คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(ค23201)

โจทยฝ์ กทักษะ
การเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ (ค23201)

จดั ทําโดย

นาย กิติภมู ิ ชยั ประพนั ธ์ เลขที 1
ด.ช.ภรู นิ ท์ คําปนบุตร เลขที13
ด.ช.ธนธปิ เสยี งดี เลขที 40
ด.ช.กฤตภาส ณรงค์ชยั เลขที 41
ด.ช.ธนกฤต อ้วนลํา เลขที 42

ชนั มธั ยมศึกษาปที 3
โรงเรยี นบุญวาทยว์ ทิ ยาลัย พ.ศ.2563

คํานาํ

รายงานนีเปนสว่ ยหนึงของวชิ า คณิตศาสตร์ ชนั มธั ยมศึกษาปที 3
โดยมจี ุดประสงค์เพอื ซอ้ มเสรมิ เรอื งเลขยกกําลังและพหนุ ามซงึ รายงานนี
มเี นือหาเกียวกับความรูจ้ ากหนังสอื เรยี นวชิ าคณิตศาสตรเ์ สรมิ และ
อินเตอรเ์ น็ตตลอดจนนํามาประยุกต์ใชใ้ นการเรยี นเพอื ใหม้ คี วามเขา้ ใจใน
เรอื งเลขยกกําลังและพหนุ ามมากยงิ ขนึ และสามารถทําโจทยป์ ญหาและ
ขอ้ สอบในระดับทีเรยี นและสงู ขนึ ผจู้ ดั ทําได้เลือกหวั ขอ้ เรอื งนีในการทํา
รายงานเลขยกกําลังและพหนุ าม

สารบญั หน้า
1
บทที 1 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว 3
บทที 2 กราฟฟงชนั กําลังสอง

1

บทที 1 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว

สมการกําลังสอง (quadratic equations) คือ สมการของพหนุ าม
ตัวแปรเดียวทีมดี ีกรเี ท่ากับ 2 บางครงั เรยี กสมการกําลังสองวา่ สมการดกี รี 2
รูปแบบทัวไปของสมการกําลังสอง คือ
ax^2 + bx + c = 0 เมอื a, b, c เปนค่าคงตัว และ a \not= 0

การแก้สมการกําลังสอง หมายถึง การคํานวณเพอื หาค่าของตัวแปร
ซงึ จะได้ค่าตัวแปร 2 ค่า โดยค่าทังสองอาจเท่ากันหรอื ไมเ่ ท่ากันก็ได้ ค่าของ
ตัวแปรทีได้บางครงั เรยี กวา่ รากของสมการ หรอื คําตอบของสมการ

วธิ แี ก้สมการกําลังสอง ก่อนทีจะทําการคํานวณหาค่าตัวแปรของสมการ
กําลังสอง ใหจ้ ดั ขวามอื ของเครอื งหมายเท่ากับใหเ้ ปน 0 แล้วการคํานวณจะมี
ได้ 3 วธิ ี คือ โดยวธิ แี ยกตัวประกอบ โดยวธิ ที ําใหเ้ ปนกําลังสองสมบูรณ์ และ
โดยวธิ ใี ชส้ ตู ร

การแก้สมการกําลังสองโดยวธิ แี ยกตัวประกอบ

ทําได้โดยการแยกตัวประกอบ (factors) แล้วใชห้ ลักวา่ เมอื ผลคณู ของ
ตัวประกอบเปน 0 (ขวามอื ขอเครอื งหมายเท่ากับ) แสดงวา่ ตัวประกอบบาง
ตัวเปน 0 หรอื ทกุ ตัวประกอบเปน 0

ใชส้ ตู รสาํ เรจ็ (formula)

คําตอบทีได้มี 2 คําตอบ เมอื b^2-4ac > 0
มี 1 คําตอบ เมอื b^2-4ac = 0
ไมม่ คี ําตอบ เมอื b^2-4ac < 0

2
หลักการแก้สมการกําลังสองโดยวธิ ที ําให้เปนกําลังสองสมบูรณ์

1. ทําสมั ประสทิ ธขิ อง x^2 ใหเ้ ปน 1 ก่อน
2. จดั ใหพ้ จน์อิสระ คือพจน์ทีไมม่ ี x อยูท่ างขวามอื ของเครอื งหมายเท่ากับ
3. ใหบ้ วกด้วยกําลังสองของครงึ หนึงของสมั ประสทิ ธขิ อง x ทังสองขา้ งของ
เครอื งหมายเท่ากับ
4. ทางด้านซา้ ยมอื ของเครอื งหมายเท่ากับใหเ้ ขยี นเปนรูปสองพจน์ยกกําลังสอง

3

4

5

บทที 2 กราฟฟงชนั กําลังสอง

กราฟของฟงก์ชนั กําลังสอง ทีกําหนดด้วยสมการ y = ax2 เมอื a ¹ 0

กราฟของฟงก์ชนั กําลังสอง มชี อื เรยี กวา่ พาราโบลา ซงึ ลักษณะของ
กราฟของฟงก์ชนั ขนึ อยูก่ ับค่าของ a , b และ c และเมอื a เปนบวกหรอื
ลบ จะทําใหไ้ ด้กราฟเปนเสน้ โค้งหงายหรอื ควาํ และกราฟของฟงก์ชนั กําลัง
สองทีกําหนดด้วยสมการ y = ax2 เมอื a ¹ 0 เมอื a > 0 และ
ชนิดควาํ เมอื a < 0

