Statistika

BAB

1 STATISTIKA

Kata Kunci Standar Kompetensi

 Statistika  Hamparan 1. Membaca data dalam bentuk tabel dan
 statistik  Simpangan rata-rata diagram batang, garis, lingkaran, dan
 Diagram  Simpangan baku ogive.
 Mean  Sampel
 Median  Populasi 2. Menyajikan data dalam bentuk tabel dan
 Modus diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive
serta penafsirannya

3. Menghitung ukuran pemusatan, ukuran
letak, dan ukuran penyebaran data, serta
penafsirannya.

Kompetensi Dasar

 Mengidentifikasi nilai suatu data yang
ditampilkan pada tabel dan diagram.

 Menyajikan data ukuran dalam bentuk
diagram batang, garis, dan lingkaran.

 Menyajikan data tunggal dalam tabel
distribusi frekuensi.

 Menyajikan data tidak tunggal dalam tabel
distribusi frekuensi.

 Memahami tabel distribusi frekuensi
kumulatif dan relatif.

 Menyajikan data dalam bentuk histogram,
poligon, dan kurva ogive.

 Menghitung mean, median, dan modus
data tunggal dan data kelompok.

 Menghitung kuartil, desil, dan persentil
pada data tunggal dan data kelompok.

 Menghitung jangkauan, harapan,
jangkauan semi antarkuartil, simpangan
rata-rata, varians, dan simpangan baku
pada data tunggal dan data kelompok.



2 Bab 1 Statistika

Tahukah Kamu?

SEJARAH STATISTIKA

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah dalam
bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan
negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau
"politikus").

Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik
dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai
nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan
mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)".
Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti
menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan
nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-
mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan.
Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur
untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang
dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas
digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh
kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi),
Karl Pearson (metode regresi linear), dan (meneliti problem sampel berukuran kecil).
Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang
ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan
cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam
metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau
biostatistika), dan psikometrika.

Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi
sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan
matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar
masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen
tersendiri maupun tergabung dengan matematika.

Matematika SMK Kelas XII

Pengumpulan STATISTIKA Bab 1 Statistika
mempelajari 3

Penyajian Peta Konsep

Pengolahan

Tabel Diagram

Tabel distribusi frekuensi batang

distribusi distribusi Histogram, garis Ukuran
frekuensi frekuensi poligon, & lingkaran Statistika
kumulatif
relatif ogive

Ukuran Ukuran Ukuran Letak
Pemusatan penyebaran

Mean Modus Median Kuartil Desil Persentil

Jangkauan Simpangan Varians
Kuartil

Hamparan Simpangan Simpangan
Rata-Rata Baku

Matematika SMK Kelas XII

4 Bab 1 Statistika

Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita menerima atau Catatan
membaca beraneka ragam laporan dalam bentuk angka atau

diagram. Laporan dalam bentuk angka atau diagram tersebut Untuk memperoleh
disebut statistik. Misalnya, sebuah penerbit melaporkan hasil gambaran atau kesimpulan
produksinya untuk lima tahun terakhir, atau sebuah sekolah yang benar (mendekati
melaporkan rata-rata nilai masing-masing mata pelajaran setiap benar) mengenai sebuah
ulangan umum. populasi, sampel atau
contoh yang diambil
Statistika merupakan salah satu cabang matematika yang diupayakan dapat mewakili
mempelajari: (representatif) populasi itu.

 Cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian

data dengan sistematis, agar data-data itu dapat dipahami dengan jelas (Statistika

deskriptif)

 Menganalisis dan menafsirkan data-data agar dapat digunakan untuk pengambilan

keputusan, perencanaan, dan kesimpulan dengan tepat dari sifat-sirat data tersebut

(Statistika inferensial)

Dalam suatu penelitian sering melibatkan istilah populasi dan sampel. Populasi adalah seluruh

objek yang akan diteliti sedangkan sebagian dari populasi yang benar-benar diamati disebut

sampel.

A. PENGUMPULAN DATA

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu sebagai berikut.
1. Data kuantitatif
Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif
terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran.
a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara membilang.
Misalnya, data tentang banyak anak dalam keluarga.
b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur.
Misalnya, data tentang ukuran tinggi badan murid .
2. Data kualitatif
Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan. Data kualitatif berupa ciri,
sifat, atau gambaran dari kualitas objek. Data seperti ini disebut atribut. Sebagai contoh,
data mengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang, dan kurang.

Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan wawancara, mengisi lembar
pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang
sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
5

B. PENYAJIAN DATA

Data yang dikumpulkan untuk laporan atau akan dianalisis lebih lanjut perlu diatur, disusun,
disajikan dengan jelas dan baik, yaitu biasanya disajikan dalam bentuk tabel/daftar dan
diagram/grafik. Penyajian data yang demikian memudahkan orang untuk membaca data itu
atau lebih dimengerti oleh pembaca atau orang yang membuat keputusan berdasarkan data
tersebut.

1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

Untuk menyusun sekumpulan data yang urutannya belum tersusun secara teratur, data
tersebut disajikan dalam bentuk tabel. Sebuah tabel umumnya terdiri dari beberapa
bagian: judul tabel, judul kolom, judul baris, badan tabel, catatan dan sumber data.
Penyajian data dalam bentuk tabel mengutamakan keakuratan dan ketepatan datanya,
meskipun secara tampilan tidak menarik. Kita perhatikan contoh tabel perkiraan cuaca
berikut.

Contoh 1.1 Tabel 1.1 Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di Indonesia

Kota Cuaca Suhu (◦C) Kelembaban (%)

Ambon Berawan 23-33 61-95

Bandung Hujan 19-29 65-95

Denpasar Hujan 25-31 73-96

Jakarta Hujan 25-33 65-93

Jayapura Hujan 24-33 60-90

Makasar Hujan 24-33 66-90

Medan Hujan 24-30 63-93

Palembang Hujan 23-32 68-98

Pontianak Hujan 24-33 65-96

Semarang Hujan 24-32 58-92

Surabaya Hujan 24-33 56-92

Djogyakarta hujan 24-33 58-93

Sumber : Seputar Indonesia, 22 Januari 2007

Dari contoh table 1.1

Judul tabel : Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di Indonesia

Judul kolom : Kota, Cuaca, Suhu, dan Kelembaban

Judul baris : Ambon, Denpasar, Bandung,…, Djogjakarta

Badan Tabel : data cuaca (berawan, hujan), data suhu dan data kelembaban

Sumber : Seputar Indonesia, 22 Januari 2007

Matematika SMK Kelas XII

6 Bab 1 Statistika

Dengan menyajikan data seperti itu, kita dapat dengan mudah membaca table itu, sebagai
contoh; pada hari Senin, 22 Januari 2007, di kota Denpasar diperkirakan hujan, suhu 25◦C-
31◦C dan kelembaban 73%-96%.

2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
a. Diagram Batang
Diagram batang adalah suatu penyajian data dengan menggunakan batang-batang
berarah vertikal atau horizontal. Pada diagram ini antara batang satu dengan yang
lainnya diberikan jarak sehingga letak tiap batang tadi tampak terpisah. Pada diagram
batang juga dilengkapi dengan skala sehingga nilai dapat dibaca dari diagram tersebut.

