PROGRAM LINEAR KELAS XI SMA OLEH TRI WULAN SARI NIM. 8216172009
i DAFTAR ISI Tujuan Pembelajaran ............................................................................. 1 Peta Konsep........................................................................................... 2 A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel .................................... 3 B. Nilai optimum Fungsi pada Daerah Penyelesaian ............................. 6 C. Program Linear ................................................................................ 8 D. Penyelesaian Persoalan Program Linear............................................ 11 E. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif .................................... 15 1. Metode Titik Sudut..................................................................... 15 2. Metode Garis Selidik .................................................................. 18 UJI KOMPETENSI ................................................................................... 22
1 TUJUAN PEMBELAJARAN PROGRAM LINEAR Motivasi : Para pedagang atau pengusaha tentu ingin memperoleh keuntungan maksimum. Sebelum melakukan transaksi ataupun pengambilan keputusan dalam usahanya, mereka pasti membuat perhitungan yang matang tentang langkah apa yang harus dilakukan. Oleh karena itu, diperlukan metode yang tepat dalam pengambilan keputusan pedagang atau pengusaha tersebut untuk memperoleh keuntungan maksimum dan meminimumkan kerugian yang mungkin terjadi. Setelah Mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) 2. Menggambar daerah penyelesaian SPtLDV 3. Menentukan nilai optimum fungsi pada daerah penyelesaian 4. Menjelaskan pengertian program linear 5. Menggunakan titik pojok dan garis selidik untuk menghitung nilai optimum 6. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan program linear dalam kehidupan sehari-hari
2 PETA KONSEP Program Linear Sistem Pertidaksamaan Linear Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaa Linear Dua Variabel dengan Grafik Program Linear dan Model Matematika Menentukan Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif Uji Titik Sudut Garis Selidik
3 PROGRAM LINEAR Pada pokok bahasan kali ini, kita akan membahas suatu metode untuk mengoptimalkan (memaksimumkan/meminimumkan) keuntungan atau biaya, yaitu program linear. Program linear banyak digunakan dalam kehidupan seharihari, misalnya dalam bidang ekonomi, perdagangan, dan pertanian. Untuk mempelajari program linear, mari kita ingat kembali tentang cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel. Sebelum kalian mempelajari lebih jauh tentang materi ini, untuk mengingatkan kalian tentang persamaan dan pertidaksamaan linear, jawablah pertanyaan berikut. Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat merumuskan masalah nyata ke dalam model matematika sistem pertidaksamaan linear, menyelesaikan, dan menafsirkan hasil yang diperoleh. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem (gabungan dua atau lebih) pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan irisan atau interseksi dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear yang terdapat pada sistem pertidaksamaan itu. Dalam bentuk grafik pada bidang koordinat, himpunan penyelesaian itu berupa daerah yang dibatasi oleh garis-garis dari sistem persamaan linearnya. Perhatikan contoh-contoh berikut. 1. Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut pada bidang Cartesius. (R adalah himpunan bilangan real) a. 2x + 3y ≥ 6, dengan x, y ∈ R b. x + 2y < 4, dengan x, y ∈ R CONTOH
4 Penyelesaian : Sebelum menentukan daerah penyelesaiannya, kita perlu melukis batas-batas daerahnya, yakni grafik 2x + y = 6 dan grafik x + 2y = 4. Karena batas yang dimaksud berbentuk linear, dapat dipastikan bahwa batasbatas daerahnya berupa garis-garis lurus. Jadi, untuk melukisnya cukup ditentukan 2 titik anggotanya, kemudian menghubungkannya menjadi sebuah garis lurus. Dua titik anggotanya yang mudah dihitung adalah titik potong garis itu dengan sumbu X dan sumbu Y. Skema perhitungannya dapat dilihat pada tabel berikut. x 0 … y … 0 (x, y) (0, …) (… , 0) a. 2x + 3y ≥ 6, dengan x, y ∈ R Batas daerah penyelesaiannya adalah grafik 2x + y = 6. - Titik potong grafik dengan sumbu X, syaratnya y = 0. Berarti, 2x + 3(0) = 6 2x = 6 x = 3. Oleh karena itu, titik potong grafik dengan sumbu X adalah (3, 0). - Titik potong grafik dengan sumbu Y, syaratnya x = 0. Berarti, 2(0) + 3y = 6 3y = 6 y = 2. Oleh karena itu, titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0, 2). Jadi, isian tabel selengkapnya adalah sebagai berikut. x 0 3 y 2 0 (x, y) (0, 2) (3 , 0) Grafik 2x + 3y = 6 dapat diperoleh dengan membuat garis yang menghubungkan titik (3, 0) dan (0, 2) seperti pada gambar berikut.
