EKSPANSI KOFAKTOR-Tami Rizkya A

i

KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allath SWT karena atas izin dan ridho-Nya penyusunan flipbook
matematika untuk umum materi determinan matriks dengan metode ekspansi kofaktor sebagai
pendukung pembelajaran di era daring ini dapat diselesaikan.
Flipbook ini berisi materi determinan matriks dengan metode ekspansi kofaktor untuk
membantu pengguna agar mampu belajar secara mandiri. Penyusun berharap flipbook ini dapat
dijadikan sebagai panduan dalam pembelajaran matematika selama pengguna belajar secara
daring. Akhir kata, semoga segala upaya yang dilakukan dapat bermanfaat untuk memajukan
pendidikan di Indonesia, terkhususnya bidang matematika.

Bandung, Mei 2021
Penyusun

i

DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................................................i
DAFTAR ISI..............................................................................................................................ii
BAB I PENDAHULUAN............................................................................................................

A. Deskripsi ........................................................................................................................ 1
B. Prasyarat......................................................................................................................... 1
C. Petunjuk Penggunaan flipbook....................................................................................... 1
D. Tujuan ............................................................................................................................ 1
E. Capaian .......................................................................................................................... 2
BAB II DETERMINAN MATRIKS ...........................................................................................
A. Uraian Materi ................................................................................................................. 3
B. Evaluasi ........................................................................................................................ 11
BAB III PENUTUP ................................................................................................................. 12
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................. 13

ii

BAB I
PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Flipbook ini dapat digunakan oleh siswa di jenjang SMA maupun mahasiswa. Dalam
flipbook ini dilengkapi dengan audio dari penyusun serta pembahasan contoh soal berbentuk
video. Flipbook ini mencakup materi determinan matriks dengan metode ekspansi kofaktor
yang akan dipelajari baik oleh siswa SMA maupun mahasiswa, yang terdiri dari: istilah-istilah
dalam derminan matriks, minor, dan kofaktor.

B. Prasyarat

Dalam menguasai flipbook ini, kamu perlu menguasai materi tentang sistem persamaan
linear, serta mengingat kembali materi matriks yang telah dipelajari baik di jenjang SMP
maupun jenjang SMA.

C. Petunjuk Penggunaan Flipbook

Dalam mempelajari flipbook ini, terdapat beberapa hal yang harus dilakukan, yaitu
sebagai berikut:

1. Lihatlah daftar isi dengan cermat.

2. Baca terlebih dahulu bagian pendahuluan yang terdapat pada bagian awal flipbook ini

sehingga kamu dapat memahami garis besar materi yang akan dipelajari.

3. Pelajarilah flipbook ini sesuai urutan, karena materi sebelumnya merupakan prasyarat

untuk materi selanjutnya.

4. Pelajari dan pahami uraian materi dan contoh soalnya dengan baik.

5. Jika dihalaman flipbook terdapat tanda seperti ini, maka pengguna bisa

memutar pembahasan dalam bentuk audio.

6. Jika dihalaman flipbook terdapat tanda seperti ini, maka pengguna bisa

memutar pembahasan dalam bentuk vidio

7. Setelah memahami konsep materi dalam flipbook ini, kerjakan soal evaluasi di bagian

akhir.

8. Cocokkan jawabanmu dengan kunci jawaban dan kemudian hitung skor yang diperoleh.

9. Jika menemukan kesulitan yang tidak dapat dipecahkan, bertanyalah kepada guru atau

bacalah referensi lain yang terkait dengan materi pada flipbook ini.

1

D. Tujuan

Setelah mempelajari flipbook ini diharapkan pengguna mampu menyelesaikan
masalah kontekstual yang berkaitan dengan determinan matriks, termasuk permasalahan terkait
matriks dengan ordo 3 × 3, ordo 4 × 4, maupun ordo × .

E. Capaian

Capaian yang akan dicapai dalam flipbook ini mengacu pada kurikulum terbaru.
Berikut dijabarkan capaian yang akan dicapai dalam flipbook:

Capaian Pembelajaran Indikator Materi Pembelajaran
Determinan Matriks
6.7 Pengguna dapat 1. Dapat menentukan minor,

menentukan determinan, kofaktor dari matriks ordo

adjoint matriks, dan 3x3 dan 4 x 4 berbantuan

penyelesaian SPL dengan aplikasi flipbook yang

menggunakan aturan dikaitkan dengan

cramer kemampuan berpikir

kreatif

2. Dapat mengidentifikasi

metode ekspansi kofaktor

dari matriks ordo 3 x 3 dan

4 x 4 berbantuan aplikasi

flipbook yang dikaitkan

dengan kemampuan

berpikir kreatif

3. Dapat memecahkan

masalah yang berkaitan

dengan determinan

matriks berordo 3 x 3 dan

4 x 4 dengan metode

ekspansi kofaktor yang

dikaitkan dengan

kemampuan berpikir

kreatif.

