ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ม.4

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
ม.4

จัดทำโดย
นางสาวโชติมณี สว่างหล้า รหัส 6310121204002
คณะวิทยาลัยการฝึกหัดครู สาขาคณิตศาสตร์ ปี 3 หมู่ 1

มหาวิทยาลัยราชภัฏพระนคร

คำนำ

เอกสารประกอบการเรียนนี้จัดทำขึ้นเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของวิชา
เทคโนโลยีดิจิทัลเพื่อการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (4092107) เพื่อให้ได้
ศึกษาความเข้าใจเรื่องประพจน์ ตัวเชื่อมประพจน์และค่าความจริงของ
ประพจน์ที่มีตัวเชื่อม ประพจน์ที่สมมูลกันและประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
สัจนิรันดร์ ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ การอ้างเหตุผล

ผู้จัดทำหวังว่า เอกสารประกอบการเรียนเล่มนี้จะเป็นประโยชน์กับ
ผู้อ่าน นักเรียน นักศึกษา หรือผู้ที่สนใจที่กำลังสืบค้นข้อมูลเกี่ยวกับเรื่องนี้
หากมีข้อแนะนำหรือข้อผิดพลาดประการใด ผู้จัดทำขอน้อมรับไว้ เพื่อ
ปรับปรุงและแก้ไข




ผู้จัดทำ
นางสาวโชติมณี สว่างหล้า

สารบัญ

เรื่อง หน้า

ประพจน์ 1
ตัวเชื่อมประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม 3
ประพจน์ที่สมมูลกัน และประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน 6
สัจนิรันดร์ 9
ประโยคเปิด และตัวบ่งปริมาณ 11
การอ้างเหตุผล 14

1

ประพจน์

ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่เป็น
จริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง

ความเป็น จริง หรือ เท็จ ของประพจน์ เราเรียกว่า ค่าความจริงของประพจน์ ในที่นี้เราจะ
ใช้ตัวอักษร T และ F แทนค่าความจริงที่เป็นจริง และเป็นเท็จ ตามลำดับ

ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ คือ ประโยคที่ไม่มีค่าความจริง ซึ่งพอจะแยกได้เป็น 2 ประเภท
ประเภทที่ 1 ได้แก่ประโยคที่ไม่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ เช่น ประโยค

คำถาม คำสั่ง ห้าม ขอร้อง คำอุทาน หรือ อ้อนวอน เป็นต้น
ประเภทที่ 2 ได้แก่ประโยคบอกเล่า หรือปฏิเสธ แต่ไม่มีค่าความจริง เนื่องมาจากสิ่ง

ที่เราไม่ทราบว่าเป็นอะไรแน่ชัด ซึ่งเรียกว่าตัวแปร จึงบอกไม่ได้ว่า เป็นจริงหรือเท็จ

ตัวอย่างเช่น
เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้ \rightarrow เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ
ใครทำจานแตก \rightarrow ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริง
หรือเป็นเท็จ
√(-1) ไม่เป็นจำนวนจริง \rightarrow เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็น
จริง

2

แบบฝึกหัด

ประโยคต่อไปนี้ประโยคในข้อใดเป็นประพจน์หรือไม่ เพราะเหตุใด

1. จังหวัดภูเก็ตเป็นเกาะ
2.มีจำนวนจริง x ที่ x+2 = 5
3.จำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุด คือ 100,000
4. กรุณาอย่าเดินลัดสนาม
5.โธ่ น่าสงสารจริงๆ
6. ปิดหน้าต่างให้หน่อย
7.4 + 7 = 12
8.เพราะว่า -3 > -4 ดังนั้น (-3) > (-4)

3

ตัวเชื่อมประพจน์
และค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ
เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้

1. ตัวเชื่อมประพจน์ “และ”

∧การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “และ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p q ซึ่ง

จะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)

2. ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”

การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์
p V q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริง
เป็นจริง (T)

3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า...แล้ว”

→การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า...แล้ว” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p q

ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)

4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ”

↔การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p q

ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) นอกนั้น
มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน

5. นิเสธของประพจน์
นิเสธของประพจน์ใด ๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้น ๆ และสามารถ
เขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย "~p"

4

ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ p, q เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง r, s เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริง
เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้

5

แบบฝึกหัด

จงเปลี่ยนประโยคต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปแบบสัญลักษณ์
1. 2 เป็นเลขคู่ และ 3 เป็นเลขค่ะ
2.ถ้า 2 + 3 เป็นจำนวนคี่ แล้ว 5 เป็นจำนวนคี่

