AULIAA ARTHAA 2 KATA PENGANTAR Segala puji syukur bagi Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat dan karunia-Nya. Sebaik-baiknya shalawat serta salam semoga Allah SWT limpahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW, beserta seluruh keluarga dan sahabatnya. Apapun yang tergelar dialam semesta ini adalah rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan modul yang berjudul Peluang. Modul ini membahas mengenai materi Peluang. Penulis menuliskannya dengan mengambil dari beberapa sumber baik dari buku maupun dari internet dan membuat gagasan dari beberapa sumber yang ada tersebut. Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian modul ini, sehingga tersusun makalah yang sampai di hadapan pembaca pada saat ini dan semoga modul ini mampu menjadi salah satu acuan dalam memberikan kemudahan untuk memahami maupun mengimplementasikannya. Atas segala kebaikan yang diberikan, mudah-mudahan Allah SWT menganugrahi pahala yang besar pada hari ketika harta atau pun keturunan tidak bermanfaat, kecuali mereka yang datang menghadap Allah SWT dengan kalbu yang bersih. Penulis menyadari sepenuhnya modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karenanya sangat diharapkan bagi pembaca untuk menyampaikan saran atau kritik yang bersifat membangun demi tercapainya makalah yang lebih baik untuk selanjutnya. Yogyakarta, ... Juni 2024 Penyusun
AULIAA ARTHAA 3 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR..................................................................................................................................2 DAFTAR ISI................................................................................................................................................3 PETA KONSEP ...........................................................................................................................................4 BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................................................5 A. DESKRIPSI .........................................................................................................................................5 B. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL...................................................................................................5 C. KOMPETENSI ....................................................................................................................................5 D. TUJUAN PEMBELAJARAN..................................................................................................................6 BAB II MATERI..........................................................................................................................................7 A. KEGIATAN PEMBELAJARAN 1............................................................................................................7 BAB III KUNCI JAWABAN.....................................................................................................................14 A. LATIHAN SOAL ................................................................................................................................14 B. TES FORMATIF ................................................................................................................................15 BAB IV PENUTUP ...................................................................................................................................17
AULIAA ARTHAA 4 PETA KONSEP PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT KONSEP PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL AKAR - AKAR PERSAMAAN KUADRAT RUMUS JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR - AKAR PERSAMAAN KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT DENGAN AKAR-AKAR X1 DAN X2 FUNGSI KUADRAT KONSEP FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI KUADRAT HUBUNGAN PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
AULIAA ARTHAA 5 BAB I PENDAHULUAN A. DESKRIPSI Grafik fungsi kuadrat adalah kurva yang disebut parabola. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum () = 2 + + , dengan a, b, c adalah konstanta. Berikut beberapa karakteristik utama grafik fungsi kuadrat: 1. Bentuk Parabola: Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola. Jika koefisien positif, parabola terbuka ke atas. Jika negatif, parabola terbuka ke bawah. 2. Puncak (Vertex): Puncak parabola adalah titik tertinggi atau terendah pada grafik. Koordinat puncak dapat dihitung menggunakan rumus ( −b 2a , −D 4a ) 3. Sumbu Simetri: Parabola memiliki sumbu simetri vertikal yang melalui puncaknya. Persamaan sumbu simetri adalah x = −b 2a 4. Akar atau Nol Fungsi: Akar dari fungsi kuadrat adalah nilai di mana = 0. Akar ini dapat ditemukan menggunakan rumus kuadrat. 5. Pembukaan dan Lebar Parabola: Nilai menentukan arah dan seberapa "sempit" atau "lebar" parabola. Semakin besar nilai absolut semakin sempit parabola, dan sebaliknya. B. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL 1. Bacalah modul ini dengan teliti dan cermat mulai daru Kata Pengantar sampai dengan selesai, kemudian pahami benar selurun informasi yang termuat didalamnya. 2. Setelah Anda memahami seluruh informasi, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah menguasainya. 3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat dalam modul ini agar kompetensi Anda berkembang dengan baik. 4. Setiap mempelajari satu materi, Anda harus mulai dari menguasai pengertian-pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan latihan. 5. Dalam menerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terlebih dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan. 6. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. C. KOMPETENSI Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar Setelah mengikuti pembelajaran peluang siswa mampu: 1. Menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa fungsi kuadrat. 2. Mengidentifikasi dan menerapkan konsep fungsi dan persamaan kuadrat dalam menyelesaikan masalah nyata dan menjelaskannya secara lisan dan tulisan. Melalui pembelajaran materi peluang, siswa memperoleh pengalaman belajar: o menafsirkan hasil pemecahan masalah. o menuliskan ciri-ciri persamaan kuadrat. dari beberapa model matematika
AULIAA ARTHAA 6 3. Menyusun model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat dan menyelesaikan serta memeriksa kebenaran jawabannya. 4. Menggambar dan membuat sketsa grafik fungsi kuadrat dari masalah nyata berdasarkan data yang ditentukan dan menafsirkan karakteristiknya. o menuliskan konsep persamaan kuadrat.berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri. o menurunkan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat berdasarkan konsep yang sudah dimiliki.. o menggunakan konsep dan prinsip persamaan kuadrat untuk memecahkan masalah otentik. D. TUJUAN PEMBELAJARAN Peserta didik dapat: 1. Menentukan modelmatematika berupa fungsi kuadrat. 2. Mengidentifikasi dan menerapkan konsep fungsi dan persamaan kuadrat dalam menyelesaikan masalah nyata 3. Menyusun model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat dan menyelesaikan serta memeriksa kebenaran jawabannya. 4. Menggambar dan membuat sketsa grafik fungsi kuadrat dari masalah nyata berdasarkan data yang ditentukan dan menafsirkan karakteristiknya.