2

BAB II
PEMBELAJARAN DETERMINAN MATRIKS EKSPANSI KOFAKTOR
A. Uraian Materi
Saat duduk di kelas X, kalian telah mempelajari konsep matriks, jenis matriks, operasi
pada matriks yang ditemukan dari berbagai masalah nyata disekitar kehidupan kita serta
menghitung determinan dengan metode sarrus. Pada pembelajaran ini, kita akan mengetahui
metode ekspansi kofaktor. Terlebih dahulu mari kita perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 1

Tentukan determinan dari matriks berikut! (originality)
1 5 −3

= [1 0 2 ]
3 −1 2

Penyelesaian :

3

Contoh Soal 2
Buatlah sistem persamaan linear 3 variabel, kemudian
tentukan nilai determinan dari persamaan tersebut! (fluency)

Penyelesaian :

Pada pembelajaran ini kita mempelajari sebuah metode untuk menghitung determinan
yang berguna untuk perhitungan yang menggunakan tangan dan secara teoritis penting
penerapannya. Setelah memahami pembelajaran ini, kita akan memperoleh rumus untuk invers
dari matriks yang dapat dibalik serta akan mendapatkan rumus untuk pemecahan sistem-sistem
persamaan linear tertentu yang dinyatakan dalam determinan.

Determinan merupakan fungsi dari matriks persegi, × , ke bilangan real. Ada
beberapa definisi yang dikembangkan dalam rangkaian determinan ini; dua yang terkenal

4

adalah definisi yang menggunakan permutasi dan yang menggunakan kofaktor. Dalam flipbook
digunakan definisi kofaktor yang bersifat rekursif (definisi yang menggunakan dirinya sendiri).

Lambang determinan matriks A adalah det(A) atau |A|. Dari pembelajaran sebelumnya
telah diketahui determinan dari matriks dengan ordo 2 x 2 sebagai berikut:

det (A) = | 1211 1222| = 11 22 − 12 21

Lambang |...| disini bukanlah lambang nilai mutlak tetapi lambang determinan. Dan

untuk matriks 3 x 3, determinan didefinisikan sebagai berikut:

11 12 13
det(A) = | 21 22 23| = 11 22 33 + 12 23 33 + 13 21 32 −

31 32 33
13 22 31 − 11 23 32 − 12 21 33

Cara penulisan di atas dapat diubah menjadi

det(A) = 11(−1)1+1( 22 33 − 23 32) + 12(−1)1+2( 21 33 − 23 31) +
13(−1)1+3( 21 32 − 22 31)

atau dapat juga ditulis sebagai

det(A) = 11(−1)1+1 | 3222 3233| + 12(−1)1+2 | 3211 3233| +
13(−1)1+3 | 2311 3222|

atau

det(A) = 21(−1)2+1( 12 33 − 13 32) + 22(−1)2+2( 11 33 − 13 31) +
23(−1)2+3( 11 32 − 12 31)

det(A) = 21(−1)2+1 | 1322 1333| + 22(−1)2+2 | 1311 3133| +
23(−1)2+3 | 1311 1322|

Kenyataan di atas, dengan mengingat bahwa determinan suatu matriks dapat dicari
dengan menggunakan determinan matriks yang lebih kecil ukurannya (submatriks) mendorong
didefinisikannya determinan secara formal di bawah ini yang bentuk rekursif.

5

Definisi

Misalkan × = [ ], maka minor dari , yang dilambangkan oleh , adalah
determinan dari submatriks yang diperoleh dengan cara membuang semua entri pada
baris ke- dan semua entri pada kolom ke- . Sedangkan kofaktor dari yang
dilambangkan oleh , adalah (−1) +

Determinan matriks dapat dihitung dari minor dan kofaktor pada salah satu baris atau
kolom matriks.

1. Penentuan Determinan Berbasis Baris Matriks

Menghitung determinan suatu matriks menggunakan salah satu baris matriks.

