Электронный учебник "Списки, графы, деревья"

Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, как
они устроены, из каких частей ни состоят, каковы инструменты, с помощью
которых проводится решение задач. Любая задача представляет собой
требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те
условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-
либо задачи, надо внимательнее ее изучить, установить, в чем состоят ее
вопросы, требования, каковы условия, исходя из, которых надо решить
задачу.

Для увеличения большей наглядности текстового документа
необходимо его соответствующим образом структурировать. Одним из таких
возможностей является создание списков. Графы – замечательные
математические объекты, с их помощью можно решать много различных,
внешне не похожих друг на друга задач.

Составленный список заданий связан, прежде всего, с анализом
информации в виде списков, разобраны особенности решения задач для
формирования навыков исследования графов, деревьев и списков. Для
решения предложенных заданий полезно использовать подобранный
теоретический материал и приложения.

2

1. Списки

Для того чтобы сделать текст удобным для восприятия, в него
вставляют так называемые элементы наглядности: таблицы, рисунки, схемы,
диаграммы и списки.

Список – это упорядоченный конечный набор элементов.

Различные перечни в документах, оглавления в учебниках и книгах,
меню в столовой оформляют с помощью списков. При этом все пункты
перечня рассматриваются как абзацы, оформленные по единому образцу
(рис. 1).

Рис. 1

3

Линейный односвязный список - последовательность
линейно связанных элементов, для которых разрешены операции
добавления элемента в произвольное место списка и удаление
любого элемента.

Списки могут быть двух видов: маркированные и нумерованные.
Рассмотрим маркированные списки.

Маркированным называется список, в котором начало
каждого элемента помечается особым знаком – маркером.

При создании маркированного списка в текстовом редакторе
пользователь может выбрать в качестве маркера любой символ
компьютерного алфавита и даже небольшие графические изображения.

Маркированный список используется тогда, когда порядок следования
элементов в нём не важен. Например, в форме маркированного списка можно
оформить список предметов, которые необходимо взять с собой в поход.

Посуда для турпохода
 Кружка.
 Ложка.
 Миска.
 Нож (складной).

Либо список героев детского фильма «Гарри Поттер» - это
 Гарри Поттер
 Рон Уизли
 Гермиона Грейнжер
 Драко Малфой и т.д.

Но если порядок перечисления элементов важен, используют другой

4

тип списка - нумерованный.

Нумерованный список - это список данных, который
подаёт информацию как перечисление нумерованных пунктов.

Элементы или пункты нумерованного списка обозначаются с помощью
последовательных чисел арабских или римских цифр. Также элементы
списка могут быть пронумерованы и буквами русского или латинского
алфавита (рис. 2).

Рис. 2
В нумерованном списке каждый элемент получает свой
индивидуальный номер.
Например, перечислим дни недели:
1. Понедельник
2. Вторник
3. Среда
4. Четверг
5. Пятница
6. Суббота
7. Воскресенье.
В данном списке порядок следования пунктов важен, так как мы знаем,
что в неделе семь дней и первый день недели – понедельник, второй вторник

5

и так далее.
Нумерованные списки часто используются для описания

последовательности действий, при указании порядка действий важное
значение имеет порядок следования пунктов. При создании, удалении или
перемещении пунктов нумерованного списка автоматически меняется вся
нумерация.

Следующий вид списков – многоуровневые.
Также списки могут различаться по структуре. Они могут быть
одноуровневые (списки, рассмотренные ранее) и многоуровневые.

Многоуровневый список — это список, который
основывается на отображении строк списка разными уровнями
(от первого до девятого). То есть каждая из строк списка может
включать подпункты различных уровней.

Для обозначения пунктов в многоуровневом списке могут
использоваться как маркеры, так и цифры (рис. 3).

Рис. 3

Пользователь может изменить свойства многоуровневого списка: для

каждого уровня выбрать обозначение пунктов, изменить формат номера

(шрифт, размер, цвет, начертание), положение обозначения пункта каждого

уровня списка, положение текста.

6

Примером многоуровневого списка является оглавление учебника
информатики (рис. 4).

Рис. 4
Перед нами пример трёхуровневого списка. Где первый уровень – это
название главы. Второй уровень – названия параграфов в данной главе, а
третий уровень – это название пунктов в данном параграфе.

2. Графы и деревья

Сделать текстовую и табличную информацию более наглядной и легко
доступной помогают графики, диаграммы, схемы и графы (рис. 1).

Рис. 1
Данный теоретический материал позволит ответить на вопросы:

7

1. Какие информационные модели называются графами?
2. Для чего применяются графы?
3. Как с помощью графов решать задачи?

Граф — это группа объектов со связями между ними.

Объекты представляются как вершины графа, а связи — это линии
соединяющие вершины.

Например, все шестиклассники пользуются мобильными телефонами и
многие общаются друг с другом через SMS. В данном примере вершины
графа – это отдельные ребята, а связи – это процесс «пишут друг другу SMS»
(рис. 2).

