Artikel - Indah Rahayu Ningtyas (170312612073)-dikonversi

ANALISIS KELENGKAPAN DAN KEKOMPAKAN RUANG METRIK
YANG DIINDUKSI METRIK HAUSDORFF

Indah Rahayu Ningtyas
Universitas Negeri Malang
Jalan Semarang No.5, Malang, Jawa Timur 65164
Email: [email protected]

Abstrak Dalam analisis matematik, terdapat materi dalam topologi yaitu ruang
metrik. Dalam ruang metrik ada berbagai macam ruang dengan karakteristik yang
berbeda-beda. Salah satu ruang yang memiliki karakteristik yang unik untuk dikaji
adalah ruang metrik yang diinduksi metrik Hausdorff. Artikel ini membahas
keterkaitan dari kelengkapan dan kekompakan ruang metrik yang diinduksi metrik
Hausdorff. Dalam pembahasan ini terdapat empat bagian materi yang berkaitan
dengan metrik Hausdorff yaitu i) tiga definisi alternatif yang ekuivalen dari metrik
Hausdorff; ii) hubungan antara metrik Hausdorff, minimum Hausdorff dua
dimensi, dan Yau-Hausdorff dalam ruang Euclidean; dan iii) karakteristik ruang
metrik yang dinduksi metrik Hausdorff dari segi kelengkapan dan
kekompakkannya.

Kata Kunci: Kelengkapan, Kekompakan, Ruang Metrik, Metrik Hausdorff,
Ruang Metrik yang Dinduksi Metrik Hausdorff.

Ruang metrik adalah ruang (iii) ( , ) = ( , ) untuk
khusus dalam matematika analisis
dilengkapi dengan metrik yang setiap , ∈
merupakan fungsi jarak yang
memenuhi beberapa aksioma (iv) ( , ) ≤ ( , ) + ( , )
tertentu. Metrik merupakan fungsi
dalam matematika analisis yang untuk setiap , , ∈
dapat digunakan untuk untuk
menentukan jarak antara titik dan Ruang metrik ( , ) adalah
titik, antara titik dan himpunan, serta
antara himpunan dan himpunan sebuah himpunan X yang dilengkapi
(Weiss, 2016). Metrik pada
himpunan adalah suatu fungsi yang metrik . Sebuah barisan ( ) dalam
memenuhi sifat-sifat berikut: ruang metrik ( , ) dikatakan
(i) ( , ) ≥ 0 untuk setiap
konvergen jika terdapat sebuah titik
, ∈
(ii) ( , ) = 0 jika dan hanya ∈ sedemikian sehingga

jika = lim ( , ) = 0.

→∞

dinamakan limit dari barisan

( ) dan dapat ditulis lim =

→∞

atau disingkat → . Barisan ( )

dikatakan konvergen ke atau

memiliki limit . Jika barisan ( )
tidak konvergen, maka barisan

tersebut dikatakan divergen. Sebuah

barisan ( ) dalam ruang metrik = Sequences”. Himpunan yang
( , ) dikatakan barisan Cauchy jika dilengkapi metrik Hausdorff
untuk setiap > 0 terdapat = dinamakan ruang metrik yang
( ) sedemikian sehingga diinduksi metrik Hausdorff.
( , ) < untuk setiap , >
METODE
.
Ruang metrik dikatakan Penelitian ini dilakukan di
lengkap jika barisan Cauchy dalam
konvergen, (Pestov and Schneider, Jurusan Matematika, Fakultas
2017). Ruang metrik dikatakan
kompak jika setiap barisan dalam Matematika dan Ilmu Pengetahuan
memiliki sebuah subbarisan yang
konvergen, (Piękosz and Wajch, Alam, Universitas Negeri Malang
2015). Himpunan bagian dari ,
dikatakan kompak, sebagai pada semester ganjil tahun akademik
subruang dari , yaitu jika setiap
barisan dalam memiliki sebuah 2019/2020. Metode yang dilakukan
subbarisan konvergen yang memiliki
limit di . Setiap himpunan bagian dalam penelitian ini yaitu sebagai
kompak dari ruang metrik adalah
tertutup dan terbatas. berikut.
Salah satu metrik yang
memiliki aplikasi yang berguna di 1. Mengumpulkan sumber-
berbagai bidang kehidupan terutama
di bidang teknologi informasi yang sumber referensi serta studi
menggunakan konsep jarak adalah
metrik Hausdorff. Metrik Hausdorff pustaka tentang ruang metrik
adalah fungsi jarak untuk
mempelajari karakteristik perbedaan yang diinduksi metrik
antara dua himpunan, (Greenwood
and McCluskey, 2016). Metrik ini Hausdorff dan konvergensi
memiliki keunikan tersendiri yaitu
memiliki tiga definisi alternatif yang dalam barisan himpunan baik
ekuivalen. Kemudian dikembangkan
lagi metrik minimum Hausdorff dari buku, jurnal, maupun
dimensi. Tian K. dkk (2015)
mendefinisikan metrik Yau- karya ilmiah pendukung
Hausdorff pada Ruang Euclidean
dalam karya ilmiah yang berjudul lainnya yang berkaitan dengan
“Two Dimensional Yau-Hausdorff
Distance with Applications on topik.
Comparison of DNA and Protein
2. Memaparkan hasil dari