5 Gambar 1 Gambar 2 Pada Gambar 1, tampak bahwa garis 2x + y = 6 membagi bidang Cartesius menjadi dua daerah, yaitu daerah di sebelah kanan (atas) garis dan daerah di sebelah kiri (bawah) garis itu. Untuk menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 6, kita ambil sembarang titik untuk diselidiki, misalnya titik (0, 0). Kita substitusikan (0, 0) pada pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 6, maka menjadi: 2(0) + 3(0) ≥ 6 sehingga diperoleh 0 ≥ 6. Berdasarkan substitusi itu terlihat bahwa pertidaksamaan 0 ≥ 6bernilai salah. Berarti, titik (0, 0) tidak berada pada daerah penyelesaian 2x + 3y 0 ≥ 6. Karena daerah yang diminta adalah 2x + 3y > 6, titik-titik yang berada pada garis 2x + 3y = 6 termasuk daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir, seperti pada Gambar 2. b. Cobalah menyelesaikan permasalahan poin b di buku tugasmu!
6 B. Nilai optimum Fungsi pada Daerah Penyelesaian Sekarang kamu akan diarahkan bagaimana menyelesaikan atau menentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) suatu fungsi yang diberikan dalam suatu daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Perhatikan contoh berikut ini! Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berikut. 2x + y ≤ 4 x + y ≤ 3 x ≥ 0 y ≥ 0 Kemudian, tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f = 3x + y dan fungsi g = 2x + 5y. Penyelesaian Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut dapat diselesaikan dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini. 1. Tentukan minimal 2 pasang titik pada setiap persamaan 2x + y = 4 x + y =3 x 0 2 x 0 3 y 4 0 y 3 0 Titik (0 , 4 ) ( 2 , 0) Titik (0 , 3 ) ( 3 , 0) 2. Tentukan titik potong kedua garis dengan metode eliminasi 2x + y = 4 x + y = 3 - x = 1 Selanjutnya, substitusikan hasil tersebut ke dalam salah satu persamaan, x + y = 3 1 + y = 3 y = 3 – 1 = 2 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah (1, 2) 3. Selanjutnya gambarkan masing-masing garis tersebut pada bidang cartesius.
7 Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 4 , x + y ≤ 3 adalah daerah yang tidak diarsir (bersih) atau daerah OABC . Harus kamu ingat untuk daerah penyelesaian dapat digambarkan dengan daerah arsiran atau daerah yang tidak diarsir. 4. Kemudian nilai fungsi f dan fungsi g pada titik-titik ujung dari daerah penyelesaian OABC, tampak pada tabel berikut Titik O A B C x 0 2 1 0 y 0 0 2 3 f = 3x + y 0 6 4 3 g = 2x + 5y 0 4 12 15 Dari tabel tersebut, diperoleh bahwa : a. Nilai maksimum dari f adalah 6, untuk x = 2 dan y = 0 b. Nilai minimum dari f adalah 0, untuk x = 0 dan y = 0 c. Nilai maksimum dari g adalah 15, untuk x = 0 dan y = 3 d. Nilai minimum dari g adalah 0, untuk x = 0 dan y = 0 C. LATIHAN 1. Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksanaan linear berikut pada bidang Cartesius. a. x + y ≤ 7, 4x + 3y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0 b. 2x + y ≤ 4, x + 3 ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0 2. Jika f = 6x + 2y dan g = 3x + 7y serta x, y adalah bilangan-bilangan bulat, tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari f dan g pada sistem pertidaksamaan linear x + 2y ≤ 10, 5x + 2y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0. 3. Perhatikan sistem pertidaksamaan berikut ini! x + y ≥ 2 x – y ≥ -1 5x + 3y ≤ 15 x ≥ 0 y ≥ 0 Berdasarkan permasalahat di atas, tentukanlah : a. Daerah penyelesaiannya! b. Nilai optimum dan minumum untuk f = 8x + 10 y ≤ 55 c. Ceritakanlah bagaimana caramu menyelesaikan permasalahan di atas!