Рис. 2
Вершины графа можно изображать по-разному. Это может быть овал
либо круг, точка или прямоугольник (рис. 3).

Рис. 3

8

Cвязи, то есть с линии, соединяющие вершины графа, могут быть
различными.

Если линия, соединяющая вершины
графа направленная, то есть со
стрелкой, то она называется дугой
(рис. 4).

Рис. 4

Дуга - направленная линия, соединяющая вершины графа.

Если линия ненаправленная, то есть,
нет стрелки, то эта линия называется
ребром (рис. 5).

Рис. 5

Ребро – это ненаправленная линия, которая соединяет вершины
графа.

Если линия выходит из некоторой
вершины и входит в неё же, то эта
линия называется петлёй (рис. 6).

Рис. 6

9

Петля – это линия, которая выходит из некоторой вершины и
входит в нее же.

Вернёмся к примеру, с шестиклассниками. Здесь система – это
ученики шестого класса в какой-то школе. Объекты этой системы (т.е.
отдельных ребят) изображены вершинами, и соединены вершины
ненаправленными линиями (рёбрами). Ребра в данном случае являются
двухсторонними отношениями, потому что ребята пишут SMS-ки друг другу.
Полученная информационная модель рассматриваемой системы
представлена в форме графа (рис. 7).

Рис. 7
Рассмотрим виды графов.
Если вершины графа соединены рёбрами, то такой граф называется
неориентированным.
Рассмотрим пример: Таня написала SMS Никите, Никита ответил Тане,
Таня написала Маше, Маша ответила Тане, Никита написал Маше. Здесь
ребята отвечали друг другу на смски (рис. 8).

Рис. 8

10

Данное отношение называется цепью графа.

Цепь графа – это путь по вершинам и рёбрам графа, который
включает любое ребро не меньше одного раза.

Если в цепи начальная и конечная вершины совпадают, то такая цепь
называется циклом.

Например, Таня написала SMS Никите, Никита – Маше, Маша –
Платону, а Платон написал Тане. Здесь цикл – это цепь Таня – Никита –
Маша – Платон – Таня (рис. 9).

Рис. 9
Если вершины графа соединены дугами (стрелками), то такой граф
называется ориентированным.
В нашем примере цепь будет выглядеть следующим образом: Таня
написала SMS Никите, Никита – Маше, Маша – Платону. То есть СМС-ки
были без ответа (рис. 10).

Рис. 10

11

Рассмотрим следующий пример: город Москва основан в 1147 году,
город Санкт-Петербург основан в1703 году. Расстояние от Москвы до Санкт-
Петербурга 713 км. Год основания города Тверь 1135 год, расстояние от
Москвы до Твери 175 км. Ярославль основан в 1010 год, расстояние от
Москвы до Ярославля 272 км. Город Смоленск основан в 863 году, а
расстояние от Москвы до Смоленска 400 км (рис. 11).

Рис. 11
Опираясь на информацию о городах, мы получили взвешенный граф.

Взвешенным называется граф, который характеризуется
дополнительной информацией – весом вершины или весом ребра

(дуги).

Рассмотрим следующий вид графа с циклами, то есть граф, в цепи
которого начальная и конечная вершины совпадают.

Построим граф по отрывкам из сказки о царе Салтане:
К морю лишь подходит он,
Вот и слышит будто стон...
Бьётся лебедь средь зыбей,
Коршун носится над ней;
Но как раз стрела запела,
В шею коршуна задела —
Коршун в море кровь пролил,
Лук царевич опустил;

12

Смотрит: коршун в море тонет
И не птичьим криком стонет,
Лебедь около плывёт,
Злого коршуна клюёт,
И царевичу потом
Молвит русским языком…
Вот открыл царевич очи;
Отрясая грёзы ночи
И дивясь, перед собой
Видит город он большой,
Мать и сын идут ко граду.
Лишь ступили за ограду,
Пышный двор встречает их;
Все их громко величают
И царевича венчают
Княжий шапкой, и главой
Возглашают над собой…

Мы получили граф с циклами, который называется сетью. Если ранее
рассмотренные примеры содержали в себе одинаковые связи (ребята писали
смски), то в данном примере связи различны, поэтому их необходимо
подписывать (рис. 12).

Рис. 12

13

Еще одним видом графа, называется дерево.

Дерево – это граф с иерархической системой, где иерархия –
это структура распределения частей целого от высшего к
низшему.
Иерархическая система – это система, части которой
находятся в определённых отношениях.

К отношениям иерархической системы относятся «является
разновидностью», «входит в состав» и другие «отношения подчинённости»
(рис. 13).

Рис. 13
Рассмотрим иерархическую систему фирмы, которая, например,
занимается реализацией техники. Здесь будет такая система подчинённости:
генеральный директор - самый главный человек и владелец фирмы, ему
подчиняются директора магазинов, которые руководят работой
администраторов, ну а тем, в свою очередь, подчиняются продавцы (рис. 14).