pengumpulan sumber-sumber

referensi dan studi pustaka.

3. Memaparkan definisi dan

teorema tentang matriks

Hausdorff.

4. Memaparkan definisi alternatif

yang ekuivalen dari metrik

Hausdorff.

5. Menentukan hubungan

beberapa metrik yang

dikontruksi dari metrik

Hausdorff dalam ruang
Euclidean (dalam hal ini

yang dibahas hubungan pada
ruang dua dimensi ).

6. Menentukan sifat kelengkapan

dan kekompakan ruang metrik

yang diinduksi metrik Definisi 2
Hausdorff.
7. Menarik hasil dan pembahasan Ruang metrik Hausdorff adalah
dari penelitian yang dilakukan. pasangan berurutan ( , ℎ)dengan
8. Membuat kesimpulan. ( ) = { | ⊆ , ≠
∅, } dan ℎ metrik
HASIL DAN PEMBAHASAN Hausdorff pada . Ruang metrik
Hasil dari pengumpulan sumber- Hausdorff ( , ℎ) dapat ditulis
sumber referensi serta studi pustaka dengan saja.
tentang ruang metrik yang diinduksi
metrik Hausdorff baik dari buku, Selain itu, terdapat tiga
jurnal, maupun karya ilmiah
pendukung lainnya yang berkaitan definisi alternatif yang ekuivalen dari
dengan topik akan dipaparkan
melalui definisi dan teorema sebagai metrik Hausdorff ℎ( , ), yaitu:
berikut. Misal diberikan suatu ruang ℎ( , ) = max {ℎ′( , ), ℎ′( , )}
metrik ( , ) dan ( ) merupakan
koleksi himpunan tak kosong dan ℎ( , )
kompak atau ( ) = { | ⊆ , ≠
∅, }. Selanjutnya, ( ) = inf{ > 0| ⊆ ( ) ⊆ ( )}
juga dapat dituliskan dengan saja. ℎ( , ) = sup{| ( , ) − ( , )|:
(Comfort and Remus, 2016)
∈ }
Definisi 1
Diketahui ruang metrik, ∈ , Selanjutnya, juga terdapat
dan ⊆ . Jarak dari titik ke
himpunan dinotasikan ( , ) dan hubungan beberapa metrik yang
didefinisikan dengan
dikontruksi dari metrik Hausdorff
( , ) = ( , ). dalam ruang Euclidean (dalam
∈
hal ini yang dibahas hubungan pada
Teorema 1 ruang dua dimensi ) yaitu metrik
Diketahui ruang metrik dan
( ) = { | ⊆ , ≠ Hausdorff ℎ( , ), metrik minimum
∅, }. jarak hausdorff ℎ Hausdorff dimensi ( , ), dan
dapat disebut metrik Hausdorff pada
jika: metrik Yau-Hausdorff
1) ℎ( , ) ≥ 0.
2) ℎ( , ) = 0 ↔ = . ( , ), (Choban, 2017). Metrik
3) ℎ( , ) = ℎ( , ) (sifat simetri). ( , ), didefinisikan
4) ℎ( , ) ≤ ℎ( , ) + ℎ( , )
( , ) = , ℎ( + , ).
(ketaksamaan segitiga).
Kemudian, metrik

( , )dapat didefinisikan sebagai

berikut.