8 D. Program Linear Setiap orang yang hendak mencapai tujuan, pasti memiliki kendalakendala yang berkaitan dengan tujuan tersebut. Misalnya, seorang petani ingin memanen padinya sebanyak-banyak, tetapi kendala cuaca dan hama terkadang tidak dengan mudah dapat diatasi. Seorang pedagang ingin memperoleh keuntungan sebesar-besarnya tetapi terkendala dengan biaya produksi atau biaya pengangkutan atau biaya perawatan yang besar. Masalah-masalah kontekstual ini, akan menjadi bahan kajian kita selanjutnya. Program linear adalah cabang dari matematika terapan yang model matematikanya berupa persamaan-persamaan atau pertidaksamaanpertidaksamaan linear. Sedangkan yang dimaksud dengan persoalan program linear adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu nilai fungsi tujuan, dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada yang dinyatakan dalam bentuk persamaan-persamaan atau pertidasamana-pertidaksamaan linear. Dengan pengertian di atas, berarti suatu persoalan dikatakan merupakan persoalan program linear jika memenuhi ketentuan-ketentuan berikut ini. 1. Memuat fungsi tujuan yang harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linear dari variabel-varieblnya. Sebagai contoh, f (x, y) = ax + by. Fungsi tujuan ini harus mencerminkan tujuan persoalan yang akan di capai. 2. Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang terbatas (biaya terbatas, bahan mentah terbatas, waktu terbatas, tenag aterbatas, dan lain-lain). Pembatasan-pemabasan tersebut harus dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linear atau pertidaksamaan linear. 3. Harus terdapat alternatif penyelesaian atau himpunan penyelesaian yang mungkin, yaitu penyelesaian yang membuat fungsi tujuan menjadi maksimum atau minimum. Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas terhadap keterangan-keterangan di atas, berikut ini diberikan suatu contoh.
9 CONTOH Perusahaan roti “Adi Prabowo” menghasilkan dua jenis produk, yaitu produk T dan S. Masing-masing produk tersebut memerlukan dua macam bahan baku, A dan B. Harga jual setiap satuan T adalah Rp 1.500 dan S adalah Rp 1.000. Bahan baku A yang tersedia adalah 6.000 satuan dan B adalah 10.000 satuan. Untuk memproduksi satu satuan S diperlukan bahan baku A sebanyak 1 satuan dan bahan baku B sebanyak 2 satuan, sedangkan untuk memproduksi satu satuan T diperlukan bahan baku A sebanyak 1 dan bahan baku B juga 1 satuan. Masalahnya adalah bagaimana menentukan alokasi bahan baku A dan B yang terbatas untuk menghasilkan produks S dan T yang mengakibatkan perusahaan mendaatkan keuntungan semaksimum mungkin. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut kamu dapat mengikuti langkah-langkah sebagai berikut. 1. Tuliskan terlebih dahulu informasi yang ada pada permasalahan a. Perusahaan roti “Adi Prabowo” menghasilkan dua jenis produk, yaitu produk T dan S. b. Masing-masing produk tersebut memerlukan dua macam bahan baku, A dan B. c. Harga jual setiap satuan T adalah Rp 1.500 dan S adalah Rp 1.000. Bahan baku A yang tersedia adalah 6.000 satuan dan B adalah 10.000 satuan. d. Untuk memproduksi satu satuan S diperlukan bahan baku A sebanyak 1 satuan dan bahan baku B sebanyak 2 satuan, sedangkan untuk memproduksi satu satuan T diperlukan bahan baku A sebanyak 1 dan bahan baku B juga 1 satuan. 2. Buatlah permisalan untuk permasalahan, contohnya adalah sebagai berikut! Misal : Produksi jenis S = x Produksi jenis T = y 3. Buatlah tabel penolong untuk mempermudah penyelesaian Bahan Jenis Produksi Bahan Baku yang S T Tersedia A 1 1 6.000 B 2 1 10.000 Harga Jual 1.500 1.000
