Modul Matematika Wajib Kelas XI Limit

SEMESTER 2
1

DAFTAR ISI

COVER …………………………………………………… i
DARTAR ISI …………………………………………………… ii
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………… iii

PENDAHULUAN

A. Identitas Modul …………………………………………………… iv
iv
B. Kompetensi Dasar …………………………………………………… iv
iv
C. Tujuan Pembelajaran …………………………………………………… v
1
D. Deskripsi Singkat Materi ……………………………………………………

E. Petunjuk Penggunaan Modul ……………………………………………………

PETA KONSEP ……………………………………………………

URAIAN MATERI

A. Limit Berhingga Fungsi Aljabar ……………………………………………….… 2

B. Teorema limit …………………………………………………… 4

C. Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar …………………………………………… 8

RANGKUMAN …………………………………………………… 9

TABEL REFLEKSI DIRI …………………………………………………… 10

GLOSARIUM …………………………………………………… 11

DAFTAR PUSTAKA ………………………….………………………… 12

2ii

LEMBAR PENGESAHAN

Bekasi, Februari 2021

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran,
Kepala SMA Widya Nusantara,

Dra. Hj. Sri Rohimi Lusi Suqilma A.C, S.Pd

Pengawas Pembina
Diknas Kota Bekasi,

Drs. H. Sujadi, M.Pd
NIP. 196512191991031004

i3ii

PENDAHULUAN

A. Identitas Modul : Matematika Wajib
Mata Pelajaran : XI
Kelas : 16 jam pelajaran
Alokasi Waktu : Limit Fungsi Aljabar
Judul Modul

B. Kompetensi Dasar
3.5 Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional) secara
intuitif dan sifat-sifatnya, serta menentukan eksistensinya.
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar.

C. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan :
1. Siswa mampu memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan
konseptual pada bidang kajian materi limit fungsi aljabar.
2. Siswa mampu memahami, menerapkan, menganalisis dan menalar tentang
limit berhingga fungsi aljabar.
3. Siswa mampu memahami teorema limit.
4. Siswa mampu memahami, menerapkan, menganalisis dan menalar tentang
limit tak hingga fungsi aljabar.

D. Deskripsi Singkat Materi
Modul ini disusun sebagai salah satu alternatif sumber bahan ajar siswa untuk

memahami materi Limit Fungsi Aljabar di kelas XI matematika wajib. Melalui modul
ini siswa diajak untuk memahami konsep limit fungsi aljabar, limit berhingga fungsi
aljabar, teorema limit dan limit tak hingga fungsi aljabar. Aplikasi limit dalam
kehidupan nyata banyak digunakan di bidang ekonomi, kimia, dan fisika. Seperti
pembuatan tanggal kadaluarsa makanan, menghitung biaya rata-rata serta bunga,
menghitung kecepatan jatuhnya benda dan masih banyak lagi aplikasi limit pada
bidang lainnya.

i4v

E. Petunjuk Penggunaan Modul
Modul ini dirancang untuk memfasilitasi siswa dalam melakukan kegiatan

pembelajaran secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah
petunjuk penggunaan modul berikut :

1. Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.
2. Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran

secara berurutan.
3. Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan.
4. Kerjakan latihan soal yang disediakan.
5. Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk

melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.
6. Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk

refleksi dari penguasaan Anda terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.
7. Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada

kesungguhan Anda untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.

5v

PETA KONSEP
61

LIMIT FUNGSI ALJABAR

A. Limit Berhingga Fungsi Aljabar
Misalkan diketahui sebuah fungsi ( ) = 2−−24. Grafik untuk fungsi tersebut dapat dapat
dilihat pada gambar dibawah.

