ วณ ABC
2) เขยี นเซต ABC แบบแจกแจงสมาชกิ
วธิ ีคดิ

นค่ี อื บรเิ วณของเซต AB นีค่ อื บรเิ วณของเซต C จะไดบ รเิ วณ ABC

จะได : ABC ..................................
เซต 19

3) คอมพลีเมนต (Complement)
ใหเ ซต A เปนสบั เซตของเอกภพสัมพัทธ U (เซต A เปนเซตท่ีมี U เปน เอกภพสมั พทั ธ) เราจะ

เรียกเซตซงึ่ ประกอบดวยสมาชกิ ทเี่ ปน สมาชิกของ U แตไ มเ ปนสมาชิกของเซต A วา คอมพลเี มนต
(Complement) ของเซต A เมอื่ เทยี บกบั U หรอื คอมพลเี มนตข องเซต A

ซ่งึ คอมพลเี มนตข องเซต A เขียนแทนดว ย A' (ในหนงั สือบางเลม อาจใชส ญั ลักษณ AC,A)

บทนิยาม

A '  {x U | x  A}

ตวั อยา งที่ 1 กําหนด U 1,2,3,.....,11,12 , A1,3,5,7,9 และ B  2, 4,6
จงเขยี นแผนภาพเวนน-ออยเลอรแ สดงเซต พรอมแรเงาบริเวณเซต A' และ B'

จะได : A'  ............................ จะได : B '  ............................

ตัวอยางที่ 2 กาํ หนด U 1,2,3,4,5 , A1,3 , B 2,4
จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรแสดงเซต พรอมแรเงาบริเวณเซต AB'

จะได : AB' ............................ 20
เซต

4) ผลตา งระหวางเซต (Difference of sets)

ผลตางระหวางเซต A และเซต B คือ เซตทปี่ ระกอบดว ยสมาชิกของเซต A แตไมเ ปน สมาชิก
ของเซต B ซงึ่ ผลตา งระหวา งเซต A และเซต B เขยี นแทนดว ย AB

บทนิยาม

A  B  {x U | x A และ x  B}

ขอสงั เกต AB  {x U | x A และ x  B}
 {x U | x A และ x  B '}

 AB '

ตัวอยางท่ี 1 กาํ หนด U 1,2,3,.....,11,12 , A1,3,5,7,9 และ B 7,8,9,10
จงเขยี นแผนภาพเวนน-ออยเลอรแ สดงเซต พรอมแรเงาบริเวณ AB

จะได : AB 1,3,5

ตวั อยางท่ี 2 กําหนด U 1,2,3,4,5 , A1,3,5 , B 2,4
จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรแสดงเซต พรอมแรเงาบริเวณ AB

จะได : AB  ............................

ตวั อยางที่ 3 กาํ หนด U 1,2,3,4,5 , A1,3,5 , B 1,3
จงเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรแ สดงเซต พรอ มแรเงาบริเวณเซต AB และ BA

จะได : AB  ............................ จะได : B A  ............................
เซต
21

ลองทาํ ดู
1. จากแผนภาพท่กี าํ หนดให จงเขยี นเซตตอไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชกิ

1) AB =…………………………………………..

2) ABC =…………………………………………..

3) ABC =…………………………………………..

4) AB =…………………………………………..

5) AB =…………………………………………..

6) B A' =…………………………………………..

7) ABBA =…………………………………………..

8) A  B C  ' =…………………………………………..