Рис. 14

14

Рассмотрим систему, связанную системой подчинённости «входят в
состав». Она имеет иерархическую структуру. Например, изобразим
следующий граф иерархической системы: периодическая система элементов.
В неё состав входят металлы и неметаллы. В свою очередь металлы делятся
на 2 группы – группа 1 и группа 2, неметаллы делятся также на 2 группы –
группа 5 и группа 6 и так далее. В отличие от остальных графов дерево не
содержит циклов и петель, так как между любыми двумя его вершинами
существует только один путь.

Так же у графа «Дерево» выделяется главная вершина, которая
называется корень дерева. У любой вершины дерева могут быть потомки. А
вершины, у которых нет потомков, называются листьями (рис. 15).

Рис. 15
Информационные модели в сжатой форме помогают представлять
информацию и решать задачи.

15

1. «Списки»

Для выполнения предложенных заданий по «Спискам» полезно
использовать Приложение 1.

1.1 Базовый уровень сложности

Задание 1. Наберите предложенный текст. Создайте нумерованный
список.

Растительный мир Тундры
Дриада представляет собой небольшой приземистый кустарничек.
Карликовая берёзка мало похожа на нашу обычную, всем знакомую берёзу,
хотя оба эти растения — близкие родственники (разные виды одного и того
же рода). Голубика, или гонобобель - так называют один из невысоких
тундровых кустарников (высота его редко превышает 0,5 м). Морошка
(Rubus chamaemorus) — ближайший родственник малины (другой вид того
же рода). Лишайник ягель, или олений мох (Cladonia rangiferina) - это один.
из самых крупных наших лишайников, высота его достигает 10—15 см.
Задание 2. Наберите предложенный текст. Создайте нумерованный
список.

Как определить погоду?
Шесть видов облаков, которые можно увидеть, могут помочь вам
понять погоду. Кучевые облака - облака «хорошей погоды» похожи на вату.
Кучево-дождевые облака чётко оформлены недалеко от земли, но с высотой
они начинают становиться более дымчатыми по краям. Перистые облака
формируются в очень высоких слоях атмосферы: они дымчатые, поскольку

16

полностью состоят из кристаллов льда, падающих в атмосфере. Слоистые
облака – низко расположенная, непрерывная облачная простыня,
покрывающая небо.

Задание 3. Наберите предложенный текст. Создайте маркированный
список.

Современный этикет
Пунктуальность. Конфиденциальность. Имидж. Грамотная речь и стиль
письма. Деловые переговоры.
Задание 4. Наберите предложенный текст. Создайте маркированный
список.

Приметы хорошей погоды
Движение дыма из труб вертикально вверх утром и вечером; обильная
роса в ночное время и утром; нежно-золотистые и нежно-розовые оттенки
зари; серебристое сияние на небе; сухая мгла на горизонте; зеленоватые
оттенки при мерцании звезд; высокие облака, движущиеся с востока; восход
солнца из-за тучки; яркая вечерняя радуга.
Задание 5. Измените тип маркера в предложенном маркированном
списке. Предложите 2-3 варианта.

Кабинет информатики
o Парты;
o Учебные плакаты;
o Рабочие компьютеры;
o Стеллаж с учебниками.
Задание 6. Измените нумерацию в предложенном нумерованном
списке. Предложите 2-3 варианта.

Дни недели
1. Понедельник;
2. Вторник;
3. Среда;
4. Четверг;

17

5. Пятница;
6. Суббота;
7. Воскресение

1.2 Повышенный уровень сложности

Задание 1. Наберите предложенный текст. Создайте 2-3 вида
маркированных списков, включающих в себя ПРИЛАГАТЕЛЬНЫЕ,
описывающие дождь.

Дождь
«Дождь шел третий день. Серый, мелкий и вредный. Непредсказуемый,
как низкое седое небо. Нескончаемый. Бесконечный. Он неприкаянно
стучался в окна и тихо шуршал по крыше. Угрюмый и беспечный.
Раздражающий. Надоевший.»
Задание 2. Наберите предложенный текст. Создайте 2-3 вида
нумерованных списков, включающих в себя представителей фауны
Краснодарского края.

Животные Краснодарского края
Благодаря приятному климату, животный мир Краснодарского края
очень обширен и разнообразен. Ярчайшими представителями фауны
Краснодарского края считаются такие особи как: пятнистые олени, косули,
бурые медведи, леопарды, еноты, лисы, кавказские кроты, волки, суслики,
слепые кроты и многие другие.
Задание 3. Используя все виды нумерованных списков, запишите по
порядку все месяцы года.
Задание 4. Опишите все качества, которыми должен обладать
ветеринарный врач. Записанные качества оформите в виде маркированного
списка. Для выполнения задания используйте 2-3 вида маркированных
списков.
Задание 5. Опираясь на задание 4, отформатируйте созданные

18

маркированные списки. Для форматирования используйте: нумерацию
латинскими заглавными буквами, арабскими цифрами со скобкой, малыми
латинскими буквами со скобкой.

Задание 6. Записать в виде нумерованного списка алгоритм
приготовления любимого блюда (например: как приготовить омлет?).