Jika x = 2 maka (2) = 22−4 = 0 sehingga f(2) tak terdefinisi. Jika kita cari nilai f(x)

2−2 0

untuk mendekati 2 maka nilai fungsinya dapat dilihat pada table berikut :

Jadi dikatakan bahwa nilai pendekatan f(x) untuk x mendekati 2 adalah 4, baik
pendekatan dari kiri ataupun pendekatan dari kanan atau ditulis :

Dari pendekatan contoh diatas dapat disimpulkan bahwa pengertian limit secara
intuitif adalah sebagai berikut :

Jika lim → ( ) = maka dapat diartikan bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan
dari c, maka f(x) dekat ke L. Jika a adalah bilangan real berhingga, maka dalam
menentukan nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dapat dilakukan dengan cara
mensubstitusikan nilai a kefungsi f(x) atau lim → ( ) = ( ).

Tetapi jika f(x) adalah fungsi pecahan dimana ( ) = ( ) maka ada kemungkinan

ℎ( )

hasil substitusinya tak terdefinisi, yaitu :

Untuk dua bentuk diatas, fungsi f(x) nyaharus disederhanakan terlebih dahulu

sehingga ketika disubstitusikan nilai f(a) tidak lagi 0 atau ∞∞. Sebagai contoh :
0

72

Latihan Soal
1. Tentukanlah hasil setiap limit berikut ini :

Jawab : ………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………

2. Tentukanlah hasil setiap limit berikut ini :

Jawab : ………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………

3. Tentukanlah hasil setiap limit berikut ini :

Jawab : ………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………
………...………………………………………………………………

~ SELAMAT MENGERJAKAN ~
83

B. Teorema Limit

Teorema 1
Jika dan adalah konstanta, maka lim → = .
Contoh :
lim →5 6 = 6

Teorema 2
Jika adalah suatu konstanta dan adalah suatu fungsi dari , maka lim → ( ) = ( ).
Contoh :
lim →3(2 − 5) = 2(3) − 5 = 6 − 5 = 1

Teorema 3

Jika dan fungsi-fungsi dari , dan adalah suatu konstanta, maka lim → [ ( ) ±
( )] = lim → ( ) ± lim → ( ).

Contoh :

lim →5(2 − ) + ( + 3) = lim →5(2 − ) + lim( + 3)

→5

= (2 − 5) + (5 + 3) = −3 + 8 = 5

Teorema 4

Jika dan fungsi-fungsi dari dan adalah suatu konstanta, maka

lim → [ ( ). ( )] = lim → ( ). lim → ( ).

Contoh :

lim →5(2 − )( + 3) = lim →5(2 − ). lim( + 3)

→5

= (2 − 5) × (5 + 3) = −3 × 8 = −24

Teorema 5

Jika dan fungsi-fungsi dari , dan adalah suatu kostanta, maka lim → ( ( ) ) =

( )

lim → ( ) dengan lim → ( ) ≠ 0.
lim → ( )

Contoh :

lim →5 (3 +4) = lim →5 3 +4
lim →5 2 −3
2 −3

= 3(5)+4 = 15+4 = 19

2(5)−3 10−3 7

Teorema 6

Jika adalah fungsi-fungsi dari , suatu konstanta, dan adalah bilangan bulat, maka

11

lim[ ( )] = [lim → ( )] . Ruas kiri mempunyai limit jika:

→

a. lim → ( ) > 0, jika genap, dan
b. lim → ( ) ≠ 0, jika < 0.

49

Contoh :

11

lim →2 3 = (lim →2 )3

1 = 3√2

= 23

Menentukan Limit dengan Pemfaktoran

Metode ini pada umumnya digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar pada

fungsi rasional.

Contoh:

Tentukan nilai lim →1 2−1
−1

lim →1 2−1 = lim →1 ( +1)( −1)
−1 −1

= lim →1 + 1

=1+1

=2

Menentukan Limit dengan Merasionalkan Bentuk Akar

Bentuk akar pada umumnya tidak mudah untuk difaktorkan, maka agar pecahan dapat

disederhanakan, pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar sekawannya.