2. จงเขียนแผนภาพออยเลอร สาํ หรบั เซต A และ B ใด ๆ ตามเงือ่ นไขท่ีกาํ หนด

1. A  B   2. A  B   และ A  B

UU

3. A  B  B แต A  B 4. A  B  B แต A  B
U U

เซต 22

การแรเงาแผนภาพแทนเซต
ตัวอยา งท่ี 1 จงแรเงาแผนภาพสวนทแ่ี ทนเซตในแตละขอตอไปน้ี

ตัวอยางที่ 2 กําหนดให A 5,6,7
B  {x | x เปน จํานวนคที่ มี่ ากกวา 2 แตนอยกวา8 }

และ C  {x | x  3n  2 เม่อื n1,2,3} จงหา  AB C (O-net 63)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
เซต 23

ลองทําดู จงแรเงาแผนภาพสวนท่ีแทนเซตในแตละขอตอไปนี้
เซต 24

แบบฝกหดั ท่ี 6
1. ให U 1,2,3,4,5,6,7 จงเขียนแผนภาพเพ่อื แทนเซตตอ ไปนี้
2. ให U 0,1,2,3, 4,5,6,7,8 , A  0, 2, 4, 6,8 , B  1,3,5,7 และ C 3,4,5,6
จงเขียนเซตตอ ไปนแ้ี บบแจกแจงสมาชิก
3. จงแรเงาแผนภาพสวนทแ่ี ทนเซตในแตละขอ ตอไปนี้

เซต 25

4. จงเขียนเคร่ืองหมาย  หากแผนภาพทก่ี าํ หนดใหหมายถงึ ABC 26
หากไมใ ช ABC ใหใสเ ครอ่ื งหมาย 
1) 2) 3)

4) 5)

เซต

สมบัตขิ องการดําเนนิ การระหวา งเซต

กฎทางพีชคณิตของเซต

ใหเ ซต A , B และเซต C เปนเซตใด ๆ ทเี่ ปนสบั เซตของเอกภพสัมพทั ธ U กฎทางพชี คณิตของ

เซตตอไปนี้ เปนจรงิ (มีการพิสูจนท างคณติ ศาสตรแลว )

จงยกตัวอยา งเพื่อแสดงวา กฎตอไปนเ้ี ปนจริง

1. กฎไอเดมโพเทนต (Idempotent laws)

1.1) AAA 1.2) AAA

ตวั อยา งเชน ตัวอยางเชน

A  1, 2, 3 A  1, 2, 3

AA  ............................. AA  .............................

2. กฎการสลบั ท่ี (Commutative laws) 3.2) AB BA
3.1) AB  B A ตัวอยางเชน
ตวั อยางเชน A1,2,3 และ B  2,3, 4
A1,2,3 และ B  2,3,4
AB  .............................
AB  .............................
B A  .............................
B A  .............................
จะเห็นไดว า AB BA
จะเห็นไดวา AB B A
3. กฎการเปลยี่ นกลุม (Associative laws) 2.2) ABC AB C
2.1) ABC AB C ตวั อยา งเชน
ตวั อยางเชน A1,2,3 , B  2,3, 4 และ C 3,4,5
A1,2,3, B  2,3, 4 และ C 3,4,5

AB  ............................. AB  .............................

ABC ............................. ABC .............................

B C  ............................. B C  .............................

AB C ............................. AB C .............................

จะเห็นไดว า จะเห็นไดวา

ABC AB C ABC AB C

NOTE: สาํ หรบั ABC และ ABC ทม่ี ีสมบตั ิการเปลีย่ นกลุม ดงั นั้นเราสามารถเขยี น

แทน ABC และ ABC ดวยAB C ไดอยางไมก ํากวม และในทาํ นองเดยี วกัน

จะไดวา ABC AB C  AB C

เซต 27

4. กฎการแจกแจง (Distributive laws)

4.1) ABC ACB C 4.2) ABC ACB C

ตวั อยา งเชน ยกตัวอยางเปน แบบฝกหัด

A1,2,3, B  2,3,4 และ C 3,4,5 ..............................................................................
..............................................................................

AB  ............................. ..............................................................................
..............................................................................
ABC .............................

AC ............................. ..............................................................................