Contoh 1.2 Tahun Banyaknya Data banyaknya sepeda
Sepeda motor motor di suatu wilayah
Tabel 1.2 Data 2007 pada tahun 2007 sampai
dari tahun 2007- 2008 1539 dengan 2011 disajikan
2009 1970 pada tabel 1.2 berikut.
2010 3144
2011 4405 Banyaknya Sepeda Motor
5931 2011

Bentuk diagram batangnya disajikan pada Gambar 1.1

Banyaknya Sepeda Motor di sebuah Wilayah pada Tahun
2007, 2008, 2009, 2010, dan 2011

7000 tahun 2011
2010
6000 2009
banyak- 2008
2007
nya 5000
sepeda 4000 0 2000 4000 6000 8000
motor banyaknya sepeda motor

3000 (a) Diagram Batang Mendatar

2000

1000

0
2007 2008 2009 2010 2011
tahun

(b) Diagram Batang Tegak

Gambar 1.1 diagam batang

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
7

b. Diagram Garis
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut
diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk
menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu
secara berurutan.
Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar
(horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu
mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat. Adapun sumbu
tegaknya menyatakan frekuensi data.
Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai berikut.

Buatlah suatu koordinat Gambarlah titik koordinat Secara berurutan sesuai
(berbentuk bilangan) yang menunjukkan data dengan waktu,
pengamatan pada waktu
dengan sumbu mendatar hubungkan titik titik
menunjukkan waktu dan t. koordinat tersebut
dengan garis lurus.
sumbu tegak
menunjukkan data

pengamatan.

Contoh 1.3
Hasil penjualan gula pasir di distributor Seroja pada periode Januari-Juli

2010 ditunjukan pada Tabel 1.3 berikut.

Bulan Jan. Feb. Mar. Apr. Mei Juni Juli

Jumlah (ons) 10 15 30 35 25 45 60

Data tersebut dapat ditunjukan dalam diagram garis seperti pada Gambar 1.2

70

60

50

jumlah (ons) 40

30

20

10

0 Juli
Jan. Feb. Mar. Apr. Mei Juni

bulan

Gambar 1.2 diagam garis

Matematika SMK Kelas XII

8 Bab 1 Statistika

c. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang
berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian atau
persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu
ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya
sudut pusat sektor lingkaran.

Contoh 1.4

Daftar jumlah siswa kelas XI A yang mengambil pelajaran ekstrakurikuler adalah sebagai

berikut. Tabel 1.3 Data Anggota Ekstrakurikuler

Ekstrakurikuler Banyaknya Siswa

Musik 9
Tari 5
Bulutangkis 6
Basket 8
Lain-lain 12

Menentukan besar presentase setiap objek terhadap keseluruhan data dan besar sudut

pusat sektor lingkaran sebagai berikut.

Ekstrakurikuler Jumlah persen Sudut pusat
Musik 9

Tari 5

Bulutangkis 6

Basket 8

Lain-lain 12

40

Data Anggota Ekstrakurikuler

Jadi, gambar dari Lain-lain 22,5%
diagram lingkarannya 30% 12.5%
adalah seperti
gambar di samping. Basket Bulutangkis
20% 15%

Gambar 1.3 diagram lingkaran

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
9

Tugas kelompok

Carilah data yang berhubungan dengan tabel, diagram batang, diagram garis
dan diagram lingkaran dari koran, majalah atau internet.

1. Catatlah informasi apa saja yang dapat diketahui dari data tersebut.
2. Kumpulkan dalam bentuk kliping, lengkap dengan judul, keterangan, dan sumber

informasi.
3. Pilihlah salah satu dari data tersebut untuk diinformasikan kepada teman-temanmu.

3. Distribusi Frekuensi

Seringkali kita menjumpai sekumpulan data amatan dalam jumlah atau ukuran yang besar

untuk dianalisis. Ukuran data yang besar ini dapat disederhanakan dengan cara

menentukan banyak nilai amatan yang sama, atau banyak nilai amatan yang terletak pada

interval tertentu. Banyak nilai amatan yang sama atau banyak nilai amatan yang terletak

pada interval tertentu itu disebut frekuensi. info
Tabel yang memuat nilai amatan atau nilai amatan yang terletak

pada interval tertentu bersama-sama frekuensinya disebut sebagai Dengan

tabel distribusi frekuensi. Sebagai konsekuensi dua amatan ini, maka menggunakan tabel

kita mempunyai dua macam; tabel distribusi frekuensi tunggal dan distribusi frekuensi,
tabel distribusi terkelompok. data akan lebih

mudah digunakan

a. Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal untuk keperluan
Untuk memahami cara membuat tabel ini, kita perhatikan hasil statistika

ujian semester mata pelajaran Matematika 30 sisiwa:

80 30 50 70 70 70 40 80 90 50

80 90 70 70 60 60 60 70 50 60

60 60 70 60 60 80 80 80 60 70

catatan Dari kumpulan dia atas kita dapat membaca bahwa:
1 siswa mendapat nilai 30
Turus (tally) adalah cara 1 siswa mendapat nilai 40
mudah menghitung 3 siswa mendapat nilai 50
frekuensi. Banyak kelas 9 siswa mendapat nilai 60
biasanya diambil paling 8 siswa mendapat nilai 70
sedikit 5 dan paling

banyak 20. 6 siswa mendapat nilai 80

2 siswa mendapat nilai 90

Matematika SMK Kelas XII

10 Bab 1 Statistika

Keterangan-keterangan ini tentu saja akan lebih praktis apabila kita sajikan seperti

dalam tabel berikut ini.

Tabel 1.4

Nilai Ujian (xi) Turus Banyak siswa/ frekuensi (fi)
30 I 1

40 I 1

50 III 3

60 IIII IIII 9

70 IIII III 8

80 IIII I 6

90 II 2

Penyajian data seperti Tabel 1.4 disebut tabel distribusi frekuensi tunggal. Dari tabel ini

dengan cepat dapat ditemukan berapa banyak frekuensi siswa yang memperoleh nilai

30, 40 dan seterusnya.

b. Tabel Distribusi Kelompok

Jika kita dihadapkan pada kelompok data amatan yang sangat besar ukurannya, maka

pembuatan tabel distribusi frekuensi tunggal juga kurang efektif. Untuk kasus demikian

akan lebih baih apabila kumpulan data tersebut kita kelompokan ke dalam beberapa

kelas interval terlebih dahulu.

Berikut ini adalah tabel berat badan siswa kelas XI IPA

Tabel 1.5

Panjang Benda (dalam cm) Turus Frekuensi (fi)
71 - 80 II 2

81 - 90 IIII 4

91 – 100 IIII IIII IIII IIII IIII 25

101 – 110 IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII II 47

111 – 120 IIII IIII IIII III 18

121 – 130 IIII 4

Dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok ada beberapa pengertian dan aturan

yang perlu dipahami.

1. Kelas

Kelas adalah interval suatu data yang memuat beberapa data. Tabel di atas memuat

6 kelas yaitu kelas pertama 71-80, kelas kedua 81-90, kelas ketiga 91-100 dan

seterusnya.

2. Batas Kelas

Pada setiap kelas nilai terkecil disebut batas bawah dan nilai terbesar disebut batas

atas kelas. Sebagai contoh pada kelas interval 91-100 batas bawahnya 91 dan batas

atasnya adalah 100.

