LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS

PUENTES VII-1

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

CAP VII: LÍNEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS

DEFINICIÓN
Una línea de influencia es la expresión gráfica de la variación de un esfuerzo en relación
a una carga móvil unitaria desplazándose sobre una estructura. En estructuras
isostáticas se expresan como líneas rectas; en estructuras hiperestáticas como curvas.
A continuación veremos un modo de construcción de líneas de influencia en vigas.

1. CASO DE VIGAS ISOSTÁTICAS

a) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo A

X1

CA BD

a L b
RA RB

Tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos una carga móvil
unitaria sobre la viga para determinar las expresiones:

Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L)

Tomando momentos en B:

R A (L) −1((L − X) = 0

Luego: RA = L−X
L

Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0)

1 -X BD
CA
b
a L RB
RA

Tomando momentos en B:

R A (L) −1((L − X) = 0

Luego: RA = L−X
L

PUENTES VII-2

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b)

CA X 1
L BD
a
RA b
RB

Tomando momentos en B:

R A (L) +1(X − L) = 0

Luego: RA = L−X
L

La línea de influencia de la reacción en el apoyo A entonces se expresa como la

recta RA = L −X, cuya gráfica se muestra:
L

X1

CA BD

a L b
RA RB

L+a +1 B D L.I. de R A
L -b
L
+

CA

-a A +1
LC L+b

+L
L.I. de R B

BD

b) Línea de Influencia de la reacción en el apoyo B

Del mismo modo, tomando como origen cartesiano el punto A, posicionamos la
carga móvil unitaria sobre la viga para determinar las expresiones:

Carga en el tramo AB (0≤ X ≤ L)

Tomando momentos en A: RB = X
L

Carga en el tramo CA (-a ≤ X ≤ 0)

Tomando momentos en A: RB = X
L

PUENTES VII-3

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Carga en el tramo BD (L ≤ X ≤ L+b)

Tomando momentos en A: RB = X
L

La línea de influencia de la reacción en el apoyo B se expresa como la recta

RB = X , la misma que se muestra en el gráfico precedente.
L

c) Línea de Influencia del cortante en la sección E

Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m)

VE = RA −1= L −X −1= −X
L L

Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b)

VE = RA = L−X
L

La línea de influencia del cortante en la sección E se expresa como el área
delimitada por dos rectas paralelas escindidas en E que pasan por los apoyos A
y B como se muestra en el gráfico:

CA X1 BD
E
RB
RA m n b

aL

+a +n D L.I. de VE
L L -b
A B
C +

-m L
L

d) Línea de Influencia del momento flector en la sección E

Carga en el tramo CE (-a ≤ X ≤ m)

ME = R A (m) −1(m − x) = R B (n)

ME = X .n
L

PUENTES VII-4

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Carga en el tramo ED (m ≤ X ≤ L+b)

ME = R A (m) = (L − X ).m
L

La línea de influencia del momento flector en la sección E se expresa
gráficamente como:

CA X1 BD
E

RA m n RB
a L b

C +nm D
-an A L -bm
L
+

B L.I. de ME

L

PUENTES VII-5

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.1 En la viga mostrada determine el momento flector en E utilizando su
línea de influencia.

2T/m 9T BD
C E 2m

A 4m 6m
3m 10m

Solución.-

Después de construir la línea de influencia del momento flector en la sección E, para las
cargas dadas tenemos:

2T/m 9T BD
C E

A 4m 6m 2m
10m
3m
RA +4(6)
10
=2.4m

C + B D L.I. de ME
A
-4(2) =-0.8m
-31(60)=-1.8m 10

[ ]ME = 2T / m Área + 9T(Ordenada)

ME = 2T / m[− ½ x1.8m x 3m] + 9T(+2.4m) = −16.20T − m

PUENTES VII-6

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

2. CASO DE VIGAS HIPERESTÁTICAS

Aplicamos el principio de Müller-Breslau que refiere si una reacción o fuerza interna
actúa a lo largo de un desplazamiento producido, el perfil deformado es, a cierta
escala, la línea de influencia para la reacción en particular o fuerza interna.