B C  ............................. ..............................................................................
..............................................................................
ACB C ............................. ..............................................................................
จะเห็นไดว า ..............................................................................
ABC ACB C 

NOTE : จะไมเขียน AB C เพราะโดยท่ัวไป ABC AB C (ไมมีสมบัติ

เปลี่ยนกลมุ ) หากไมใสวงเล็บจะทําใหเกดิ ความกํากวมในลําดบั การดาํ เนนิ การกอน-หลงั

5. กฎการมเี อกลักษณ (Identity laws) 5.2) AU A
5.1) AA 5.4 A
5.3 AU U

6. กฎเดอมอรแ กน /เดอร มอรก อง (ตามภาษาฝรัง่ เศส)/ (De morgan’s laws)

6.1) AB'  A'B ' 6.2) AB'  A'B '

พิจารณาจากแผนภาพ พิจารณาจากแผนภาพ

เซต 28

7. กฎการคอมพลีเมนต (Complement laws) 7.2) AA'  
7.1) AA' U ยกตวั อยา งเปน แบบฝก หัด

กาํ หนดให U 1,2,3,4,5 และ A2,3,4 7.4) U '
7.6) AB '  AB
A'  .............................

AA'  .........................

7.3) A''  A
7.5) ' U

ชวนคดิ

ใหเ ซต A , B เปน เซตใด ๆ กาํ หนดการดําเนินการ AB นยิ ามโดย AB ABB A
1) จงวาดแผนภาพเวนน-ออยเลอร แสดงเซต AB

U

2) ขอ ความตอ ไปนี้ ขอใดเปนจริง ขอใดเปนเทจ็ 29
(i) …….. AA
(ii) …….. AA
(iii) …….. การดําเนินการ มสี มบตั ิสลบั ท่ี
(iv) …….. การดาํ เนินการ  มสี มบัตเิ ปล่ยี นกลุม
(v) …….. ถา A B จะไดว า AB AB
(vi) …….. ถา A  B จะไดวา AB AB

เซต

แบบฝกหัดทา ทาย

1. ขอความท่ีกาํ หนดใหต อ ไปนี้ ขอ ใดเปนจรงิ ขอ ใดเปนเทจ็ จงยกตวั อยา งประกอบ

(โดยยกตวั อยา งเซต หรือวาดแผนภาพก็ได) **(ถาขอ ความน้นั เปน เทจ็ ตอ งยกตัวอยางคา นเทา นน้ั !)**

1) ถา AB แลว A  B

2) ถา AB  แลว A   และ B 

3) ถา ABBAC แลว AC B C

4) ถา A  B C แลว AC B C

5) ถา A  B C แลว AC B C

6) ถา AC B C แลว A  B

7) ถา A  B แลว B '  A '

8) ถา AB ' แลว ABU

9) ถา AB เปนเซตอนันต แลว A และ B เปน เซตอนนั ต

10) ถา A และ B เปน เซตอนนั ต แลว AB เปนเซตอนนั ต

11) มเี ซต A และ B ทเ่ี ปน เซตอนันต แลว AB เปน เซตจํากัด

12) มีเซต A และ B ท่เี ปน เซตอนันต แลว AB เปน เซตจาํ กัด

13) ถา A C แลว AB C B

2. ใหเ ซต A , B และ C เปน สบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ U ขอใดถกู ตองบา ง

1) AB CABAC 2) ABC ACBC

3) AB CAB 'C ' 4) ABC ABC

จํานวนสมาชิกในเซตจํากัด
ในหัวขอ นีเ้ ราจะใชแ ผนภาพเวนน-ออยเลอร มาชว ยในการหาจํานวนสมาชิกของเซต ลกั ษณะของ

ปญ หาในหัวขอ น้ีจะเปน การกาํ หนดจาํ นวนสมาชดิ ของสวนตา ง ๆ บางสว นมาให แลวใหเราหาจาํ นวนสมาชกิ
ในสวนที่โจทยตองการ
ชวนคิด 1 กําหนดแผนภาพดงั น้ี

เซต 30

ชวนคดิ 2
ใหนาํ ตัวอักษรหนา Keyword ไปจับคกู ับแผนภาพทสี่ อดคลอ งกบั Keyword นัน้ ๆ

ตอนท่ี 1 (B) B (C) A และ B (D) A หรือ B (E) A หรอื B เพยี ง
(G) B แตไม A (H) ไม A (I) ไม B อยา งเดียว
(A) A
(J) ไมทงั้ A และ B
(F) A แตไ ม B

ตอบ A ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ...................

ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ...................
ตอนท่ี 2
(L) ท้งั A และ B และ (M) A หรอื B (N) A เพยี งอยางเดียว (O) A หรอื B
(K) A C หรอื C
หรือ C เพยี งอยา ง
(P) A และ C
เดยี ว

(Q) A และ C (R) ไม A (S) A หรือ B (T) ไมท้งั A, B
แตไ ม B
แตไ ม C และ C

ตอบ K ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ...................

ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ................... ตอบ ...................

เซต 31

ชวนคดิ

ใหเพอื่ น ๆ ลงสีในแผนภาพตามขน้ั ตอนตอไปนี้ โดยใชปากกาสที แ่ี ตกตา งกันในแตล ะขน้ั ตอนนะครบั
(i) ลงสบี ริเวณเซต A ดว ยปากกาสีท่ี 1
(ii) ลงสีบรเิ วณเซต B ดวยปากกาสีท่ี 2

บริเวณของเซตใดตอไปนีท้ ่มี ีการลงสที ับกันท้งั 2 สคี รบั ?

1) AB 2) AB

3) AB 4) AB'

จากกจิ กรรมชวนคดิ ดา นบน ถากาํ หนดให nS แทนจาํ นวนสมาชกิ ในเซต S

จะไดว า nAB……………….  ……………………… ………………………………..

NOTE : *กรณี เซตทไ่ี มม ีสวนรว ม (disjoint set) *
ในกรณที ี่ A และ B เปนเซตท่ีไมมีสว นรว ม (disjoint set) เราจะไดว า AB 
น่นั คือ n AB ....... ดังนน้ั จะไดว า nABnAnB

ตวั อยา งที่ 1 จากแผนภาพที่กาํ หนดให จงตอบคําถามตอไปน้ี

U 1,2,3,4,5,6,7,8 A  1, 2,3, 4 nA  4

B………………………………………. nB ……………………………………….

AB ………………………………………. nAB……………………………………….

AB ………………………………………. nAB……………………………………….

ตวั อยางที่ 2 กาํ หนดให nA15, nB 22 และ nAB 6 จงหา nAB

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

เซต 32

ชวนคดิ

กาํ หนดแผนภาพเวนน- ออยเลอร มาให
และแบง สว นตา ง ๆ ออกเปน 7 สวน ดงั รปู

ให nA แทนจํานวนสมาชกิ ในเซต A

จากแผนภาพจะไดวา nA เกดิ จาก การรวมกนั ของบริเวณหมายเลข (1), (2), (3) และ (4)

น่นั คือ nA1234

ในทาํ นองเดียวกันจะไดวา n B  2456

nC  …………………………………………………..

nAB 24

nAC …………………………………………………..

nBC …………………………………………………..

และ nAB C…………………………………………………..

จะไดว า nAnBnCnABnACnB C nAB C 

= 12 34  2456  [………………………..]
 [24] [………………..] [………………..] [………………………..]

=1234  ……………………………………………………………….

=n AB C 

จะไดวา
nAB CnAnBnCnABnACnB CnAB C

เซต 33

กําหนดให U 1, 2,3,....,10, A 1,2,3,4 และ B 3,4,5,6,7
สามารถเขียนเปน แผนภาพเวนน- ออยเลอร ได 2 ชนิด ดังน้ี

เขียนสมาชกิ ทกุ ตวั เขยี นเฉพาะจาํ นวนสมาชกิ

ตวั อยา ง กําหนดจาํ นวนสมาชิกของเซตตา ง ๆ ดงั น้ี

nU nA nB nC n AB n AC  nB C  n AB C 

50 25 20 30 12 15 10 5

วิธที าํ ......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................