เมอื a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดตําสดุ อยูท่ ี
เมอื a < 0 ได้พาร(า0โบ, 0ลา)ควาํ จุดสงู สดุ อยูท่ ี
แกนสมมาตรคือ แกน Y(0,ห0ร)อื เสน้ ตรง X = 0 สมการแกน
สมมาตรคือ X = 0

เมอื a > 0 ค่าตําสดุ คือ 0 และ เมอื a < 0 ค่าสงู สดุ คือ

a ยงิ มากกราฟยงิ แคบ 0

กราฟทีกําหนดด้วยสมการ y = ax2 + k เมอื a ¹ 0 และ k ¹ 0

กราฟทีกําหนดด้วยสมการ y = ax2 + k เมอื a ¹ 0 และ k ¹ 0
จะเปนกราฟพาราโบลาทีมจี ุดวกกลับหรอื จุดสงู สดุ หรอื จุดตําสดุ อยูท่ ี
(0, k) และแกนสมมาตรคือ แกน Y

ถ้า a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดตําสดุ อยูท่ ี (0, k) ค่าตําสดุ = k
ถ้า a < 0 ได้พาราโบลาควาํ จุดสงู สดุ อยูท่ ี (0, k) ค่าสงู สดุ =
แkกนสมมาตรคือ แกน y หรอื เสน้ ตรง x = 0
สมการแกนสมมาตรคือ x = 0
ถ้า k > 0 จุดวกกลับอยูเ่ หนือแกน x
ถ้า k < 0 จุดวกกลับอยูใ่ ต้แกน X

6

กราฟของ y = a(x – h)2 เมอื a ¹ 0 และ h > 0

กราฟทีกําหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอื a ¹ 0 และ
h¹0

จะเปนกราฟพาราโบลาทีมจี ุดวกกลับหรอื จุดสงู สดุ หรอื จุดตําสดุ อยูท่ ี
(h, 0) และแกนสมมาตรคือเสน้ ตรง x = h

กราฟของ y = a(x – h)2 เมอื a ¹ 0 และ h < 0

ถ้า h < 0 จะได้สมการใหมเ่ ปน y = a(x – (-h))2

= a(x + h)2

ถ้า a > 0 ได้พาราโบลาหงา จุดตําสดุ อยูท่ ี (h, 0) ค่าตําสุ = 0
ถ้า a < 0 ได้พาราโบลาควาํ จุดสงู สดุ อยูท่ ี (h, 0) ค่าสงู สดุ =
0แกนสมมาตรคือ เสน้ ตรง x = h สมการแกนสมมาตรคือ x = h
h > 0 แกนสมมาตรอยูท่ างซา้ ยของแกน Y
h < 0 แกนสมมาตรอยูท่ างขวาของแกน Y

กราฟของฟงก์ชนั กําลังสองทีกําหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k
เมอื a ¹ 0 , h ¹ 0 และ k ¹ 0 จะเปนพาราโบลาทีมจี ุดวกกลับหรอื จุด
สงู สดุ หรอื จุดตําสดุ อยูท่ ี (h, k) และมแี กนสมมาตรคือ เสน้ ตรง x = h

เมอื a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดตําสดุ อยูท่ ี (h, k) ค่าตําสดุ = k
เมอื a < 0 ได้พาราโบลาควาํ จุดสงู สดุ อยูท่ ี (h, k) ค่าสงู สดุ = k
ถ้า k > 0 จุดวกกลับอยูเ่ หนือแกน X
ถ้า k < 0 จุดวกกลับอยูใ่ ต้แกน X
แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h สมการแกนสมมาตรคือ x = h
ถ้า h > 0 แกนสมมาตรอยูท่ างซา้ ยมอื ของแกน
Y
ถถ้้าา ah <แล0ะ kแกมนเี สคมรมอื างตหรมอายยูท่เหามงขอื วนากมันอื กขรอางฟแไกมนต่ ัดYแกน
X
ถ้า a และ k มเี ครอื งหมายต่างกันกราฟตัดแกน X

7

กราฟทีกําหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เมอื a ¹ 0 การ
เขยี นกราฟควรจดั สมการให้อยูใ่ นรูป = a(x – h)2 + k จะทําให้
เขยี นกราฟได้ง่ายขนึ

จาก สมการ y = ax2 + bx + c สามารถเปลียนใหอ้ ยูใ่ น
รูป y = a(x – h)2 + k ได้โดยใชค้ วามรูเ้ รอื งกําลังสองสมบูรณ์

8

9

คณะจดั ทํา

นกั เรยี นชนั มธั ยมศึกษาปที 3/13

นาย กิติภมู ิ ชยั ประพนั ธ์ เลขที 1
ด.ช.ภรู นิ ท์ คําปนบุตร เลขที13
ด.ช.ธนธปิ เสยี งดี เลขที 40
ด.ช.กฤตภาส ณรงค์ชยั เลขที 41
ด.ช.ธนกฤต อ้วนลํา เลขที 42