Contoh:

Tentukan nilai lim →2 3−√4 +1
−2

lim →2 3−√4 +1 = lim →2 3−√4 +1 . 3+√4 +1
−2 −2
3+√4 +1

= lim →2 9−(4 +1)
( −2)(3+√4 +1)

= lim →2 8−4
( −2)(3+√4 +1)

= lim →2 −4 ( −2)
( −2)(3+√4 +1)

= lim →2 −4
(3+√4 +1)

= −4
(3+√4(2)+1)

= −2
3

Limit Suku Banyak (Polinomial)

Jika ( ) dan ( ) adalah suku banyak, maka:

1. lim → ( ) = ( ), ∈

2. lim → ( ) = ( )
( ) ( )

Contoh:

1. lim →−1 4 3 + 5 2 − 3 − 2 = 4(−1)3 + 5(−1)2 − 3(−1) − 2 = 2

2. lim 2 3−4 2+5 +1 = 2(0)3−4(0)2+5(0)+1 = − 1
2−4 (0)2−4 4
→0

150

Latihan Soal A. 5
1

lim 2 + 3

→0

2 B. 3

lim − 1

→1 2 − 1

3 C. 5
4
2 + − 6
lim
− 2
→2

4 D. 7

lim √ − 2
− 4
→4

5 E. 1
2
+ 3
lim
2 − 3
→−3

6 F. 1
4
6 5 − 7
lim
3 2 −
→0

161

7 G. −1

2 + 4 − 21 9

lim − 3

→3

8 H. 5
11
2 − 5 + 6
lim
2 + 2 − 8
→2

9 I. −1

2 − − 6 6

lim 2 2 − − 15

→3

10 J. 10
4 −

lim
→4 5 − √ 2 + 9

~ SELAMAT MENGERJAKAN ~

172

C. Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar
Limit fungsi aljabar x → ∞ dengan bentuk tak tentu, dapat diselesaikan dengan:

n = pangkat x tertinggi (derajat) pembilang

m = pangkat x tertinggi (derajat) penyebut

1) Jika n = m, 2) Jika n > m, 3) Jika n < m,

Contoh :

Latihan Soal

1 lim 2 2 − 3 + 4 = ⋯. 6 lim 4 4 + 3 3 − 4 2 − 3 = ⋯.

→∞ 5 2 + 7 − 1 →∞ 4 + 3 + 10 2 − 2

2 lim 2x2 + x − 3 = ⋯. 7 lim 6 3 + 3 2 + 1 = ⋯.

→∞ x+1 →∞ 3 3 − 2

3 lim 2x2 − x + 5 = ⋯. 8 lim x4 = ⋯.

→∞ 4 3 − 1 →∞ 2x3 + 1

4 lim 2x2 + x − 3 = ⋯. 9 lim 5x5 + x4 − 3x3 + 2 + 1 = ⋯.

→∞ x+1 →∞ 2x3 + x2 + 3

5 lim x2 = ⋯. 10 lim x6 = ⋯.

→∞ x + 1 →∞ 10x4 + 4x3 + 4x2 + − 1

~ SELAMAT MENGERJAKAN ~

183

RANGKUMAN
194

TABEL REFLEKSI DIRI

No Pernyataan Ya Tidak Keterangan

1 Mampu memahami limit berhingga fungsi

aljabar

2 Mampu memahami teorema limit

3 Mampu menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan limit tak hingga fungsi

aljabar

Catatan : Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran.

Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran

berikutnya.

150

GLOSARIUM

LIMIT : Batas nilai suatu fungsi f(x) untuk nilai x mendekati a dari kanan (a+) dan
kiri (a-).

DALIL : Kebenaran yang diturunkan dari suatu aksioma.

PEMBILANG : Suatu bilangan atau angka yang akan dibagi.

PENYEBUT : Pembagi suatu bilangan (angka yang akan membagi suatu bilangan).

TEOREMA : Suatu pernyataan tentang matematika yang masih memerlukan pembuktian
serta pernyataanya dapat ditunjukkan nilai kebenarannya atau juga bernilai
benar.

1161

DAFTAR PUSTAKA
Defantri. 2017. Modul Matematika SMA. Kumpulan Modul Matematika SMA Kurikulum
2013 Suplemen Pembelajaran Jarak Jauh | defantri.com. 01 Januari.
Anonim. 2013. Limit Fungsi Aljabar. MATERI78 (Wordpress.Com). 01 Januari.

1127