จงหาจํานวนสมาชิกในแตล ะขอตอ ไปน้ี ......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................

1) nAC 
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

2) nAB C 
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

3) nAB C'
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
4) nB AC 

………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………….
5) nABC 

………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….

เซต 34

แบบฝก หดั ท่ี 8
1. กาํ หนดตวั เลขในแผนภาพแสดงเซตแทนจํานวนสมาชกิ ในเซตตามแผนภาพทีก่ าํ หนดให

จงหาจาํ นวนสมาชิกของเซตตอไปนี้ 2) AC
1) A 4) AB C
3) AB 6) C AB
8) ABC
5) ABC 10) ABBA

7) A'BC

9) A '' B'

การแกป ญหาโดยใชเ ซต
ชวนคดิ

จากการสํารวจจาํ นวนลกู คาในรา นคา แหง หน่ึงพบวา ในวนั ทส่ี าํ รวจมลี ูกคาซ้ือสนิ คาท้งั หมด 55 คน
เปนผูท่มี ซี อ้ื ขา วกลอง 38 คน และเปนผูทีม่ าซ้ือน้ําอดั ลม 22 คน จงหาวา มีลกู คาทซ่ี ้ือสนิ คาท้งั 2 ประเภท คอื
ขาวกลอ งและนาํ้ อดั ลมจาํ นวนทง้ั สน้ิ ก่คี น
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เซต 35

ตวั อยา งท่ี 1 จากการสอบถามนกั เรยี นหอ งหนึ่งซ่ึงมีจํานวน 30 คน พบวามีนักเรียนชอบเรยี นวชิ า
คณติ ศาสตร 12 คน ชอบเรยี นวิชาภาษาอังกฤษ 15 คน โดยชอบทงั้ สองวชิ าอยู 5 คน จงหาวามนี ักเรียนใน
หอ งน้ีที่ไมชอบเลยทงั้ สองวิชาอยกู ่ีคน
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
ตวั อยางท่ี 2 ผลการสํารวจการเลอื กคณะเขาศกึ ษาตอ ของนักเรยี นกลมุ หนึง่ จํานวน 50 คน พบวา

1) มนี กั เรียนเลือกทงั้ คณะรฐั ศาสตรแ ละคณะนเิ ทศศาสตร 10 คน
2) มนี ักเรียนเลือกทง้ั คณะรฐั ศาสตรแตไมเ ลือกคณะนิเทศศาสตร 8 คน
3) มนี ักเรียนเลือกคณะอืน่ ๆ ทไี่ มใ ชคณะรฐั ศาสตรและคณะนเิ ทศศาสตร 12 คน
มนี กั เรียนเลอื กคณะนเิ ทศศาสตรกี่คน (O-net 63)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
ตวั อยางที่ 3 นกั เรียน 80 คน เปนนักกีฬา 35 คน เปน นกั ดนตรี 27 คน และไมไ ดเ ปน ทง้ั นักกีฬาและนักดนตรี
32 คน จงหาวามนี ักเรียนที่ไมไดเ ปนนักกีฬาหรือไมไ ดเปนนักดนตรีอยูกีค่ น
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เซต 36

ตวั อยางท่ี 4 ในการสอบของนักเรยี นช้นั หนึง่ พบวา มีผูสอบผา นวิชาคณิตศาสตร 37 คน วิชาสงั คมศกึ ษา 48

คน วชิ าภาษาไทย 45 คน โดยมผี ูท ีส่ อบผานทง้ั วิชาคณิตศาสตรแ ละสงั คมศกึ ษา 15 คน ทงั้ สงั คมศึกษาและ