1.3 Высокий уровень сложности

Задание 1. Наберите предложенный текст и отформатируйте его:

представьте разнообразие животного вида Кубани в виде многоуровневого

списка.

Животные Кубани

Широколиственные деревья и крупные кустарники помогают

спрятаться от палящих солнечных лучей многим животным. В лесных зонах

Кубани обитают: бурые медведи, дикие кабаны, волки и лисы, белки, еноты,

рыси и олени. У берегов рек водятся: выдры, ондатры и норки. Эти зверки

питаются в основном рыбой, поэтому они отлично плавают и ныряют.

Благоприятный климат и большое количество пищи привлекают также

различные виды птиц. Например: сойка, сова, утка, кудрявый пеликан,

лебедь и многие другие представители этой фауны. Можно увидеть даже

редкий вид птиц, занесённых в Красную книгу России – беркут.

Задание 2. Наберите предложенный текст и отформатируйте его:

представьте список покупок в виде многоуровневого списка.

Список покупок

Весь список покупок состоял из овощей, фруктов, молочных продуктов

и бытовой химии. Нужно было купить: молоко, яблоки, апельсины, гель для

душа, картофель, йогурт, средство для мытья посуды, томаты, шампунь и

сметану.

Задание 3. Запишите в столбик название всех времен года, представьте

их в виде нумерованного списка. К каждому времени года добавьте

соответствующие месяцы, оформите их в виде маркированного списка.

19

1) Выделите зимние месяцы и измените маркеры на нумерацию
римскими числами;

2) Выделите летние месяцы и измените маркеры на нумерацию
арабскими числами со скобкой.

Задание 4. Решите загадку, опишите последовательность действий при
помощи нумерованного списка.

«На часах 7 утра. Вы спите, и вдруг раздается стук в дверь. За дверью
ваши одноклассники, которые пришли с вами позавтракать. В вашем
холодильнике: хлеб, молоко, сок и банка джема. Что вы откроете в первую
очередь, чтобы приготовить бутерброды с джемом?».

2. «Графы, деревья»

Для выполнения предложенных заданий по «Спискам» полезно
использовать Приложение 2.

2.1 Базовый уровень сложности
Комбинаторные задачи
Задача 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4 и 6
при условии, что цифры в записи числа не должны повторяться?
Задача 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2 и 3
при условии, что цифры в записи числа не должны повторяться?
Задача 3. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1 и 9
при условии, что цифры в записи числа могут повторяться?
Задача 4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 5 и 8
при условии, что цифры в записи числа могут повторяться?
Задача 5. Сколькими способами можно рассадить 6 человек в ряд по
шести местам?
Задача 6. Сколькими различными способами можно посадить за

20

столом четырех человек, если к этому столу приставлены четыре стула?
Задача 7. Анфиса решила угостить Ларису двумя разными конфетами

(«Красная Шапочка», «Буревестник», «Степ») и завернуть их либо в кулек,
либо в целлофановый пакет. Сколькими способами это можно сделать?

Работа с маршрутами
Задача 1. Из города А. в город Б. ведут две дороги, из города Б. в город
В. – тоже две дороги и из города А. в город В. также ведут две дороги.
Посчитайте все возможные пути из города А. в город В.
Задача 2. Из города А. в город Б. ведут две дороги, из города Б. в город
В. – три, из города В. до пристани также ведут две дороги. Туристы хотят
проехать из города А. через города Б. и В. к пристани. Посчитайте все
возможные пути из города А. через города Б. и В. к пристани.
Задача 3. На рисунке 16 – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г,
Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном
направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из
города А в город Ж?

Рис. 16
Задача 4. На рисунке 17 - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г,
Д, Е. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении,
указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в
город Е? Показать решение.

21

Рис. 17

Задача 5. Между девятью планетами солнечной системы установлено
космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам:
Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий;
Меркурий – Венера; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер;
Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с
Земли до Марса?

Семантическая сеть
Задача 1. Цыпленок играет с утенком и гусенком, лягушонок – с
мышонком, а гусенок – с утенком и лягушонком. Прочитайте описание,
соедините линиями точки графа, при необходимости нарисуйте стрелки.
Задача 2. Проанализируйте семантическую сеть на рисунке 18 и
ответьте на вопрос: какими родственниками являются Анна и Николай?

