อัพคะแนนคณิตศาสตร์

งานอพั คะแนนปลายภาค
วิชา คณิตศาสตร์ เพมิ่ เติม

ลำดับและอนุกรม

จัดทำโดย
นาย ธนวนิ ท์ ภจู่ ุ้ย
ช้ัน ม.6/1 เลขท่ี 3

เสนอ
อาจารย์ กมลรตั น์ ทองเพชร

โรงเรียนวัดโบสถศ์ ึกษา
สำนกั งานเขตพน้ื ทีการศกึ ษามธั ยมศึกษาพิษณโุ ลก เขต 3

1

ลำดับ
Sequences

1. ลำดบั และการเขียนลำดบั
ลำดบั (Sequences) หมายถึง ตวั เลขชดุ หนง่ึ ทีเ่ ขียนเรียงกันภายใต้กฎเกณฑ์ที่

กำหนดให้
นิยาม : ฟงั ก์ชันท่มี โี ดเมน (Domain) (สมาชิกตวั หน้า) เป็นเซตของจำนวนเตม็ บวกท่ี

เรียงจากน้อยไปมากโดยเริม่ ตั้งแต่ 1 และมีเรนจ์ (Range) (สมาชิกตวั หลงั ) เปน็ เซตของ
จำนวนจริง
แบง่ ออกเป็น 2 ชนิด คือ

1. ลำดบั ที่มโี ดเมนเปน็ เซตของจำนวนเต็มบวก { 1, 2, 3, …, n } เรียกวา่ ลำดบั จำกดั
(Finite Sequence)

2. ลำดับทีม่ โี ดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก { 1, 2, 3, … } เรียกว่า ลำดับอนันต์
(Infinite Sequence)

โดยท่วั ไปแล้วการเขียนฟังก์ชนั เรามกั จะใช้ตวั f, g ,h เปน็ ตวั บอกฟงั ก์ชัน แต่สำหรบั
ลำดับ จะใช้ตวั a ในการเขียนแทน น่ันคือ a(x) หรือสามารถเขียนแทนได้ด้วย ax เช่น a(1)
แทนด้วย a1 , a(n) แทนด้วย an เป็นต้น

2

การเรียกชอื่ ลำดับ
เรียกแตล่ ะตวั วา่ “พจน์” เรียงลำดับกันไป
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), …, (n, a(n))}
เรียก (1, 1) วา่ พจน์ท่ี 1 ของลำดบั
เรียก (2, 2) ว่า พจน์ท่ี 2 ของลำดบั
.
.
เรียก (n, a(n)) วา่ พจนท์ ่ี n ของลำดับ หรือพจนท์ ั่วไป
การเขียนลำดับ
การเขียนลำดับจะคล้ายการเขียนฟงั ก์ชนั แต่จะมีลักษณะการเขียนทเี่ พิ่มจากการเขียน
ฟังกช์ ันปกติ ได้แก่

1. การเขียนลำดบั แบบแจกแจงสมาชิก คือ การเขียนแสดงคสู่ มาชิกท่เี กิดข้ึนด้วย มี
3 แบบ คือ
a. แบบแจกแจงสมาชิกเป็นเซต
เชน่
a = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15), (6, 18), (7, 21), (8, 24), (9, 27)}
b. แบบแจกแจงสมาชิกแบบตาราง
เช่น

x123456789

a(x) 3 6 9 12 15 18 21 24 27

c. แบบแจกแจงสมาชิกเป็นแผนภาพการจบั คู่

เช่น

3

2. การเขียนลำดบั แบบแจกแจงสมาชิกลำดับที่ 2
เปน็ การนำสมาชิกตวั ท่ี 2 (a(x)) มาจัดเรียงตามแต่ละคู่ลำดับ
เช่น a(n) = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), …, (n, a(n)}
เขียนเป็น a(n) = { 3, 6, 9, …, a(n)}
หมายเหตุ ถ้า a เป็นลำดับอนันต์ ต้องเขียนเป็น a(n) = { 3, 6, 9, …, a(n), … }