10 4. Buatlah model matematika berdasarkan permisalan dan tabel yang telah kamu buat, contohnya adalah sebagai berikut. f(x, y) = 1.500 x + 1.000y Tujuan perusahaan adalah mengusahakan f(x, y) sebesar-besarnya yang berarti didapat keuntungan sebesar-besarnya. 5. Kemudian berdasarkan tabel yang telah dibuat, buatlah model matematika berdasarkan permasalahannya, contohnya adalah sebagai berikut: a. Banyaknya bahan A yang dipelrlukan untuk memproduksi x satuan S dan y satuan T adalah (x + y) satuan dengan bahan yang tersedia adalah sebanyak 6.000 satuan, maka dapat ditulis : x + y ≤ 6.000 b. Banyaknya bahan B yang diperlukan untuk memproduksi x satuan S dan y satuan T adalah (2x + y) satuan dengan bahan yang tersedia adalah sebanyak 10.000 satuan, maka dapat ditulis : 2x + y ≤ 10.000 c. Disamping itu, karena x dan y masing-masing menyyatakan banyaknya produk jenis S dan T, maka x dan y harus bilangan non negatif atau harus berlaku pertidaksamaan: x ≥ 0, dan y ≥ 0 6. setelah semua informasi terkumpul, maka diperoleh model matematika sebagai berikut. Tentukan nilai x dan y untuk memaksimumkan fungsi : f(x, y) = 1.500 x + 1.000y Dengan batasan-batasan: x + y ≤ 6.000 2x + y ≤ 10.000 x ≥ 0, y ≥ 0
11 E. Penyelesaian Persoalan Program Linear Telah disebutkan di dalam subbab sebelumnya bahwa terdapat dua macam persoalan program linear, yaitu persoalan maksimisasi dan persoalan minimisasi. salah satu cara sederhana untuk menyelesaikan persoalan program linear: 1. Mengubah persoalan program linear tersebut ke dala model matematika dengan menentukan fungsi tujuan yang berupa fungsi linear dan syarat-syarat batasannya yang berupa sistem pertidaksamaan linear atau persamaan linear. 2. Menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linearnya 3. mencari nilai maksimum atau minimum dari fungsi tujuan yang diberikan pada daerah penyelesaiannya. 4. Menjawab persoalannya, yaitu mengembalikan penyelesaian model matematika ke penyelesaian persoalan program linear. LATIHAN 1. Pak Hendra mempunyai 120 m bahan wol dan 80 m bahan katun. Bahanbahan itu akan dibuat dua model pakaian. Setiap pakaian model I memerlukan 3 m bahan wol dan 1 m bahan katun. Setiap pakaian model II memerlukan 2 m bahan wol dan 2 m bahan katun. Misalkan banyaknya pakaian model I x buah dan banyakan pakaian model II adalah y buah. Berdasarkan permasalahan tersebut, tentukanlah: a. Informasi yang ada pada permasalahan di atas! b. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! c. Jelaskanlah bagaimana caramu menyelesaikan permasalahan di atas! CONTOH Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. Pupuk I mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. Pupuk II mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganya Rp14.500 per bungkus. Berdasarkan hal tersebut, tentukanlah: a. Informasi yang ada pada permasalahan di atas b. Biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani tersebut! c. Ceklah kembali jawabanmu!