Рис. 18

22

Выигрышная стратегия
Задача 1. Два игрока играют в игру: в кучке лежит 5 спичек; Игроки по
очереди убирают спички из кучки; условие: за один ход можно убрать 1 или
2 спички; выигрывает тот, кто оставит в кучке 1 спичку. Кто выиграет при
правильной игре: первый или второй игрок?
Задача 2. Двое играющих по очереди (пропускать ход нельзя)
выставляют на стол либо одну фишку, либо столько, сколько их уже стоит на
столе, если нужное число фишек еще осталось в коробочке. Выигрывает тот,
кто ставит последнюю фишку. В начале игры на столе фишек нет, а в
коробочке: а) 5 фишек; б) 6 фишек; в) 7 фишек; г) 8 фишек.
Кто выиграет, если будет играть наилучшим способом? Как должен
«ходить» победитель?
Задача 3. Играют два карандаша – синий и желтый. Они по очереди
закрашивают нарисованные ступеньки. За один ход можно закрасить одну
или две ступеньки. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю ступеньку. Кто
начинает ходить и кто выигрывает?
Задача 4. Имеются 2 кучи камней. Двое играющих берут по очереди
камни. Разрешается взять один камень из любой кучи или по одному камню
из обеих куч. Выигрывает взявший последние камни. При каком числе
камней в кучах выиграет начинающий?
Задача 5. Двое играют на шахматной доске, передвигая по очереди
одного короля. Допускаются ходы на одно поле влево, вниз или влево-вниз
по диагонали. Выигрывает тот, кому удастся поставить короля на левый
нижний угол. При каких начальных положениях короля выигрывает
начинающий, а при каких – его соперник?

2.1 Повышенный уровень сложности

Комбинаторные задачи
Задача 1. Сколько четырехзначных чисел можно записать с помощью
цифр 0, 2, 5 и 8 при условии, что цифры в записи числа не должны

23

повторяться? Выпишите все такие числа.
Задача 2. Сколько трехзначных чисел можно записать с помощью

цифр 0, 5 и 6 при условии, что цифры в записи числа могут повторяться?
Выпишите все такие числа.

Задача 3. Сколькими способами из шести человек можно выбрать
четверых и рассадить на 4 стула?

Задача 4. Сколькими способами можно рассадить троих учащихся на
имеющихся в классной комнате 10 стульях?

Задача 5. Сколькими способами можно рассадить 8 пассажиров на 12
местах в автобусе?

Задача 6. После школы Саша, Миша, Яша и Паша сыграли в шахматы.
Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Задача 7. Шесть хоккейных команд должны сыграть матчи, каждая с
каждой. Уже сыграли матчи: 1 с 3; 2 с 3; 3 с 4; 4 с 6; 5 с 6. Сколько матчей
осталось сыграть?

Работа с маршрутами
Задача 1. В Тридевятом царстве только один вид транспорта – ковер-
самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, из
всех остальных городов – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в
город Дальний.
Задача 2. На рисунке 19 дан взвешенный ориентированный граф.
Найдите кратчайший путь от вершины 1 до вершины 5.

Рис. 19

24

Задача 3. На рисунке 20 дан взвешенный ориентированный граф.
Найдите кратчайшие пути от вершины 1 до вершин 5, 6, 7, 8, 9.

Рис. 20
Задача 4. На рисунке 21 дан взвешенный неориентированный граф.
Найдите кратчайший путь от вершины А до вершины С.

Рис. 21
Задача 5. На рисунке 22 дан взвешенный неориентированный граф.
Найдите и выпишите всевозможные маршруты из вершины 8 в вершину 6.

Рис. 22
Семантическая сеть
Задача 1. Проанализируйте семантическую сеть на рисунке 23 и
ответьте на вопрос: как может разбогатеть крестьянин, что для этого ему
нужно сделать?

25

Рис. 23
Задача 2. Проанализируйте семантическую сеть на рисунке 2.14 и
ответьте на вопрос: чем схожи и чем отличаются серверы Файловый и
Коммуникационный?

Рис. 24

Задача 3. Составить семантическую сеть для ситуации,

представленной в виде стихотворения. Ответить на вопрос в конце

стихотворения.

26

Широкоплечие мужчины
Поют, садясь за руль машины.
Мужчины с узкими плечами,
Садясь за руль, молчат как камень.
Те, кто за руль садятся с пеньем,

Не отличаются терпеньем.
Те, кто в машине молчаливы,

Бывают очень терпеливы.
Терпенье тем дано с избытком,

Кто чинит домики улиткам.
Чтоб домик починить улитке,
Клей варят на электроплитке.
Фосс не выносит запах клея,

Он сразу падает, бледнея.
Прошу ответить на вопрос:
Широкоплеч ли мистер Фосс?

Выигрышная стратегия
Задача 1. На столе лежит 25 спичек. Играют двое. Игроки по очереди
могут взять от одной до четырёх спичек. Кто не может сделать ход (т. к.
спичек не осталось), проигрывает. Другими словами, выигрывает взявший
последнюю спичку. Выясните, у кого из игроков есть выигрышная стратегия.
Задача 2. Выясните, у кого из двух игроков есть выигрышная стратегия
в такой игре: начальная позиция — на столе лежит 107 спичек, за один ход
можно брать 1 или 2 спички. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку.
Задача 3. Перед игроками стоят две емкости, в которых лежат камни. В
первой емкости находятся 3 камня, во второй – 6. У каждого игрока
неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том,
что игрок или удваивает число камней в какой-то емкости, или добавляет 2
камня в какую-то емкость. Выигрывает игрок, после хода которого общее

27

число камней в двух емкостях становится не менее 24 камней. Кто
выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий
первый ход, или игрок, делающий второй ход?