3. การเขียนลำดับแบบบอกเงือ่ นไข
จะอย่ใู นรูป an = เทอมของ n
เชน่ an = n5 เราจะต้องทราบว่า
พจนท์ ี่ 1 ของลำดับ a1 = 15 = 1
พจน์ที่ 2 ของลำดบั a1 = 25 = 32 ไปเร่ือยๆ
ดังน้ัน an = n5 สามารถเขียนได้เป็น 1, 32, 243, …, n5, …
หมายเหตุ
ถ้า a เป็นลำดับอนันต์ จะต้องเขียนเงอื่ นไข an = เทอมของ n เสมอ
ถ้า a เป็นลำดับจำกัด จะเขียนหรือไมก่ ไ็ ด้

4. การเขียนลำดบั แบบกราฟ
การเขียนแบบกราฟจะเร่ิมจาก a(1) เสมอ เนอ่ื งจากโดเมนของลำดับจะต้องเรมิ่ จาก 1
เทา่ น้ัน (ไม่ใช่ 0 เหมือนกราฟทวั่ ไป)
เชน่ a(n) = n-1 จะได้ลำดับ
a = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3), …}
a = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, n-1, …

4

ลำดบั แบบบอกเง่อื นไข: ลำดับเลขคณิต
ลำดบั เลขคณิต (Arithmetic Sequence)คือ ลำดบั ทม่ี ีผลตา่ งรว่ มเป็นค่าคงตวั คา่ หน่งึ

“ ผลต่างร่วม (Common Difference) คือ ผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจนท์ ่ี n
สำหรับทกุ จำนวนเตม็ บวก n ”
1. ถ้ากำหนดให้ d เปน็ ผลตา่ งรว่ ม จะได้ว่า
d = an+1 - an
หรือ an+1 = an + d
2. ถ้ากำหนดให้ a1 เป็นพจน์ที่ 1 ของลำดับ และ d เปน็ ผลตา่ งร่วม เราจะสามารถเขียน
พจน์อืน่ ๆ ได้ ดังนี้
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a2 + d) + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
an = an-1 + d = (a1 + (n-2)d) + d = a1 + (n-1)d
ดังน้ัน จากข้อกำหนดทั้งสองข้างต้น เราจะได้วา่
พจนท์ ว่ั ไปของลำดับเลขคณิต คือ an = a1 + (n-1)d
เม่อื an = พจนท์ ี่ n ของลำดบั เลขคณิต
a1 = พจนท์ ่ี 1 ของลำดบั เลขคณิต
d = ผลต่างร่วม\
ตวั อย่างที่ 1 จงคำนวณหาพจน์ของลำดบั เลขคณิต เมื่อ an = 225, a1 = 3 และ d = 2
วิธีทำ พจนท์ ัว่ ไปของลำดับเลขคณิต
an = a1 + (n-1)d
แทนค่าจากโจทย์
225 = 3 + (n-1)2
225 = 3 + 2n – 2
2n = 224
n = 112
ฉะน้ัน ลำดับนี้มีพจน์ 112 พจน์