EJEMPLO VI1.2 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el
apoyo B.

X1 C
AB

6m 4m

Solución.-

Procedimiento:

a) Expresamos la reacción en el apoyo B como una fuerza externa F1 para obtener
el siguiente modelo:

X1 F1 C
A B

6m 4m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

X1 B C A 1
A a1P + BC

P 4m a11 F1

6m 6m 4m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.
Podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0

PUENTES VII-7
Como:
MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
F1 = −R B

Luego:

aP1 + a11(−R B ) = 0

RB = aP1
a11

Es decir la línea de influencia de la reacción en el apoyo B es proporcional a la
ecuación de la elástica aP1 como lo señala el principio de Müller-Breslau.

c) Para obtener RB calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

A P 1 C
0.4 aP1 0.6
B
6m a11

4m

VIGA CONJUGADA:

X 2.4
0.4X
A' + B' (10-X)0.6
RA' 4.8 C'
2
7.2 8/3
(10-X) RC'

Tomando momentos en C’:

RA’(10) - 7.2(6) - 4.8(8/3) = 0
RA’ = 5.6

Como RA’ + RC’ = 12

RC’ = 6.4

Cálculo de a11:
a11(EI) = MB' = 5.6(6) − 7.2(2) =19.2

PUENTES VII-8

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

aP1(EI) = R A' X − 1 X(0.4X) X
2 3

aP1(EI) = 5.6X − 0.2 X3
3

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

Tomando momentos hacia la derecha:

aP1(EI) = R (10 − X) − 1 (10 − X)(10 − X)0.6 (10 − X)
2 3
C '

aP1(EI) = 6.4(10 − X) − 0.1(10 − X)3

d) Para la construcción de RB tenemos:

Tabulación de valores:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): X (m) RB
0 0
= 1 (5.6X − 0.2 X3 )
RB 19.2 3 1 0.289

2 0.556

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10): 3 0.781

4 0.944

=1 5 1.024
19.2
[ ]R B X)3
6.4(10 − X) − 0.1(10 − 6 1.000

7 0.859

8 0.625

9 0.328

10 0

Gráfica:

PUENTES VII-9

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.3 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en el
apoyo C.

X1 C
AB

6m 4m

Solución.-

Procedimiento:

a) Expresamos la reacción en el apoyo C como una fuerza externa F1 para obtener
el siguiente modelo:

X1 B F1
A 4m C

6m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

X1 B a1P + A F1
AP C BC

a11 F1
6m 4m
6m 4m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

Podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0
Como:
a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
F1 = −R C

Luego: aP1 + a11(−R C ) = 0

RC = aP1
a11

PUENTES VII-10

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

c) Para obtener RC calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

P1

A aP1 B C

6m 4m a11

VIGA CONJUGADA:

X 12 8 (10-X) MC'
A' 2
B' 8/3
C'

RA' -2X -(10-X) RC'
3 -4

Tomando momentos en la articulación B’:

Como RA’ + RC’ + 20 = 0 RA’(6) + 12(2) = 0
También: RA’ = -4

RC’ = -16

MC’ = RA’(10) + 12(6) + 8(8/3)
MC’ = 53.33

Cálculo de a11:
a11(EI) = MC' = 53.33

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

aP1(EI) = R A' ( X) + 1 X(2 X) X
2 3 3

aP1(EI) = −4X + 1 X3
9

PUENTES VII-11

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

Tomando momentos a la derecha:

aP1(EI) = MC' + 1 . (10 − X)2 (10 − X) + R C' (10 − X)
2 3

aP1(EI) = 53.33 + (10 − X)3 −16(10 − X)
6

d) Para la construcción de RC tenemos:

Tabulación de valores:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6): X (m) RC
0 0
1  X 3 
− 4X +  1 -0.073
RC = 53.33  9 

2 -0.133

3 -0.169

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10): 4 -0.167

1  1 (10 − X)3  5 -0.115
53.33 53.33 6 −16(10 − X)
RC = + 60

7 0.184

8 0.425

9 0.703

10 1

Gráfica:

PUENTES VII-12

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.4 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento
flector en la sección D.