3. Tepi Kelas

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
11

Tepi kelas adalah setengah dari jumlah batas atas dan batas bawah dua kelas
interval yang berurutan. Sebagai contoh, kelas pertama 71 – 80 dan kelas kedua 81
– 90 maka tepi kelas adalah ( ) yang merupakan tepi atas(ta) kelas

pertama dan tepi bawah(tb) kelas kedua.
4. Panjang Kelas

Jika masing-masing kelas mempunyai panjang yang sama, maka panjang kelas
merupakan selisih antara tepi atas dengan tepi bawah.

Panjang kelas = tepi atas – tepi bawah
Panjang kelas disebut juga lebar kelas atau interval kelas.
5. Titik Tengah Kelas
Titik tengah sebuah kelas adalah suatu nilai yang dapat dianggap mewakili kelas itu.
Titik tengah kelas disebut juga nilai tengah kelas atau rataan kelas dan ditetapkan
sebagai berikut.

Titik tengah = (batas bawah + batas atas)

Menyusun Tabel Frekuensi Berkelompok
Sebelum menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok sebaiknya terlebih dahulu
data diurutkan dari datum terkecil sampai datum terbesar.
Data yang telah diurutkan seperti itu disebut statistika jajaran atau statistika
peringkat. Dari statistika jajaran dapat ditetapkan nilai datum terkecil, disebut statistika
minimum yaitu xmin=x1 dan nilai datum terbesar, disebut statistik maksimum, yaitu
xmaks=xn. Kedua statistik ini (xmin dan xmaks) disebut sebagai statistik-statistik ekstrim.
Tabel distribusi frekuensi berkelompok dapat disusun melalui langkah-langkah sebagai
berikut.

•menentukan nilai data terbesar (xmaks ) dan nilai data terkecil (xmin )

1 kemudian tentukan rentang atau jangkauannya, yaitu: R = xmaks - xmin

•tentukan banyak kelas (k) dari n buah data berdasarkan aturan Sturgess,

2 yaitu k = 1 + 3,3 log n

•menentukan panjang kelas atau interval kelas dengan rumus:

3 panjang kelas= rentang/banyak kelas

•dengan menggunakan nilai panjang kelas yang diperoleh pada step 3,

4 tetapkan kelas-kelasnya sehingga mencakup semua nilai amatan

•tentukan frekuensi setiap kelasnya dengan menggunakan sistem turus.

5 kemudian susunlah tabel distribusi frekuensi berkelompok

Matematika SMK Kelas XII

12 Bab 1 Statistika

Contoh 1.5

Suatu data diperoleh dari 40 kali pengukuran (teliti sampai mm terdekat) sebagai
berikut.
157 149 125 144 132 156 164 138 144 152
148 136 147 140 158 146 165 154 119 163
176 138 126 168 135 140 153 135 147 142
173 146 162 145 135 142 150 150 145 128
Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok untuk data tersebut!
Jawab:
Banyak data, n = 40
Nilai statistik minimum xmin = 119, dan nilai statistik maksimum xmaks = 176.
1. Rentang (R) = xmaks - xmin = 176 – 119 = 57
2. Banyaknya kelas (k) = 1 + 3,3 log n = 1+ 3,3 log 40 6,286...

Banyak kelas dibulatkan ke atas menjadi k=7 buah.

3. Panjang kelas = = = 8,1428...

Panjang kelas dibulatkan ke atas menjadi 9.

4. Dengan panjang kelas 9 dan nilai statistik minimum ditetapkan Catatan

sebagai batas bawah kelas pertama (tidak harus demikian), Dalam menentukan
maka diperoleh kelas-kelas dan titik-titik tengah kelas sebagai banyak kelas dengan

berikut. menggunakan kaidah
Kelas pertama 119-127 dengan titik tengah 123, empiris Sturgess, nilai
Kelas ketiga 128-136 dengan titik tengah 132, k yang diperoleh nilai k
Kelas kedua 137-145 dengan titik tengah 141, nukan bilangan bulat.
Kelas keempat 146-154 dengan titik tengah 150, Nilai k itu harus
dibulatkan (ke bawah

Kelas kelima 155-163 dengan titik tengah 159, atau ke atas)
Kelas keenam 164-172 dengan titik tengah 168, dan sedemikian sehingga
Kelas ketujuh 173-181 dengan titik tengah 177. panjang kelas yang
Perhatikan bahwa semua nilai amatan terdistribusikan atau diperoleh merupakan
tersebar dalam kelas-kelas tersebut. bilangan ganjil dan
tidak terlalu besar.

5. Tabel distribusi berkelompok untuk data tersebut dapat ditampilkan dalam tabel

berikut.

Tabel 1.6

Hasil pengukuran Titik tengah (xi) Turus Frekuensi
(mm) (fi)
123 III
119 – 127 132 IIII I 3
128 – 136 141 IIII IIII
137 – 145 6

10

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
13

146 – 154 150 IIII IIII I 11
155 – 163 159 IIII 5
164 – 172 168 III 3
173 - 181 177 II 2

4. Frekuensi Relatif dan Frekuensi Kumulatif
a. Daftar Frekuensi relatif

Daftar frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang frekuensi relatif masing-masing
kelasnya dapat diperoleh dengan menyatakan persentase frekuensi kelas tersebut
terhadap jumlah seluruh frekuensi.
Sebagai contohnya, mari kita lihat lagi Tabel 1.6 dengan ukuran data atau nilai n= 40. Maka
tabel distribusi relatifnya adalah sebagai berikut.

Hasil pengukuran Tabel 1.7 Frekuensi relatif
(mm) Frekuensi

119 – 127 (fi)
3
128 – 136
6
137 – 145
10
146 – 154
11
155 – 163
5
164 – 172
3
173 - 181
2

b. Daftar Frekuensi kumulatif
Daftar distribusi frekuensi kumulatif dapat disusun dari daftar distribusi berkelompok.
Terdapat dua jenis tabel distribusi kumulatif, yaitu
 Frekuensi kumulatif kurang dari (fk kurang dari) -> di definisikan sebagai jumlah
frekuensi semua nilai amatan yang kurang dari atau sama dengan nilai tepi atas
pada tiap-tiap kelas. Dilambangkan dengan fk .
 Frekuensi kumulatif lebih dari (fk lebih dari) -> di definisikan sebagai jumlah
frekuensi semua nilai amatan yang lebih dari atau sama dengan nilai tepi bawah
pada tiap-tiap kelas. Dilambangkan dengan fk .

Matematika SMK Kelas XII

14 Bab 1 Statistika

Sebagai contohnya, mari kita lihat lagi Tabel 1.6 dengan mencantumkan batas atas dan

batas bawah dari tiap kelas intervalnya sehingga diperoleh tabel frekuensi kumulatif

sebagai berikut.

Tabel 1.8

Hasil pengukuran Frekuensi Tepi Tepi atas Frekuensi Kumulatif
(mm) (fi) bawah
127,5 fk ta fk tb
119 – 127 3 118,5 136,5 3 40
128 – 136 6 127,5 145,5
137 – 145 10 136,5 154,5 9 37
146 – 154 11 145,5 163,5
155 – 163 5 154,5 172,5 19 31
164 – 172 3 163,5 181,5
173 - 181 2 172,5 30 21

35 10

38 5

40 2

5. Histogram, Poligon, dan Ogive

Penyajian data yang dikelompokan menurut distribusi frekuensi dapat dinyatakan dengan

grafik yang disebut histogram. Histogram adalah diagram batang yang menyajikan daftar

distribusi berkelompok.