ภาษาไทย 13 คน ท้งั คณิตศาสตรแ ละภาษาไทย 7 คน และมผี ทู ี่สอบผา นท้งั สามวิชาเพียง 5 คน จงหาวาท่ี

กลา วมานี้มนี ักเรยี นอยูท ้ังหมดจํานวนเทาใด

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

ตัวอยางที่ 5 พนกั งานบริษัท 34 คน ถกู สาํ รวจเกี่ยวกบั การสวมนาิกา แวน ตา และแหวน ปรากฏวา สวม

แวน อยางเดยี ว 5 คน และมีจํานวนคนสวมนาิกามากกวาจํานวนคนสวมแวนตาอยู 1 คน จํานวนคนไม

สวมนากิ าเปน 3 เทาของจํานวนคนสวมแหวน นอกจากนั้น คนสวมแหวนทุกคนสวมแวน แตคน

สวมนาิกาไมม คี นใดสวมแวน จะมีคนสวมนากิ ากีค่ น

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

ตวั อยางท่ี 6 ในการสาํ รวจงานอดเิ รกของนักเรยี น 200 คน ปรากฏวา

120 คน ชอบเลน กีฬา 60 คน ชอบเลน กีฬาและทาํ อาหาร

110 คน ชอบทําอาหาร 70 คนชอบเลนกีฬาและชอบเลนเกมคอมพิวเตอร

130 คน ชอบเลน เกมคอมพวิ เตอร 50 คนชอบทําอาหารและชอบเลน เกมคอมพิวเตอร

นกั เรียนทชี่ อบเลนเกมคอมพิวเตอรอ ยา งเดียวมกี คี่ น

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

เซต 37

ตัวอยางที่ 7 ในการสํารวจความเห็นของนกั เรยี นระดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลายโรงเรียนตราษตระการคณุ

จํานวน 880 คน เพ่ือสอบถามขอ มลู เกีย่ วกบั การศึกษาตอ ปรากฏผลดังน้ี [ดัดแปลงจากขอ สอบ PAT1]

มีผูต อ งการศกึ ษาตอ 725 คน

มีผทู ีต่ องการทํางาน 160 คน

มีผูตองการศกึ ษาตอ หรอื ทํางาน 813 คน

จะมผี ทู ่ตี องการศึกษาตอไปดวยพรอมกับทํางานไปดวยกี่คน คดิ เปน รอ ยละเทา ไรของนกั เรียนทง้ั หมด

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

แบบฝกหัดที่ 8

1) จากการสาํ รวจนกั เรียนทีพ่ ูดภาษาท่ี 3 ไดจํานวน 50 คน พบวา มนี กั เรยี นชาย 22 คน และพบวา มนี ักเรียน

ทเ่ี ปน ผูห ญิงหรอื เปนนักเรียนท่พี ูดภาษาเกาหลไี ด 38 คน จงหาวามนี ักเรียนชายท่ีพดู ภาษาเกาหลีไดก ค่ี น

2) จากการสํารวจนกั เรียนหองหน่ึง พบวามี 20 คนที่เลือกเรียนฝรัง่ เศสหรือคณิตศาสตร (อยา งใดอยา งหนึ่ง)
ซง่ึี มี 17 คนที่ไมเรยี นคณิตศาสตร และมี 15 คนทไ่ี มเรียนฝรัง่ เศส แลว มกี คี่ นท่ีไมเลอื กเรียนทัง้ สองวิชานี้เลย

3) โรงพยาบาลแหงหน่งึ ทาํ การสาํ รวจขอ มูลจากผปู ว ยท่มี ีอายุเกิน 40 ป จาํ นวน 1,000 คน ปรากฏวา มคี นสบู
บุหร่ี 312 คน มีคนเปนมะเรง็ ปอด 180 คน และมี 660 คนไมสูบบุหรแี่ ละไมเปน มะเรง็ ปอด จงหาวา มีผทู ี่
สูบบุหรแ่ี ละเปน มะเร็งปอดกีค่ น