X1 DC
AB

3m 1.5m 1.5m

Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos al punto D en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula
como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como
un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

X1

A B F1 F1 C

3m 1.5m 1.5m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

X1 a1P A B a11
A PB D C+ 11
C F1
3m 1.5m 1.5m
3m 1.5m 1.5m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión D, podemos
plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0
Como:
a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
F1 = MD

Luego: aP1 + a11(MD ) = 0
Es decir:

MD = − aP1
a11

PUENTES VII-13

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

c) Para obtener MD calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

X a11
A aP1 B C

11
3m 1.5m 1.5m

VIGA CONJUGADA: 2
1

2X 2 2(6-X) C'
3 3 RC'

A' +

D'

3 B' 3

RA' 3 RD'
1.5 1.5

X (6-X)

(4.5-X)

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

RA’(3) - 3(1) = 0
RA’ = 1

Tomando momentos en el apoyo C’:

RA’(6) + RD’(1.5) - 3(4) - 3(2) = 0

RD’ = 8

Como RA’ + RD’ + RC’ = 6

RC’ = -3

Cálculo de a11:

a11(EI) = R D' = 8

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

aP1(EI) = R A' ( X) − 1 X( 2 X) X
2 3 3

aP1(EI) = X − 1 X3
9

PUENTES VII-14

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5):

Tomando momentos a la derecha:

aP1(EI) = (4.5 − X)R D' + (6 − X)R C' − 1 (6 − X) 2 (6 − X) 1 (6 − X)
2 3 3

aP1(EI) = 8(4.5 − X) − 3(6 − X) − (6 − X)3
9

Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6):
Tomando momentos a la derecha:

aP1(EI) = R (6 − X) − (6 − X)3
9
C '

aP1(EI) = −3(6 − X) − (6 − X)3
9

d) Para la construcción de MD tenemos:

Tabulación de valores:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

1  X 3  X (m) MD
X  0 0
MD = − 8  − 9 
0.75 -0.088
Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5): 1.50 -0.141
2.25 -0.123
MD = − 1  − X) − 3(6 − X) − 1 (6 − X)3  3.00
8 8(4.5 9  3.75 0
4.50 0.252
Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6): 5.25 0.609
6.00 0.287

0

MD = 1  − X) + 1 (6 − X)3 
8 3(6 9 

Gráfica:

PUENTES VII-15

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.5 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento
flector en el apoyo B.

X1 C
AB

3m 3m

Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos al apoyo B en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula
como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como
un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

X1 C
A F1 B F1

3m 3m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

X1 C+ A 1 B 1 a11 C
A P B a1P 3m 3m F1

3m 3m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión B, podemos
plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0

Como:

a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
F1 = MB

PUENTES VII-16

Luego: MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén
Es decir:
aP1 + a11(MB ) = 0

MB = − aP1
a11

c) Para obtener MB calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

X

A P 1 B 1 a11 C
aP1

3m 3m

VIGA CONJUGADA: 1(6-X)
11 3

X +1 C'

X
3 1.5 + 1.5
A' B'

RA' 3 RB' 3 (6-X) RC'