2.3 Высокий уровень сложности

Комбинаторные задачи
Задача 1. Сколько трехзначных чисел можно записать с помощью
цифр 1, 3, 4 и 6 при условии, что в записи числа могут повторяться цифры 3 и
4? Выпишите все такие числа.
Задача 2. Сколько двузначных чисел можно записать с помощью цифр
0, 7, 8 и 9 при условии, что в записи числа не могут повторяться цифры 7 и 9?
Выпишите все такие числа.
Задача 3. На один ряд, в котором 8 стульев, рассаживаются 5 юношей
и 3 девушки. Сколькими способами они могут сесть, чтобы не все девушки
оказались сидящими рядом?
Задача 4. Сколькими способами можно разместить на 3 местах трех из
четырех приглашенных гостей?
Задача 5. Для составления цепочек используются бусины, помеченные
буквами P, K, O, N, M. В середине стоит одна из бусин: P, O, M. На третьем
– любая согласная, на первом месте - одна из бусин O, N, M, не стоящая в
середине цепочки. Какая из перечисленных цепочек создана по этому
правилу: MPN, PMO, MKO, OMK?

Работа с маршрутами
Задача 1. В Тридевятом царстве только один вид транспорта – ковер-
самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, из
всех остальных городов – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в
город Дальний.
Задача 2. В стране Березка 12 городов, каждый из городов соединен
дорогами не менее, чем с пятью другими. Докажите, что из каждого города

28

можно добраться в любой другой.
Задача 3. В королевстве некоторые пары городов соединены железной

дорогой. У короля есть полный список, в котором поименно перечислены все
такие пары (каждый город имеет свое собственное имя). Оказалось, что для
любой упорядоченной пары городов принц может переименовать все города
так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, а
король не заметил бы изменений. Верно ли, что для любой пары городов
принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался
названным именем второго города, второй город оказался названным именем
первого города, а король не заметил бы изменений?

Задача 4. Несколько Совершенно Секретных Объектов соединены
подземной железной дорогой таким образом, что каждый Объект напрямую
соединён не более чем с тремя другими, и от каждого Объекта можно
добраться под землей до любого другого, сделав не более одной пересадки.
Каково максимальное число Совершенно Секретных Объектов?

Семантическая сеть
Задача 1. Прочитайте текст и составьте семантическую сеть.

Хлебный магазин
Будем считать, что система «Хлебный магазин» состоит из следующих
элементов: хлеб, продавец, покупатель, прилавок, автомобиль, шофер,
грузчик, деньги, чек.
Постройте семантическую сеть, в которой вершины – перечисленные
объекты, а дуги – отношения между ними.
Задача 2. Изобразите в виде графа взаимосвязи между персонажами и
различными предметами из сказки про Красную Шапочку:
Мама приготовила пирожок и горшочек с маслом.
Красная Шапочка пошла в лес.
Красная шапочка встретила волка.
Волк побежал к бабушке.

29

Волк съел бабушку.
Красная Шапочка пришла к бабушке.
Волк съел Красную Шапочку.
Охотники убили волка.
Охотники освободили бабушку и Красную Шапочку.
Задача 3. Составить сценарий и по нему построить сетевой граф,
иллюстрирующий порядок выполнения операций, для того чтобы посадить и
вырастить картофель.

Выигрышная стратегия
Задача 1. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две
кучки камней, в первой из которых 2, во второй — 3 камня. У каждого
игрока неограниченное количество камней. Игроки ходят по очереди. Ход
состоит в том, что игрок или увеличивает число камней в какой-то куче в 3
раза, или добавляет 3 камня в любую из куч. Выигрывает игрок, после хода
которого общее число камней в двух кучах становится не менее 35. Кто
выигрывает — игрок, делающий ход первым, или игрок, делающий ход
вторым?
Задача 2. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед
игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает
Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 1 камень или 5 камней.
Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11
или 15 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное
количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней
в куче становится не менее 47. Победителем считается игрок, сделавший
последний ход, т. е. первым получивший кучу, в которой будет 47 или
больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 46. Выполните
следующие задания, в каждом случае обосновывая свой ответ.
1) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может

30

выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения Б, и
укажите выигрывающие ходы.

2) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за
один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым
ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

3) Укажите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная
стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть
своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для
указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.

4) Укажите значение S, при котором у Вани есть выигрышная
стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой
игре Пети, однако у Вани нет стратегии, которая позволит ему
гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S
опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий,
возможных при этой выигрышной стратегии Вани.

31

Приложение 1

Работа со списками

Пример 1. Нумерованный список.

Наберите предложенный текст. Создайте нумерованный список по

образцу.

Есть такие деревья

1. Хлебное дерево из семейства тутовых.

2. Колбасное дерево из семейства бегониевых (кигелия).

3. Дерево путешественников из семейства банановых (Равенна

мадагаскарская).

4. Шоколадное дерево (один из видов рода теоброма).

5. Конфетное дерево (говения).

6. Авокадо - аллигаторова груша из семейства лавровых.

Пример 2. Маркированные списки.