AULIAA ARTHAA 7 BAB II MATERI A. KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 Alokasi waktu 2x45 menit GRAFIK FUNGSI KUADRAT Grafik fungsi kuadrat adalah parabola yang membuka ke atas atau ke bawah. Definisi 1 Fungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang ditentukan oleh () = 2 + + , dengan a, b, c bilangan real dan ≠ 0. Berdasarkan Definisi 1, rumus umum fungsi kuadrat adalah () = 2 + + , dengan a, b, c adalah bilangan real dan ≠ 0. () = 2 + + , ≠ 0 ⇔ () = ( 2 + + ) , ≠ 0 ⇔ () = ( 2 + + 2 4 2 − 2 4 2 + ) , ≠ 0 ⇔ () = [(( + 2 ) 2 − ( 2 − 4 4 2 ))] , ≠ 0 ⇔ () = ( + 2 ) 2 − ( 2 − 4 4 2 ) , ≠ 0 ⇔ () = ( − ( − 2 )) 2 − ( − 4 ) , ≠ 0 Misalkan, () = ( − ( − 2 )) 2 − ( − 4 ) , ≠ 0 () = 2 , ∈ , ≠ 0 ⇔ () = ( − ( − 2 )) − ( − 4 ) Grafik fungsi () = ( − ( − 2 )) − ( − 4 ) adalah grafik fungsi kuadrat () = 2 , ∈ yang digeser sejauh satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah sumbu-y. Diberikan masalah 1 Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri (sumbu simetri) dan titik puncak grafik fungsi kuadrat tersebut. b. Temukan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dari grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x ∈ R, a ≠ 0.
AULIAA ARTHAA 8 c. Temukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koefisien a dan titik puncak parabola. SIFAT – SIFAT DRAFIK FUNGSI KUADRAT Sifat - 1 Grafik fungsi kuadrat () = 2 + + , dengan a, b, c bilangan real dan ≠ 0, memiliki a. Persamaan sumbu simetri x b. Titik puncak P ( −b 2a , −D 4a ) Sifat - 2 Jika > 0, maka grafik fungsi kuadrat () = 2 + + , dengan a, b, dan c bliangan real ≠ 0 terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum P ( −b 2a , −D 4a ). Sifat - 3 Jika < 0, maka grafik fungsi kuadrat () = 2 + + , dengan a, b, dan c bliangan real ≠ 0 terbuka ke bawah dan memiliki titik balik maksimum P ( −b 2a , −D 4a ). Sifat - 4 Diberikan fungsi kuadrat () = 2 + + , dengan a, b, c bilangan real dan ≠ 0, misalkan = 2 – 4 (D adalah diskriminan) a. Jika > 0, maka grafik = () memotong sumbu-x di dua titik berbeda b. Jika = 0, maka grafik = () menyinggung sumbu-x di satu titik c. Jika < 0, maka grafik = () tidak memotong sumbu-x Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemungkinan letak parabola terhadap sumbu-x
AULIAA ARTHAA 9 Contoh soal: 1. Dari hasil pemecahan Masalah 1, kita telah memperoleh persamaan fungsi kuadrat yang menyatakan debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah () = ( √20 4 ) 2 , ∈ , ≥ 0. Misalkan diameter pipa adalah x dan debit air yang mengalir adalah y. Berarti y dapat dinyatakan dalam x, yaitu = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ , ≥ 0. LINK CARA MENGERJAKAN CONTOH SOAL: https://youtu.be/NShEmuNAhRI?si=tJwRml-I97cmYHu1
AULIAA ARTHAA 10 Peyelesaian: Perhatikan fungsi kuadrat = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ , ≥ 0, yang menyatakan debit air yang mengalir dari pipa. Debit air yang mengalir dari pipa bergantung pada diameter () pipa. Jika = 0, maka debit air adalah = () = (0) = 0. Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai = () seperti disajikan dalam tabel berikut. x 0 1 2 3 4 y=f(x) 0 3,51 14,04 31,6 56,17 Grafik persamaan fungsi kuadrat = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ , ≥ 0 dapat digambarkan sebagai berikut. Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ , ≥ 0 terhadap sumbu-y,maka diperoleh sebuah parabola berikut.