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

RA’(3) – 1.5(1) = 0
RA’ = 0.5

Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

Como RA’ + RB’ + RC’ = 3 RC’ = 0.5
Cálculo de a11: RB’ = 2

a11(EI) = R B ' = 2

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

aP1(EI) = R A' (X) − 1 X( 1 X) X
2 3 3

PUENTES VII-17

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

aP1(EI) = 0.5X −1 X3
18

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):
Tomando momentos a la derecha:

aP1(EI) = R C' (6 − X) − 1 (6 − X) 1 (6 − X) 1 (6 − X)
2 3 3

aP1(EI) = 0.5(6 − X) − (6 − X)3
18

d) Para la construcción de MB tenemos:

Tabulación de valores:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

MB = − 1  − X3  X (m) MB
0.5X  0 0
2 18 
0.75 -0.176
Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6): 1.50 -0.281
2.25 -0.246
MB = −1  − X) − 1 (6 − X)3  3.00
2 0.5(6 18  3.75 0
4.50 -0.246
5.25 -0.281
6.00 -0.176

0

Gráfica:

PUENTES VII-18

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.6 En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la
sección E.

X1 E B C
A

1.5m 1.5m 3m

Solución.-

Procedimiento:

a) En la viga liberamos a la sección E de su capacidad de corte para expresarla
como las fuerzas externas F1 y así obtener el siguiente modelo:

X1 F1 B C
A E
1.5m 3m
F1
1.5m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

A a1P B 1 C+ a11 C
P 1 F1
E
3m AB
1.5m 1.5m 3m
1E
1.5m 1.5m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del desplazamiento entre puntos del corte en E, podemos plantear la
siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0

Como:

a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
F1 = VE

Luego: aP1 + a11(VE ) = 0

PUENTES VII-19
Es decir:
MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

VE = − aP1
a11

c) Para obtener VE calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

1.5 BP C
A a11 1 aP1 RC

RA =1 1 1.5 RB
1.5m 3m
1.5m

VIGA CONJUGADA: 1
1 MB=+3

X

X + (6-X)
A' C'
B'
(6-X) RC'
ME' E' 4.5 4.5
3m
RA1' .5m 1.5m

Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

RC’(3) – 4.5(1) = 0
RC’ = 1.5

Haciendo sumatoria de fuerzas verticales:

RA’ + RC’ = 9
RA’ = 7.5
Tomando momentos en el apoyo C’:

RA’(6) - ME’ – 4.5(4) – 4.5(2) = 0
ME’ = 18

Cálculo de a11:

a11(EI) = ME' =18

PUENTES VII-20
Cálculo de aP1:
MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

aP1(EI) = R A' (X) − 1 X( X) X
2 3

aP1(EI) = 7.5X − 1 X3
6

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

aP1(EI) = R A'(X) − X3 − ME'
6

aP1(EI) = 7.5X − X3 −18
6

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):
Tomando momentos a la derecha:

aP1(EI) = R ' (6 − X) − 1 (6 − X)2 (6 − X)
2 3
C

aP1(EI) =1.5(6 − X) − 1 (6 − X)3
6

d) Para la construcción de VE tenemos:

Tabulación de valores:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

VE = − 1  X3  X (m) VE
7.5X −  0 0
18  6 
0.75 -0.309
Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3): 1.50
2.25 -0.594/0.406
VE = − 1  X3  3.00
7.5X − 6 −18 3.75 0.168
18  4.50 0
 5.25
6.00 -0.082
Tramo EB (3 ≤ X ≤ 6): -0.094
-0.059

0

VE = −1  − X) − 1 (6 − X)3 
18 1.5(6 6 

Gráfica:

PUENTES VII-21

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.7 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento
flector en la sección E.

