Tesi (4)

3.6. TEOREMA DI RAUCH 45

1. Φ(V1), Φ(V2) = gie˜i, hje˜j = gihjδij = giei, hjej = V1, V2 ,

2. D Φ(V ) = g˙ i e˜i + gi D ei = g˙ i e˜i = Φ g˙ iei =Φ DV .
dt dt dt

Consideriamo dunque il campo U e la sua immagine tramite Φ, Φ(U ). Usando la
formulazione per la forma di Morse data da (3.19) a pagina 38, si ha che

It0 (U, U ) = t0 U˙ , U˙ − K (γ˙ , U ) γ˙ ∧ U 2 dt,
It0 (Φ(U ), Φ(U )) =
0 DD − K˜ γ˜˙ , Φ(U ) γ˜˙ ∧ Φ(U ) 2 dt.
t0 Φ(U ), Φ(U )
dt dt
0

Osserviamo ora che

• D Φ(U ), D Φ(U ) = Φ(U˙ ), Φ(U˙ ) = U˙ , U˙ , per le proprietà precedenti;
dt dt

• K (γ˙ , U ) ≤ K˜ γ˜˙ , Φ(U ) , per ipotesi del teorema;

• γ˜˙ ∧ Φ(U ) 2 = γ˜˙ 2 Φ(U ) 2 − γ˜˙ , Φ(U ) 2 = Φ(U ) 2 = U 2 = γ˙ ∧ U 2, do-

ve abbiamo usato le proprietà precedenti, il fatto che γ e γ˜ sono normalizzate e
l’ortogonalità di U e U˜ .

Otteniamo perciò che
It0 (Φ(U ), Φ(U )) ≤ It0 (U, U ) .

Si noti ora che U˜ e Φ(U ) sono campi vettoriali lungo γ˜ che soddisfano le ipotesi del Lemma
3.46, dove il campo di Jacobi è U˜ . Dunque,

It0(U˜, U˜ ) ≤ It0 (Φ(U ), Φ(U )) ≤ It0 (U, U ) .

che conclude la dimostrazione della prima parte del teorema.
Per la seconda parte, sia t1 ∈ (0, l] tale che J(t1) = J˜(t1) , ovvero tale che v(t1) = 1.

Abbiamo appena dimostrato che la funzione regolare v(t) è crescente in [0, l], dunque
concludiamo che debba essere costante in [0, t1]. Dunque, per ogni t ∈ (0, t1],

v˙v(t) = vv˜˙(t),

da cui segue che, per ogni t ∈ (0, t1],
It(U˜, U˜ ) = It(U, U )

e dunque, sfruttando le disuguaglianze trovate in precedenza,

It(Φ(U ), Φ(U )) = It(U, U ).
Uguagliando i due integrandi delle espressioni per le forme di Morse, segue che, in (0, t1],

K˜ γ˜˙ , J˜ = K˜ γ˜˙ , U˜ = K(γ˙ , U ) = K(γ˙ , J).

Estendo per continuità in t = 0, otteniamo la tesi.



Capitolo 4

Richiami di topologia algebrica

4.1 Omotopia e gruppo fondamentale

A differenza delle sezioni precedenti, i cui argomenti sono di esclusiva pertinenza del
campo della geometria differenziale, quanto è esposto nelle prossime due sezioni riguarda
nozioni di topologia algebrica.

Ciò è perfettamente in linea con lo scopo di questo elaborato che, ricordiamo, è quello
di passare da concetti locali a risultati globali. I primi sono studiati principalmente tramite
strumenti differenziali, mentre i secondi richiedono un impiego più consistente di strumenti
topologici.

In quanto segue, X indica uno spazio topologico.

Definizione 4.1. Siano γ1, γ2 : [0, b] → X due curve, con γ1(0) = γ2(0) = p e γ1(b) =
γ2(b) = q. Una omotopia tra γ1 e γ2 è una funzione continua H : [0, b] × [0, 1] → X tale
che

1. H(t, 0) = γ1(t), H(t, 1) = γ2(t) ∀ t ∈ [0, b];
2. H(0, s) = p, H(b, s) = q ∀ s ∈ [0, 1].

Se tale omotopia esiste, si dice che γ1 e γ2 sono omotope.

Spesso la relazione appena definita viene detta omotopia a estremi fissati o omotopia
vincolata, per distinguerla dal concetto meno restrittivo di omotopia a estremi liberi tra
curve non aventi necessariamente gli estremi in comune, in cui l’unica condizione è data
dal punto 1. della definizione precedente.

Si osservi che la relazione di omotopia vincolata è una relazione di equivalenza.

Definizione 4.2. Sia p ∈ X. Sia

L(X, p) = { γ : [0, b] → X curva, γ(0) = γ(b) = p }

l’insieme dei cosiddetti cappi fissati in p.
Il gruppo fondamentale di X in p si indica con π1(X, p) ed è definito come il quoziente

π1(X, p) = L(X, p) ∼ ,

dove “∼” indica la relazione di omotopia (vincolata) definita su L(X, p).

Definizione 4.3. X si dice:

48 CAPITOLO 4. RICHIAMI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA

• semplicemente connesso se è connesso e se il suo gruppo fondamentale è banale,
ovvero
π1(X, p) = {0}.

• localmente semplicemente connesso se per ogni x ∈ X esiste un intorno U ⊆ X di x
tale che U è semplicemente connesso.

• semilocalmente semplicemente connesso se per ogni x ∈ X esiste un intorno U ⊆ X
di x tale che, per ogni γ ∈ L(U, p), esiste un’omotopia in X tra l’inclusione di γ in
X e il cammino costante in p.

Proposizione 4.4. Siano Y e Z due spazi topologici. Se esiste un omeomorfismo f : Y →
Z, allora π1(Y, p) è isomorfo a π1(Z, f (p)), per ogni p ∈ Y (si veda [15, p. 207]).

Proposizione 4.5. Sia X uno spazio topologico connesso per archi. Per ogni coppia di
punti p, q ∈ X si ha che π1(X, p) è isomorfo a π1(X, q). Vale a dire, il gruppo fondamentale
non dipende dal punto di X in cui è definito, a meno di isomorfismi (si veda [15, p. 203]).

Introduciamo la seguente definizione.

Definizione 4.6. X si dice localmente connesso per archi se per ogni x ∈ X esiste un
intorno U ⊆ X di x tale che U è connesso per archi.

Si noti che una varietà topologica, essendo localmente euclidea, è banalmente local-
mente connessa per archi.

Si ha inoltre il seguente risultato.

Proposizione 4.7. Sia X uno spazio topologico connesso e localmente connesso per archi.
Allora X è connesso per archi. In particolare una varietà topologica connessa è connessa
per archi.

Dimostrazione. Sia Y ⊆ X una componente connessa per archi di X. Dimostriamo che
essa è aperta e chiusa in X. Per connessione di X, ciò implicherà che Y = X, ovvero che
X è connesso per archi.

Sia dunque y ∈ Y . Sia U ⊂ X un intorno di y connesso per archi. Poiché ogni punto
di U è collegato a y tramite un cammino, U ⊂ Y , da cui si ha che Y è aperto.

Sia ora z ∈ Bd(Y ), frontiera di Y . Dimostriamo che z ∈ Y . Sia V ⊂ X un intorno di
z connesso per archi. Poiché z ∈ Bd(Y ), V ∩ Y = ∅. Sia w ∈ V ∩ Y : esisterà dunque un
cammino da w a z. Dunque z appartiene a Y .

Per la Proposizione 4.5, possiamo dunque di parlare in generale di gruppo fondamentale
di una varietà, senza specificare il punto in cui esso è definito.

Proposizione 4.8. Il gruppo fondamentale di una varietà topologica è numerabile (per la
dimostrazione si veda ad esempio [13, p. 10]).

Possiamo allargare leggermente il concetto di gruppo fondamentale, lasciando che
l’origine delle curve sia libera di variare.

Definizione 4.9. Una classe di omotopia libera di X è un insieme L di curve chiuse
γ : [0, b] → X tale che, per ogni γ1, γ2 ∈ L, esista un’omotopia a estremi liberi H : [0, b] ×
[0, 1] → X tra γ1 e γ2 tale che, per ogni s ∈ [0, 1],

H(0, s) = H(b, s).

L’insieme di tali classi si denota con C1(X).

4.2. TEORIA DEI RIVESTIMENTI 49

4.2 Teoria dei rivestimenti

Iniziamo col definire i primi concetti di base. Siano E e B due spazi topologici e
p : E → B una funzione continua.

Definizione 4.10. p si dice rivestimento (di B) se per ogni x ∈ B esiste un intorno U ⊆ B
di x, aperto e connesso, la cui controimmagine p−1(U ) tramite p sia l’unione disgiunta di
insiemi aperti Vj ⊆ E, j ∈ J, ognuno dei quali omeomorfo a U tramite la restrizione di p
ad esso.

E e B sono dunque indicati rispettivamente come spazio totale e base del rivestimento.
L’insieme U ⊆ B è detto intorno elementare di p. Gli insiemi Vj ⊆ E, j ∈ J, si dicono
fogli di U .

Di norma, per indicare il rivestimento p : E → B si usa la coppia (E, p), in cui viene
esplicitato lo spazio totale.

Esempio 4.11. Sia S1 la circonferenza unitaria sul piano complesso. Si consideri la
funzione differenziabile

f : R → S1,
t → e2πit.

Mostriamo che f è un rivestimento su S1. Sia infatti x ∈ S1: esso si può scrivere come
x = e2πit¯, t¯ ∈ R. Sia Ux = {e2πit, t ∈ (t¯ − ε, t¯ + ε)}, con ε < π, un intorno aperto e
connesso di x. La controimmagine di Ux tramite f sarà data dalla famiglia di intervalli
aperti disgiunti (t¯+ 2kπ − ε, t¯+ 2kπ + ε), al variare di k ∈ Z, ognuno dei quali è omeomorfo
a Ux.

Definizione 4.12. p si dice omeomorfismo locale se per ogni e ∈ E esiste un intorno
V ⊆ E di e tale che la restrizione di p a V sia un omeomorfismo.

Una delle proprietà più importanti dei rivestimenti riguarda il cosiddetto “sollevamento
di cammini”. Data una curva γ : [0, b] → B, un sollevamento di γ tramite p è una curva
γ˜ : [0, b] → E tale per cui p ◦ γ˜ ≡ γ su tutto [0, b]. In generale il sollevamento di una curva
γ, se esiste, non è unico. Si ha però il seguente risultato.

Proposizione 4.13 (Unicità del sollevamento di cammini). Sia p : E → B un rivestimen-
to. Sia γ : [0, b] → B una curva sulla base, con x0 = γ(0). Per ogni e0 ∈ p−1(x0) esiste
un unico sollevamento γ˜ : [0, b] → E tale che γ˜(0) = e0 (per la dimostrazione si veda ad
esempio [7, p. 156]).

Per semplificare la notazione, in futuro, se γ : [0, b] → B è una curva di B, indicheremo
con γ˜x˜, con x˜ ∈ p−1(γ(0)) il sollevamento di γ, tramite p, avente punto iniziale x˜.

Se una funzione p : E → B ammette un sollevamento per ogni curva di B, diciamo che
p “gode del sollevamento di cammini”.

Tale proprietà risulta particolarmente utile perché molti risultati sui rivestimenti sono
in realtà verificati con l’ipotesi molto più debole di omeomorfismo locale, unito alla pro-
prietà del sollevamento di cammini. Si ha inoltre che, sotto certe ipotesi su E e B, vi è
perfetta equivalenza tra i due concetti di rivestimento e omeomorfismo locale che goda del
sollevamento di cammini.

Innanzitutto si ha il seguente risultato.

Proposizione 4.14 (Proprietà di monodromia). Sia p : E → B un omeomorfismo locale
che goda del sollevamento di cammini. Siano γ1, γ2 : [0, b] → B due curve di B, con

50 CAPITOLO 4. RICHIAMI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA

γ1(0) = γ2(0) = x0 e γ1(b) = γ2(b) = xb. Sia e0 un punto qualsiasi della controimmagine
di x tramite p e si indichino con γ˜1 e γ˜2 i sollevamenti rispettivamente di γ1 e γ2, con
punto iniziale e0. γ1 e γ2 sono omotope in B se e solo se γ˜1 e γ˜2 sono omotope in E; in
particolare, γ˜1(b) = γ˜2(b) (si veda ad esempio [5, pp. 381,382]).

Giungiamo dunque al risultato precedentemente anticipato.

Proposizione 4.15. Sia p : E → B un omeomorfismo locale che goda del sollevamento
di cammini. Si supponga che E sia localmente connesso per archi e che B sia localmente
euclideo. Allora p è un rivestimento.