AULIAA ARTHAA 11 Ciri-ciri fungsi kuadrat = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ , ≥ 0 yang berupa parabola di atas adalah sebagai berikut. • Koefisien 2 adalah = √20 4 > 0 • Kurva terbuka keatas • Memiliki titik puncak (titik balik minimum) di titik O (0, 0) • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva sama besar, yaitu garis = 0 dan nilai minimum = (0) = 0 • Nilai diskriminan, = 2 – 4 = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O(0, 0) • Cerminkan grafik fungsi kuadrat = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ terhadap sumbu-x dan selidiki sifat – sifat grafik fungsi kuadrat yang ditemukan. Cerminkan grafik fungsi kuadrat = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ terhadap sumbu-x atau garis y=0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat perncerminan bahwa arah benda dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ berubah dari bernilai positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti perubahan fungsinya dari = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ menjadi = () = (− √20 4 ) 2 , ∈ . Secara lengkap bayangan grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) setelah dicerminkan terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut.
AULIAA ARTHAA 12 Ciri-ciri fungsi kuadrat = () = (− √20 4 ) 2 , ∈ dan parabola hasil pencerminan terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut. • Koefisien 2 adalah = − √20 4 > 0 • Kurva terbuka kebawah • Memiliki titik puncak (titik balik maksimum) di titik O (0, 0) • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva sama besar, yaitu garis = 0 dan nilai minimum = (0) = 0 • Nilai diskriminan, = 2 – 4 = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O(0, 0) Latihan Soal: 1. Pikirkan apa saja yang dibutuhkan untuk menggambar grafik fungsi = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ , ≥ 0. Dan ingat kembali bagaimana menggambar grafik kuadrat di SMP. 2. Apa perbedaan fungsi kuadrat = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ , ≥ 0, dan fungsi kuadrat = () = (− √20 4 ) 2 , ∈ 3. Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? 4. Bagaimana komponen-komponen grafik fungsi setelah dicerminkan? RANGKUMAN Misalkan () = 2 , ∈ . Jika grafik g dicerminkan terhadap sumbu-x maka diperoleh ∗ () = −2 , ∈ dengan sumbu simetri adalah sumbu-y dan memiliki titik puncak O (0,0) Tes Formatif: 1. Dapatkah persamaan fungsi kuadrat dipandang sebuah persamaan kuadrat? Jelaskan. 2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat () = 4 2 – 8 + 3 dari grafik fungsi kuadrat () = 4 2 ! 3 . Daerah asal fungsi kuadrat () = −2 2 + 4 + 3 adalah himpunan = { | − 2 ≤ ≤ 3, ∈ } . Tentukan daerah hasil fungsi f ! 4. Gambarkan grafik fungsi kuadrat () = 3 2 + 5 − 4, ∈ .. (untuk setiap x bilangan real) 5. Gambarkan grafik fungsi kuadrat () = 2 2 − 3 − 7, ∈ .. (untuk setiap x bilangan real)
AULIAA ARTHAA 13 DAFTAR PUSTAKA Kementrian Pendidikan Dan Kebudayaan (2014). Buku Matematika SMA/SMK/MAK Kelas X Semester 2 (Halaman: 31 – 38) Link E-learning https://youtu.be/- ror6Lk7ykk?si=VcA4ebdGKQxz TmIP
AULIAA ARTHAA 14 BAB III KUNCI JAWABAN A. LATIHAN SOAL ➢ LATIHAN SOAL I 1. Beberapa hal yang dibutuhkan untuk menggambar grafik: • Skala untuk sumbu x dan y: Tentukan skala yang sesuai agar grafik mudah dibaca. • Menentukan titik-titik penting: Seperti titik potong dengan sumbu y (yintercept) dan titik puncak (vertex) jika ada. • Menghitung beberapa nilai y: Untuk ( x ) yang berbeda untuk mendapatkan titik-titik pada grafik. • Menggambar parabola: Karena ini adalah fungsi kuadrat, grafiknya akan berbentuk parabola. 2. Perbedaan fungsi kuadrat = () = ( √20 4 ) 2 , ∈ , ≥ 0, dan fungsi kuadrat = () = (− √20 4 ) 2 , ∈ adalah jika y = f(x) mempunyai nilai positif maka bentuk grafik kurva terbuka keatas, dan jika y=f(x) mempunyai nilai negatif maka grafik kurva terbuka kebawah. 3. Dalam masalah ini, kita diminta untuk menggambar dan memahami grafik dari fungsi kuadrat yang sudah dicerminkan. Berikut adalah beberapa poin penting mengenai kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini: 1) Transformasi geometris Memahami pencerminan sebagai transformasi geometris membantu kita melihat bagaimana grafik berubah bentuk dan orientasi tanpa mengubah sifat dasarnya (seperti sumbu simetri dan titik puncak). 2) Visualisasi grafik Dengan memvisualisasikan grafik fungsi asli dan hasil pencerminan, kita dapat memahami efek pencerminan terhadap fungsi tersebut. Ini membantu dalam analisis lebih lanjut mengenai sifat dan perilaku fungsi kuadrat. 3) Pemecahan masalah Jika kita diberikan grafik suatu fungsi dan diminta untuk memprediksi hasil pencerminannya, konsep ini memungkinkan kita untuk menggambar grafik yang benar dari hasil pencerminan tersebut. Jadi kesimpulannya adalah Konsep pencerminan berhubungan erat dengan masalah ini karena membantu kita memahami dan memvisualisasikan bagaimana grafik fungsi kuadrat berubah ketika dicerminkan terhadap sumbu-. Dengan pemahaman ini, kita dapat memprediksi dan menggambar grafik hasil pencerminan dengan benar. 4. Komponen-komponen 1) Titik puncak (vertex) • Fungsi Asli: Titik puncak berada di (0, 0). • Fungsi Pencerminan: Titik puncak tetap berada di (0, 0), tetapi puncak berubah dari minimum ke maksimum karena parabola terbuka ke bawah 2) Arah permukaan parabola
AULIAA ARTHAA 15 • Fungsi Asli: Parabola terbuka ke atas. • Fungsi Pencerminan: Parabola terbuka ke bawah. 3) Sumbu simetri • Fungsi asli dan fungsi pencerminan: sumbu simetri tetap pada garis x = 0 4) Titik potong dengan sumbu x dan y: • Fungsi asli dan fungsi pencerminan: parabola hanya memotong sumbu y dititik (0,0) karena ≥ 0 5) Bentuk parabola: • Fungsi asli dan fungsi pencerminan: bentuk parabola tetap sama, tetapi orientasi berubah dari terbuka keatas menjadi terbuka ke bawah. B. TES FORMATIF ➢ TES FORMATIF I 1. Ya, persamaan fungsi kuadrat dapat dipandang sebagai sebuah persamaan kuadrat. Karena, dapat dimisalkan kita memiliki fungsi kuadrat () = 4 2 – 8 + 3 . jika kita ingin mencari nilai-nilai x yang membuat f(x)=0, dapat dituliskan 4 2 – 8 + 3 = 0 Ini adalah sebuah persamaan kuadrat. Jadi, secara ringkas, fungsi kuadrat dapat dipandang sebagai persamaan kuadrat ketika kita mencari nilai-nilai x yang membuat fungsi tersebut sama dengan nol. Kedua konsep ini saling terkait erat melalui bentuk umum mereka dan cara penyelesaiannya. 2. Menggambar grafik dengan () = 4 2 dan () = 4( − 1) 2 − 1 3. Karena fungsi kuadrat yang membuka ke bawah dengan titik maksimum di = 1, daerah hasilnya adalah interval dari nilai terendah (di = −2) hingga nilai tertinggi (di = 1). Jadi, daerah hasil dari fungsi () = −2 2 + 4 + 3 dengan daerah asal −2 ≤ ≤ 3 adalah [−13,5] 4. Didapatkan batas-batas 1 = −5+√73 6 , 1 = −5−√73 6 , dan () = 3 2 + 5 − 4
AULIAA ARTHAA 16 5. Didapatkan batas-batas 1 = 3+√65 4 , 1 = 3−√65 4 , dan () = 2 2 − 3 − 7
AULIAA ARTHAA 17 BAB IV PENUTUP Sebagai tindak lanjut seluruh kegiatan belajar dalam modul peluang matematika ini adalah: 1. Jika hasil evaluasi terhadap penugasan kompetensi mencapai 75% atau lebih, maka siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya. 2. Siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya seletah memperoleh rekomendasi dari guru mata pelajaran matematika. 3. Peserta didik yang masih belum mencapai penugasan kompetensi 75% maka siswa harus mengulang secara, keseluruhan atau bagian-bagian tahap kegiatan belajar yang belum dikuasai dengan baik. 4. Tidak tertutup kemungkinan diberikutnya pembelajaran remedial bagi yang memperoleh nilai yang lebih kecil dari 6, terutama terhadap siswa yang memperoleh nilai rendah. 5. Pengayaan serta akselerasi bagi siswa yang berprestasi juga dimungkinkan sesuai dengan ketersediaan waktu.