X1 E B C D
A

1.5m 1.5m 3m 3m

Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una
rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto
como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

X1 B C D
A F1 E F1

1.5m 1.5m 3m 3m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

a1P B 1 A a11 B

A PC D+ 1 E1 C D
1.5m 1.5m 3m F1
E

1.5m 1.5m 3m 3m 3m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E,
podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0

Como:

a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
F1 = ME

Luego: aP1 + a11(ME ) = 0

PUENTES VII-22
Es decir:
MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

ME = − aP1
a11

c) Para obtener ME calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

A a11 B aP1PC D
3m
RA 1 E1 3m
1.5m 1.5m

VIGA CONJUGADA:

X MB (6-X)MB MC

MB X 3MB 3 +3MC (9-X)MC
3 3
+
A' E' D'

B' (X-3)MC C'

R R3 (9-X) R

A' E' (X-3) (6-X) 3m C'

1.5m 1.5m 3m

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones
estáticas:

∑ FV = 0 : R A' + R E' + R C' − 3MB − 3MC = 0 (1)
∑ MB',izq = 0 : (2)
3R A' +1.5R E' − 3 MB =0
∑ MC',der = 0 : 2 (3)
∑ MA' = 0 : (4)
3R C' − 3 MC = 0
2

9MB +18MC −1.5R E' − 9R C' = 0

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, tomando momentos en la
articulación E a la izquierda:

RA(1.5) –1= 0

Entonces: RA = 1/1.5
MB = RA (3) = 2
(5)

PUENTES VII-23

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

R A' = −2.75 R E' = 7.5 R C' = −0.25 MB = 2 MC = −0.5

Cálculo de a11:
a11(EI) = R E' = 7.5

Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

aP1(EI) = R A' (X) − 1 ( MB .X)X( X )
2 3 3

aP1(EI) = −2.75X − X3
9

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

aP1(EI) = −2.75X − X3 + R E' (X −1.5)
9

aP1(EI) = −2.75X − X3 + 7.5(X −1.5)
9

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

aP1(EI) = R A' ( X) + R E' (X −1.5) − 1 (3)MB (X − 2) − 1 MB (X − 3) 2 (X − 3)
2 2 3

− 1 (X − 3) (6 − X)MB . 1 (X − 3) − 1 (X − 3)(X − 3) Mc (X − 3)
2 33 2 33

aP1(EI) = −2.75X + 7.5(X −1.5) − 3(X − 2) − 2 (X − 3)2 − (X − 3)2 (6 − X) + (X − 3)3
3 9 36

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):
Tomando momentos a la derecha:

aP1(EI) = R C' (9 − X) − 1 (9 − X). (9 − X)Mc . 1 (9 − X)
2 3 3

aP1(EI) = − 1 (9 − X) + 1 (9 − X)3
4 36

PUENTES VII-24

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

d) Para la construcción de ME tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

ME = − 1  2.75X − 1 X 3 
7.5 − 9 

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

ME = − 1  X3 
− 2.75X − 9 + 7.5(X −1.5)
7.5 


Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

ME = − 1  + 7.5(X −1.5) − 3(X − 2) − 2 (X − 3)2 − (X − 3)2(6 − X) + (X − 3)3 
− 2.75X 3 9 
7.5  36 

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

ME = − 1  1 (9 − X) + 1 (9 − X)3 
7.5 − 4 36 

Tabulación de valores:

X (m) ME
0 0

0.75 0.281
1.50 0.600
2.25 0.244
3.00
3.75 0
4.50 -0.108
5.25 -0.113
6.00 -0.061
6.75
7.50 0
8.25 0.033
9.00 0.038
0.023

0

Gráfica:

PUENTES VII-25

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.8 En la viga mostrada determine la línea de influencia del cortante en la
sección E.