12 Penyelesaian : a. Informasi yang ada pada permasalahan - Seorang petani ingin memberikan pupuk pada tanaman padinya. - Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. - Pupuk I mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. - Pupuk II mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus. - Satu bungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganya Rp14.500 per bungkus b. Biaya Minimum yang harus dikeluarkan oleh petani Misal : Banyak pupuk I = x Banyak pupuk II = y Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, buatlah terlebih dahulu tabel pembantu untuk mempermudah pengerjaannya. Kandungan Pupuk I (x) Pupuk II (y) Kebutuhan Fosfor 30 20 600 g Nitrogen 30 40 720 g Harga 17.500 14.500 Persoalan program linear di atas adalah mencari nilai x dan y yang meminimumkan fungsi tujuan: f (x, y) = 17.500 x + 14.500 y dengan syarat-syarat : 30 x + 20 y ≥ 600 disederhanakan menjadi 3x + 2y ≥ 60 30 x + 40 y ≥ 720 disederhanakan menjadi 3x + 4y ≥ 72 x ≥ 0, y ≥ 0 Selanjutnya tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear tersebut. 3x + 2y = 60 3x + 4y =72 x 0 20 x 0 24 y 30 0 y 18 0 Titik (0 , 30) ( 20 , 0) Titik (0 , 18 ) ( 24, 0) Selanjutnya carilah titik potong kedua garis tersebut dengan metode eliminasi.
13 Selanjutnya carilah titik potong kedua garis tersebut dengan metode eliminasi. 3x + 2y = 60 3x + 4y = 72 - -2y = -12 y = 6 Selanjutnya substitusikan nilau tersebut pada salah satu persamaan, 3x + 2y = 60 3x + 2(12) = 60 3x + 12 = 60 3x = 60 – 12 3x = 48 x = 16 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah (16, 6) Selanjutnya gambarlah kedua garis tersebut pada bidang Cartesius seperti berikut ini. Terlihat dari Gambar di atas, titik B terletak paling kiri dari batas-batas daerah penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai pada titik B (16, 6), maka: f = 17.500(16) + 14.500(6) = 367.000. Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan oleh petani tersebut adalah Rp 367.000,00 dengan cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6 bungkus pupuk II
14 c. Pembuktian Pupuk Jenis I : 3x + 2y ≥ 60 Substitusi x = 16 dan y = 6, maka 3x + 2y = 60 3 (16) + 2 (6) = 60 48 + 12 = 60 60 = 60 (Terpenuhi) Pupuk Jenis II : 3x + 4y ≥ 72 Substitusi x = 16 dan y = 6, maka 3x + 4y = 72 3 (16) + 4 (6) = 72 48 + 24 = 72 72 = 72 (Terpenuhi) LATIHAN 1. Seorang pedagang asongan ingin menjual rokok jenis A dan jenis B pada suatu kardus. Kardus itu hanya dapat memuat 25 bungkus rokok. Rokok A yang harganya Rp3.000,00 per bungkus dijual dengan laba Rp500,00 per bungkus, sedangkan rokok B harganya Rp4.000,00 dan dijual dengan laba Rp750,00 per bungkus. Ia hanya mempunyai modal Rp84.000,00. Berdasarkan permasalahan tersebut, maka tentukanlah : a. Informasi yang ada pada permasalahan di atas ! b. Banyak rokok masing-masing harus ia beli agar mendapat untung sebesar-besarnya. Tentukan pula besar untungnya! c. Strategi yang kamu gunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut! d. Cek kembali jawabanmu! 2. Suatu perusahaan transportasi harus mendistribusikan 1200 paket (yang besarnya sama) melalui dua truk pengangkut. Truk 1 memuat 200 paket untuk setiap pengangkutan dan truk 2 memuat 80 paket untuk setiap pengangkutan. Biaya pengangkutan untuk truk 1 dan truk 2 masingmasing Rp400.000,00 dan Rp200.000,00. Padahal biaya yang tersedia untuk mengangkut 1200 paket hanya Rp3.000.000,00. Berdasarkan masalah tersebut, tentukanlah : a. Informasi yang ada pada permasalahan di atas ! b. biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut c. Strategi yang kamu gunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut! d. Cek kembali jawabanmu!