Langkah-langkah untuk membuat histogram suatu data berkelompok adalah sebagai

berikut.

1. Menggambar sumbu horizontal (untuk nilai) dan sumbu vertikal (untuk frekuensi).

2. Menggambar persegi panjang untuk setiap interval. Alas persegi

panjang menunjukan panjang kelas, yaitu dari tepi bawah kelas info
sampai tepi atas kelas, sedangkan tinggi persegi panjang

menunjukan frekuensinya.

3. Di atas setiap persegi panjang dapat ditulis frekuensi masing- Kata Histogram

masing agar histogram mudah dibaca. berasal dari bahasa
Jika titik-titik tengah dari sisi atas tiap persegi panjang yang Yunani, yaitu histo
berdekatan pada histogram dihubungkan maka akan diperoleh yang berarti kertas
grafik garis yang disebut poligon frekuensi. dan gram yang
berarti menulis atau

menggambar

Sebagai contoh, Histogram dan poligon frekuensi dari tabel daftar

distribusi kumulatif (Tabel 1.8) disajikan pada gambar berikut.

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
15

Gambar 1.4 histogram dan poligon frekuensi

12
11

10 histogram

10

8 poligon
6
5
6
3
4 2
3

2

0
118,5 127,5 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5 181,5

Ogive (poligon distribusi frekuensi kumulatif) adalah bentuk kurva dari daftar distribusi
frekuensi kumulatif.
Ogive terdiri dari ogive positif (ogive kurang dari) dan ogive negatif (ogive lebih dari).

 Ogive positif dibentuk dengan menghubungkan titik-titik dengan tepi atas sebagai
absis dan frekuensi kumulatif kurang dari sebagai ordinat.

 Ogive negatif dibentuk dengan menghubungkan titik-titik dengan tepi bawah
sebagai absis dan frekuensi kumulatif lebih sebagai ordinat.

Dengan kata lain ogive positif adalah poligon frekuensi kumulatif kurang dari.
Sedangkan ogive negatif adalah poligon frekuensi kumulatif lebih dari.

Gambarlah ogive dari data pada Tabel 1.8!
Jawab:
a) Ogive positif

Gambar 1.5 45 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5 181,5
ogive positif 40
35
Matematika SMK Kelas XII 30
25
20
15
10

5
0

127,5

16 Bab 1 Statistika

b) Ogive negatif 45
40
Gambar 1.6 35
ogive negatif 30
25
20 118,5 127,5 136,5 145,5 154,5 163,5 172,5
15
10

5
0

LATIHAN 1

1. Data berikut diperoleh dari pencatatan banyak hewan ternak yang dipelihara oleh 40

warga dalam sebuah desa (dalam satu desa diambil 40 sampel warga).

14354243 3 2
34254415 3 4
34526435 4 1
24364143 4 2
a) Buatlah tabel distribusi frekuensi tunggal untuk data tersebut!

b) Berapa persen warga yang memiliki

(i) 2 hewan ternak atau kurang?

(ii) 3 hewan ternak atau kurang?

c) Berapa persen warga yang memiliki

(i) 4 hewan ternak atau lebih?

(ii) 5 hewan ternak atau lebih?

2. Berikut ini adalah data nilai ulangan matematika dari 40 siswa kelas XI.

67 68 69 73 66 78 60 55 63 46
51 40 72 82 38 65 62 54 69 68
61 60 52 79 54 67 62 66 87 65
72 64 60 71 75 67 91 47 53 62
Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok dari data di atas!

3. Dalam tabel berikut menunjukan waktu tempuh (dalam menit) 100 peserta lomba jalan

cepat

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
17

Waktu (menit) Frekuensi

40-44 4

45-49 6

50-54 13

55-59 22

60-64 30

65-69 18

70-74 7

a) Gambarlah histogram dan poligon frekuensinya!

b) Gambarlah ogive kurang dari berdasarkan data tersebut!

c) Gambarlah ogive lebih dari berdasarkan data tersebut!

Berpikir Kontras

4. tentukan tabel distribusi data kelompok, lengkap dengan frekuensi kumulatifnya
berdasarkan histogram dan poligon frekuensi berikut!

5. Tentukan tabel distribusi frekuensi data kelompok lengkap dengan frekuensi
kumulatifnya berdasarkan kurva ogive berikut!

Matematika SMK Kelas XII

18 Bab 1 Statistika

C. PENGOLAHAN DATA

1. Ukuran Pemusatan Data

Nilai statistika yang dapat menggambarkan keadaan suatu data antara lain adalah mean
(rataan hitung), modus, dan median dengan menyatakan ukuran pemusatan data.

1) Rataan Hitung (Mean)
a. Rataan hitung (Mean) pada data tunggal

Definisi adalah:
Rataan hitung ( ̅) dari data tunggal
n
̅
 xi

i 1

n

Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatif dinyatakan dengan

frekuensi (terdapat buah datum) dengan setiap datum mempunyai
Maka rataan hitung ( ̅) ditentukan oleh rumus berikut.

n

 xi

̅ i1
n
 fi
i 1

Jika data pertama dengan jumlah mempunyai rata-rata ̅ , data kedua dengan
jumlah mempunyai rata-rata ̅ , dan seterusnya, maka rata-rata gabungan dari

data tersebut adalah

̅ ̅̅̅

b. Rataan hitung (Mean) pada data kelompok
Untuk data yang disajikan dalam daftar distribusi frekuensi, maka rataan hitungnya
dapat ditentukan dengan rumus:

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
19

k

 fi xi

̅ i1
k
 fi
i 1

dengan: = titik tengah kelas interval

= frekuensi dari

= banyaknya kelas interval

Selain menggunakan cara di atas, kita dapat menentukan rataan dari sekumpulan
data dengan terlebih dahulu menentukan rataan sementaranya. Rataan sementara
biasanya diambil dari nilai tengah yang mempunyai frekuensi terbesar. Terdapat
dua cara dalam menghitung rataan setelah rata-rata sementara ditentukan, yaitu
cara simpangan rataan dan cara pengkodean (coding).

1) Cara Simpangan Rataan
Rataan Hitung dengan cara simpangan rataan dapat ditentukan dengan

rumus sebagai berikut.

k dengan ̅ = ratan sementara
=simpangan terhadap ̅
 fidi ̅

̅ ̅ i1
k
 fi
i 1

2) Cara Pengkodean (Coding)
Rataan Hitung dengan cara pengkodean dapat ditentukan dengan rumus
sebagai berikut.

̅̅ k Catatan

 fi  di Cara coding
i 1 dimaksudkan untuk
menghindari
k perkalian yang besar
( ( fi  xi atau fi  di )
fi )

i 1

dengan = panjang kelas interval

= kode
̅

Matematika SMK Kelas XII

20 Bab 1 Statistika

Contoh 1.6

1. Tentukan rataan hitung dari data: 4, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 5.

Jawab:

̅ 40  5
8

Jadi, rataan hitungnya adalah .