Наберите текст и отформатируйте текст по образцу:

Признаки культурной речи:

 правильность;

 чистота;

 точность;

 выразительность;

 логичность;

 уместность;

 богатство.

Пример 3. Многоуровневые списки.

Представим перечень устройств современного компьютера в виде

многоуровневого списка, имеющего четыре уровня вложенности.

Наберите текст и отформатируйте его в виде многоуровневого списка

по образцу.

Устройства современного компьютера:

32

1. Процессор
2. Память

1. Оперативная память
2. Долговременная память
1. Жесткий магнитный диск
2. Флэш-память
3. Оптические диски

1. CD

2. DVD

3. Blue-ray Disc
3. Устройства ввода

1. Клавиатура
2. Мышь
3. Сканер
4. Графический планшет
5. Цифровая камера
6. Микрофон
7. Джойстик
4. Устройства вывода
1. Монитор
1. Жидкокристаллический монитор
2. Монитор на электронно-лучевой трубке
2. Принтер
1. Струйный принтер
2. Лазерный принтер
3. Проектор.

33

Приложение 2

Работа с графами и деревьями
Пример 1. С разных сторон на холм поднимаются три тропинки и
сходятся на вершине. Перечислите множество маршрутов, по которым
можно подняться на холм и спуститься с него. Решите ту же задачу, если
вверх и вниз надо идти по разным тропинкам.
Решение.
а) Вверх можно подняться по 3-м тропинкам (3 варианта), спуститься
также по 3-м (3 варианта). В итоге имеем: 3 • 3 = 9 вариантов.
б) Вверх можно подняться по 3-м тропинкам (3 варианта), спуститься
только по оставшимся 2-м (2 варианта). В итоге имеем: 3 • 2 = 6 вариантов.
Пример 2. Сколько различных трёхзначных чисел можно написать с
помощью цифр 0 и 1?
Решение:

Получаем 4 числа: 100,101,110 и 111

Ответ: 4

Пример 3. 5 школьных команд по волейболу сыграли серию игр.

Каждая команда провела с другими командами по одному матчу. Сколько

всего матчей было сыграно?

Решение. Изобразим полный граф с 5-ю вершинами и посчитаем

количество ребёр.

34

N = 10. Значит, было сыграно 10 матчей.
Ответ: 10
Пример 4. Вася, Петя, Коля и Толя хотят быть дежурными в столовой.
Но можно выбрать только троих. Сколько вариантов выбора есть?
Решение. Построим полный граф.

Каждая тройка ребят соответствует треугольнику в этом графе.
Например, Вася образует три треугольника с оставшимися тремя
ребятами:
3⋅22=3 - ВПК, ВТК и ВТП
Без Васи есть только один треугольник – ПКТ
Общее количество треугольников 3+1=4
Ответ: 4 варианта
Пример 5. Под рукой есть 6 видов овощей (капуста, морковь, лук,
помидоры, огурцы и перец). Для салата нужно 3 вида овощей. Сколько всего
различных салатов можно приготовить?
Решение. Построим полный граф.

35

Каждые три овоща на полном графе образуют треугольник.
Например, капуста образует треугольники с оставшимися 5 овощами.
Таких треугольников 5⋅42=10, где деление на 2 учитывает повторение ребра
в каждой паре («лук-огурец» = «огурец-лук» и т.д.).
Количество треугольников, в которые не входит капуста: 4⋅32=6
Количество треугольников, в которые не входят капуста и
морковь: 3⋅22=3
Количество треугольников, в которые не входят капуста, морковь и
перец: 2⋅12=1
Итого 10+6+3+1 = 20 различных треугольников.
Ответ: 20 салатов
Пример 6. На рисунке - схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г,
Д, Е. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении,
указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в
город Е? Показать решение.

Решение. Заметим, что количество путей в город Е является суммой
путей в города Ж, Г и Д. Количество путей в город Ж - сумма путей в города
Г и Б. Таким образом получаем:

Г = Б + В;

36

Д = Г + В;
Ж = Б + Г;
Е = Ж + Г + Д.
Заметим, что в пункты Б и В можно попасть единственным способом -
из города А. Отметим на рисунке индексами сверху каждого пункта
количество путей, с помощью которых в него можно попасть и посчитаем
итоговое.

Ответ: 8
Пример 7. Цепочка из трех бусин формируется по следующему
правилу: на первом месте в цепочке стоит одна из бусин А, Б, В: на втором –
одна из бусин Б, В, Г; на третьем месте – одна из бусин А, В, Г, не стоящая в
цепочке на первом или втором месте.
Какая из следующих цепочек создана по этому правилу:

1. АГБ
2. ВАГ
3. БГГ
4. ББГ
Решение.
Начнем в 1-го условия и выпишем варианты, которые удовлетворяют
ему (на рисунке ниже это первая строка). Далее будем накладывать
следующее 2-ое условие на выбранные варианты. Это будет 2-ая строка. На
рисунке описан ход решения:

37

Рассмотрим предлагаемые варианты. Определим, удовлетворяют ли
они 1-му и 2-му условию.