Jika diketahui suatu matriks berukuran × :

11 12 ⋯ 1

[ ⋮21 22 ⋯ 2 ]
⋮ ⋮ ⋮

1 2 ⋯

Maka determinan matriks :

det( ) =∑ =1 . (−1) +

det( ) =∑ =1 . =

Atau

det( ) = 1 1 + 2 2 + 3 3 + ⋯ +

= salah satu baris matriks

Metode ekspansi berbasis baris matriks adalah cara menentukan suatu determinan
matriks yang menggunakan salah satu baris. Jika A berordo maka baris yang dapat dipilih
adalah satu baris dari baris ke-1, ke-2, ke-3, atau ke- .

6

Contoh Soal 3
Tentukan determinan matriks berikut pada baris ke-3 dan
tuliskan langkah-langkah penyelesaiannya! (Elaboration)
15 0
= [2 4 −1]
0 −2 0

Penyelesaian :

7

2. Penentuan Determinan Berbasis Kolom Matriks

Menghitung determinan suatu matriks menggunakan salah satu kolom matriks.

Jika diketahui suatu matriks berukuran × :

11 12 ⋯ 1

[ ⋮21 22 ⋯ 2 ]
⋮ ⋮ ⋮

1 2 ⋯

Maka determinan matriks :

det( ) =∑ =1 . (−1) + =
det( ) =∑ =1 .

Atau

det( ) = 1 1 + 2 2 + 3 3 + ⋯ +

= salah satu baris matriks

Pemilihan kolom (atau baris) matriks untuk menghitung determinan suatu matriks
usahakan pilih kolom atau baris yang elemennya banyak bernilai 0 atau 1 supaya
mudah dalam perhitungannya.

Contoh Soal 4

Tentukan determinan matriks berikut pada kolom ke-1 dan
tuliskan langkah-langkah penyelesaiannya! (Elaboration)

15 0
= [2 4 −1]

0 −2 0

8

Penyelesaian :

Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan
kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan dan berada dalam baris ke
dan kolom ke dari susunan

+−+ −+⋯
−+ − +−⋯
+− + −+⋯
−+ − +−⋯
[⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ]
Misalnya, 11 = 11. 21 = − 21. 12 = − 12. 22, dan seterusnya.

9

Contoh Soal 5

Tentukan determinan dari matrik berikut (minimal 2 cara)!

(flexibility)

5 12 4

= [−11 0 2 3 ]
1 6 1

1 0 0 −4

Penyelesaian:

10

B. Soal Evaluasi
1. Tentukan determinan dari matrik berikut!

2 0 −3 0

= [−02 5 2 43]
3 −1

3605

a. Jelaskan metode apa yang kamu gunakan untuk memperoleh det(A)! (originality)

b. Jelaskan alasan mengapa kamu mengganti strategi yang salah kamu pilih ketika

mengalami kesulitan? Lalu tentukan determinan dari matriks A tersebut! (fluency)

2. Tentukan determinan dari matrik berikut (minimal 2 cara)! (flexibility)

4 0 44

= [−11 0 1 31]
−3 0

6 3 14 2

3. Tentukan determinan matriks berikut pada kolom ke-2 dan tuliskan langkah-langkah

penyelesaiannya! (Elaboration)

3 1 −4
= [2 5 6 ]

14 8

Catatan: )serta kode untuk

Kunci jawaban dapat diakses dalam link (
membuka file tersebut dapat dilihat dari vidio pembahasan.

11

BAB III
PENUTUP
Flipbook ini berisi materi yang bisa digunakan oleh siswa SMA maupun mahasiswa.
Flipbook ini membahas materi determinan matriks mengenai ekspansi kofaktor secara
keseluruhan. Dengan adanya flipbook ini diharapkan pengguna dapat terbantu dalam
pembelajaran mandirinya selama pandemi.
Demikianlah flipbook ini dibuat dan diharapkan dapat membuat kembali flipbook untuk
materi matematika yang lainnya.

12

DAFTAR PUSTAKA
Imrona, M. (2009). Aljabar Linear Dasar. Erlangga.
Ruminta. (2014). Matriks Persamaan Linie dan Pemrograman Linier (Revisi). Penerbit

Rekayasa Sains.
Silaban, Pantur;Susila, I. N. (1987). Aljabar Linear Elementer (R. Hutauruk (ed.); Kelima).

Erlangga.
Zaini. (2017). Determinan Matriks Persegi dan Non Persegi (I. K. Suastika (ed.); Pertama).

Uwais Inspirasi Indonesia.

13

14