4) ในการสาํ รวจความชอบของนกั เรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 4 โรงเรยี นตราษตระการคุณ จํานวน 100 คน

พบวามีนักเรียน ชอบกว ยเต๋ยี ว 49 คน ชอบกว ยเตี๋ยวและขาวมันไก 22 คน

ชอบขาวมนั ไก 48 คน ชอบกวยเตย๋ี วและขาวหมูแดง 32 คน

ชอบขาวหมแู ดง 59 คน ชอบขา วมนั ไกแ ละขาวหมแู ดง 27 คน

และ ชอบทง้ั 3 อยา ง 15 คน

มนี กั เรียนที่ไมช อบอาหารท้ัง 3 ชนิดนีก้ ค่ี น

เซต 38

5) จากการสาํ รวจพฤติกรรมการทานทุเรียน มะมวง และมงั คดุ ของคน 100 คนกลมุ หนงึ่ พบวาทกุ คนชอบ
ทานผลไมทง้ั สามชนิดน้อี ยา งนอ ยหน่ึงอยาง ถา มี 50 คนไมชอบทานมงั คดุ , 30 คนชอบทานมงั คุดแตไ มท าน
ทเุ รียน, และมี 10 คนชอบทานผลไมท้ังสามอยางนี้ แลว จํานวนคนท่ีชอบทานทุเรียนและมงั คุดแตไมชอบทาน
มะมวงเลย เทากบั เทา ใด

6) จากการสอบถามผดู มื่ กาแฟ 20 คน พบวา จํานวนผูใ สครีม นอยกวา สองเทา ของผใู สน้ําตาลอยู 7 คน และ
จาํ นวนผูทใี่ สท ้งั ครีมและนา้ํ ตาล เทากบั จํานวนผูท ไี่ มใ สทั้งครมี และนา้ํ ตาลดังนน้ั มผี ูทใ่ี สครมี ท้ังหมดกค่ี น

7) นักเรียนคนหนึ่งไปพกั ผอนที่พัทยา ตลอดชว งเวลานนั้ เขาสงั เกตไดวา มฝี นตก 7 วัน ในชว งเชาหรือเย็น โดย
ถา วนั ใดฝนตกชวงเชาแลว จะไมต กในชว งเย็น, มี 6 วันทฝี่ นไมตกในชว งเชา และมี 5 วันที่ฝนไมตกในชวงเยน็
ถามวานกั เรียนคนน้ไี ปพักผอนทีพ่ ัทยากีว่ ัน

8) โรงเรยี นแหงหนงึ่ มีนักเรยี นชาย 600 คน หญงิ 500 คน ในจาํ นวนนม้ี นี กั เรยี นทม่ี าจากตางจังหวดั รวม 300
คน เปนผูชาย 200 คน และมีนักกฬี ารวม 50 คน เปนผชู าย 30 คน โดยมนี กั กีฬาท่ีมาจากตางจังหวดั 25 คน
เปน ชาย 15 คน ถามวา นักเรยี นชายท่ีไมไดมาจากตางจงั หวดั และไมไดเ ปน นักกีฬาดว ย มกี ีค่ น

9) ในการสํารวจความนยิ มของผูที่ไปเทีย่ วสวนสัตวจาํ นวน 100 คน พบวามี 50 คนชอบชาง, 35 คนชอบลิง,
25 คนชอบหนู, 32 คนชอบชา งอยา งเดยี ว, 20 คนชอบหนูแตไมชอบลิง, 10 คนชอบชา งและลงิ แตไมช อบหนู
จงหาวาจํานวนคนท่ีไมชอบสัตวสามชนิดนี้เลย ตางกบั จํานวนคนที่ชอบหนูกี่คน