Dimostrazione. Sia x ∈ B e sia U ⊆ B un intorno di x omeomorfo ad una palla aperta di
Rn (basta restringere l’omeomorfismo dato dalla definizione di spazio localmente euclideo).
Vogliamo mostrare che U è un intorno elementare per la mappa p. Consideriamo perciò
p−1(U ), che sarà unione disgiunta delle sue componenti connesse per archi (che sono aperte
per l’ipotesi che p sia un omeomorfismo locale), ovvero

p−1(U ) = Vi.

i∈I

Se proviamo che, per ogni i ∈ I, la restrizione p|Vi è un omeomorfismo, la dimostrazione è
conclusa.

Proviamo innanzitutto che tale restrizione è suriettiva, ovvero p(Vi) = V , per ogni i.
Supponiamo per assurdo che esista y ∈ U tale che y ∈/ p(Vi). Sia z ∈ p(Vi) qualsiasi,
con z = p(z˜), z˜ ∈ Vi. Poiché U è omeomorfo a un aperto connesso di Rn, esso è dunque
connesso per archi. Esiste dunque una curva γ : [0, b] → U con γ(0) = z e γ(b) = y. Se ne
consideri il sollevamento γ˜ con punto iniziale z˜. Vi è una componente connessa per archi
di E, dunque γ˜(b) ∈ Vi. Si ha perciò che p(γ˜(b)) = y, che porta a una contraddizione.

Ora, osserviamo che p|Vi : Vi → U è ancora un omeomorfismo locale che gode del
sollevamento di cammini, essendo Vi connesso per archi. Per concludere che p|Vi sia un
omeomorfismo, basta dimostrare che è iniettivo. Siano e1, e2 ∈ Vi, con p(e1) = p(e2) = w.
Vi è connesso per archi, perciò sia α˜ : [0, b] → Vi una curva con α(0) = e1 e α(b) = e2.
p ◦ α˜ = α : [0, b] → U è una curva chiusa in U , con α(0) = α(b) = w. U è omeomorfo
ad una palla aperta di Rn ed è dunque semplicemente connesso (Proposizione 4.4). La
curva α è dunque omotopa al cammino costante in w, il cui unico sollevamento tramite p,
con punto iniziale e1, è banalmente il cammino costante in e1. Applicando la Proposizione
4.14, abbiamo che α˜ deve essere omotopo al cammino costante in e1. Dunque e1 = e2.

Enunciamo un altro risultato simile, che lega omeomorfismi locali e rivestimenti, senza
l’ipotesi del sollevamento di cammini.

Proposizione 4.16. Sia p : E → B un omeomorfismo locale. Supponiamo che E sia
compatto e che B sia connesso. Allora p è un rivestimento (si veda [5, pp. 374,375]).

Tornando al concetto di locale connessione per archi, forniamo ora un risultato che sarà
utile in seguito

Proposizione 4.17. Sia p : E → B un rivestimento. Si supponga che E sia connesso per
archi e che B sia semplicemente connesso. Allora p è un omeomorfismo.

Dimostrazione. Essendo p un omeomorfismo locale suriettivo, è sufficiente mostrare che sia
iniettivo. Ciò permetterà di costruire in modo univoco una funzione inversa di p, la quale
sarà anch’essa un omeomorfismo locale e dunque continua. Siano perciò x˜0 e x˜1 due punti di

4.2. TEORIA DEI RIVESTIMENTI 51

E tali che p(x˜0) = p(x˜1) = x ∈ B. Sia ora α˜ : [0, 1] → E un cammino in E con α˜(0) = x˜0 e
α˜(1) = x˜1 (esso esiste perché E è connesso per archi). Dunque α = p◦α˜ ∈ L(B, x). Essendo
B semplicemento connesso, α è omotopo a εx, cammino costante in x. Per monodromia,
α˜ è dunque omotopo a εx˜0, cammino costante in x˜0 (il quale è l’unico sollevamento di εx
con punto iniziale x˜0). Segue che x˜1 = α˜(1) = εx˜0(1) = x˜0.

Siano ora (E1, p1) e (E2, p2) due rivestimenti aventi la stessa base B.

Definizione 4.18. Una funzione f : E1 → E2 continua si dice morfismo (di rivestimenti)
se p1 = p2 ◦ f . In questo caso diciamo che f “preserva le fibre” dei rivestimenti.

Se f è un omeomorfismo e un morfismo di rivestimenti, f è detto isomorfismo (di
rivestimenti).

Consideriamo il caso particolare in cui i due spazi totali E1 e E2 coincidano, così come
i rispettivi rivestimenti p1 e p2. Indichiamo tale rivestimento con (E, p).

Definizione 4.19. Un omeomorfismo f : E → E che sia morfismo di rivestimenti (rispetto
a p) è detto automorfismo di (E, p).

L’insieme degli automorfismi di (E, p) forma un gruppo con l’operazione di composi-
zione e viene indicato con Deck(E, p).

Proposizione 4.20. Sia p : E → B un rivestimento, con E connesso. Siano f, g ∈
Deck(E, p). Se esiste un elemento x˜ ∈ E tale che f (x˜) = g(x˜), allora f e g coincidono (si
veda [7, p. 155]).

4.2.1 Rivestimenti di varietà

Nei prossimi capitoli avremo spesso a che fare con rivestimenti la cui base è una varietà

differenziabile. Risulta dunque necessario introdurre alcune nozioni a riguardo.
Siano M˜ uno spazio topologico e M una varietà differenziabile di dimensione n. Sia

p : M˜ → M un rivestimento.

Proposizione 4.21. M˜ possiede una naturale struttura di varietà differenziabile, indotta
da quella di M . La dimensione di M˜ , come varietà differenziabile, è la stessa di M .

Dimostrazione. Ci limitiamo a mostrare come costruire un atlante regolare per M˜ . Sia
x˜ ∈ M˜ . Sia U ⊂ M un intorno di x = p(x˜) che sia coordinato (omeomorfo a un aperto
connesso W di Rn tramite la mappa ϕ : W → U ) e elementare per p. Sia U˜ ⊂ M˜ l’intorno
aperto e connesso di x˜ omeomorfo a U tramite p. U˜ sarà omeomorfo a W tramite la mappa
p|U˜ −1 ◦ ϕ. Consideriamo l’atlante formato dagli intorni e dalle mappe così costruiti.

Verifichiamo che le leggi di cambiamento di coordinate siano differenziabili. Per costru-

zione, se gli intorni coordinati V˜1, (p|V˜1)−1 ◦ ϕ1 e V˜2, (p|V˜2)−1 ◦ ϕ2 hanno intersezione

non vuota, si ha che la legge di cambiamento di coordinate,

(p|V˜2 )−1 ◦ ϕ2 −1 (p|V˜1 )−1 ◦ ϕ1 = ϕ−2 1 ◦ ϕ1,

◦

è la stessa che vi è, sulla base, tra i due intorni coordinati immagine di V˜1 e V˜2. Dunque,
l’atlante costruito è regolare.

Osservazione 4.22. Dotando M˜ della struttura differenziabile costruita nella proposizio-
ne precedente, gli omeomorfismi tra un intorno coordinato in M e i suoi fogli risultano
esprimibili, in coordinate, come la funzione identica. In particolare, tali mappe non sono
solamente omeomorfismi, ma anche diffeomorfismi.

Si ha perciò che il rivestimento in oggetto risulta un diffeomorfismo locale.

52 CAPITOLO 4. RICHIAMI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA

Il prossimo obiettivo è definire una metrica su M˜ . Il fatto che p sia un diffeomorfismo
locale ci permette di indurre su M˜ la metrica del pull-back. Ciò vuol dire, lo ricordiamo,
che, se x˜ è un punto di M˜ e u, v ∈ Tx˜M˜ , definiamo

u, v x˜ = dpx˜(u), dpx˜(v) p(x˜).

Dotando M di tale metrica, che indicheremo come metrica del rivestimento, il rivestimento
risulta dunque un’isometria locale.

D’ora in poi, con rivestimento di varietà indicheremo un rivestimento la cui base è una
varietà differenziabile e sul cui spazio totale sono indotte la struttura differenziabile vista
e la metrica del rivestimento.

Osservazione 4.23. Si noti che, se M˜ è dotato della metrica del rivestimento, gli auto-
morfismi del rivestimento risultano isometrie di M˜ .

Tornando all’Osservazione 4.22, essa è di grande aiuto nel momento in cui si considerano
rivestimenti di varietà differenziabili sulle quali sono imposte condizioni sulla curvatura se-
zionale. Grazie alla Proposizione 1.44 a pagina 13, tali condizioni possono essere facilmente
tradotte sulla varietà spazio totale del rivestimento.

Formalizziamo questa e altre considerazioni.

Proposizione 4.24. Sia p : M˜ → M un rivestimento di varietà. M ha curvatura sezionale
K < 0, K = 0, K > 0 in ogni suo punto se e solo se, rispettivamente, M˜ ha curvatura
sezionale K < 0, K = 0, K > 0 in ogni suo punto.

Dimostrazione. Segue direttamente dal fatto che un rivestimento di varietà è un’isometria
locale e dalla Proposizione 1.44 a pagina 13.

Proposizione 4.25. Sia p : M˜ → M un rivestimento di varietà. Sia γ : [0, b] → M una

curva differenziabile in M e sia γ˜ un suo sollevamento qualsiasi tramite p. Allora γ è una
geodetica di M se e soltanto se γ˜ è una geodetica di M˜ .

Dimostrazione. Trattandosi di un concetto locale, sia γ(t0) un punto di γ, t0 ∈ (0, b).

Consideriamo un intorno U ⊂ M di γ(t0) che sia coordinato per la struttura di M ed
elementare per il rivestimento p. Sia U˜ ⊂ M˜ il foglio di U contenente γ˜(t0). Per la struttura

differenziabile costruita sullo spazio totale (si veda l’Osservazione 4.22), l’espressione di p|U˜
in coordinate è la funzione identica. Perciò γ e γ˜, rispettivamente in U e U˜ , condividono
la stessa espressione in coordinate, che indichiamo con (x1(t), . . . , xn(t)). Per lo stesso

motivo, e poiché la connessione di Levi-Civita è completamente determinata dal tensore
della metrica (si veda la formula di Koszul), il quale è lo stesso su U e U˜ grazie alla metrica
del rivestimento, sui punti di U e U˜ corrispondenti tramite p|U˜ , i simboli di Christoffel
assumono gli stessi valori. Segue perciò che l’equazione caratteristica della geodetica,

d2xk + Γkij dxi dxj = 0, k = 1 . . . n,
dt2 dt dt

è esattamente la stessa per γ e per γ˜, rispettivamente in U e in U˜ . Da ciò segue che γ è
geodetica in t0 se e solo se γ˜ è geodetica, sempre in t0. Poiché t0 è stato preso in modo
arbitrario in (0, b), segue la tesi.

Osservazione 4.26. Si noti che, modificando leggermente la dimostrazione precedente, è
possibile dimostrare che, più in generale, ogni isometria locale tra varietà differenziabili,
essendo localmente un diffeomorfismo, preserva le geodetiche; vale a dire, se γ è una geo-
detica nel dominio dell’isometria, la sua immagine tramite l’isometria risulta ancora una
geodetica nella varietà codominio.

4.2. TEORIA DEI RIVESTIMENTI 53

Grazie a quest’ultima osservazione possiamo calcolare esplicitamente le geodetiche su
un cilindro.

Esempio 4.27 (Geodetiche su un cilindro). Consideriamo il cilindro circolare retto in R3
costruito sulla circonferenza unitaria nel piano xy, avente asse verticale coincidente con
l’asse z. Esso ammette parametrizzazione

xα : U = (−π, π) × R → R3,
(u, v) → xα(u, v) = (cos u, sin u, v),

avente come immagine l’intero cilindro, ad eccezione della retta parallela all’asse z, passante
per (−1, 0, 0).

I coefficienti della prima forma fondamentale risultano essere dunque E = 1, F = 0,
G = 1. Il cilindro è dunque chiaramente localmente isometrico ad un piano, proprio tramite
la mappa xα, estesa al dominio R × R = R2.

Sia ora γ una geodetica (non costante) sul cilindro, avente localmente parametrizzazione
xα(u(s), v(s)), s ∈ (−ε, ε) e (u(s), v(s)) = (0, 0), senza perdita di generalità. Poiché xα è
un’isometria locale, la curva (u(s), v(s)) parametrizzerà un geodetica sul piano R2: sarà
cioè una retta. Si avrà in particolare che (u(s), v(s)) = (as, bs). Segue che γ è localmente
parametrizzata da xα(u(s), v(s)) = (cos as, sin as, bs), ovvero che γ è

• una circonferenza a quota fissa, se b = 0;

• una retta verticale, se a = 0;

• un’elica circolare, se a, b = 0.

Tornando alla nostra trattazione, grazie alla Proposizione 4.25 possiamo ottenere in-
formazioni riguardo la completezza geodetica.

Proposizione 4.28. Sia p : M˜ → M un rivestimento di varietà. M è completa se e
soltanto se M˜ è completa.