15 F. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif Fungsi objektif merupakan fungsi yang menjeaskan tujuan (meminimumkan atau memaksimumkan) berdasarkan batasan yang ada. Nilai bentuk objektif f (x, y)= ax + by tergantung dari nilai-nilai x dan y yang memenuhi sistem pertidaksamaan. Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan garis selidik atau metode titik sudut. 3. Metode Titik Sudut Langkah-langkah menentukan nilai optimum bentuk objektif menggunakan metode titik sudut adalah sebagai berikut: a. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel b. Tentukan koordinat titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian tersebut. c. Tentukan nilai bentuk objektif f (x, y)= ax + by untuk setiap titik sudut tersebut d. Tentukan nilai optimum fungsi objektif Jika memaksimumkan fungsi objektif, pilih nilai f (x, y) yang terbesar Jika meminimumkan fungsi objektif, pilih nilai f (x, y) yang terkecil CONTOH Untuk membuat 1 liter minuman jenis A diperlukan 2 kaleng soda dan 1 kaleng susu, sedangkan untuk membuat 1 liter minuman jenis B diperlukan 2 kaleng soda dan 3 kaleng susu. Tersedia 40 kaleng soda dan 30 kaleng susu. Jika 1 liter minuman jenis A dijual seharga Rp30.000,00 dan 1 liter minuman jenis B dijual seharga Rp50.000,00 Berdasarkan hal tersebut tentukanlah : a. Informasi yang terdapat pada permasalahan di atas ! b. Hitunglah pendapatan maksimum dari hasil penjualan kedua jenis minuman tersebut dengan menggunakan uji titik pojok! c. Tuliskan langkah-langkah yang kamu gunakan untuk menyelesaikan permasalahan di atas!
16 a. Informasi yang ada pada permasalahan - Untuk membuat 1 liter minuman jenis A diperlukan 2 kaleng soda dan 1 kaleng susu, sedangkan untuk membuat 1 liter minuman jenis B diperlukan 2 kaleng soda dan 3 kaleng susu. - Tersedia 40 kaleng soda dan 30 kaleng susu. - 1 liter minuman jenis A dijual seharga Rp30.000,00 dan 1 liter minuman jenis B dijual seharga Rp50.000,00 b. Pendapatan maksimum dari hasil penjualan kedua jenis minuman tersebut dengan menggunakan uji titik pojok. Misal: Jenis minuman A = x Jenis minuman B = y Fungsi Objektif f (x, y) = 30.000x + 50.000y dengan syarat-syarat : 2x + 2y ≤ 40 disederhanakan menjadi x + y ≤ 20 x + 3y ≤ 30 x ≥ 0 y ≥ 0 Tentukan Daerah penyelesaian : x + y = 20 x + 3y =30 x 0 20 x 0 30 y 20 0 y 10 0 Titik (0 , 20) ( 20 , 0) Titik (0 , 10 ) ( 30, 0) Mencari titik potong dengan metode eliminasi : x + y = 20 x + 3y = 30 - -2y = - 10 y = 5 c. Langkah-langkah yang kamu gunakan untuk menyelesaikan permasalahan d. Cek kembali jawabanmu apakah sudah terpenuhi!
17 Substitusi nilai y = 5, ke salah satu persamaan : x + y = 20 x + 5 = 20 x = 15 Diperoleh titik potong (15, 5) Nilai bentuk objektif f (x, y) = 30.000x + 50.000y untuk masing-masing titik tersebut, dapat diselidiki dengan membuat tabel sebagai berikut. Titik Pojok Nilai A (20, 0) 600.000 B (15, 5) 700.000 C (0, 10) 500.000 D (0, 0) 0 Dari tabel tersebut, nilai maksimum bentuk objektif f (x, y) = 30.000x + 50.000y senilai 700.000 dan berada pada titik x = 15 dan y = 15 c. Langkah-langkah di gunakan untuk menyelesaikan permasalahan 1) Membuat informasi yang terdapat pada soal 2) Membuat permisalan variabel 3) Membuat tabel penolong 4) Membentuk modeal matematika 5) Mencari titik potong 6) Menggambarkan daerah penyelesaian 7) Melakukan uji titik pojok 8) Mengambil keputusan optimasisasi
18 4. Metode Garis Selidik Cara lain menentukan nilai optimum dari suatu bentuk objektif suatu persoalan program linear adalah menggunakan garis selidik. Garis–garis tersebut merupakan garis–garis yang sejajar pada daerah himpunan penyelesaian kendalanya. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. a. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel b. Tentukan persamaan garis selidik Jika fungsi objektif yang akan di optimumkan f(x, y) = ax + by maka persamaan garis selidik yang akan digunakan ax + by = k c. Gambar garis-garis selidik yang sejajar dengan garis ax + by = k dan melalui setiap titik seudut daerah penyelesaian d. Tentukan nilai optimum fungsi objektif. Nilai optimum yang dapat diperoleh dengan mensubstitusi koordinat titik sudut yang dilewati garis selidik tersebut pada fungsi objektif. CONTOH Sebuah perusahaan memproduksi dua model kapal pesiar. Model I membutuhkan waktu 30 jam untuk memotong dan merakit serta 40 jam untuk menyelesaikannya. Model 2 membutuhkan 45 jam untuk memotong dan merakit serta 30 jam untuk menyelesaikannya. Waktu yang tersedia 360 jam untuk memotong dan merakit serta 300 jam untuk menyelesaikannya. Keuntungan bersih untuk setiap unit model I sebesar Rp4.500.000,00 dan model II sebesar Rp6.000.000,00. Berdasarkan hal tersebut tentukanlah : a. Informasi yang terdapat pada permasalahan di atas ! b. Banyaknya kapal pesiar model I dan model II yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum dengan menggunakan metode garis selidik!
19 a. Informasi yang terdapat pada permasalahan di atas ! - Sebuah perusahaan memproduksi dua model kapal pesiar. - Model I membutuhkan waktu 30 jam untuk memotong dan merakit serta 40 jam untuk menyelesaikannya. - Model 2 membutuhkan 45 jam untuk memotong dan merakit serta 30 jam untuk menyelesaikannya. - Waktu yang tersedia 360 jam untuk memotong dan merakit serta 300 jam untuk menyelesaikannya. - Keuntungan bersih untuk setiap unit model I sebesar Rp4.500.000,00 dan model II sebesar Rp6.000.000,00. c. Banyaknya kapal pesiar model I dan model II yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum dengan menggunakan garis selidik. Misal : Kapal pesiar model I = x Kapal pesiar model II = y Berdasarkan tabel diperoleh: Fungsi objektif yang akan dimaksimumkan: z = 4.500.000x + 6.000.000y Kendala–kendala yang harus dipenuhi: 30x + 45y ≤ 360 40x + 30y ≤ 300 x ≥ 0 y ≥ 0 Menggambar daerah himpunan penyelesaian. Titik potong garis 30x + 45y = 360 dan 40x + 30y = 300
20 Diperoleh grafik himpunan penyelesaian sebagai berikut! Karena fungsi objektif berbentuk z = 4.500.000x + 6.000.000y, maka persamaan garis selidiknya adalah 4.500.000x + 6.000.000y = k. Misalnya, kita ambil nilai k = 18.000.000, sehingga garis tersebut mempunyai persamaan 4.500.000x + 6.000.000y = 18.000.000 atau disederhanakan menjadi 45x + 60y = 180. Garis yang sejajar dengan 45x + 60y = 180 dan terletak paling jauh dari titik O(0, 0) adalah garis yang melalui titik (3, 6). Dengan demikian, titik (3,6) merupakan titik optimum, yaitu nilai maksimum z = 4.500.000x + 6.000.000y. (3, 6) = 4.500.000x + 6.000.000y = 4.500.000(3) + 6.000.000(6) = 13.500.000 + 36.000.000 = 49.500.000 Jadi, perusahaan akan memperoleh keuntungan maksimum, yaitu sebesar Rp49.500.000,00 jika memproduksi 3 unit kapal pesiar model A dan 6 unit kapal pesiar model B.
21 \ LATIHAN 1. Seorang tukang kebun membutuhkan dua jenis pupuk. Dalam setiap kantong, pupuk jenis I mengandung 300 gram zat kimia A dan 600 gram zat kimia B. sedangkan pupuk jenis II mengandung 400 gram zat kimia A dan 300 gram zat kimia B. Tukang kebun tersebut membutuhkan sedikitnya 12 kg zat kimia A dan 15 kg zat kimia B. Jika harga satu kantong pupuk jenis I Rp10.000,00 dan pupuk jenis II Rp12.000,00. Berdasarkan permasalahan tersebut, maka tentukanlah : a. Informasi yang ada pada permasalahan di atas ! b. Banyaknya pupuk jenis I dan pupuk jenis II agar biaya dapat ditekan seminimum mungkin dengan metode titik pojok dan garis selidik! c. Strategi yang kamu gunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut! d. Cek kembali jawabanmu!
22 UJI KOMPETENSI Kerjakanlah Soal-Soal Berikut Ini! 1. Gambarlah daerah penyelesaian dari masing-masing sistem pertidaksamaan linear berikut! a. 2x – 3y ≤ -6 4x – 2y ≤ -6 x ≤ -6 y ≥ -6 b. x + y ≥ 6 2x – y ≤ 3 x – 2y + 6 ≥ 0 2. Tentukan nilai minimum dari benuk objektif f(x, y) = 4x + 3y yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut : x ≥ 0 y ≥ 0 x + y ≥ 20 2x + y ≥ 22 3. Suatu kapal laut mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 500 orang. Setiap Penumpang kelas eksekutif boleh membawa barang paling banyak 60 kg, sedang untuk kelas ekonomi boleh membawa barang sebanyak 40 kg. Kapal tersebut hanya dapat membawa barang tidak lebih dari 18.000 kg. Tket untuk setiap penumpang kelas eksekutif Rp 400.000 dan kelas ekonomi Rp 200.000. Berdasarkan hal tersebut, tentukanlah : a. Informasi yang ada pada permasalahan di atas! b. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! c. Jelaskanlah bagaimana caramu menyelesaikan permasalahan di atas! 4. Seorang pemborong pengecatan rumah mempunyai persediaan 80 kaleng cat putih dan 60 kaleng abu-abu. Pemborong tersebut mendapat tawaran mengecat ruang tamu dan ruang tidur. Setelah dihitung ternyata 1 ruang tamu menghabiskan 2 kaleng cat putih dan 1 kaleng cat abu-abu, sedangkan 1 ruang tidur menghabiskan cat masing-masing sebanyak 1 kaleng. Berdasarkan hal tersebut, tentukanlah : a. Informasi yang ada pada permasalahan di atas ! b. Berapa banyak maksimum ruang tamu dan ruang tidur yang dapat dicat? c. Bagaimana caramu menyelesaikan permasalahan tersebut? d. Ceklah kembali jawabanmu!