2. Tiga kelas A, B, dan C berturut-turut terdiri dari 10 siswa, 20 siswa, dan 15 siswa.

Rata-rata nilai gabungan dari ketiga kelas adalah 55. Jika rata-rata nilai kelas A

dan C berturut-turut 56 dan 65, tentukan rata-rata nilai kelas B.

Jawab: dan ̅
Kelas A : dan ̅
dan ̅
Kelas C :
̅̅
Kelas B : ̅
̅

̅

̅

̅

2.475= ̅ +1.535
̅

Jadi, rata-rata nilai kelas B adalah 47.

2) Modus
a. Modus pada data tunggal

Definisi
Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang
mempunyai frekuensi terbesar.

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
21

b. Modus pada data kelompok
Modus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut:

()

dengan: tepi bawah kelas modus

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

= panjang kelas

Contoh 1.7

1. Data: 4, 7, 7, 7, 5, 4, 9 mempunyai modus 7 Nilai Frekuensi
2. Data: 2, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 17 tidak mempunyai modus 50-54 2
3. Tentukan modus dari tabel di sampaing ini. 55-59 4
60-64 6
Jawab 65-69 18
Frekuensi modusnya 18, kelas modusnya 65-69, dan 70-74 9
tepi bawah frekuensi modus ( )=64,5 75-79 15
80-84 6

= 18 – 6 = 12 info
= 18 – 9 = 9
= 69,5 – 64,5 = 5

() Kontribusi Pierre
() Simon Laplace dalam
perkembangan ilmu
matematika adalah
integral, kalkulus,
peluang, dan statistik
inferensia

Matematika SMK Kelas XII

22 Bab 1 Statistika

3) Median

Definisi
Median adalah suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama
banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang
terbesar.

a. Median pada data tunggal dengan
Misalnya terdapat data ()
 Jika ganjil, maka

 Jika genap, maka

b. Median pada data kelompok
Jika data yang tersedia merupakan data kelompok, artinya data itu dikelompokkan
ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untuk mengetahui nilai
mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.

() Ingat!

Dalam menentukan
median, data harus
diurutkan dari yang
terkecil.

dengan: tepi bawah kelas median Catatan
= banyaknya data
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median Kelas median adalah
=frekuensi kelas median kelas dengan frekuensi
= panjang kelas kumulatif mencapai
atau lebih, bukan kelas
Contoh 1.8 yang terletak di tengah.
1. Tentukan median dari bilangan-bilangan berikut.
a) 2, 4, 3, 4, 6, 5, 8, 8, 9
b) 27, 28, 26, 21, 29, 29

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
23

Jawab:

a) =9 (ganjil)
Data yang telah diurutkan: 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9.

Jadi mediannya adalah 5

b) =6 (genap)
Data yang telah diurutkan: 21, 26, 27, 28, 29, 29

( )( ) ( )

Jadi mediannya adalah 27, 5

2. Hitunglah median untuk data berkelompok berikut.

Kelas interval Frekuensi Frekuensi Kumulatif
42-48 3 3
49-55 10 13
56-62 20 33
63-69 13 46
70-76 4 50
Jumlah 50

Jawab

Karena ukuran datanya adalah 50, terletak pada kelas interval 56-62, sehingga

= 56 - 0,5 = 55,5

= 50, = 13, =20

= 62,5 – 55,5 = 7
Oleh karena itu,

() ()

Matematika SMK Kelas XII

24 Bab 1 Statistika

. Tugas Kelompok

Kerjakan bersama teman sebangkumu. Carilah informasi tentang cara menghitung
ukuran pemusatan untuk data tunggal dengan menggunakan kalkulator. Kemukakan informasi
yang kamu peroleh tersebut di depan kelas.Demonstrasikan pula cara menggunakan kalkulator
untuk menghitung mean,median, dan modus pada contoh-contoh soal pada bab ini di depan
kelas!

LATIHAN 2

1. Tentukan mean, median, modus dari data berikut !
a. 4, 3, 1, 5, 3, 2, 3
b. 62, 52, 61, 44, 54, 70, 46, 46, 48, 53, 57, 50

c. Nilai 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 2 5 12 10 4 1

2. Perhatikan tabel berikut!

Nilai Matematika 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 2 5 12 10 a 1

Dalam tabel diatas, nilai rata-rata matematika adalah 7. Tentukan niai a, kemudian
tentukan modus dan mediannya!

3. Nilai rata-rata ujian matematika dari 39 orang siswa adalah 45. Jika nilai seorang siswa
lainnya, yaitu Angga, digabungkan dengan kelompok tersebut, nilai rata-rat ke-40 orang
siswa menjadi 46. Tentukan nilai ujian Angga!

4. Tentukan mean, median, dan modus dari data berikut! 68-74 75-81 82-88
Nilai 40-46 47-53 54-60 61-67 30 20 12

Frekuensi 7 16 30 35

Berapa siswa yang memperoleh ilai diatas rata-rata?

5. Diketahui data dari distribusi frekuensi berikut.

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
25

Nilai Frekuensi

10-19 3
20-29 4
30-39 x
40-49 2
50-59 1

Jika modus dari data diatas adalah 33,5, tentukan
a. Nilai
b. Mean
c. Median

6. Tentukan mean, median, dan modus dari data yang disajikan oleh histogram berikut.

12

Frekuensi 8 6
Kumulatif 5
2 4
3

29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 Berat (kg)

2. Ukuran Letak Data

Selain ukuran pemusatan data, ukuran letak data dapat juga digunakan utuk
mendapatkan gambaran tentang data. Jika kita ingin membagi kelompok data menjadi
empat bagian yang sama, maka dapat digunakan nilai kuartil. Tetapi jika ingin membagi
kelompok data menjadi sepuluh bagian yang sama, maka dapat digunakan nilai desil,
sedangkan untuk membagi menjadiseratus bagian sama dapat digunakan niali persentil.
1. Kuartil

a. Kuartil data tunggal

Matematika SMK Kelas XII

26 Bab 1 Statistika

Definisi
Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak,
setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Terdapat 3 buah kuartil, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas
(Q3). Kuartil-kuartil suatu data dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut.

1) Mengurutkan data dari nilai yang terkecil hingga yang terbesar

2) Menentukan median atau kuartil kedua (Q2)

3) Menentukan Q1 (median dari semua data yang kurang dari Q2) dan Q3 (median

dari semua data yang lebih dari Q2) Letak ()
Letak dari dirumuskan sebagai berikut

Dengan = kuartil ke- = banyak data

Contoh 1.9

Tentukan untuk data-data berikut.

a. 4, 8, 3, 1, 6, 9, 5, 1
b. 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12

Jawab:

a. Data yang telah diurutkan: Jadi, ( )
1, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 ()
()

b. Data yang telah diurutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12

Letak () sehingga:

Letak () ()
sehingga:
()

Letak () ()
sehingga:
()

( ) ()

Jadi

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
27

b. Kuartil data kelompok
Menetukan letak kuartil untuk data kelompok, caranya sama dengan data
tunggal. Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Dengan: ()

= kuartil ke-
= tepi bawah kelas kuartil
=banyaknya data
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

frekuensi kelas kuartil
= panjang kelas
= 1, 2, 3

Contoh 1.10

Tentukan nilai kuartil bawah , tengah , dan atas data kelompok pada tabel berikut.