Dimostrazione. Supponiamo che M sia completa. Sia γ˜ : [0, b] → M˜ una geodetica di M˜ .
Per la proposizione precedente γ = p ◦ γ˜ : [0, b] → M è una geodetica di M il cui dominio,
per completezza di M , può essere esteso a tutta la retta reale. Per unicità del sollevamento
di cammini, l’unico sollevamento tramite p di γ, avente γ˜(0) come punto iniziale, deve
coincidere con γ˜ nell’intervallo [0, b]. Tale sollevamento costituirà dunque un’estensione di
γ˜ avente come dominio l’intera retta reale. Per arbitrarietà di γ˜, segue che M˜ è completa.

Supponiamo invece che M˜ sia completa. Sia α : [0, b] → M una geodetica di M .
Consideriamo un suo sollevamento qualsiasi tramite p, α˜ : [0, b] → M˜ , la quale è una
geodetica di M˜ per la proposizione precedente. Per completezza di M˜ , il dominio α˜ può
essere esteso a tutto R. Perciò p ◦ α˜ è l’estensione di α cercata.

Il prossimo risultato riguarda varietà differenziabili non orientabili. Esso sarà utile per
dimostrare un corollario al Teorema di Synge-Weinstein.

Proposizione 4.29. Sia M n una varietà differenziabile non orientabile. Esistono una
varietà differenziabile orientabile M n e un rivestimento π : M → M tale che, per ogni
p ∈ M , |π−1(p)| = 2. Tale rivestimento è detto “doppio rivestimento orientabile” di M .

Dimostrazione. Sia p ∈ M e sia Bp l’insieme della basi di TpM . Introduciamo su Bp una
relazione di equivalenza “∼”: diciamo che due basi di TpM , B1 e B2, sono equivalenti se la
corrispondente matrice di cambiamento di base ha determinante positivo, vale e dire se le

54 CAPITOLO 4. RICHIAMI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA

due basi hanno la stessa orientazione. Sia dunque Θp = Bp ∼ il quoziente di Bp rispetto
a tale relazione di equivalenza. Esso ha esattamente due elementi, i quali chiameremo

orientazioni di TpM .
Definiamo dunque l’insieme

M = { (p, Op), p ∈ M, Op ∈ Θp } .

Cominciamo con il definire una struttura differenziabile su M . Tale struttura definirà a

sua volta una naturale topologia su M , della quale gli intorni coordinati costituiranno una

base.

Sia dunque {(Uα ⊂ Rn, xα), α ∈ A} una struttura differenziabile massimale su M . Per

ogni α ∈ A indichiamo con Oα l’orientazione indotta dalla mappa coordinata xα sui punti

dell’intorno coordinato xα(Uα) ⊂ M ; vale a dire, se p ∈ xα(Uα), Oα|p = ∂ , . . . , ∂ ∈
∂x1α ∂xαn

Θp, dove (xα1 . . . xnα) rappresentano le coordinate di Uα ⊂ Rn e ∂ , . . . , ∂ rappresenta
∂x1α ∂xαn

l’elemento di Θp individuato dalla base ∂ , . . . , ∂ in TpM .
∂x1α ∂xαn

Si noti che, poiché l’atlante {(Uα, xα)} è massimale, per ogni mappa coordinata (Uα, xα)

esiste una seconda mappa coordinata (Uα˜, xα˜), α˜ ∈ A, tale che xα(Uα) = xα˜(Uα˜) e Oα =

Oα˜. Basta infatti considerare

Uα˜ = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn (x2, x1, x3, . . . , xn) ∈ Uα
e xα˜(x1, x2 . . . , xn) = xα(x2, x1, x3, . . . , xn).

Per ogni α ∈ A definiamo dunque la mappa x¯α : Uα → M data da

x¯α = xα(xα1 , . . . , xnα), Oα .

Le mappe (Uα, x¯α), α ∈ A, ricoprono interamente M , per le considerazioni precedenti.
Per la topologia indotta da tali mappe, inoltre, M˜ risulta essere uno spazio di Hausdorff

e a base numerabile (questo perché, per ogni p, Θ(p) ha cardinalità 2).
Se (p, Op) ∈ M appartiene all’intersezione di x¯α(Uα) e x¯β(Uβ), α, β ∈ A, la legge di

cambiamento di coordinate, x¯−β 1 ◦ x¯α, in (p, Op), coincide esattamente con xβ−1 ◦ xα in
p ∈ M ed è dunque differenziabile. M è dunque una varietà differenziabile, la cui naturale
struttura differenziabile è data dall’atlante {(Uα, x¯α), α ∈ A}.

Ma vi è di più. Poiché le mappe x¯α e x¯β inducono la stessa orientazione su TpM , vale a
dire Oα|p = Oβ|p = Op, tale legge di cambiamento di coordinate ha determinante positivo.
Per arbitrarietà di (p, Op) ∈ M , M è orientabile.

Si consideri ora la proiezione naturale di M su M , data da

π: M → M
(p, Op) → p.

Essa è suriettiva e differenziabile, per la struttura differenziabile costruita su M . Sia ora
p ∈ M e sia xα(Uα), α ∈ A, un suo intorno coordinato. La controimmagine di quest’ultimo
tramite π sarà costituita dall’unione disgiunta di due intorni coordinati di M , in particolare,
usando la notazione impiegata precedentemente, x¯α(Uα) e x¯α˜(Uα˜). La restrizione di π a
ognuno di questi intorni coordinati è suriettiva, iniettiva e ancora differenziabile: dunque
è un omeomorfismo. Ciò conclude la dimostrazione: π è effettivamente un rivestimento e
ogni p ∈ M ammette un intorno elementare avente due fogli.

4.2. TEORIA DEI RIVESTIMENTI 55

4.2.2 Rivestimento universale

Si possono ottenere importanti informazioni sullo spazio base di un rivestimento se
supponiamo che lo spazio totale possieda alcune semplici proprietà topologiche.

Definizione 4.30. Sia p : E → B un rivestimento. (E, p) si dice rivestimento universale
(di B) se lo spazio totale E è localmente connesso per archi e semplicemente connesso.

Osservazione 4.31. Si noti che, se p : M˜ → M è un rivestimento di varietà, lo spazio totale
M˜ è automaticamente localmente connesso per archi, essendo esso localmente euclideo. La
semplice connessione rimane dunque l’unica condizione su M˜ .

Si ha il seguente risultato di unicità.

Proposizione 4.32. Sia B uno spazio topologico. Se esiste un rivestimento universale di
B, esso è unico a meno di isomorfismi di rivestimenti. Vale a dire, se (E1, p1) e (E2, p2)
sono due rivestimenti universali di B, esiste un isomorfismo di rivestimenti f : E1 → E2
(si veda [7, pp. 181,186]).

D’ora in poi, dunque, il rivestimento universale, se esiste, verrà indicato senza ambiguità
come (U, q), dove U è uno spazio topologico localmente connesso per archi e semplicemente
connesso.

In generale, però, non è assolutamente detto che uno spazio topologico B qualsiasi
ammetta il rivestimento universale. Il seguente risultato chiarisce la questione.

Proposizione 4.33. Sia B uno spazio topologico connesso e localmente connesso per ar-
chi. Il rivestimento universale (U, q) di B esiste se e soltanto se B è semilocalmente
semplicemente connesso (si veda ad esempio [7, pp. 188,189]).

Osservazione 4.34. Una qualsiasi varietà topologica M connessa, essendo localmente
euclidea, è automaticamente localmente connessa per archi e localmente semplicemente
connessa (e dunque anche semilocalmente semplicemente connessa). Dunque, essa ammette
sempre il rivestimento universale.

Arriviamo ora a una delle proprietà fondamentali dei rivestimenti universali.

Proposizione 4.35. Sia q : U → B il rivestimento universale di B, spazio topologico.
Per ogni x ∈ B, il gruppo fondamentale π1(B, x) è isomorfo a Deck(U, q), gruppo degli
automorfismi del rivestimento universale (si veda [7, p. 184]).

Più avanti avremo bisogno della formulazione esplicita dell’isomorfismo dell’enunciato,
per cui è conveniente mostrarla.

Sia x ∈ B e sia x˜ ∈ q−1(x) un qualsiasi punto della fibra di x tramite q (l’espressione
esplicita dell’isomorfismo dipende dalla scelta di tale punto). Costruiamo un omomorfismo
di gruppi ϕx˜ : π1(B, x) → Deck(U, q) che ad ogni [α] ∈ π1(B, x) associa un automorfismo
ϕx˜([α]) così definito: sia y˜ ∈ B e sia γ˜ : [0, 1] → U una curva in U , con γ˜(0) = y˜ e γ˜(1) = x˜.
Consideriamo dunque la curva β su B data da β = γ ∗ α ∗ γ−1 : [0, 1] → B, dove γ = q ◦ γ˜,
α ∈ L(B, x) è un rappresentante qualasiasi della classe [α] e il prodotto “∗” delle tre curve
è inteso come giustapposizione delle stesse. Definiamo ora ϕx˜([α])(y˜) come il punto finale
del sollevamento di β con punto iniziale y˜, ovvero

ϕx˜([α])(y˜) = β˜y˜(1).

Una conseguenza della proposizione precedente è che Deck(U, q) agisce transitivamente
sulle fibre di q, ovvero per ogni coppia di punti x˜2, x˜2 ∈ M˜ tali che q(x˜1) = q(x˜2) esiste
f ∈ Deck(U, q) tale che f (x˜1) = x˜2: sia infatti δ : [0, 1] → M˜ un cammino di da x˜1 a x˜2.
f sarà dato da ϕx˜1([q ◦ δ]).



Capitolo 5

Curvatura sezionale
per varietà differenziabili

Siamo ora in possesso di tutte le conoscenze necessarie per continuare la nostra trat-
tazione. In questo capitolo enunceremo e dimostrare alcuni dei principali risultati riguar-
danti varietà differenziabili su cui abbiamo informazioni riguardo il segno della curvatura
sezionale.

Per semplificare la notazione, diremo ad esempio che “M ha curvatura sezionale K < 0”
per indicare che, per ogni p ∈ M e per ogni σ sottospazio bidimensionale di TpM , Kp(σ) <
0.

5.1 Curvatura sezionale negativa

In questa sezione presentiamo tre tra teoremi classici riguardanti proprietà globali di
varietà riemanniane di curvatura sezionale negativa.

Il primo di questi risultati è il Teorema di Cartan-Hadamard: esso prende il nome
dai matematici francesi Jacques Hadamard, che nel 1898 lo dimostrò per superfici regolari
([10]), e Èlie Cartan, che nel 1928 lo estese a varietà riemanniane ([4]). Esso riguarda il
rivestimento universale di una varietà riemanniana completa la cui curvatura sezionale sia
non positiva in ogni punto.

I restanti due risultati riguardano il gruppo fondamentale di varietà riemanniane com-
patte con curvatura sezionale strettamente negativa. Essi furono dimostrati dal matematico
svizzero Alexandre Preissmann nella sua tesi di dottorato nel 1942 ([19]).

In quanto segue M indica una varietà riemanniana.

5.1.1 Teorema di Cartan-Hadamard

Iniziamo con l’enunciare alcuni lemmi.

Lemma 5.1. Sia M una varietà riemanniana completa con curvatura sezionale K ≤ 0.
Allora, per ogni p ∈ M il luogo coniugato di p, C(p), è vuoto. In particolare expp è un
diffeomorfismo locale per ogni p ∈ M .

Dimostrazione. Sia p ∈ M e sia γ : [0, +∞) → M una geodetica con γ(0) = p (il dominio
di γ è estendibile in questo modo per le ipotesi sulla completezza di M ). Supponiamo per
assurdo che esista t˜ ∈ (0, +∞) tale che γ(t˜) è coniugato a p. Esisterà dunque un campo di
Jacobi J non identicamente nullo lungo γ|[0,t˜] tale che J(0) = J(t˜) = 0.

58 CAPITOLO 5. CURVATURA SEZIONALE PER VARIETÀ DIFFERENZIABILI

Denominiamo, per semplicità di notazione, h(t) = J, J (t), t ∈ [0, t¯]. h è dunque una
funzione C2([0, t˜]), per la regolarità di J, e non negativa.