X1 E B C D
A

1.5m 1.5m 3m 3m

Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de corte para expresarla
como las fuerzas externas F1 y así obtener el siguiente modelo:

X1

A F1 B C D

F1 E

1.5m 1.5m 3m 3m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

A a1P B 1 D+ A a11 1 B C D
PC F1
E 1E
3m
1.5m 1.5m 3m 1.5m 1.5m 3m 3m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del desplazamiento entre los puntos de corte en E de la deformada,
podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0

Como:

a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
F1 = VE

PUENTES VII-26

Luego: MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén
Es decir: aP1 + a11(VE ) = 0

VE = − aP1
a11

c) Para obtener VE calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

1.5

A a11 1 B PC D

E aP1
1 1.5 3m
RA 1.5m 1.5m 3m

VIGA CONJUGADA:

X MB (6-X)MB MC

MB X 3MB 3 +3MC (9-X)MC
3 3
+
A' E' D'

R ME' B' (X-3)MC C' R

3 C'
A' (X-3) (6-X)
(9-X)
1.5m 1.5m 3m
3m

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones
estáticas:

∑ FV = 0 : R A' + R D' − 3MB − 3MC = 0 (1)
∑ MB',izq = 0 : (2)
3R A' − ME' − 1 (3)MB (1) = 0
∑ MC',der = 0 : 2 (3)
∑ MD',izq = 0 : (4)
3R D' − 1 (3)MC (1) = 0
2

9R A' − ME' − 3MB (6) − 3MC (3) = 0

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, con el equilibrio vertical del
tramo AE:

∑ FV = 0 : RA –1= 0 RA =1

Entonces: MB = RA (3) = 3 (5)

PUENTES VII-27

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

R A' = 7.125 R D' = −0.375 ME' =16.875 MB = 3 MC = −0.75

Cálculo de a11:
a11(EI) = ME' =16.875
Cálculo de aP1:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

aP1(EI) = R A' (X) − 1 ( MB .X)X( X )
2 3 3

aP1(EI) = 7.125X − X3
6

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

aP1(EI) = 7.125X − X3 − ME'
6

aP1(EI) = 7.125X − X3 −16.875
6

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

aP1(EI) = R A' (X) − ME' − 1 (3)MB ( X − 2) − 1 MB ( X − 3) 2 (X − 3) − 1 (X − 3) (6 − X)MB .1 (X − 3)
2 2 3 2 3 3

− 1 (X − 3)(X − 3) Mc (X − 3)
2 33

aP1(EI) = 7.125X −16.875 − 4.5( X − 2) − (X − 3)2 − (X − 3)2 (6 − X) + 0.75 .( X − 3)3
6 18

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):
Tomando momentos a la derecha:

aP1(EI) = R D' (9 − X) − 1 (9 − X). (9 − X)Mc . 1 (9 − X)
2 3 3

aP1(EI) = −0.375(9 − X) + 0.75 (9 − X)3
18

PUENTES VII-28

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

d) Para la construcción de VE tenemos:

Tramo AE (0 ≤ X ≤ 1.5):

VE = −1  − 1 X 3 
16.875 7.125X 6 

Tramo EB (1.5 ≤ X ≤ 3):

VE = − 1  X3 
7.125X − 6 −16.875
16.875 


Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):

VE = − 1  − (X − 3)2 (6 − X) + 0.75 .(X − 3)2 
7.125X −16.875 − 4.5(X − 2) − (X − 3)2 6 
16.875  18 

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

VE = −1  0.375(9 − X) + 0.75 (9 − X)3 
16.875 − 18 

Tabulación de valores: X (m) VE
Gráfica: 0 0

0.75 -0.3125
1.50 -0.6/+0.4
2.25
3.00 0.1625
3.75 0
4.50
5.25 -0.0719
6.00 -0.0750
6.75 -0.0410
7.50
8.25 0
9.00 0.0219
0.0250
0.0156

0

PUENTES VII-29

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.9 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento
flector en la sección E.