( , )

1 ( ( ), ( ))

= max

, 1 ( ( ), ( )) }
{

dimana 1 adalah jarak minimum

Hausdorff satu dimensi.

1( , ) = ℎ( , )
= inf{ > 0| ⊆ ( ) ⊆ ( )}
max { | −
∈ ℝ ∈ + ∈ ℎ( , ) = sup{| ( , )
− ( , )|:
|, | − |}. ∈ }
∈ ∈ +
Terdapat beberapa sifat atau 3. Pada ruang metrik terinduksi
Hausdorff berlaku dua
karakteristik dari kelengkapan dan teorema yaitu:
kekompakan ruang metrik yang 1) Jika ( , ) ruang metrik
diinduksi metrik Hausdorff dengan lengkap, maka ( , ℎ)
membuktikan kedua teorema berikut,
(Ekayanti, A., Putri, D.I., 2018). ruang metrik lengkap.
yaitu: 2) Jika ( , ) ruang metrik
1) Jika ( , ) merupakan ruang
kompak, maka ( , ℎ)
metrik yang lengkap maka
( , ℎ) juga merupakan ruang ruang metrik kompak.
metrik yang lengkap.
2) Jika ( , ) merupakan ruang DAFTAR RUJUKAN
metrik yang kompak maka
( , ℎ) juga merupakan ruang Choban, M.M., 2017. Some
metrik yang kompak.
dimana himpunan dari seluruh properties of topological
himpunan bagian kompak dan tak
kosong dari , (Iliadis, 2017). groups related to

compactness. Topology and
its Applications 221, 144–

155.

https://doi.org/10.1016/j.topol

.2017.02.039

SIMPULAN Comfort, W.W., Remus, D., 2016.
Berdasarkan hasil dan pembahasan,
dapat disimpulkan sebagai berikut. Counting compact group
1. Ruang metrik Hausdorff
topologies. Topology and its
adalah pasangan berurutan Applications 213, 92–109.
( , ℎ)dengan ( ) = { | ⊆
, ≠ ∅, } dan ℎ https://doi.org/10.1016/j.topol
metrik Hausdorff pada .
Ruang metrik Hausdorff .2016.08.007
( , ℎ) dapat ditulis dengan
saja. Ekayanti, A., Putri, D.I., 2018. Sifat
2. Selain itu, terdapat tiga
definisi alternatif yang Kelengkapan dan
ekuivalen dari metrik
Hausdorff ℎ( , ), yaitu: Kekompakan pada Ruang

ℎ( , ) Metrik Hausdorff, Jurnal
= max {ℎ′( , ), ℎ′( , )}
Silogisme, Kajian Ilmu

Matematika dan

Pembelajarannya,

http://journal.umpo.ac.id/inde

x.php/silogisme.

Greenwood, S., McCluskey, A.,

2016. Continuous functions

on Hausdorff continua.

Topology and its Topology and its
Applications 212, 142–165. Applications 194, 241–268.

https://doi.org/10.1016/j.topol https://doi.org/10.1016/j.topol

.2016.09.002 .2015.08.011

Iliadis, S., 2017. Mappings and Tian, K., Yang, X., Kong, Q., Yin,

isometries of compact metric C., He R.L., dan Yau, S.S.

spaces. Topology and its 2015. Two Dimensional Yau-
Applications 221, 28–37.
Hausdorff Distance with

https://doi.org/10.1016/j.topol Appplications on Comparison

.2017.02.049 of DNA and Protein

Pestov, V.G., Schneider, F.M., 2017. Sequences. Journal of Public

On amenability and groups of Library of Science ONE

measurable maps. Journal of 10(9).

Functional Analysis 273, Weiss, I., 2016. Metric
3859–3874.
characterisation of

https://doi.org/10.1016/j.jfa.2 connectedness for topological

017.09.011 spaces. Topology and its
Piękosz, A., Wajch, E., 2015. Applications 204, 204–216.

Compactness and https://doi.org/10.1016/j.topol

compactifications in .2016.03.001

generalized topology.