Skor Frekuensi ( ) Frekuensi Kumulatif ( )
40-49 1 1
50-59 4 5
60-69 8 13
70-79 14 27
80-89 10 37
90-99 3 40

Jawab

=40,

= 10
Kelas adalah 60-69, kelas adalah 70-79, kelas adalah 80-89

Jadi, ( ) ()

() ()

( ) ()
Matematika SMK Kelas XII

28 Bab 1 Statistika

2. Desil
Definisi
Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian
yang sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil
hingga yang terbesar.

Untuk data yang tidak dikelompokkan, letak desil dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus sebagai berikut.

()

Sedangkan nilai desil untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus berikut.

()

Dengan: = desil ke-
= tepi bawah kelas
=ukuran data
= frekuensi kumulatif sebelum kelas

frekuensi kelas yang memuat
= panjang kelas
=1, 2, 3, ..., 9

Contoh 1.11

1. Data; 7 5 8 7 9 6 6 6 8 5 9 8 6 7 9

Tentukan a. dan b.
jawab:
Data yang telah diurutkan: 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9
Banyak data,

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
29

a. Desil ke-3 terletak pada nilai ke- ( )

Jadi, ( ) ( )
b. Desil ke-6 terletak pada nilai ke- (
)

Jadi, () ()

2. Tentukan desil ke-6 data berkelompok pada tabel berikut.

Skor Frekuensi ( ) Frekuensi Kumulatif ( )
40-49 1 1
50-59 4 5
60-69 8 13
70-79 14 27
80-89 10 37
90-99 3 40
Jawab
terletak pada nilai ke- ( ) () sehingga kelas adalah 70-79.

jadi, ( ) ()

3. Persentil
Definisi
Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian
yang sama banyak setelah data diurutkan dari yang terkecil
hingga yang terbesar.
Untuk data yang tidak dikelompokkan, letak persentil dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus sebagai berikut.
()

Sedangkan nilai persentil untuk data berkelompok dapat ditentukan dengan
menggunakan rumus berikut.

()

Matematika SMK Kelas XII

30 Bab 1 Statistika

Dengan: = Persentil ke-
= tepi bawah kelas
=ukuran data
= frekuensi kumulatif sebelum kelas

frekuensi kelas yang memuat
= panjang kelas
=1, 2, 3, ..., 99

Contoh 1.12

1. Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75

Jawab

Data diurutkan:4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11 ()
Letak persentil ke-30 diurutan data ke- ( )

() ()

Jadi, =5,3. ) ()
Letak persentil ke-75 diurutan data ke- (

() ()

Jadi, =9,25.

2. Diketahui data pada tabel kelompok berikut.

41-45 3 3
46-50 6 9
51-55 16 25
56-60 8 33
61-65 7 40

Dari data tersebut tentukan:
a. Persentil ke-25
b. Persentil ke-60

Jawab

Matematika SMK Kelas XII

a. Letak yaitu pada data ke-10 dan kelas Bab 1 Statistika
diperoleh: ) () 31
yaitu pada data ke-24 dan kelas
( ( ) () sehingga

b. Letak sehingga
diperoleh:

2. Ukuran Penyebaran Data

Nilai mean atau median hanya menitikberatkan pada pusat data, tetapi tidak
memberikan informasi tentang sebaran nilai pada data tersebut. Untuk membandingkan
sebaran data dari dua informasi distribusi nilai adalah salah satu alasan kita mempelajari
ukuran penyebaran data. Ukuran penyebaran data yang akan dipelajari di antaranya:
jangkauan, hamparan, jangkauan semi antarkuartil, simpangan rata-rata, varians dan
simpangan baku.

1. Jangkauan
a. Jangkauan data tunggal

Definisi

Jangkauan data atau rentang data atau range data, adalah selisih antara data

terbesar, dengan data terkecil, .

b. Jangkauan data kelompok
Sedangkan untuk jangkauan data berkelompok langkah-langkah yang

ditempuh untuk mendapatkannya adalah
 Mencari nilai tengah dari frekuensi .
 Mencari nilai tengah dari frekuensi terbesar.
 Jangkauan data kelompok adalah selisih dari nilai tengah frekuensi terbesar

dengan nilai tengah frekuensi terkecil.

Matematika SMK Kelas XII

32 Bab 1 Statistika

Contoh 1.13

1. Seorang peneliti mengambil masing-masing 1 kg air dari 20 sungai yang berbeda untuk

diuji kadar garamnya. Hasil pengujian (dalam mg) adalah

193 282 243 243 282 214 185 128 243 159 218 161 112 131 201 132 194 221

141 136. Dari data tersebut tentukan jangkauannya!

Jawab

Data setelah diurutkan:

112 128 131 132 136 141 159 161 185 193

194 201 214 218 221 243 243 243 282 282

Data terkecil( ) = 112

Data terbesar ( ) = 282

Jangkauan( ) =

= 282 – 112

= 170.

2. Hasil ulangan matematik kelas XII SMK sebagai berikut:

Nilai Frekuensi

1-10 0

11-20 4

21-30 7

31-40 3

41-50 1

51-60 9

61-70 4

71-80 3

81-90 5

91-100 4

Carilah jangkauan dari data tabel di atas!

Jawab

Nilai tengah kelas terendah =

Nilai tengah kelas tertinggi =
Jangkauan( ) = 95,5 - 5,5 = 90.
Jadijangkauan nilai ulangan matematika di atas adalah 90.

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
33

2. Hamparan

Definisi adalah selisih
Hamparan atau jangkauan antarkuartil atau rentang antarkuartil,
antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama.

Untuk mencari hamparan data tunggal dan data kelompok, rumus yang digunkan adalah
seperti diatas, yaitu

Contoh 1.14
1. Tentukannilaijangkauanantarkuartilnya

4, 4, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 9
Jawab
Untukmenentukan , , data-datanyakitaurutkanterlebihdahulu

3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10

() ()

Jadi nilaijangkauanantarkuartilnya atau hamparannya adalah 5.
3. JangkauanSemiAntarkuartil

Definisi
Jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah
kali panjang hamparan.

Matematika SMK Kelas XII

34 Bab 1 Statistika

Untuk mencari nilai jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil pada data
tunggal dan data kelompok, rumusnya adalah sebagai berikut:

()

Dengan = Jangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil
= kuartil bawah
= kuartil atas

Contoh 1.15
Tentukannilaijangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil

4, 4, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 9
Jawab

Untukmenentukan , , data-datanyakitaurutkanterlebihdahulu
3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10

() ()

( )( )
Jadi nilaijangkauan semi antarkuartil atau simpangan kuartil adalah 2,5

4. SimpanganRata-rata

Definisi

Simpangan rata-rata menyatakan jarak rata-rata suatu daat terhadap

rataannya.

a. Simpangan rata-rata data tunggal
Nilai simpangan rata-rata ( ) untuk data tunggal dapat ditenukan dengan
rumus:

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
35

Catatan

∑| ̅| Bentuk | ̅|

Dengan = banyaknya data dubaca “ harga
= nilai data ke-
̅= rataan hitung mutlak dari ̅”

yang selalu

menghasilkan nilai

positif.

b. Simpangan rata-rata data kelompok
Untuk data berkelompok, nilai simpangan rata-rata ditentukan dengan

rumus:

∑| ̅|

Dengan = banyaknya data

= titik tengah kelas ke-
=∑

Contoh 1.16

1. Hitunglah simpangan rata-rata dari data nilai 6 siswa dalam kuis matematika berikut ini:
9, 8, 5, 4, 6, 7
Jawab
Rataan hitung data di atas adalah
∑| ̅|
| || || || || || |
| || || || || || |
| || || || || || |

Jadi, simpangan rata-rata dari data nilai 6 siswa dalam kuis matematika adalah 1,5.
Matematika SMK Kelas XII

36 Bab 1 Statistika

2. Hitunglah simpangan rata-rata data pada tabel berikut ini.

Interval Frekuensi

21-25 2

26-30 8

31-35 9

36-40 6

41-45 3

46-50 2

Jawab

Untuk menghitung simpangan rata-rata, data diwakili oleh titik tengah dari interval
data. Sebelum menghitung simpangan rata-rata kita harus mencari rataan
hitungnya terlebih dahulu. Perhatikan cara menghitungnya seperti dalam tabel di
bawah ini.