X B EC D
A 1.5m 1.5m
3m
3m

Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una
rótula como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto
como un momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:

X1 B F E F C D
A
1 1

3m 1.5m 1.5m 3m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

1

A B a1P C P D+ A B a11C D

E 1 E1 F1

3m 1.5m 1.5m 3m 3m 1.5m 1.5m 3m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E,
podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0

Como:

a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)
F1 = ME

PUENTES VII-30

Luego: MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén
Es decir:
aP1 + a11(ME ) = 0

ME = − aP1
a11

c) Para obtener ME calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

A P B a11C D
aP1 1 E 1
3m 1.5m 1.5m 3m

VIGA CONJUGADA:

X MB MB
3MB
MB X 2 MC (9-X)MC
3 + MC 3

A' 2 + 3MC D'

R B' E' C' R
RE'
A' (6-X)MB C'
3 (X-3)MC (6-X)
(9-X)
3

(X-3)

3m 1.5m 1.5m 3m

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones
estáticas:

∑ FV = 0 : R A' + R E' + R D' − 3MB − 3MC = 0 (1)
∑ MB',izq = 0 : (2)
3R A' − 3 MB = 0
∑ MC',der = 0 : 2 (3)
∑ MA' = 0 : (4)
3R D' − 3 MC = 0
2

9MB +18MC − 4.5R E' − 9R D' = 0

La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, conociendo que el
momento en ambos lados de la rótula E es 1. Con el diagrama de momentos se
tiene:

MB + MC =1
22

Es decir:

MB + MC = 2 (5)

PUENTES VII-31

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

R A' = 0.5 R E' = 5 R D' = 0.5 MB =1 MC =1

Cálculo de a11:
a11(EI) = R E' = 5

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

aP1(EI) = R A' (X) − 1 ( MB .X)X( X )
2 3 3

aP1(EI) = 0.5X − X3
18

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):

aP1(EI) = R A' ( X) − 1 (3)MB (X − 2) − 1 MB (X − 3) 2 (X − 3) − 1 (X − 3) (6 − X)MB . 1 (X − 3)
2 2 3 2 3 3

− 1 (X − 3)(X − 3) Mc (X − 3)
2 33

aP1(EI) = 0.5X −1.5(X − 2) − (X − 3)2 − (X − 3)2(6 − X) − (X − 3)3
3 18 18

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):

aP1(EI) = 0.5X −1.5(X − 2) − (X − 3)2 − (X − 3)2(6 − X) − (X − 3)3 + R E'(X − 4.5)
3 18 18

aP1(EI) = 0.5X −1.5(X − 2) − (X − 3)2 − (X − 3)2(6 − X) − (X − 3)3 + 5(X − 4.5)
3 18 18

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):
Tomando momentos a la derecha:

aP1(EI) = R D' (9 − X) − 1 (9 − X). (9 − X)Mc .1 (9 − X)
2 3 3

aP1(EI) = 0.5(9 − X) − (9 − X)3
18

PUENTES VII-32

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

d) Para la construcción de ME tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

ME = − 1  − 1 X 3 
5 0.5X 18 

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):

ME = − 1  −1.5(X − 2) − (X − 3)2 − (X − 3)2 (6 − X) − (X − 3)3 
0.5X 3 18 
5 18 

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):

ME = − 1  −1.5(X − 2) − (X − 3)2 − (X − 3)2(6 − X) − (X − 3)3 
0.5X 3 18 18 + 5(X − 4.5)
5


Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

ME = − 1  − X) − (9 − X)3 
0.5(9 
5 18 

Tabulación de valores:

X (m) ME
0 0

0.75 -0.0703
1.50 -0.1125
2.25 -0.0984
3.00
3.75 0
4.50 0.2063
5.25 0.5250
6.00 0.2063
6.75
7.50 0
8.25 -0.0984
9.00 -0.1125
-0.0703

0

Gráfica:

PUENTES VII-33

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.10 En la viga mostrada determine la línea de influencia de la reacción en
el apoyo A .