Ora, ricordando che, per definizione di campo di Jacobi,

J¨ = −R(γ˙ , J)γ˙ ,

e che la curvatura sezionale in p è definita come

Kp(σ) = Rm(v, w, v, w) { v, w } base di σ,
v∧w 2 ,

calcoliamo

h¨ = d2 J, J d 2 J, J˙ = 2 J˙ 2 + 2 J¨, J = 2 J˙ 2 − 2 R(γ˙ , J)γ˙ , J =
dt2 =

dt

=2 J˙ 2 − 2 Rm(γ˙ , J, γ˙ , J) = 2 J˙ 2 − 2K(γ˙ , J) γ˙ ∧ J 2 ≥ 2 J˙ 2 ≥ 0,

dove la penultima disuguaglianza segue dall’ipotesi che K ≤ 0.

h˙ è dunque crescente in [0, t˜]. Inoltre si ha che h(0) = J(0), J(0) = 0 e che h˙ (0) =

2 J˙(0), J(0) = 0. Poichè J non è identicamente nullo, esisterà almeno un punto t0 ∈ (0, t˜)

tale che h(t0) > (0). Per il teorema di Lagrange applicato a h nell’intervallo [t0, t˜], esisterà

t1 ∈ (t0, t˜) tale che h˙ (t1) = − h(t0) < 0, che contraddice il fatto che h˙ fosse crescente in
t˜−t0
[0, t˜].

expp è dunque un diffeomorfismo locale, per la Proposizione 3.34 a pagina 34.

Il prossimo lemma è una diretta applicazione del Teorema di Rauch. Esso sfrutta il fatto

che, assimilando in modo naturale lo spazio tangente TpM di una varietà differenziabile
M n (in un suo punto p) a Rn, esso, inteso come varietà riemanniana dotata della metrica
euclidea, ha tensore di curvatura identicamente nullo e dunque curvatura sezionale nulla

in ogni suo punto (per dettagli si veda [14, pp. 71,117]).

Lemma 5.2. Sia M una varietà differenziabile con curvatura sezionale K ≤ 0. Siano
p ∈ M e Br(p) una palla normale di centro p, immagine di Br(0) ⊂ TpM tramite expp.
Sia γ˜ : [0, b] → Br(0) ⊂ TpM una curva differenziabile e sia γ = expp ◦ γ˜ la sua immagine
su M tramite expp. Allora

l(γ) ≥ l(γ˜).

La disuguaglianza diventa stretta se, in particolare, K < 0.

Dimostrazione. Si consideri la famiglia regolare di curve in Br(0) ⊂ TpM data da

Γ(t, s) = tγ˜(s), (t, s) ∈ [0, 1] × [0, b],

Si consideri la famiglia regolare di curve in Br(p) ⊂ M data da

Γ(t, s) = expp(tγ˜(s)), (t, s) ∈ [0, 1] × [0, b].

Essa è una variazione di geodetiche per ogni geodetica della forma t → γs(t) = expp(tγ˜(s)),

a s fissato. Allora, per ogni s ∈ [0, b], Js(t) = ∂Γ (t, s) è un campo di Jacobi lungo γs (si
∂s

veda la Proposizione 3.27 a pagina 32), con

Js(0) ∂Γ = d · γ˜(s))) = 0,
= (0, s) ds (expp(0

∂s

Js(1) ∂Γ = d · γ˜(s))) = γ˙ (s),
= (1, s) ds (expp(1

∂s

J˙s(0) =γ˜˙ (s),

5.1. CURVATURA SEZIONALE NEGATIVA 59

dove l’ultima uguaglianza segue nuovamente dalla Proposizione 3.27.

Consideriamo ora la famiglia regolare di curve in Br(0) ⊂ TpM data da Γ˜(t, s) = tγ˜(s),

(t, s) ∈ [0, 1] × [0, b]. Essa è variazione delle geodetiche t → γs(t) = tγ˜(s), a s fissato, e la

sua immagine tramite expp dà proprio la famiglia Γ introdotta precedentemente. Possiamo

costruire una famiglia di campi di Jacobi J˜s(t) = ∂Γ˜ (t, s) in modo analogo e ottenere che,
∂s

per ogni s ∈ [0, b],

J˜s(0) =0,
J˜s(1) =γ˜˙ (s)
J˜˙s(0) =γ˜˙ (s).

Allora, fissando s ∈ [0, b] abbiamo che

Js(0) = J˜s(0) = 0,
J˙s(0), γ˙s(0) = J˜˙s(0), γ˜˙s(0) = γ˜˙ (s), γ˜(s) ,

J˙s(0) = J˜˙s(0) = γ˜˙ (s) .

Per il Teorema di Rauch abbiamo dunque che
Js ≥ J˜s ,

dove la disuguaglianza è stretta se K < 0. Poiché Js(1) = γ˙ (s) e J˜s(1) = γ˜˙ (s), si ha che
γ˙ (s) ≥ γ˜˙ (s) ,

questo per ogni s ∈ [0, b]. Dunque

bb

l(γ) = γ˙ (s) ds ≥ γ˜˙ (s) ds = l(γ˜).

00

Se la curvatura sezionale è strettamente negativa, la disuguaglianza nell’ultima espressione
diventa stretta, da cui la tesi

Proposizione 5.3. Sia M una varietà riemanniana completa, avente curvatura sezionale
K ≤ 0. Allora, per ogni p ∈ M , expp è un rivestimento.

Dimostrazione. Per la Proposizione 4.15 a pagina 50 è sufficiente mostrare che expp goda
del sollevamento di cammini. Sia dunque γ : [0, b] → M una curva differenziabile, con
γ(0) = q. Vogliamo trovare una curva differenziabile γ˜ : [0, b] → TpM tale che expp ◦ γ˜ ≡ γ.
Poiché M è completa, expp è una funzione suriettiva, dunque esiste q˜ ∈ TpM tale che
expp(q˜) = q. Per iniziare, poniamo dunque γ˜(0) = q˜. Per il Lemma 5.1, expp è un
diffeomorfismo locale e, dunque esistono un intorno U˜ ⊂ TpM di q˜ e un intorno U ⊂ M
di q tale che U˜ sia diffeomorfo a U tramite la restrizione expp|U˜ . Sia dunque ε > 0 tale
che γ([0, ε)) ⊂ U . Possiamo dunque definire il primo tratto del sollevamento di γ come
γ˜|[0,ε) = expp|−U˜ 1 ◦ γ|[0,ε). Sia

A = { t ∈ [0, b], γ˜ definita in [0, t] } .

A dovrà essere un intervallo contenente 0, aperto in [0, b]: infatti, se γ˜ è definita in [0, t1],
basterà prendere un intorno di γ˜(t1) su cui expp sia un diffeomorfismo e prolungare γ˜ per

60 CAPITOLO 5. CURVATURA SEZIONALE PER VARIETÀ DIFFERENZIABILI

t leggermente maggiore di t0 in modo analogo a quanto mostrato precedentemente. Sia
dunque t0 = sup A. Dimostriamo che t0 = b.

Supponiamo per assurdo che t0 < b. Sia dunque {tn}n∈N ⊂ [0, t0) una successione
reale crescente tale che limn tn = t0. Ora, supponiamo per assurdo che la successione
{γ˜(tn)} ⊂ TpM sia non limitata in TpM . Allora limn γ(tn) − γ(t0) = +∞. Dunque,
poichè chiaramente l(γ˜|[0,tn]) ≥ γ(tn) − γ(t0) , avremo, per confronto, che

lim l(γ˜|[0,tn]) = +∞.

n

Ora, per il Lemma 5.2, l(γ|[0,tn]) ≥ l(γ˜|[0,tn]) e dunque, sempre per confronto,

lim l(γ|[0,tn]) = +∞,

n

ma ciò è assurdo, poiché, per continuità di γ, limn l(γ|[0,tn]) = l(γ|[0,t0]), chè è un valore
finito.

La successione {γ˜(tn)} è dunque contenuta in un compatto ed è convergente a meno di
considerare una sua sottosuccessione. Sia q = limn γ˜(tn). Per continuità di expp e di γ,

expp(q) = expp lim γ˜(tn ) = lim (expp ◦ γ˜(tn)) = lim γ(tn) = γ(lim tn) = γ(t0).

n n n n

Consideriamo dunque un intorno V ⊂ M di γ(t0). Esisterà δ > 0 tale che t0 + δ < b
e γ([t0 − δ, t0 + δ]) ⊂ V . Operando come prima, possiamo dunque sollevare tale tratto
di γ in maniera differenziabile su TpM . Tale sollevamento coincide in [t0 − δ, t0) con il
sollevamento già trovato in precedenza e costituisce dunque un suo prolungamento. γ˜
risulta perciò definita almeno in [0, t0 + δ], ovvero t0 + δ ∈ A, che è assurdo. Abbiamo
dunque provato che sup A = b. A partire da ciò si dimostra in modo del tutto analogo
che, effettivamente, b ∈ A, il che significa che γ˜ è definita su tutto [0, b] ed è perciò il

sollevamento di γ cercato.

Giungiamo finalmente ad enunciare il Teorema di Cartan-Hadamard.

Teorema 5.4 (Cartan-Hadamard). Sia M n una varietà riemanniana completa e sempli-
cemente connessa, con curvatura sezionale K ≤ 0. Allora M è diffeomorfa a Rn.

Dimostrazione. Sia p ∈ M . Per la proposizione precedente, expp : TpM → M è un ri-
vestimento. Poiché TpM è connesso per archi e M è semplicemente connessa, per la
Proposizione 4.17 a pagina 50 expp è un omeomorfismo. Per il Lemma 5.1, inoltre, expp
è un diffeomorfismo locale. Ciò assicura che exp−p 1 sia differenziabile. Unendo tutto ciò,
si ha che expp è un diffeomorfismo, ovvero che M è diffeomorfa a TpM , che è a sua volta
identificabile con Rn.

Corollario 5.5. Sia M una varietà riemanniana completa e semplicemente connessa, con
curvatura sezionale K ≤ 0. Allora per ogni coppia di punti p, q ∈ M esiste un’unico
segmento geodetico (in particolare minimizzante) che collega p e q.

Dimostrazione. Per il Teorema di Cartan-Hadamard, expp : TpM → M è un diffeomorfi-
smo. Sia dunque q˜ l’unico punto di TpM tale che expp(q˜) = q. L’unico segmento geodetico
(radiale dal punto di vista di p) che collega p e q dovrà essere l’immagine tramite expp
del segmento che collega 0 a q˜ in TpM . Se per assurdo vi fossero due segmenti geodetici
radiali da p a q, le loro controimmagini tramite expp costituirebbero due segmenti su TpM
che collegano 0 a q˜, il che è assurdo.

5.1. CURVATURA SEZIONALE NEGATIVA 61

5.1.2 Teoremi di Preissmann

In quanto segue, M indica una varietà riemanniana completa e q : M˜ → M il suo
rivestimento universale, dove M˜ è dotata della struttura differenziabile indotta da q e della
metrica del rivestimento.

Definizione 5.6. Sia γ : R → M una curva differenziabile. γ si dice geodetica chiusa se è
una geodetica e una curva chiusa.

In particolare una geodetica chiusa γ è periodica, ovvero esiste T > 0 tale che, per ogni
t ∈ R,

γ(t + T ) = γ(t).

La sua immagine è dunque compatta, poiché è uguale a γ([0, T ]).

Teorema 5.7 (Cartan). Se M è compatta e L è una classe di omotopia libera in C1(M ),
allora esiste una geodetica chiusa di M che appartiene alla classe L. Essa, tra tutte le
curve differenziabili a tratti in L, è la curva di lunghezza minima.

Dimostrazione. Se L è la classe del cammino costante, banalmente ogni geodetica costante

è una geodetica chiusa in L.

Supponiamo dunque che L non sia la classe banale. Denotiamo con Λ(L) l’insieme

delle curve differenziabili a tratti contenute in L. Sia m l’estremo inferiore delle lunghezze

delle curve di Λ(L). m è un numero reale, in quanto le curve di Λ(L) sono chiuse. Sia

dunque {γn} una successione di curve di Λ(L), tale che limn l(γn) = m. Supponiamo che
tali curve abbiano tutte periodo unitario (è sufficiente riparametrizzarle): l’immagine di

γn coinciderà con γn([0, 1]). Possiamo inoltre supporre che ogni γn sia una geodetica a
tratti: se così non è, siano 0 = t0 < t1 < · · · < tk = 1 tali che, per ogni i = 1 . . . k,

γn([ti−1, ti]) è contenuta interamente in un intorno totalmente normale (ciò è reso pos-
sibile dalla compattezza dell’immagine di γn). Sia ora γ˜n : [0, 1] → M una nuova curva
differenziabile a tratti tale che γ˜n|[ti−1,ti] è l’unico segmento geodetico che unisce γn(ti−1)
e γn(ti). Per la semplice connessione degli intorni totalmente normali, γ˜n è omotopa a γn
e appartiene dunque a Λ(L). Inoltre, l(γ˜n) ≤ l(γn). È sufficiente ora sostituire γn con γ˜n

nella successione originale.

Supponiamo inoltre che tali geodetiche siano parametrizzate proporzionalmente alla

lunghezza d’arco e che abbiano periodo unitario. L’immagine di γn coinciderà dunque con
γ([0, 1]).

Sia L l’estremo superiore delle lunghezze delle curve γn. Poiché limn l(γn) = m ∈ R, è
sicuramente possibile considerare una sottosuccessione di {γn} (in particolare ignorando i

primi termini di quest’ultima) per cui L sia finito.

Ora, sia ε> 0 e siano t1, t2 ∈ [0, 1], con t1 ≤ t2, tali che t2 − t1 < ε . Allora, per ogni
L

n ∈ N,

ε
d(γn(t1), γn(t2)) ≤ l(γn|[t1,t2]) = (t2 − t1) l(γn) ≤ L(t2 − t1) < L L = ε,

dove d è la metrica intrinseca su M (Proposizione 3.19 a pagina 29).

Rispetto a tale metrica, dunque, la famiglia {γn} è equicontinua. Poiché M è compatta,
il Teorema di Ascoli-Arzelà ci permette di concludere che la successione {γn} converge
uniformermente a una curva continua e chiusa γ0 : [0, 1] → M , a meno di considerare
una sua sottosuccessione. Usando il procedimento impiegato in precedenza, “deformiamo”

leggermente γ0, costruendo una geodetica a tratti omotopa ad essa. Chiamiamo tale curva γ
e supponiamo che essa abbia periodo unitario. Sia 0 = t0 < t1 < · · · < tk = 1 la partizione

62 CAPITOLO 5. CURVATURA SEZIONALE PER VARIETÀ DIFFERENZIABILI

di [0, 1] adottata, tale che, per ogni i = 1 . . . k, γ|[ti−1,ti] sia un segmento geodetico radiale
contenuto in un intorno normale (e dunque minimizzante). Poiché γ ∈ Λ(L), l(γ) ≥ m.

Dimostriamo ora che l(γ) = m.

Supponiamo per assurdo che l(γ) > m. Sia ε = l(γ)−m . Poiché limn l(γn) = m e γ0 è
k+1

limite uniforme della successione {γn}, esisterà j ∈ N tale che

l(γj) − m < ε e d(γj(t), γ0(t)) < ε, t ∈ [0, 1].

Dunque,

k l(γ) − m
(l(γj|[ti−1,ti]) + ε) =l(γj) + kε < m + (k + 1)ε = m + (k + 1) k + 1 =

i=1
k

=l(γ) = l(γ|[ti−1,ti]).

i=1

Avendo a che fare con quantità positive, ciò implica che esiste i ∈ {1 . . . k} tale che
l(γj |[ti−1,ti]) + ε < l(γ|[ti−1,ti]), in particolare

l(γj |[ti−1,ti]) < l(γ|[ti−1,ti]),

che contraddice il fatto che γ|[ti−1,ti] sia un segmento geodetico minimizzante. Abbiamo
dunque che l(γ) = d, ovvero γ ha lunghezza minima in Λ(L). Si noti che ciò implica altresì
che d > 0: in caso contrario γ sarebbe una curva costante e la sua classe di omotopia libera
L sarebbe la classe banale.

Per concludere la dimostrazione bisogna ancora mostrare che γ è effettivamente regolare
anche in corrispondenza di t1, . . . , tk. Supponiamo per assurdo che ciò non sia vero. Sia
i ∈ {1, . . . , k} tale che γ non sia regolare in ti. Sia B un palla normale fortemente convessa
centrata in ti (si veda la Proposizione 3.17 a pagina 28). Per ε > 0 opportunamente
piccolo, siano q1 = γ(ti − ε), q2 = γ(ti + ε) tali che q1, q2 ∈ B. L’unico segmento geodetico
minimizzante che collega q1 e q2 avrà lunghezza strettamente minore di γ|[ti−ε,ti+ε], per la
non regolarità di γ in ti, e vi sarà omotopo, per semplice connessione della palla normale
B. Dunque la curva chiusa ottenuta prendendo γ e sostituendo al tratto γ([ti − ε, ti + ε]) il
segmento minimizzante tra q1 e q2 appartiene ancora a Λ(L) e ha lunghezza strettamente
minore di γ. Ciò è assurdo e conclude la dimostrazione.

Definizione 5.8. Sia f un’isometria di M˜ diversa dall’automorfismo identico. Sia γ˜ : R →
M˜ una geodetica di M˜ . f è detta traslazione di M˜ lungo γ˜ se f lascia invariata l’immagine

di γ˜, ovvero, detta c = γ˜(R) l’immagine di γ˜, si ha che

f (c) = c.

Proposizione 5.9. Se M è compatta, ogni elemento di Deck(M˜ , q) è una traslazione di
M˜ lungo una qualche geodetica di M˜ .

Dimostrazione. Siano f ∈ Deck(M˜ , q) diversa dall’identità e x˜ ∈ M˜ . Sia α˜ una cammino
congiungente p˜ a f (p˜). Ora, se x = q(x˜) e α = q ◦ α˜, sia γ : [0, T ] → M la geodetica
chiusa appartenente alla classe di omotopia libera individuata da α, data dalla proposizione
precedente. γ ha periodo T ma il suo dominio è ovviamente estendibile all’intera retta reale.
Sia y = γ(0) e sia σ : [0, 1] → M un cammino che congiunga x a y. γ è dunque omotopa
a σ−1 ∗ α ∗ σ. Sia ora y˜ = σ˜x˜(1). Sia γ˜ il sollevamento di γ avente y˜ come punto iniziale.

5.1. CURVATURA SEZIONALE NEGATIVA 63

Vogliamo dimostrare che f è una traslazione lungo γ˜, più precisamente lungo l’estensione
di γ˜ di dominio R.

Poiché γ e σ−1 ∗ α ∗ σ sono omotope in M , i loro rispettivi sollevamenti su M˜ , aventi
entrambi y˜ come punto iniziale sono omotopi, per monodromia; in particolare i loro punti
finali coincidono. Ricordando la definizione esplicita dell’isomorfismo tra Deck(M˜ , q) e
π1(M, y) (Proposizione 4.35 a pagina 55), segue dunque che gli automorfismi f e ϕy˜([γ])
coincidono su y˜. Per la Proposizione 4.20 a pagina 51, f ≡ ϕy˜([γ]).

f , dunque, mappa y˜ in un nuovo punto dell’immagine di γ˜. Per arbitrarietà del punto y
di γ e per l’unicità del sollevamento di cammini, il procedimento si può ripetere in maniera
analoga per ogni punto di γ˜, mappando punti di γ˜ in nuovi punti di γ˜ in maniera iniettiva
e suriettiva. Otteniamo perciò che f (γ˜(R)) = γ˜(R), da cui la tesi.

Definizione 5.10. Un triangolo geodetico T di M è formato da tre punti di M , detti
vertici, collegati a due a due da tre segmenti geodetici minimizzanti normalizzati, detti lati
del triangolo.

Sia p ∈ M un vertice di T . L’angolo interno a T in p è dato dall’angolo convesso in
TpM formato dai vettori tangenti in p ai due lati di T che si incontrano in p.

Lemma 5.11. Siano p1, p2, p3 ∈ M . Supponiamo che M sia semplicemente connessa e
abbia curvatura sezionale K ≤ 0. Allora esiste un unico triangolo geodetico T di M avente
vertici p1, p2 e p3.

Dimostrazione. La tesi segue immediatamente dal Corollario 5.5 del Teorema di Cartan-
Hadamard. Per ogni coppia di punti p, q ∈ M esiste un’unico segmento geodetico (mi-
nimizzante) che collega p e q. Tale segmento determina in modo univoco un lato di un
triangolo geodetico avente p e q tra i suoi vertici.

Lemma 5.12. Supponiamo che M sia semplicemente connessa e abbia curvatura sezionale
K ≤ 0. Siano a, b, c ∈ M . Sia T l’unico triangolo geodetico di M avente a, b, c come
vertici (si veda il lemma precedente). Denotiamo con α, β, γ gli angoli di T rispettivamente
in a, b, c e con γA, γB, γC i lati di T opposti rispettivamente a a, b, c. Siano A, B, C le
lunghezze rispettivamente di γA, γB, γC. Allora

1. A2 + B2 − 2AB cos γ ≤ C2;

2. α + β + γ ≤ π.

Le uguaglianze diventano strette se, in particolare, K < 0.

Dimostrazione. Sfruttiamo lo spazio tangente TcM . Per il Teorema di Cartan-Hadamard
sono definiti in modo unico le controimmagini a˜ = exp−c 1(a), ˜b = exp−c 1(b) ∈ TcM e γ˜A =
expc−1 ◦ γA, γ˜B = exp−c 1 ◦ γB, γ˜C = exp−c 1 ◦ γC . γA e γB sono segmenti geodetici radiali con
vertice c, dunque γ˜A e γ˜B sono segmenti in TcM e l(γ˜A) = l(γA) = A, l(γ˜B) = l(γB) = B
(Proposizione 3.9 a pagina 25). γ˜c, invece, non risulta necessariamente un segmento di
TcM . Sia dunque γ˜ il segmento di TpM che congiunge a˜ e ˜b, estremi di γ˜c. Si noti che,
dunque,

l(γ˜) ≤ l(γ˜c),

dove la disuguaglianza diventa stretta se K < 0.
Abbiamo dunque costruito un triangolo T˜ su TpM , formato dai lati γ˜a, γ˜b e γ˜ e dai

vertici 0, a˜, ˜b ∈ TcM . Si noti che l’angolo interno a T˜ nel vertice 0 coincide con γ, l’angolo
interno a T in c, per definizione stessa di quest’ultimo. Per il Teorema di Carnot, abbiamo
dunque che

l(γ˜)2 = l(γ˜a)2 + l(γ˜b)2 − 2l(γ˜a) l(γ˜b) cos γ = A2 + B2 − 2AB cos γ.

64 CAPITOLO 5. CURVATURA SEZIONALE PER VARIETÀ DIFFERENZIABILI

Per le considerazioni precedenti riguardo γ˜, otteniamo che

A2 + B2 − 2AB cos γ ≤ l(γ˜c)2.

Per il Lemma 5.2 a pagina 58, inoltre, l(γ˜c) ≤ l(γc) = C, con la disuguaglianza stretta se
K < 0. Da ciò segue il punto 1.

Osserviamo ora che, poiché i lati del triangolo T sono geodetiche minimizzanti, si ha
che C = d(a, b), B = d(a, c) e A = d(b, c). Per disuguaglianza triangolare, è dunque
possibile costruire sullo spazio tangente TcM un triangolo T avente lati di lunghezza A,
B, C. Denotiamo gli angoli di T con α , β , γ , opposti ripettivamente ai lati A, B, C.
Concentriamoci ad esempio su γ . Applicando il Teorema di Carnot al triangolo appena
costruito, abbiamo che

A2 + B2 − 2AB cos γ = C2.

Recuperando il punto 1., otteniamo perciò che

A2 + B2 − 2AB cos γ ≤ A2 + B2 − 2AB cos γ ,

ovvero che

cos γ ≥ cos γ .

Poiché γ, γ ∈ (0, π), intervallo in cui la funzione coseno è strettamente decrescente, con-

cludiamo dunque che γ ≤ γ . Possiamo ripetere il procedimento per gli altri due angoli

ottenendo che

α≤α, β≤β, γ≤γ. (5.1)

Poiché il triangolo T è posto in uno spazio euclideo, α + β + γ = π. Dunque

α + β + γ ≤ α + β + γ = π.

Se K < 0, le disuguaglianze in (5.1) diventano strette, da cui segue la tesi.

Il lemma precedente permette di approfondire la trattazione delle geodetiche chiuse.
Nel fare ciò ci concentreremo in particolare sul caso in cui la curvatura sezionale di M sia

strettamente negativa, dunque mai nulla.

Si ricordi che, per la Proposizione 4.24 a pagina 52, richiedere che M abbia curvatura
sezionale negativa equivale a richiedere lo stesso su M˜ .

Lemma 5.13. Supponiamo che M abbia curvatura sezionale K < 0. Sia f una traslazione
di M˜ lungo una geodetica γ˜ : R → M˜ . Allora γ˜ è l’unica geodetica di M˜ che f lascia
invariata. Ovvero, per ogni geodetica α˜ : R → M˜ , α˜ = γ˜, f (α˜(R)) = α˜(R).

Dimostrazione. Supponiamo che esista una seconda geodetica α˜ : R → M˜ , α˜ = γ˜ che f
lascia invariata.

Innanzitutto le due geodetiche γ˜ e α˜ non si intersecano mai. Supponiamo per assurdo
che esse abbiano un punto di intersezione, p. Poiché f preserva entrambe le geodetiche,
f (x) dovrà nuovamente essere un punto di intersezione di γ˜ e α˜. f non è l’automorfismo
identico (per definizione di traslazione), dunque f (p) = p (Proposizione 4.20 a pagina 51)
è un secondo punto di intersezione delle due geodetiche, che indichiamo con q. Vi sono
dunque due diversi segmenti geodetici che collegano p a q, uno dato da un tratto di γ˜, l’altro
da un tratto di α˜. Ciò contraddice il Corollario 5.5 del Teorema di Cartan-Hadamard (M˜
è semplicemente connessa essendo la varietà totale del rivestimento universale) e conclude
dunque la dimostrazione che γ˜ e α˜ non hanno punti di intersezione.

5.1. CURVATURA SEZIONALE NEGATIVA 65

Figura 5.1

Siano ora x ∈ γ˜(R), y ∈ α˜(R). Sia β˜ un segmento geodetico che collega x a y. Si
consideri ora il quadrilatero geodetico (Figura 5.1) avente come vertici x, y, f (x), f (y) e
come lati segmenti geodetici ricavati da β˜ (tra x e y), α˜ (tra y e f (y)), f ◦ β˜ (tra f (y) e
f (x)), γ˜ (tra f (x) e x). Si noti che f ◦β˜ è ancora un segmento geodetico (Osservazione 4.26
a pagina 52). Poiché f è un’isometria, l’angolo formato da γ˜ e β˜ in x ha la stessa ampiezza
dell’angolo (esterno al quadrilatero) formato da γ˜ e f ◦ β˜, dunque la somma delle ampiezze
dei due angoli interni adiacenti al lato γ˜ è esattamente uguale a π. Lo stesso si può fare
sul lato α˜, ottenendo dunque che la somma degli angoli interni del quadrilatero è uguale a
2π. Conseguenza immediata del Lemma 5.12, con le ipotesi che abbiamo su M˜ , è che in un
quadrilatero geodetico (interpretabile come la giustapposizione di due triangoli geodetici
aventi un lato in comune) la somma degli angoli interni sia sempre strettamente minore di
2π, da cui si ha un assurdo.

Lemma 5.14. Sia H un sottogruppo non banale di Deck(M˜ , q). Se esiste una geodetica
γ˜ di M˜ per cui ogni elemento di H è una traslazione lungo γ˜, allora H è un sottogruppo
ciclico infinito.

Dimostrazione. Riparametrizziamo γ˜ in modo che sia normalizzata. Sia p˜ = γ˜(0). Con-
sideriamo la funzione Φ : H → R data da Φ(h) = th dove h(p˜) = γ˜(th). Poiché γ˜ è
normalizzata, th rappresenta in particolare la distanza (con segno, a seconda se th è posi-
tivo o negativo) di h(p˜) da p˜. Poiché ogni elemento di H è una traslazione lungo γ˜, Φ è
chiaramente un omomorfismo di H in (R, +). Per la Proposizione 4.20 a pagina 51, esso è
inoltre iniettivo. Dunque, H è isomorfo alla sua immagine Φ(H), la quale è un sottogruppo
additivo di R.

Essendo Deck(M˜ , q) isomorfo a π1(M, p), per ogni p in M (Proposizione 4.35 a pa-
gina 55), esso è numerabile, per la Proposizione 4.8 a pagina 48; Dunque, anche H è
numerabile. Φ(H) non è il sottogruppo banale nullo, per ipotesi, dunque ha sicuramente
elementi positivi. Sia dunque t˜ = min { t ∈ Φ(H), t > 0 } ≥ 0. Proviamo che t˜ ∈ H. Se
t˜ > 0, supponiamo per assurdo che t˜ ∈/ Φ(H). La definizione di minimo implica che per ogni
ε > 0 esiste t1, t2 ∈ Φ(H) tali che t˜ < t1 < t2 < t˜+ ε, dunque tε = t2 − t1 < ε appartiene a
Φ(H). Ciò implica a sua volta che Φ(H) non può che essere denso nei reali, il che è assurdo,
essendo esso numerabile. Se t˜ = 0, esso appartiene banalmente a Φ(H). Si ha però, in
realtà, che t˜ non può mai essere nullo: in caso contrario, poiché 0 ∈/ { t ∈ Φ(H), t > 0 },
possiamo ripetere l’argomento precedente, mostrando che si avrebbe che Φ(H) è denso in
R, assurdo.

66 CAPITOLO 5. CURVATURA SEZIONALE PER VARIETÀ DIFFERENZIABILI

Sia ora t ∈ Φ(H). Mostriamo che è un multiplo di t˜. Effettuando la divisione con resto
di t per t˜, otteniamo in modo unico che t = nt˜+r, con n ∈ Z e 0 ≤ r < t˜. r = t−nt˜ ∈ Φ(H),
dunque, se per assurdo fosse non nullo, avremmo che esso sarebbe un elemento positivo di
Φ(H) strettamente minore di t˜, il che sarebbe assurdo, per definizione di t˜. Dunque r = 0
e t è multiplo di t˜.

Φ(H) è quindi il gruppo cicilico infinito generato da t˜. Per isomorfismo di Φ(H) con
H, si ha la tesi.

Arriviamo dunque al primo dei due Teoremi di Preissmann.

Teorema 5.15 (Preissmann). Sia M una varietà riemanniana compatta, avente curvatura
sezionale K < 0. Sia H un sottogruppo abeliano non banale del gruppo fondamentale
π1(M ). H è ciclico infinito.

Dimostrazione. Innanzitutto, sfruttando la Proposizione 4.35 a pagina 55 possiamo identi-
ficare H con un sottogruppo abeliano non banale di Deck(M˜ , q), dove q : M˜ → M indica,
come al solito, il rivestimento universale di M . Sia dunque h1 ∈ H, inteso come automor-
fismo. Poiché M è compatta, per la Proposizione 5.9, h1 è una traslazione di M˜ lungo una
qualche geodetica γ˜1, la quale è unica per il Lemma 5.13.

Si consideri ora un secondo elemento h2 di H. Anch’esso è una traslazione di M˜ , lungo
una seconda geodetica γ˜2, ovvero h2(γ˜2(R)) = γ˜2(R). Poiché H è abeliano si ha che

h1 ◦ h2(γ˜1(R)) = h2 ◦ h1(γ˜1(R)) = h2(γ˜1(R)),

ovvero che h1 preserva anche la geodetica h2 ◦ γ˜1, la quale è effettivamente una geodetica
poiché h2 è un’isometria (Osservazione 4.26 a pagina 52). Per il Lemma 5.13, dunque,
h2◦γ˜1 = γ˜1 e, sempre per lo stessa lemma, γ˜1 = γ˜2, essendo entrambe geodetiche preservate
da h2.

Ripetendo tale argomento per ogni elemento di h, otteniamo che tutti gli elementi di
H sono traslazioni di M˜ lungo una stessa geodetica. Per il Lemma 5.14 si ha dunque la
tesi.

Per dimostrare il secondo teorema, abbiamo bisogno del seguente lemma.

Lemma 5.16. Sia M completa e avente curvatura sezionale K ≤ 0. Supponiamo che tutti
gli elementi di Deck(M˜ , q) siano traslazioni di M˜ lungo una stessa geodetica. Allora M
non è compatta.

Dimostrazione. Sia α˜ : R → M˜ la geodetica dell’enunciato. Sia p˜ = α˜(0). Consideriamo
una seconda geodetica normalizzata β˜: R → M˜ , tale che β˜(0) = α˜(0) = p˜ e β˜˙(0) sia
ortogonale a α˜˙ (0) in Tp˜M˜ .

Portiamo tutto ciò su M : siano α = q ◦ α˜, β = q ◦ β˜ e p = q(p˜). Fissiamo t > 0.
Sia γt : R → M una geodetica di M con γt(0) = β(t) e γt(1) = p, tale che γt|[0,1] sia
minimizzante tra β(t) a p. Sia γ˜t il sollevamento di γt su M˜ , con punto iniziale γ˜t(0) = β˜(t).
Sia q˜t = γ˜t(1). Poiché q ◦ γ˜t = γt, si ha che q(q˜t) = q(p˜) = p, dunque, poiché Deck(M˜ , q)
agisce transitivamente sulle fibre di q, esiste f ∈ Deck(M˜ , q) tale che f (p˜) = q˜t. Poiché p˜
appartiene all’immagine di α˜ e f , per ipotesi, è una traslazione lungo α˜, q˜t appartiene alla
geodetica α˜. Sia q˜t = α˜(1), a meno di riparametrizzazioni di α˜.

Indichiamo ora a˜ = l(α˜|[0,1]), ˜b = l(β˜|[0,t]) = t e c˜ = l(γ˜t|[0,1]). Su M˜ si è dunque
formato un triangolo di vertici p˜, β˜(t) e q˜t. Per le ipotesi su M , ricordando inoltre che M˜ è

5.2. CURVATURA SEZIONALE POSITIVA 67

semplicemente connessa, il Corollario 5.5 a pagina 60 e il Lemma 5.11 a pagina 63 assicu-
rano che il triangolo così costituito sia effettivamente un triangolo geodetico. Applichiamo
dunque la Proposizione 5.12, ottenendo che

a˜2 + ˜b2 − 2a˜˜b cos( π ) = a˜2 + ˜b2 ≤ c˜2.
2

Dunque c˜ ≥ ˜b = t. Poiché, inoltre, l(α˜|[0,1]) = l(α|[0,1]), l(β˜|[0,t]) = l(β|[0,t]), l(γ˜t|[0,1]) =
l(γt|[0,1]) e, essendo γt|[0,1] minimizzante tra β(t) e p, l(γt|[0,1]) ≤ l(β|[0,t]), otteniamo che

c˜ = l(γt|[0,1]) ≤ l(β|[0,t]) = t,

da cui segue dunque che c˜ = t. Dunque d(β(t), p) = l(γt|[0,1]) = c˜ = t. Per arbitrarietà di
t, da ciò segue che M è illimitata per la metrica intrinseca.

Se per assurdo M fosse compatta, avremmo che la funzione continua

d : M × M → R+
(x, y) → d(x, y)

sarebbe definita sul compatto M ×M e avrebbe dunque immagine compatta, in particolare
limitata, in R. Ciò è assurdo per quanto si è detto. Dunque M non è compatta.

Teorema 5.17 (Preissmann). Sia M una varietà riemanniana compatta, con curvatura
sezionale K < 0. Il gruppo fondamentale di M , π1(M ), non è abeliano.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che π1(M ) sia abeliano. Procedendo in maniera
analoga rispetto alla dimostrazione del Teorema 5.15 deduciamo che tutte gli automorfismi
di Deck(M˜ , q) sono traslazioni lungo una stessa geodetica γ˜. Per il Lemma precedente,
dunque, M non è compatta: assurdo.

5.2 Curvatura sezionale positiva

Volgiamo ora l’attenzione a varietà riemanniane aventi curvatura sezionale strettamente
positiva. Le dimostrazioni dei risultati di questa sezione useranno in modo più consistente
gli strumenti variazionali introdotti nei capitoli precedenti.

Il primo di questi risultati fu dimostrato per la prima volta nel 1855 dal matematico
francese Pierre O. Bonnet ([3]), ma solamente per superfici regolari; fu quindi esteso al
caso generale qui proposto solamente negli anni ’30 del secolo scorso, grazie agli sforzi
dell’americano Sumner B. Myers ([16]) e dell’irlandese John L. Synge ([20]).

Il secondo, invece, fu dimostrato dallo statunitense Alan Weinstein nel 1968 ([22]) e
riguarda un problema di punto fisso. Esso fornisce una via elegante, che mostreremo, per
dimostrare un risultato già dimostrato da Synge nel 1936 ([21]).

5.2.1 Teorema di Bonnet-Synge-Myers

Sia M una varietà riemanniana. Cominciamo con una definizione elementare.

Definizione 5.18. Il diametro di M è definito intrinsecamente come

diam(M ) = sup d(p, q).

p,q∈M

68 CAPITOLO 5. CURVATURA SEZIONALE PER VARIETÀ DIFFERENZIABILI

Teorema 5.19 (Bonnet-Synge-Myers). Sia M una varietà riemanniana completa. Sup-
poniamo che esista r > 0 tale che la curvatura sezionale K di M soddisfi

1
K ≥ r2 > 0.
Allora M ha diametro diam(M ) ≤ πr.

Dimostrazione. Per assurdo, sia diam(M ) > πr. Esistono dunque p, q ∈ M tali che

d(p, q) > πr. Sia L = d(p, q). Poiché M è completa, per il Teorema di Hopf-Rinow esiste

una geodetica normalizzata γ : [0, L] → M con γ(0) = p e γ(L) = q, minimizzante la

lunghezza d’arco tra p e q. Definiamo dunque un campo vettoriale differenziabile V lungo

γ dato da

V (t) = πt E(t), t ∈ [0, L],
sin
L

dove E(t) è un campo vettoriale parallelo lungo γ, ad essa ortogonale e avente norma
unitaria. Derivando, otteniamo che

V¨ (t) = − π2 πt E(t).
L2 sin

L

Ora, poiché γ minimizza la lunghezza d’arco tra i suoi estremi, IL(V, V ) dev’essere
non negativo, per la Proposizione 3.44 a pagina 40. Calcoliamo dunque IL(V, V ), usando
l’espressione (3.20) a pagina 39.

L V¨ + R (γ˙ , V ) γ˙ , V dt =

IL(V, V ) = −

0

L π2 πt E− πt R(γ˙ , E)γ˙ , πt E dt =
L2 sin sin sin
=
L L L
0

= L sin2 πt π2 E, E − R(γ˙ , E)γ˙ , E dt =
0L L2

= L sin2 πt π2 − Rm(γ˙ , E, γ˙ , E) dt =
0L L2

= L sin2 πt π2 − Kγ(t)(E, γ˙ ) dt ≤
0L L2

≤ L sin2 πt π2 − 1 dt
0L L2 r2

dove abbiamo sfruttato sia la definizione di curvatura sezionale e il fatto che i campi γ˙ e
E sono ortonormali, dunque γ˙ ∧ E = 1, sia l’ipotesi sulla curvatura sezionale di M .

Ora, poiché abbiamo supposto che L > πr, abbiamo che

π2 π2 1
L2 < π2r2 = r2 ,

da cui π2
L2
− 1 < 0.
r2

Dunque, poiché sin2 πt ≥ 0,
L

IL(V, V ) < − L sin2 πt dt < 0,
0L

che è assurdo e conclude la dimostrazione.

5.2. CURVATURA SEZIONALE POSITIVA 69

Corollario 5.20. Sia M una varietà riemanniana completa con curvatura sezionale K ≥

1 > 0, r > 0. Allora M è compatta.
r2

Dimostrazione. Sia p ∈ M . Per completezza di M , per ogni q ∈ M esiste un segmento
geodetico radiale da p che collega p a q e, per la proposizione precedente, ha lunghezza mi-

nore o uguale a πr. Dunque, M = expp Bπr(0) . Per compattezza di Bπr(0) e continuità
di expp, M è compatta.

Corollario 5.21. Sia M una varietà riemanniana completa con curvatura sezionale K ≥

1 > 0, r > 0. Allora il gruppo fondamentale di M, π1(M ), è finito.
r2

Dimostrazione. Sia q : M˜ → M il rivestimento universale di M , dove M˜ è dotata della

metrica del rivestimento. Per la Proposizione 1.44 a pagina 13, poiché q è un’isometria

locale, si ha che anche M˜ ha curvatura sezionale K ≥ 1 > 0. Per il corollario precedente,
r2
M˜ è dunque compatta.

Per assurdo, supponiamo che π1(M ) sia infinito. Per la Proposizione 4.35 a pagina 55,
π1(M ) è isomorfo a Deck(M˜ , q), il quale è a sua volta in corrispondenza biunivoca con
q−1(p), per ogni p ∈ M , poiché Deck(M˜ , q) agisce transitivamente sulle fibre di q. Ora,

q−1(p) è un sottoinsieme chiuso di M˜ : Sia p˜ ∈/ q−1(p). Essendo M uno spazio di Hausdorff

è possibile trovare due intorni elementari disgiunti, U , U ⊂ M , centrati rispettivamente in

q(p˜ ) e p. Sia ora V il foglio di U contenente p˜ : esso chiaramente non interseca nessun
foglio di U ed è dunque contenuto nell’insieme M˜ \ q−1(p), il quale è dunque aperto.

q−1(p) è un sottoinsieme chiuso in un compatto, dunque è a sua volta compatto. È
dunque possibile estrarre un sottoricoprimento finito a partire dal ricoprimento di q−1(p)
dato dai fogli di U . Ciò prova che q−1(p) è necessariamente finito, da cui si ha la tesi.

5.2.2 Teorema di Synge-Weinstein

La dimostrazione del Teorema di Synge-Weinstein si appoggia su un semplice lemma
di algebra lineare.

Lemma 5.22. Sia A una matrice reale ortogonale n − 1 × n − 1. Supponiamo che det A =
(−1)n. Allora A ha autovalore 1, ovvero esiste v ∈ Rn−1 \ {0} tale che Av = v.

Dimostrazione. Sia n pari e, dunque, det A = 1. Il polinomio caratteristico di A, P (λ) =
det(A − λI) è un polinomio reale di grado n − 1, dispari. Ha dunque un numero dispari di
radici reali (contate con molteplicità), che saranno autovalori di A. Poiché A è un’isometria
di Rn−1, tali autovalori saranno +1 o −1. Se almeno uno di essi è 1, abbiamo finito. In
caso contrario, supponiamo che le radici reali di P (λ) siano tutte uguali a −1: essendo
esse in numero dispari, il loro prodotto sarà negativo. Le rimanenti radici di P (λ) sono
complesse e coniugate a due a due, dunque il loro prodotto è non negativo. Segue che il
prodotto di tutte le radici, complesse e reali, di P (λ) è negativo. Poiché esso coincide con
det A, giungiamo a un assurdo, avendo supposto che det A = 1.

Sia n dispari: det A = −1. Poiché le radici complesse di P (λ) sono coniugate a due a
due e hanno dunque prodotto non negativo, perché det A sia uguale a −1 dovranno esserci
almeno due radici reali, di segno opposto. Una di esse è dunque uguale a 1.

Teorema 5.23 (Synge-Weinstein). Sia M n una varietà riemanniana compatta e orientata,
avente curvatura sezionale K > 0. Sia f un’isometria di M . Supponiamo che f preservi
l’orientazione di M se n è pari e che la inverta se n è dispari: vale a dire, il differenziale
di f , df , in coordinate ha determinante uguale a (−1)n. Allora f ha un punto fisso, ovvero
esiste p ∈ M tale che f (p) = p.

70 CAPITOLO 5. CURVATURA SEZIONALE PER VARIETÀ DIFFERENZIABILI

Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che per ogni q ∈ M f (q) = q. Poiché M
è compatta, la funzione continua q → d(q, f (q)), q ∈ M , ha un minimo, che abbiamo
supposto essere strettamente positivo. Sia dunque p ∈ M un punto di minimo per tale
funzione. Per completezza di M , esiste una geodetica minimizzante normalizzata γ : [0, l] →

M tale che γ(0) = p e γ(l) = f (p).

Sia P : Tf(p)M → TpM la funzione lineare e invertibile che fornisce il trasporto parallelo
di un vettore tangente lungo γ, da f (p) a p. Sia A˜ = P ◦dfp : TpM → TpM . A˜ è un’isometria
lineare di TpM in se stesso. Infatti, se v, w ∈ TpM ,

P (dfp(v)), P (dfp(w)) p = dfp(v), dfp(w) f(p) = v, w p,

dove la prima uguaglianza segue dalle proprietà del trasporto parallelo e della connessione
di Levi-Civita (punto 1. della Definizione 1.33 a pagina 10) e la seconda uguaglianza è
dovuta all’ipotesi che f fosse un’isometria. In coordinate locali, dunque, A˜ è rappresentata
da una matrice ortogonale n × n. Poiché P preserva l’orientazione e dfp ha determinante
uguale a (−1)n, si avrà che

det A˜ = (−1)n

Si consideri ora la geodetica γ˜ = f ◦ γ, che collega f (p) a f (f (p)) = f 2(p). Sia t ∈ (0, l)
e sia p = γ(t ). Poiché f è un’isometria, d(p, p ) = d(f (p), f (p )) = l(γ|[0,t ]). Dunque, per
disuguaglianza triangolare,

d(p , f (p )) ≤ d(p , f (p)) + d(f (p), f (p )) = d(p , f (p)) + d(p, p ) = d(p, f (p)) = l.

Poiché d(f, f (p)) = l è un minimo, abbiamo che d(p , f (p )) = l. Conosciamo una curva
differenziabile a tratti che collega p a f (p ): essa è data da γ|[t ,l] ∗ γ˜|[0,t ] e ha lunghezza
(l − t ) + t = l. Dunque si tratta di una curva minimizzante tra p e f (p ) ed è perciò una
geodetica in ogni suo punto. Questo vuol dire, in particolare, che l’intera curva γ ∗ γ˜ è una

geodetica. Segue che
γ˜˙ (0) = γ˙ (l).

Allora

A˜(γ˙ (0)) = P (dfp(γ˙ (0))) = P ((f . γ)(0)) = P (γ˜˙ (0)) = P (γ˙ (l)) = γ˙ (0),

◦

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che γ è una geodetica e, dunque, γ˙ è un campo
vettoriale parallelo lungo di essa. (γ˙ (0)) è dunque un autovettore di A˜. Ciò significa che
è possibile restringere A˜ a γ˙ (0)⊥, ottenendo un’endomorfismo ortogonale del complemento
ortogonale di γ˙ (0), che indichiamo con A. Esso, poiché l’autovalore di A˜ corrispondente a

γ˙ (0) è 1, ha determinante uguale a (−1)n.

Per il lemma precedente A ha nuovamente autovalore 1 e lascia dunque invariato un
vettore non nullo di γ˙ (0)⊥, che supponiamo di norma unitaria e indichiamo con e1(0). Sia

e1(t), t ∈ [0, l], il trasporto parallelo di tale vettore lungo γ. Si noti che, per le proprietà
del trasporto parallelo, per ogni t si ha e1(t) ∈ γ˙ (t)⊥.

Sia dunque β : (−ε, ε) → M una geodetica avente β(0) = p e β˙(0) = e1(0). Poiché
P (dfp(u(0))) = e1(0), si ha che dfp(e1(0)) = P −1(e1(0)) = e1(l). Dunque la geodetica
β˜ = f ◦ β è tale che β˜(0) = f (p) e β˜˙(0) = e1(l).

Definiamo dunque una variazione di γ, Γ : [0, l] × (−ε, ε), data da

Γ(t, s) = expγ(t)(se1(t)).

5.2. CURVATURA SEZIONALE POSITIVA 71

Figura 5.2: Teorema di Synge-Weinstein (da [6, p. 205])

Si noti che

Γ(0, s) =expp(se1(0)) = β(s),
Γ(l, s) =expf (p)(se1(l)) = β˜(s).

In particolare, la variazione non è propria. Possiamo calcolare il campo variazionale V di
Γ, che sarà dato da

∂∂
V (t) = Γ(t, 0) = ∂s expγ(t)(se1(t)) = e1(t).
∂s s=0

Calcoliamo la seconda variazione dell’energia sulle curve di Γ, usando l’espressione (3.18)

a pagina 38, notando che, essendo V (t) un campo parallelo lungo γ, V˙ ≡ V¨ ≡ 0 e che

D ∂Γ (0, 0) = D dβ (0) = 0 e D ∂Γ (l, 0) = D dβ˜ (0) = 0
∂s ∂s ∂s ds ∂s ∂s ∂s ds

1 d2E (0) = − l dt =
2 ds2
V, R(γ˙ , V )γ˙

0

l

= − Kγ(t)(e1(t), γ˙ (t)) dt,

0

essendo e1(t) e γ˙ (t) ortogonali e di norma unitaria.
Perciò, per le ipotesi sulla curvatura sezionale,

1 d2E
2 ds2 (0) < 0.

Per lo stesso argomento utilizzato nella dimostrazione della Proposizione 3.44 a pagina 40,
ciò significa che esistono curve della variazione Γ aventi lunghezza minore della lunghezza
di γ. Poiché tali curve congiungono, per costruzione, punti di β con la loro rispettiva
immagine tramite f , vi sono dei punti q ∈ M tali che d(q, f (q)) < l, che è assurdo, avendo
supposto che d(p, f (p)) costituisse un minimo.

Teorema 5.24 (Synge). Sia M n una varietà riemanniana compatta avente curvatura
sezionale K > 0. Allora:

1. Se M è orientabile e n è pari, allora M è semplicemente connessa;

2. Se n è dispari, allora M è orientabile.

72 CAPITOLO 5. CURVATURA SEZIONALE PER VARIETÀ DIFFERENZIABILI

Dimostrazione. 1) Sia q : M˜ → M il rivestimento universale di M , dove M˜ è dotata della

struttura differenziabile introdotta nella Proposizione 4.21 a pagina 51 e della metrica
del rivestimento. Per costruzione, poiché M è orientabile, anche M˜ lo è; il rivestimento

q, inoltre, preserva l’orientazione. Essendo K > 0, per compattezza di M esiste r > 0

tale che K ≥ 1 > 0. Tale condizione è dunque identica su M˜ , essendo q un’isometria
r2

locale. Possiamo dunque applicare il Corollario 5.20 del Teorema di Bonnet-Synge-Myers

e concludere che M˜ è compatta. Sia f ∈ Deck(M˜ , q). Per la metrica del rivestimento, f è

un’isometria di M˜ che preserva l’orientazione. Essendo n pari, per ipotesi, applichiamo il

Teorema di Synge-Weinstein: f ha un punto fisso. Per la Proposizione 4.20 a pagina 51, f

è dunque l’identità di M . Grazie alla Proposizione 4.35 a pagina 55, π1(M ) è isomorfo a
Deck(M˜ , q), che abbiamo dimostrato essere il gruppo banale. M è dunque semplicemente

connessa.