«АГБ» - удовлетворяет. «АГ» во 2-й строке на рисунке есть.
«ВАГ» - не удовлетворяет, «ВА» во 2-й строке на рисунке нет.
«БГГ» - удовлетворяет. «БГ» во 2-й строке на рисунке есть.
«ББГ» - удовлетворяет. «ББ» во 2-й строке на рисунке есть.
Дальше будем работать с цепочками, которые начинаются на «АГ»,
«БГ», «ББ». На рисунке ниже они выделены розовым цветом:

Теперь будем накладывать условие 3 на выбранные цепочки:

«АГБ»- не удовлетворяет условию 3. «АГБ» в последней строке на
рисунке нет.

«БГГ» - не удовлетворяет условию 3. «БГГ» в последней строке на
рисунке нет.

«ББГ» - удовлетворяет условию 3. «ББГ» в последней строке на
рисунке есть. Эта цепочка выделена розовым цветом.

Получили, ББГ.
Ответ: 4
Пример 8. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед
игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает
Петя.

38

За один ход игрок может выполнить одно из следующих действий:
• добавить в кучу один камень (+ 1);
• добавить в кучу два камня (+ 2);
• увеличить количество камней в куче в 3 раза (х 3).
Например, имея кучу из 5 камней, за один ход можно получить кучу из
6, 7 или 15 камней.
У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество
камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче
превышает 45. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е.
первым получивший кучу, в которой будет 46 или больше камней. Будем
считать, что в начальный момент в куче S камней, 1 ≤ S ≤ 45.
Решение.
Выясним, при каких значениях числа S Петя может выиграть первым
ходом.
Если S = 45, то, добавив в кучу один камень (+ 1), два камня (+ 2) или
утроив количество камней в ней (х 3), Петя становится победителем.
Если S = 44, то стать победителем можно, если добавить в кучу два
камня (+ 2) или утроить количество камней в ней (х 3).
Если S = 43, то Петя становится победителем, утроив количество
камней в куче (х 3). Также можно действовать для любого S ≥ 16 (16 х 3 = 48,
15 х 3 = 45).
Итак, Петя может выиграть, если S = 16, …, 45 — это его выигрышные
позиции. Для выигрыша Пете достаточно увеличить количество камней в 3
раза.
При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой
будет 46 или более камней.
Если же в куче будет 15 камней, то после любого хода Пети своим
первым ходом может выиграть Ваня. Действительно, при S = 15 после
первого хода Пети («Ход П») в куче будет 16, 17 или 45 камней.
Любой из этих случаев является выигрышным для делающего ход Вани

39

(«Ход В»), которому для победы достаточно увеличить количество камней в
3 раза (рис. 1).

Рис. 1. Позиция - выигрышная для Вани
Теперь попробуем определить значения S, при которых у Пети будет
выигрышная стратегия, причём Петя не сможет выиграть первым ходом, но
сможет выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить
Ваня.
Мы выяснили, что S = 15 — проигрышная позиция для любого игрока.
Если Петя своим первым ходом сможет перевести в неё Ваню, то что бы ни
делал последний, сам он выиграть не сможет, но переведёт в выигрышную
позицию своего соперника. 15 камней Петя может получить при S = 14 (+ 1),
S = 13 (+ 2) или S = 5 (х 3). Других вариантов для S нет (рис. 2).

Рис. 2. Позиции 5, 13, 14 - выигрышные для Пети.

40

Ответы

Базовый уровень сложности

1. Комбинаторные задачи:
1) 24;
2) 24;
3) 4;
4) 27;
5) 720;
6) 24;
7) 6

2. Работа с маршрутами:
1) 6;
2) 12;
3) 8;
4) 6;
5) нет

3. Семантическая сеть:
2) Зять

4. Выигрышная стратегия:
1) Первый игрок;
2) Выигрывает тот, кто ходит первым;
3) Выигрывает тот, кто ходит вторым (возможны исключения);
4) Если число камней четное, то начинающий игрок проигрывает,

если хотя бы в одной их куч нечетное – выигрывает;

5)

Повышенный уровень сложности
1. Комбинаторные задачи:

1) 18;
2) 18;

41

3) 360;
4) 720;
5) 19 958 400;
6) 6;
7) 10
2. Работа с маршрутами:
2) 6;
3) 13, 14, 19, 11, 16;
4) 9;
3. Выигрышная стратегия:
1) Игрок, делающий ход первым, берет 5 предметов и выигрывает.
Оставляет противнику 20, 15, 10 или 5 предметов;
2) Игрок, делающий ход первым, берет 2 предмета и выигрывает.
Оставляет противнику 105, 102, 99, … предметов;
3) Выигрывает первый игрой, своим ходом он добавляет 2 камня в
первую кучу
Высокий уровень сложности
1. Комбинаторные задачи:
1) 28;
2) 10;
3) 36000;
4) 24;
5) ОМК
2. Работа с маршрутами:
3) неверно;
4) 10
4. Выигрышная стратегия:
1) Игрок, делающий ход первым

42