10) ในการสอบวิชาภาษาไทย วชิ าภาษาองั กฤษและวิชาคณติ ศาสตร ของโรงเรยี นแหงหนง่ึ มนี กั เรียนเขา สอบ
ทั้งหมด 66 คน ปรากฏวามนี ักเรยี นทสี่ อบตกทั้งสามวิชาจํานวน 13 คน นกั เรียนท่ีสอบไดท้งั สามวิชา มีจาํ นวน
17 คน นักเรียนทีส่ อบไดว ิชาภาษาไทยและวชิ าภาษาอังกฤษแตส อบตกวชิ าคณิตศาสตรมจี ํานวน 10 คน
นกั เรียนที่สอบไดวชิ าภาษาไทยและวิชาคณิตศาสตรแตสอบตกวชิ าภาษาอังกฤษ มจี าํ นวน 11 คน นักเรยี นที่
สอบไดเ พียงวชิ าเดียว มีจาํ นวน 6 คน จํานวนนักเรยี นท่สี อบไดวิชาภาษาอังกฤษและวชิ าคณิตศาสตร เทากับ
เทา ใด

11) กําหนดให A และ B เปนเซตจํากดั โดยท่ี จํานวนสมาชกิ ของ P A เปนสองเทาของจํานวนสมาชกิ
ของ PB จาํ นวนสมาชกิ ของ P A B  8 และจํานวนสมาชกิ ของ P AB  256
จงหาจํานวนสมาชิกของ P A B

เซต 39

มาทบทวนกนั หนอ ยดกี วา วาจาํ อะไรไดบา ง
เขยี นนิยามของการดาํ เนินการตอ ไปน้ี

เราสามารถเขียนแผนภาพเวนน- ออยเลอร ได 2 แบบ

แบบท่ี 1 : เขยี นสมาชกิ ทกุ ตวั ลงแผนภาพ แบบท่ี 2 : เขียนเฉพาะจาํ นวนสมาชิก

เชน กําหนดให U x   | x 10, A1,2,3,4,5 และ B  3, 4,5,6,7

แบบที่ 1 (เติมแผนภาพใหครบ) แบบที่ 2 (เตมิ แผนภาพใหครบ)

เซต 40

แบบฝกทายบท
1. จงใชสมบตั ิทางพชี คณิตของเซต เขียนเซตตอ ไปน้ใี หอยใู นรปู อยางงาย (สั้นท่ีสุด)
1) AAAAB B B B
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
2) ABB AAB
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
3) A A' B  B B ' A '
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

4) ABB A A'A' ABB A

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

5) A  B 'B C ' C E C 'E ' AE ''

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
2. ถา U  1, 2,3,....,7,8 , AU 1, B  2, 4,6 และ C 1,7
มเี ซต D ท่เี ปน ไปไดก่ีแบบท่ีตรงตามเงอ่ื นไข B'CD A
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

เซต 41

 4. กําหนดให U x  |2x 6 , A  k 2 | k U  และ B  k |k U

จงหา nC เม่อื C  {X | A  B  X และ X  A  B}
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

5. กําหนดเซต A , B เปน สับเซตของ U หาก nU 100, nA' 40, nB 55 และ

nAB '  32 จงหาคา ของ nA'B ' 32
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
6. เซตของจํานวนเต็มเซตหนึ่ง หากนํา 3 หรอื 4 ไปหารจะปรากฏวา 4 หารลงตัวอยา งเดียว 6
จํานวน, 3 หารลงตวั ทัง้ หมด 8 จํานวน ซงึ่ เปนจํานวนคู 3 จํานวน, ท้ัง 3 และ 4 หารลงตวั มี 2
จํานวน, และ 4 หารไมล งตวั 18 จํานวน ซงึ่ เปน จํานวนคู 4 จํานวน ถามวาจํานวนสมาชกิ ของเซตน้ี
เปน เทา ใด, จํานวนคใู นเซตน้มี ีกจี่ าํ นวน, และมีจาํ นวนที่ 3 หรอื 4 หารไมล งตัวกี่จาํ นวน
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

เซต 42