2) Supponiamo per assurdo che M non sia orientabile. Sia allora π : M → M il doppio

rivestimento orientabile di M (Proposizione 4.29 a pagina 53), dove M è dotata della

metrica del rivestimento. Siccome M è compatta, anche M chiaramente lo è, poiché la

cardinalità della controimmagine di un qualsiasi punto di M è uguale a 2. Si noti ora che

Deck(M , π) ha esattamente due elementi: l’identità e la mappa

f: M →M
(p, Op,1) → (p, Op,2)
(p, Op,2) → (p, Op,1),

dove p ∈ M e Op = {Op,1, Op,2}. Per costruzione f inverte l’orientazione di M . Poiché n
è dispari, il Teorema di Synge-Weinstein assicura l’esistenza di un punto fisso di f . Per la
Proposizione 4.20 a pagina 51, f è l’identità, ma ciò è assurdo.

Capitolo 6

Curvatura sezionale
per superfici regolari

Grazie a tutte le considerazioni fatte nel Capitolo 2, possiamo ora trattare del caso par-
ticolare in cui la varietà considerata sia una superficie regolare in R3. Con il Teorema 2.13
a pagina 21 abbiamo infatti dimostrato come, su una superficie regolare S, la curvatura
gaussiana in p ∈ S corrisponda esattamente alla curvatura sezionale in p, calcolata rispetto
al piano tangente TpS. Grazie a ciò, è possibile riformulare tutti i risultati dimostrati nel
capitolo precedente. Avremo dunque:

Teorema 6.1 (Hadamard). Sia S ⊂ R3 una superficie regolare completa e semplicemente
connessa, con curvatura gaussiana K ≤ 0. Allora M è diffeomorfa a R2. In particolare,
per ogni p ∈ S, la mappa esponenziale expp : TpS → S è un diffeomorfismo (v. Teorema 5.4
a pagina 60).

Teorema 6.2 (Preissmann). Sia S ⊂ R3 una superficie regolare compatta, avente curva-
tura gaussiana K < 0. Sia H un sottogruppo abeliano non banale del gruppo fondamentale
π1(M ). H è ciclico infinito (v. Teorema 5.15 a pagina 66).

Teorema 6.3 (Preissman). Sia S ⊂ R3 una superficie regolare compatta, avente curvatura
gaussiana K < 0. Il gruppo fondamentale di M , π1(M ), non è abeliano (v. Teorema 5.17
a pagina 67).

Teorema 6.4 (Bonnet-Synge-Myers). Sia S ⊂ R3 una superficie regolare completa. Sup-
poniamo che esista R > 0 tale che la curvatura gaussiana K si S soddisfi

1
K ≥ R2 > 0.

Allora M ha diametro (intrinseco) diam(M ) ≤ πR (v. Teorema 5.19 a pagina 68).

Teorema 6.5 (Synge-Weinstein). Sia S ⊂ R3 una superficie regolare compatta e orientata,
avente curvatura gaussiana K > 0. Sia f un’isometria di S che preservi l’orientazione di
M . Allora f ha un punto fisso, ovvero esiste p ∈ S tale che f (p) = p (v. Teorema 5.23 a
pagina 69).

Teorema 6.6 (Synge). Sia S ⊂ R3 una superficie regolare compatta e orientata, avente
curvatura gaussiana K > 0. M è semplicemente connessa (v. Teorema 5.24 a pagina 71).

74 CAPITOLO 6. CURVATURA SEZIONALE PER SUPERFICI REGOLARI

6.1 Ovaloidi e convessità

La definizione della mappa di Gauss di versori normali a una superficie orientabile ci
permette di dedurre alcune ulteriori proprietà, delle quali non si potrebbe discutere per
una varietà differenziabile generica. Tratteremo in particolari di ovaloidi.

Definizione 6.7. Una superficie regolare S ⊂ R3 si dice ovaloide (in R3) se è orientabile,
connessa, compatta e ha curvatura gaussiana K > 0 in ogni suo punto.

Un semplice esempio di ovaloide è dato dalla sfera unitaria S2, avente curvatura se-
zionale K identicamente uguale a 1 in ogni punto. Il teorema successivo afferma che
essa rappresenta addirittura l’unico ovaloide in R3, a meno di diffeomorfismi. Per la sua
dimostrazione, utilizzeremo alcuni risultati di topologia algebrica introdotti nel Capitolo
4.

Teorema 6.8 (Hadamard). Sia S ⊂ R3 un ovaloide. S è diffeomorfa a S2, sfera unitaria
in R3. In particolare, la mappa di Gauss, N : S → S2, è un diffeomorfismo.

Dimostrazione. Consideriamo la mappa di Gauss. Sia p ∈ S. Per ipotesi abbiamo che
det(dNp) = K(p) > 0, dunque in particolare det(dNp) = 0, per ogni p ∈ S. Segue che N è
un diffeomorfismo locale. Per la Proposizione 4.16 a pagina 50, N è dunque un rivestimento,
essendo S compatta e S2 connessa. Inoltre, per la Proposizione 4.17 a pagina 50, poiché S
è connessa e S2 è semplicemente connessa, N è un omeomorfismo e ammette perciò inversa
continua N −1 : S2 → S. Ora, dato che la differenziabilità è un concetto locale, possiamo
sfruttare il fatto che N sia un diffeomorfismo locale per affermare che N −1 debba essere
anch’essa differenziabile.

È chiaro che il teorema precedente prova qualcosa in più. Il fatto che N sia un diffeo-
morfismo vuol dire in particolare che per ogni vettore v in S2 esiste uno e un solo punto
dell’ovaloide S avente versore normale v.

Ciò è fondamentale per dimostrare il prossimo teorema, studiato anch’esso da Jacques
Hadamard, che riguarda la convessità di una superficie.

Definizione 6.9. Un insieme A ⊆ R3 si dice (strettamente) convesso se, per ogni coppia
di punti p, q ∈ A, l’intero segmento pq è contenuto in A.

Teorema 6.10 (Hadamard). Sia S ⊂ R3 un ovaloide. Allora:

1. Per ogni p ∈ S, S giace interamente in uno dei due semispazi individuati da TpS,
inteso come piano affine in R3, e p è l’unico punto di S a giacere su TpS;

2. S è il bordo di un insieme convesso.

Dimostrazione. Iniziamo col dimostrare la prima parte. Sia p ∈ S e sia N la mappa di
Gauss su S. Consideriamo la funzione lineare affine (si veda la Figura 6.1)

f : R3 → R,
q → f (q) = N (p), q − p .

Si noti che il luogo degli zeri di f è dato dal piano affine in R3 passante per p e
ortogonale a N (p), ovvero il piano tangente TpS. I due semipiani individuati da TpS
saranno dunque dati dai punti in cui f è rispettivamente positiva o negativa. Dimostrare
il punto 1. equivale dunque a dimostrare che f ristretta a S non cambi segno e si annulli
solamente in p.

6.1. OVALOIDI E CONVESSITÀ 75

Figura 6.1

Poiché S è compatta, f |S assume minimo in corrispondenza di un certo q0 ∈ S. Se
q0 = p è l’unico punto di minimo per f |S, la dimostrazione è conclusa, infatti f (p) = 0 e
dunque f (q) ≤ 0 per ogni q ∈ S e f (q) = 0 se e soltanto se q = p. In caso contrario sia

q0 = p. Sia dunque v ∈ Tq0S e sia γ : (−ε, ε) → S una curva differenziabile avente γ(0) = q

e γ˙ (0) = v. Dunque f ◦ γ : (−ε, ε) → R è una funzione regolare, avente minimo in 0. Perciò

d(f ◦γ) t=0 = 0, ovvero dfq0 (v) = N (p), v = 0. Per arbitrarietà di v ∈ Tq0S, concludiamo
dt

che N (q0) = ±N (p). Ma per il Teorema 6.8, N è in particolare iniettiva, dunque, siccome

q0 = p, N (q0) = −N (p).

Consideriamo invece i punti di massimo per f |S. Come prima, se p è l’unico punto di

massimo, la dimostrazione è conclusa. In caso contrario sia q1 ∈ S, q1 = p un punto di

massimo per f |S. Se q1 coincidesse con q0, q1 sarebbe anche un punto di minimo per f |S,

il che vorrebbe dire che fS è identicamente nulla, dato che f (p) = 0; ma ciò implicherebbe
che S giace interamente su un piano, il che è chiaramente assurdo, essendo S un ovaloide.

Ripetendo un ragionamento analogo a quello fatto per q0, si dimostra che N (q1) = ±N (p),
ovvero N (q1) = N (p) oppure N (q1) = −N (p) = N (q0). Poiché abbiamo supposto che p,
q0 e q1 siano punti distinti, ciò è assurdo, sempre per il Teorema 6.8.

Gli unici casi ammissibili sono dunque quelli in cui p è o unico punto di minimo o unico

punto di massimo per f |S. In questi casi il punto 1. del teorema è verificato.
Passiamo alla seconda parte. Poiché S è orientabile, possiamo definire bene cosa in-

tendiamo per “interno” ed “esterno” di S (si veda l’Osservazione 2.5 a pagina 18). Siano

q1, q2 ∈ I(S), dove con I(S) indichiamo l’interno di S. Per la prima parte del teorema, per
ogni p ∈ S, i punti q1 e q2 dovranno giacere entrambi in uno dei due semipiani individuati

da TpS, insieme alla superficie S. Poiché i semipiani sono chiaramente convessi, il segmen-
to q1q2 sarà interamente contenuto nel suddetto semipiano. In particolare p ∈/ q1q2. Ciò
conclude la dimostrazione. Se infatti q1q2 non fosse interamente contenuto in I(S), avrem-

mo che per continuità q1q2 dovrebbe intersecare il bordo di I(S), ovvero S, ma abbiamo

dimostrato che ciò non è possibile.



Bibliografia

[1] Abate, Marco e Tovena, Francesco, Curve e Superfici, Springer-Verlag, Milano, 2006

[2] Abate, Marco e Tovena, Francesco, Geometria Differenziale, Springer-Verlag, Milano,
2011.

[3] Bonnet, Pierre Ossian, Sur quelques propriétés des lignes géodéiques, Comptes rendus
de l’Académie des sciences 40 (pp. 1311-1313), 1855.

[4] Cartan, Élie, Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, Gauthier-Villars,
Parigi, 1928.

[5] do Carmo, Manfredo Perdigão, Differential Geometry of Curves and Surfaces,
Prentice-Hall, New Jersey, 1976.

[6] do Carmo, Manfredo Perdigão, Riemannian Geometry, translated by Francis Flaherty,
Birkhäuser, Boston, 1992.

[7] Fulton, William, Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, 1995.

[8] Gallier, Jean e Quaintance, Jocelyn, Notes on Differential Geometry and Lie Groups,
da http://www.seas.upenn.edu/~jean/diffgeom.pdf, consultato il 19/3/2017.

[9] Gallot, Sylvestre, Hulin, Dominique e Lafontaine, Jacques, Riemannian Geometry,
Springer-Verlag, Berlino, 2a ed. 1993.

[10] Hadamard, Jacques, Les surfaces à courbures opposées et leur lignes geodesiques,
Journal de Mathématiques Pures et Appliqués 4 (pp. 27-73), 1898.

[11] Hopf, Heinz, Differential Geometry in the Large, Springer-Verlag, Berlino, 1983.

[12] Klingenberg, Wilhelm, A Course in Differential Geometry, Springer-Verlag, New York,
1978.

[13] Lee, John M., Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, New York, 2003 (2a
ed. 2012).

[14] Lee, John M., Riemannian Manifolds, An Introduction to Curvature, Springer, New
York, 1997.

[15] Manetti, Marco, Topologia, Springer-Verlag, Milano, 2a ed. 2014.

[16] Myers, Sumner B., Riemannian manifolds in the large, Duke Mathematical Journal 1
(pp. 42,43), 1935.

78 BIBLIOGRAFIA

[17] Ng, Lenhard, Classical and Modern Formulations of Curvature, 1995, da
https://services.math.duke.edu/~ng/math/papers/curvature.pdf, consultato il
24/5/2017.

[18] O’Neill, Barrett, Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure
and Applied Mathematics 103, Academic Press, 1983.

[19] Preissmann, Alexandre, Quelques propriétés globales des espaces de Riemann,
Commentarii Mathematici Helvetici 15 (pp. 175-216), 1943.

[20] Synge, John L., On the neighborhood of a geodesic in Riemannian space, Duke
Mathematical Journal 1 (pp. 527-537), 1935.

[21] Synge, John L., On the connectivity of spaces of positive curvature, Quarterly Journal
of Mathematics, vol.7 (pp. 316-320), 1936.

[22] Weinstein, Alan, A fixed point theorem for positively curved manifolds, Journal of
Applied Mathematics and Mechanics 18 (pp. 149-153), 1968.