5

ตวั อย่างที่ 2 ถ้าผลบวกเลขคณิตตั้งแต่พจน์ที่ 1 ถึง 11 คือ 77 และผลบวกของกำลังสองของ
พจนท์ ่ี 4, 5, 6, 7, 8 คือ 285 จงหาลำดับนี้
วิธีทำ ปกติเราจะเขียนลำดับเลขคณิตแบบ
a1, a1+d, a1+2d,…
ซึ่งทำให้ยากตอ่ การพิจารณาและแก้โจทย์
เขียนแบบใหม่ คือ
a1-2d a1, a1-d, a1, a1+d, a1+2d,…
จากโจทย์ กำหนดให้มี 11 พจน์ นัน่ คือ จำนวนพจนเ์ ปน็ จำนวนค่ี ได้แก่
a1-5d a1, a1-4d, a1-3d, a1-2d, a1-d, a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, a1+4d, a1+5d
เราจะได้ว่า พจนท์ ี่ 6 เป็นพจนก์ ลาง ซ่ึงกำหนดให้เปน็ a1
และให้ผลตา่ งรว่ มเป็น d
ฉะนั้น จะได้สมการ
(a1-5d) + (a1-4d) + (a1-3d) + (a1-2d)
+ (a1-d) + a1 + (a1+d) + (a1+2d) +
(a1+3d) + (a1+4d) + (a1+5d) = 77
ดังน้ัน 11a1 = 77
a1 = 7
และจากโจทย์ จะได้สมการ
(a1-2d)2 + (a1-d)2 + (a1)2 + (a1+d)2
+ (a1+2d)2 = 285
ดงั นั้น d = +2 และ -2
น่นั คือ เราจะได้ลำดบั เลขคณิตสองชุด ได้แก่
d = +2 ลำดบั เลขคณิต คือ -3, -1, 1, 3, 5, …
d = -2 ลำดบั เลขคณิต คือ 17, 15, 13, 11, 9, …

6

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาค่าของ k โดยทีร่ ากของสมการ x3 + 3x2 - 6x + k = 0 เป็นลำดับเลข
คณิต
วิธีทำ
จากสมการ เราจะทราบวา่ รากของสมการนี้มีอยู่ 3 ตวั (เน่ืองจากเปน็ สมการกำลงั สาม)
และเปน็ ลำดับเลขคณิต
ซ่งึ สมมตใิ ห้เป็น (a1-d), a1, (a1+d)
ดังน้ัน สมการนี้ คือ
[x- (a1-d)] [x- a1] [x- (a1+d)] = 0
x3 – 3a1x2 + (3a12 – d2)x – (a13 – ad2) = 0
เมื่อเทียบกบั สมการทีโ่ จทยใ์ ห้มา จะได้วา่
3a1 = 3 ; a1 = -1
3a12 – d2 = -6 ; d2 = 9 ; d = 3
a13 – ad2 = k ; k = - 8
ฉะน้ัน k = - 8
ตัวอย่างท่ี 4 จงหาพจน์ 5 พจนข์ องลำดบั เลขคณิตที่อยูร่ ะหว่าง 5 และ 29
วิธีทำ
สมมติว่าลำดบั เลขคณิตนี้มีอยู่ท้ังหมด 7 พจน์
โดยมี a1 = 5, a7 = 29
หาคา่ ของผลต่างรว่ ม จาก an = a1 + (n-1)d
ฉะน้ัน29 = 5 + (7-1) d
d = (29 – 5) / 6
d=4
ลำดับเลขคณิตน้ี คือ 5, 9 ,13, 17, 21 ,25, 29
และพจน์ 5 พจน์ทีอ่ ยรู่ ะหวา่ ง 5 และ 29 คือ 9 ,13, 17, 21 ,25

7

ตัวอย่างที่ 5 จงหาพจนก์ ลางของลำดบั ตอ่ ไปนี้ เมอื่ ลำดับเลขคณิตมีอยู่ 3 พจน์
1. 3, x, 10
2. 5, x, 7
3. 11, x, 23
วิธีทำ
หลกั ในการหาพจนก์ ลางของลำดบั เลขคณิตท่ีมี 3 พจนค์ ือการหาค่าเฉลย่ี ของพจนแ์ รกและ
พจน์สุดท้าย น่ันคือ
1. x = (3 + 10) / 2 = 13/2
2. x = (5 + 7) / 2 =12/2 =6
3. x = (11 + 23) / 2 = 34/2 = 17

8

อนกุ รม
Series

9

10

11

12

13

\

14

แหลง่ อ้างอิง

https://www.scimath.org/lesson-mathematics/item/7068-sequences-series