กำหนดให้ เป็นเท็จ, เป็นจริง, เป็นจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

∧ ∨1. ~ ( ~ )
→ → →2. ~ ( ) (~ )
∧ ↔ ↔3. (~ ~ ) ( )

6

ประพจน์ที่สมมูลกัน และประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน

≡ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ใช้สัญลักษณ์ “ ” แทนสมมูล เช่น

7

→ ∨ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า ประพจน์ ~ p q สมมูลกบั ประพจน์ p q หรือไม่

วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริง ได้ 4 กรณี

→ ∨จากตารางค่าความจริงของประพจน์ ~ p q กับประพจน์ p q พบว่ามีค่าความจริงกรณี
→ ∨ต่อกรณีเหมือนกันทุกกรณี ดังนั้นประพจน์ ~ p q สมมูลกบั ประพจน์ p q

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
ประพจน์สองประพจน์จะเป็นนิเสธกัน เมื่อประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงกันข้ามกันทุกกรณี

ใช้สัญลักษณ์ “ ~ ” แทนนิเสธ

8

แบบฝึกหัด

∧ →1.จงใช้ตารางค่าความจริง เพื่อตรวจสอบว่า ( ) สมมูล หรือเป็นนิเสธกับ
→ →( ) ~ หรือไม่

2.จงตวรจสอบดูว่าข้อความ (ก) กับข้อความ (ข) ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่
1) (ก) ถ้านายแดงขยันเรียนเเล้วนายแดงจะสอบได้
(ข) นายแดงไม่ขยันเรียน หรือนายแดงจะสอบได้

2) (ก) ถ้าดำออกกำลังกายเเล้วดำจะเเข็งเเรง
(ข) ถ้าดำไม่แข็งเเรงแล้วดำไม่ออกกำลังกาย

9

สัจนิรันดร์

ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย
การตรวจสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ ทำได้ดังนี้
1. ใช้ตารางแสดงค่าความจริง

→ ∧ →ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

[(p q) p] q

2. ใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง
ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

∧ → ∨( p q ) ( q p )
∧ → ∨วิธีทำ สมมุติว่า ( p q ) ( q p ) เป็นเท็จ

จากแผนภาพ จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p และ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ

∧ → ∨แสดงว่าไม่มีกรณีที่ทำให้ ( p q ) ( q p ) เป็นเท็จ
∧ → ∨ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ ( p q ) ( q p ) เป็นสัจนิรันดร์

10

แบบฝึกหัด

จงตรวจสอบรูปแบบประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
โดยใช้การสร้างตารางค่าความจริง

∨ →1. ~ ( )
∧ → ∨2. ( ) ( )
∨ ∧ →3. [( ) ~ ]

จงตรวจสอบรูปแบบประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

∧ → →1.(p ~p) (q r)
∧ ↔ ∨2.(p ~q) ~p q

11

ประโยคเปิด และตัวบ่งปริมาณ

ประโยคเปิด
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่ประกอบด้วยตัวแปรทำให้ไม่เป็นประพจน์

และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์

เราสามารถเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบไปด้วยตัวแปร x ด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ Q(x) และเขียน
แทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x และ y ด้วยสัญลักษณ์ P (x, y) หรือ Q (x, y)

ตัวอย่าง
เขาเป็นคนดี เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา”
x > 3 เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x”

ตัวบ่งปริมาณ
ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์

ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

12

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

ตัวอย่าง

13

แบบฝึกหัด

1. จงหาค่าความจริงของประพจน์
2. จงหาค่าความจริงของประพจน์
3. จงหาค่าความจริงของประพจน

14

การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,..., Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่
ตามมา C ได้"
การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ

1.เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้
2.ผล หรือสิ่งที่ตามมา

∧ ∧ →สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จากประพจน์

( P1 P2 ... Pn) C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
(เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล

→ตัวอย่าง เหตุ 1. p q

2. p
ผล q

15

แบบฝึกหัด

การอ้างเหตุผลในข้อใดต่อไปนี้ สมเหตุสมผล

→ ∨1. เหตุ 1. ( )
∧2. ~ ~

→ผล

2. เหตุ 1. ถ้า ฉันสนิทกับเพื่อน แล้ว ฉันจะไม่เกรงใจเพื่อน
2. ฉันไม่เกรงใจเพื่อน

ผล ฉันไม่สนิทกับเพื่อน