Interval Nilai Tengah Frekuensi fi xi || fi| |
(fi)
21-25 (xi) 2 46 11 22
23 8 224 6 48
9 297 1 9
26-30 28 6 228 4 24
3 129 9 27
31-35 33 2 96 14 28
30 1020 158
36-40 38

41-45 43

46-50 48

Jumlah

k
i1
Rataan hitung : ̅ k fi xi  1020  34
fi 30

i 1

Simpangan rata-rata ∑| ̅|

5. Varians

Definisi
Varians atau ragam menyatakan rata-rata kuadrat jarak suatu data
terhadap rataannya.

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
37

Misalnya data mempunyai rataan ̅, maka ragam atau varians

( ) dapat ditentukan dengan rumus:

∑( ̅)

Dengan: = banyaknya data

= nilai data ke-
̅= rataan hitung
Untuk data berkelompok, nilai varians dapat ditentukan dengan rumus:

∑( ̅)

Dengan: = frekuensi kelas ke-
= titik tengah kelas ke-
= banyaknya kelas
̅= rataan hitung
=∑

Rumus ragam untuk data berkelompok yang lain adalah

∑ (∑ )

Rumus diatas dapat diubah dengan menggunakan simpangan rataan atau pengkodean
(coding).
1) Cara Simpangan

∑ (∑ )

Dengan ̅

2) Cara Pengkodean (Coding)

{∑ ( ∑ )}

Matematika SMK Kelas XII

38 Bab 1 Statistika

Dengan ̅

6. Simpangan Baku info
Simpangan baku atau standar deviasi (S) dapat ditentukan
dengan rumus:

Carl Friedrich Gauss

menemukan istilah

√ √ ∑( ̅) “standar deviasi“
untuk mengestimasi

akurasi pengukuran

data.

Dengan: : = banyaknya data

= nilai data ke-
̅= rataan hitung

Atau dapat disimpulakan bahwa simpangan baku (S) merupakan akar dari ragam. Oleh

karena itu, simpangan baku dirumuskan dengan √ .

Contoh 1.17

1. Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13.
Jawab
= 8, ̅

∑( ̅) )

( )( )( )( )( )(
( )( )

= 36 + 16 + 9 + 4+ 1+ 9+ 25 + 36

=136

∑( ̅) ()

√√ dan simpangan baku, .
Jadi, data tersebut mempunyai ragam,

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
39

2. Tentukan ragam dan simpangan baku dari data pada tabel berikut

Skor Frekuensi Frekuensi Kumulatif
() ()
40-49
50-59 1 1
60-69 4 5
70-79 8 13
80-89 14 27
90-99 10 37
3 40

Jawab dan tabel tersebut dapat dilengkapi menjadi tabel

Telah dihitung sebelumnya rataan ̅
berikut:

Skor Frekuensi 44,5 ( ̅) ( ̅)
() 54,5
40-49 64,5 855,56 855,56
50-59 1 74,5 370,56 1482,25
60-69 4 84,5 85,56 684,48
70-79 8 94,5 0,56
80-89 14 115,56 7,88
90-99 10 430,56 1155,63
Jumlah 3 1291,69
40 5.477,49

∑( ̅) ( )

√√ dan .
Jadi nilai ragam dan simpangan bakunya adalah

Matematika SMK Kelas XII

40 Bab 1 Statistika

TUGAS KELOMPOK

Buatlah kelasmu menjadi beberapa kelompok untuk mengerjakan tugas berikut.

Tentukan ragam dari data:

a. 6, 3, 2, 11, 8, 13, 5
b. Dari tabel berikut

Nilai Frekuensi
40-48 4
49-57 12
58-66 10
67-75 8
76-84 4
85-93 2

LATIHAN 2

1. Tentukan jangkauan, hamparan, dan simpangan kuartil untuk setiap data berikut!
a. 5 9 4 8 6 4 5 8 7
b. 23 20 18 22 20 26 24 18

2. Interval Frekuensi Diberikan daftar distribusi frekuensi seperti pada tabel

21-30 6 disamping. Tentukan nilai hamparan dan simpangan kuartil!

31-40 8

41-50 15

51-60 7

61-70 9

71-80 5

3. Tentukan simpangan rata-rata, varians, dan simpangan baku untuk data berikut!
a. 50, 40, 30, 60, 70

Matematika SMK Kelas XII

b. 7, 5, 5, 6, 6, 8, 7, 5, 8, 7, 4, 7, 4, 5, 6 Bab 1 Statistika
41
4.
Rangkuman
Umur Frekuensi materi

1-5 2

6-10 7

11-15 5

16-20 9

21-25 6

Data umur dari 30 orang disajikan pada tabel di atas.

Tentukan:

a. Simpangan baku
b. Varians

STATISTIKA

Statistika merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari:
 Cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian data dengan sistematis, agar
data-data itu dapat dipahami dengan jelas (Statistika deskriptif)
 Menganalisis dan menafsirkan data-data agar dapat digunakan untuk pengambilan
keputusan, perencanaan, dan kesimpulan dengan tepat dari sifat-sirat data tersebut
(Statistika inferensial)

Matematika SMK Kelas XII

42 Bab 1 Statistika

A. PENGUMPULAN DATA
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan wawancara, mengisi
lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau
menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

B. PENYAJIAN DATA
Ada 2 jenis cara dalam penyajian data dalam stastistika, yaitu
1. Tabel
2. Diagram atau Grafik, yaitu
a. Diagram batang
b. Diagram garis
c. Diagram lingkaran

Penyajian data dalam bentuk tabel mengalami pengembangan terkait dengan ukuran
dari data amatan yang cukup besar, yaitu daftar distribusi frekuensi.

Daftar Distribusi frekuensi terdiri dari
1. Daftar Distribusi frekuensi tunggal
2. Daftar distribusi frekuensi berkelompok, berkembang menjadi

a. Tabel distribusi frekuensi relatif
b. Tabel distribusi frekuensi kumulatif, terdiri dari

1. Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari -> ogive positif
2. Tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari -> ogive negatif

C. PENGOLAHAN DATA

1. Ukuran Pemusatan

a) Mean

 Data tunggal= ̅ n

 xi

i 1

n

 Data kelompok= ̅ k
b) Modus
 fi xi

i 1
k

 fi

i 1

 Data tunggal= nilai yang sering muncul

 Data kelompok= ()

c) Median

 Data tunggal= (ganijl), ( ) (genap)

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
43

 Data kelompok= ( )

2. Ukuran Letak ()
a) Kuartil
 Data tunggal=

 Data kelompok= ()

b) Desil ()
 Data tunggal=

 Data kelompok= ()

c) Persentil ()
 Data tunggal=

 Data kelompok= ()

3. Ukuran Penyebaran
a) Jangkauan
 Data tunggal=
 Data kelompok= nilai tengah frekuensi terbesar – nilai tengah frekuensi
terkecil
b) Hamparan=
c) Simpangan kuartil= ( )

d) Simpangan rat-rata ∑| ̅|
 Data tunggal=

 Data kelompok= ∑| ̅|

e) Varians ∑( ̅)
 Data tunggal=

 Data kelompok= ∑( ̅)

f) Simpangan baku= √ √ ∑ ( ̅)

Keterangan = panjang kelas
Mean: =1, 2, 3, ..., 9
Persentil:
= titik tengah kelas interval
= frekuensi dari

Matematika SMK Kelas XII

44 Bab 1 Statistika

= banyaknya kelas interval = Persentil ke-

Modus: = tepi bawah kelas

tepi bawah kelas modus =ukuran data

= selisih frekuensi kelas modus dengan = frekuensi kumulatif sebelum kelas

kelas sebelumnya frekuensi kelas yang memuat

= selisih frekuensi kelas modus dengan = panjang kelas

kelas sesudahnya =1, 2, 3, ..., 99

= panjang kelas Simpangan rata-rata:

Median: = banyaknya data

tepi bawah kelas median = nilai data ke-
= banyaknya data ̅= rataan hitung

= frekuensi kumulatif sebelum kelas = banyaknya data

median = titik tengah kelas ke-
=frekuensi kelas median =∑

= panjang kelas Varians:
Kuartil: = banyaknya data
= nilai data ke-
= kuartil ke- ̅= rataan hitung
= banyak data = frekuensi kelas ke-
= kuartil ke- = titik tengah kelas ke-
= tepi bawah kelas kuartil = banyaknya kelas
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil =∑

frekuensi kelas kuartil Simpangan baku:
= panjang kelas = banyaknya data
Desil: = nilai data ke-
= desil ke- ̅= rataan hitung
= tepi bawah kelas

=ukuran data

= frekuensi kumulatif sebelum kelas

frekuensi kelas yang memuat

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
45

Uji Kompetensi Bab Statistika

A. Pilihlah jawaban yang tepat pada soal-soal berikut!

1. Dari 400 siswa diperoleh data tentang pekerjaan orang tua/wali. Daa tersebut jika

disajikan dalam diagramlingkaran sebagai berikut.

Keterangan:

21 1= Wiraswasta (90 )
34 2= PNS ( )
3= TNI/Polri ( )
4= Pedagang ( )

Berdasar data di atas, pernyatan yang benar adalah ...

a. Jumlah PNS 12 orang d. Jumlah TNI/Polri 27 orang

b. Jumlah wiraswasta 90 orang e. Jumlah TNI 15 orang

c. Jumlah pedagang 135 orang

2.

Didaerah manakah korban meninggal dunia yang paling banyak?

a. Sleman d. Magelang

b. Klaten e. Boyolali dan Magelang

c. Boyolali

3. Dari rataan, median, modus, dan kuartil yang merupakan ukuran pemusatan adalah ...

a. Rataan, median, dan modus d. Median, modus, dan kuartil

b. Rataan, median, dan kuartil e. Rataan median, modus, dan kuartil

c. Rataan, modus, dan kuartil

Matematika SMK Kelas XII

46 Bab 1 Statistika

4. Seorang ayah berumur tahun dan istrinya berumur 5 tahun lebh muda. Umur anak

yang pertama ( ) tahun dan umur anak yang kedua ( ) tahun. Jika umur

rata-rata mereka adalah 26 tahun, maka umur anak yang kedua adalah ...

a. 11 tahun d. 14 tahun

b. 12 tahun e. 15 tahun

c. 13 tahun

5.
Nilai Frekuensi

44-48 8

49-53 9

54-58 11

59-63 30

64-68 28

69-73 12

74-78 2

Median dari data tersebut adalah ...

a. d.
e.
b.

c.

6. Diketahui data: , 2, 4, 3, 2, 5, 9, 7, 6. Nilai bila diketahui jangkauan sama dengan 8

adalah ...

a. 1 d. 1 atau 10

b. 2 e. 2 atau 5

c. 10

7. Pada suatu ulangan yang diketahui oleh 50 siswa diperoleh nilai rata-rata adalah 36
dengan simpangan baku 15. Karena nilai rata-rata masih rendah, maka nilai tiap siswa
dikalikan 2 kemudian dikurangi 10. Simpangan baku yang baru adalah ...

a. d. 20

b. 10 e. 30
c. 15

8. Pada suatu data diketahui: ∑ ∑ dan ∑ . Nilai
ragam adalah ...
a. 38 d. 40, 25
b. 39,5 e. 42

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
47

c. 39,75

9. Nilai Frekuensi
11-15 3
16-20 11
21-25 15
26-30 16
31-35 3
36-40 2
Jumlah 50

Kuartil atas dari data di atas adalah ...

a. 28,16 d. 29,16
b. 88,2 e. 29,36
c. 28,5

10. Berat badan rata-rata dua kelompok anak yang masing-masing terdiri dari 5 anak adalah

40 kg dan 44 kg. Bila seorang anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, maka berat

badan rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih berat badan anak yang

ditukar adalah ...

a. 5 kg d. 13 kg

b. 10 kg e. 15 kg

c. 12 kg

B. Kerjakanlah soal-soal berikut dengan benar!

1. Tentukanrataan(mean), median, modus untuktiapkumpulan data di bawahini!

a. 10, 11, 14, 18, 18, 20, 21 d. 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 11

b. 8, 9, 13, 13, 17, 18, 20 e. 2, 2, 4, 5, 6, 6, 6, 9, 12, 13

c. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 17

2.

Nilai 52-56 57-61 62-66 67-71 72-76 77-81
10 12 88
Frekuensi 4 6

Berdasar data di atas, buatlah:

a. Poligon frekuensi

b. Ogive positif

Matematika SMK Kelas XII

48 Bab 1 Statistika

3.

Hasil Pengukuran 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44
8 16 20 22 18 10
Frekuensi 6

Tentukan:
a. Rataan hitung
b. Ragam
c. Simpangan baku
d. Desil ke-3
e. Desil ke-5

Matematika SMK Kelas XII

Bab 1 Statistika
49

DAFTAR PUSTAKA
Suprijanto, H. Sigit, dkk. 2009. Matematika SMA Kelas XI Program IPA.Yudhistira:Jakarta.
Soedyarto, Nugroho,dkk.2008.Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta:
Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional.
Djumanta, Wahyudin. 2008.Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI
Sekolah Menengah Atas /Madrasah Aliyah . Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan
Nasional.
Sutrima.2009.Wahana Matematika 2 : untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu
Pengetahuan Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Noormandiri,B.K..2007. Matematika Jilid 2A Untuk SMA Kelas XI IPA.Jakarta:Erlangga.

Matematika SMK Kelas XII