X1 B
A

6m

Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos la reacción A en la viga y la expresamos como una fuerza externa F1
para obtener el siguiente modelo:

X1 B
A

F1 6m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

X1 B+ A B
A a11 1 F1
a1P P
6m
6m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

En razón a que no existe desplazamiento vertical en el apoyo A, podemos
plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0

Como:

a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

F1 = −R A

PUENTES VII-34

Luego: MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén
Es decir:
aP1 + a11(−R A ) = 0

RA = aP1
a11

c) Para obtener RA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

A P B
MA aP1 MB

a11 1 6m

VIGA CONJUGADA:

MA (6-X)MA MB X MB
MA' 6 6
+
+

A' 3MA 3MB B'

X (6-X)

6m

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones
estáticas:

∑ FV = 0 : −3MA − 3MB = 0 (1)
∑ MB' = 0 : MA' − 3MA (4) − 3MB (2) = 0 (2)

La tercera ecuación la obtenemos de la viga superior:

∑ MB = 0 : MA −1(6) − MB = 0 (3)

Resolviendo las tres ecuaciones se obtiene:

MA = 3 MB = −3 MA' =18

Cálculo de a11:

a11(EI) = MA' =18

PUENTES VII-35
Cálculo de aP1:
MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

aP1(EI) = MA' − 1 MA ( X)( 2X ) − 1 X(6 − X) MA (X) − 1 X( MB .X)( X )
2 3 2 6 3 2 6 3

aP1(EI) =18X − X2 − X2(6 − X) + X3
12 12

d) Para la construcción de RA tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

=1  X2 (6 − X) X 3 
18 18 − X2 12 
RA  − + 12 

Tabulación de valores:

X (m) RA
0 0

0.50 0.9803
1.00 0.9259
1.50 0.8438
2.00 0.7407
2.50 0.6238
3.00 0.5000
3.50 0.3761
4.00 0.2592
4.50 0.1562
5.00 0.0741
5.50 0.0197
6.00
0

Gráfica:

PUENTES VII-36

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

EJEMPLO VI1.11 En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento
flector en el apoyo A .

X1 B
A

6m

Solución.-

Procedimiento:

a) Liberamos el momento flector en el apoyo A y lo expresamos como una fuerza
externa F1 para obtener el siguiente modelo:

X 1
F1 A
B

6m

b) El modelo tomado puede expresarse como:

X1 B A B
AP + 1 a11 F

a1P 6m 1

6m

Donde P es un punto cualquiera de la viga.
En razón que en A el giro es nulo, podemos plantear la siguiente ecuación:

a1P + a11F1 = 0

Como:
a1P = aP1 (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

F1 = MA

PUENTES VII-37

Luego: MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén
Es decir:
aP1 + a11(MA ) = 0

MA = − aP1
a11

c) Para obtener MA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión
a11 por cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga
conjugada:

1A aP1 B

a11

6m

VIGA CONJUGADA:

(6-X) MB

1 6 MB X

6

++

A' B'
R 3 3MB
A' X
(6-X)

6m

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones
estáticas:

∑ FV = 0 : R A' − 3 − 3MB = 0 (1)
∑ MA' = 0 : 3(2) + 3MB (4) = 0 (2)

Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene:

MB = −0.5 R A' =1.5

Cálculo de a11:

a11(EI) = R A' =1.5

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

aP1(EI) = R A' (X) − 1 (1)(X)(2X ) − 1 X.( 6 − X )( X ) − 1 X( MB .X)( X )
2 3 2 6 3 2 6 3

PUENTES VII-38

MSc. Ing. Arturo Rodríguez Serquén

aP1(EI) =1.5X − X2 − X2(6 − X) + X3
3 36 72

d) Para la construcción de MA tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

1  X2 X2 (6 − X) X 3 
1.5X − 3 36 
MA = − 1.5  − + 72 

Tabulación de valores:

X (m) MA
0 0

0.50 -0.4201
1.00 -0.6944
1.50 -0.8438
2.00 -0.8889
2.50 -0.8507
3.00 -0.7500
3.50 -0.6076
4.00 -0.4444
4.50 -0.2812
5.00 -0.1389
5.50 -0.0382
6.00
0

Gráfica: