1 VEKTOR A Vektor dan Notasinya Suatu vektor ialah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Dengan demikian maka dua vektor yang mempunyai besar dan arah yang sama, maka dua vektor tersebut adalah sama, tanpa memandang di mana vektor tersebut berada. Suatu vektor digambarkan dengan suatu anak panah di mana panjangnya anak panah menyatakan besarnya vektor dan arah anak panah menunjukkan arah dari vektor. B Gambar ini menunjukkan gambar vektor, A disebut titik tangkap vektor / titik pangkal vektor dan B disebut titik ujung a vektor (terminal). A Vektor tersebut dinyatakan : AB atau a . B Vektor pada Bidang Datar R2 (Dimensi Dua) Di dalam bidang datar (R2 ) suatu vektor yang titik pangkalnya di A (x1, y1) dan titik ujungnya di B (x2, y2) dapat dituliskan dalam bentuk komponen : AB 2 1 2 1 y y x x Dilukiskan sebagai : y B (x2, y2) A (x1, y1) x Vektor dalam bidang datar juga dapat dinyatakan dalam bentuk : - Kombinasi linear vektor satuan i, j , misalnya vektor a = xi + yj. - Koordinat kartesius, yaitu : a = (a1, a2). - Koordinat kutub, yaitu : a = r dengan r = 2 2 1 2 2 1 (x x ) ( y y ) dan tg = 2 1 2 1 x x y y . C Ruang Lingkup Vektor 1. Kesamaan Dua Vektor Dua buah vektor a dan b dikatakan sama apabila keduanya a b mempunyai besar (panjang) dan arah yang sama. Diperoleh: a = b 2. Vektor Negatif Vektor negatif dari a adalah vektor yang besarnya sama dengan a b vektor a tetapi arahnya berlawanan dan ditulis a . Diperoleh: a = b . 1 VEKTOR PADA BIDANG DATAR
2 3. Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang besar / panjangnya nol dan arahnya tak tentu. Pada sistem koordinat kartesius vektor nol digambarkan berupa titik. Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan O = 0 0 . 4. Vektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pusat koordinat O(0,0) dan titik ujungnya berada pada koordinat lain. Vektor posisi pada R2 dari titik A(x,y) dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor satuan sebagai berikut : xi y j y x a Penulisan vektor i dan j menyatakan vektor satuan pada sistem koordinat. Vektor satuan i adalah vektor yang searah dengan sumbu X positif dan besarnya 1 satuan. Vektor satuan j adalah vektor yang searah dengan sumbu Y positif dan besarnya 1 satuan. 5. Modulus atau Besar Vektor atau Panjang vektor Misalnya a = a i a j a a 1 2 2 1 , panjang vektor a dinotasikan a dengan a = 2 2 2 a1 a . Jika diketahui titik A (x1, y1) dan B (x2, y2). Secara analitis, diperoleh komponen vektor AB 2 1 2 1 y y x x . Panjang vektor AB dapat dirumuskan : AB = 2 2 1 2 2 1 (x x ) ( y y ) . Contoh: Diketahui titik A(3, -5) dan B(-2, 7), tentukan hasil operasi vektor tersebut ! a. Komponen vektor AB b. Modulus/besar vektor AB Jawab: a. Komponen vektor AB = 12 5 7 ( 5) 2 3 b. Modulus/besar vektor AB = AB = ( 5) 12 25 144 169 13 2 2 6. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang (besar) 1 satuan. Vektor satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vektor tersebut dengan besar (panjang) vektor semula. Vektor satuan dari vektor a dirumuskan: a a e = ( 1 2 ) √1 2+2 2
3 D Operasi Hitung Vektor di R2 1. Operasi Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua vektor dapat dikerjakan dalam dua cara yaitu cara grafis dan analitis. a. Cara Grafis 1) Dengan cara penjumlahan segitiga atau segitiga vektor b a + b b a a Cara: pangkal vektor b digeser ke ujung vektor a maka vektor hasil a + b adalah vektor yang menghubungkan pangkal vektor a dengan ujung vektor b . 2) Dengan cara penjumlahan jajar genjang atau jajar genjang vektor b b a + b a a Cara: pangkal vektor b digeser ke pangkal vektor a , dilukis jajar genjang, maka diagonal dari ujung persekutuan adalah a + b . Untuk melakukan penjumlahan lebih dari dua vektor digunakan aturan segi banyak (potongan). b c a + b + c c a b a b. Cara Analitis 1) Apabila kedua vektor diketahui mengapit sudut tertentu , maka dapat digunakan perhitungan dengan memakai rumus aturan cosinus seperti pada trigonometri. Apabila sudut antara a dan b adalah , maka : b a + b ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b Cos | a + b | = a b 2abCos 2 2
4 a 2) Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka penjumlahan dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponennya. Misalnya: a = A A y x dan b = B B y x maka a + b = A B A B y y x x Contoh: a) Apabila 3 2 a dan 3 4 b maka a + b = 0 2 3 3 2 ( 4) b) Diketahui panjang vektor a = 2 dan panjang vektor b = 4, sudut antara vektor a dan b adalah 60, maka : a + b = a b 2abCos 2 2 = 2 4 2.2.4. 60 2 2 Cos = 2 1 4 16 16. = 28 2 7 2. Pengurangan Vektor Memperkurangkan vektor b dari vektor a didefinisikan sebagai menjumlahkan vektor negatif b pada vektor a dan ditulis : a b = a + (-b ). | a − b |= a b 2abCos 2 2 a a b a b -b Apabila vektor disajikan dalam bentuk komponen (dalam bidang kartesius) maka pengurangan dapat dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponennya. 3. Perkalian Vektor dengan Skalar Jika a suatu vektor dan m adalah skalar (bilangan nyata), maka m a atau a m adalah suatu vektor dengan kemungkinan : a. Jika m > 0 maka m a adalah vektor yang besarnya m kali a dan searah dengan a . b. Jika m < 0 maka m a adalah vektor yang besarnya m kali a dan arahnya berlawanan dengan a . c. Jika m = 0 maka m a adalah nektor nol.
5 Contoh perkalian vektor dan scalar a. Vektor diberikan dalam bentuk gambar a 2 a 2 1 a -3 a b. Vektor diberikan dalam bentuk komponen Jika a = 2 3 maka 2 a = 2 2 3 = 4 6 Jika b = 2 4 maka 2 1 b = 2 1 2 4 = 1 2 Jika 5 2 c maka 10 4 5 2 2c 2 Apabila titik-titik dalam vektor dapat dinyatakan sebagai perkalian vektor yang lain, titiktitik itu disebut kolinier (segaris). 4. Perkalian Dua vektor Operasi perkalian pada vektor dapat dikerjakan melalui dua cara sebagai berikut : a. Sudut antara kedua vektor diketahui Diberikan vektor a =(a1, a2), b =(b1, b2) dan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah . Perkalian antara vektor a dan b dirumuskan sebagai berikut : Contoh: Tentukan hasil kali kedua vektor a = 1 6 dan b = 6 3 serta sudut antara kedua vektor adalah 60! Jawab: Diketahui dua buah vektor sebagai berikut : a = 1 6 a1 = 6 dan a2 = 1 a = 2 2 2 a1 a = 6 1 36 1 37 2 2 b = 6 3 b1 = 3 dan b2 = 6 b = 2 2 2 b1 b = 3 6 9 36 45 2 2 a .b = a . b . Cos = 37. 45 .Cos 60 = 37. 45 . 2 1 = √1665 . 1 2 a .b = a . b . Cos
6 = √9185 . 1 2 = 185 2 3 Jadi, hasil kali kedua vektor adalah 185 2 3 . b. Sudut antara kedua vektor tidak diketahui Diberikan vektor a =(a1, a2) dan b =(b1, b2). Hasil kali kedua vektor dirumuskan sebagai berikut : Contoh: Diberikan vektor a = 7 5 dan b = 2 3 . Tentukan hasil kali vektor a dan b ! Jawab: Diketahui a = 7 5 a1 = 5 dan a2 = 7 , serta b = 2 3 b1 = 3 dan b2 = -2 a .b = a1b1 + a2b2 = 5.3 + 7(-2) = 15 + (-14) = 1 Jadi, hasil kali vektor a dan b adalah 1. Sementara itu, dari dua buah vektor pada sistem koordinat kartesius dapat kita cari besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor yang dirumuskan sebagai berikut : atau a .b = a1b1 + a2b2 Cos = a b a1b1 a 2 b2